CC BY
101
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И То м VI 19 7 5
№ 1
УДК 533.6.011
КОНЕЧНО-РАЗНОСТНАЯ СХЕМА ДЛЯ РАСЧЕТА ДВУХМЕРНЫХ РАЗРЫВНЫХ РЕШЕНИЙ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ГАЗОВОЙ ДИНАМИКИ
Предложена схема второго порядка точности по пространственным переменным и первого порядка по времени для расчета разрывных решений газовой динамики. Схема основана на принципе минимальных значений производной при аппроксимации течения по пространственным переменным. Приведены результаты расчетов обтекания плоского прямоугольного выступа. Проведено сравнение с расчетами другими методами.
1. Рассмотрим нелинейные уравнения двухмерного нестационарного плоского течения идеального газа с показателем адиабаты записанные в прямоугольной системе координат (х, у) в дивергентной форме
гДе А Р, * и — давление, плотность и компоненты вектора скорости частиц газа соответственно.
Выберем неподвижную прямоугольную сетку с шагами Дл; и Ду вдоль соответствующих осей декартовой системы координат. Перенумеруем ячейки таким образом, чтобы центральной точке ячейки с индексами т, п соответствовали координаты хт = (т 1 /2) Дл;
В. П. Колган
І£. -1- а(Р“) л. д(рр) _ п.
ді ' дх ' 1 ду ~и’
д(ра) , (3(р + ри2) , д(ри«/)_Л ді '1_ дх + ду ~~и
д(ру) і д(?иу) д(р + ру2) ді ' дх ~т" ду
(О
и уп = {п 4~ 1/2) Ау. Параметры газа, соответствующие течению в этой точке при значении времени ^ = £0> обозначим индексами т., п снизу, а для последующего близкого момента времени £=£0-}-^ — теми же индексами сверху.
В работе [1] предложена схема повышенной точности для одномерных нестационарных задач газодинамики. Достоинствами этой схемы являются малое „размазывание11 имеющихся в решении разрывов и сохранение во времени монотонного поведения функций. Построим, следуя [1], для системы уравнений (1) конечно-разностную схему, пригодную для расчета разрывных решений.
Поле течения внутри каждой ячейки аппроксимируем с помощью линейной интерполяции. Например, для величины давления р(х, у) внутри ячейки имеем
Величины производных в выражениях вида (2) выбираются по принципу минимального значения градиента — из приближенных значений производных, полученных с помощью двух односторонних и центральной разностей, выбирается наименьшее по модулю значение в соответствии с формулой
Аналогичным образом аппроксимируются значения плотности и компонент скорости. Отметим, что в известном методе Годунова [2] принята кусочно-постоянная аппроксимация поля течения. Принятая аппроксимация (2) — (3) используется для последующего приближенного нахождения решения в течение малого промежутка времени х и определения параметров в центральной точке каждой ячейки при t=t0-\-x. На границах ячеек в результате аппроксимации образуются разрывы газодинамических параметров, которые с течением времени распадаются. Из решения задачи о распаде разрыва вдоль каждой стороны ячейки находим в момент времени t — t0-\- 0 значения величин потоков массы, импульса и энергии, которыми обмениваются ячейки. Если ограничиться первым порядком точности схемы по времени, то достаточно определить распад разрыва только для центральной точки стороны ячейки без учета градиентов параметров по обе стороны разрыва.
Применяя интегральные законы сохранения массы, импульса и энергии к ячейке т, п в течение времени т, получаем конечноразностную схему для нахождения новых значений р, р, и, V, относящихся к моменту t=r-t0 + t■.
р{х, у) = рт,п + {рх)т,п{Х- Хт)-\-{ру)т.п{у -Уп), \
\х-хт\ <Л*/2, \у-у„\<Ьу/2. I
(2)
I {р^)т, п | == Ш1П { | Рт+1, п Рт, л |> | Рт, п Рт—1, п \,
\Pm-\-\, п рт—1, я 1/2};
I ^У (Ру)т. п | == Ш1П { | Рт, л+1 Рт, п |, | Рт, п Рт, л—1 |>
| Рт, л+1 Рт, л—11/2}.
(3)
(ри)т' п = (ри)т, л + *
т+г- , п
ЬХ
{ИиУ) ! -(Р£/У) ,
т, п +
+
№)т’ п = (ргОт>« +'
Ду
(яиу) ! -рк) х
т+ ~2 , л
Д.*
(Р+РК») 1~(Р+/?^2) г
т, п--- т,п + —
Ду
• (4)
1 р , и2 + V2
р(7=тт+ 2
/?у
7 Р , У2 + 1/2
7-Гр+ 2
\]т, л Г ( 1 р , и2 -1- V2 \
)] -КТ=ТТ + —)
, -Г/гг/р^ + <Щ? [ Чт—1« 2
т+^,«
Дх
+
ЯУ
Т я I. ЦЧ-У”
т-1/г ^ 2
Р1Ч-^ + -^+уг 7-1РТ 2
т,л+
+
Ду
Обозначения Р, Я, V, V с дробными индексами соответствуют параметрам газа на границах ячеек, получившимся в результате распада разрывов в момент времени ^ = £0 + 0.
Условие устойчивости счета для одномерных течений [1] заключается в том, чтобы возмущения с границ ячеек за время т не достигали центральных точек ячеек. Этот результат был доказан для модельного уравнения и подтвержден практически численными расчетами для нелинейных одномерных уравнений. Аналогичное условие можно записать и для схемы (4)
о ^ ■ I Ьх Ду
2х<шт -д-, т, п ' и*
(5)
где через и Иу обозначены максимальные для каждой ячейки (т, п) скорости распространения возмущений в направлении осей х и у соответственно. Практические расчеты подтвердили, что выполнение условия (5) обеспечивает устойчивость счета по разностной схеме (4).
Конечно-разностная схема (4) обладает на гладких решениях вторым порядком точности по координатам и первым порядком точности по времени. При использовании этой схемы для решения стационарных задач газовой дианамики методом установления (при < -> оо) порядок точности схемы становится вторым.
2. С помощью приведенного метода была решена задача о плоском движении газа около бесконечного прямоугольного выступа высотой к. При расчетах полагалось, что все размерные величины длины, скорости, плотности и давления отнесены к соответствующим характерным величинам задачи — высоте А, скорости Иоо и плотности рсо частиц газа на бесконечности, удвоенному скоростному напору Роон2
Граничные условия формулировались в следующем виде. На плоскости симметрии у — 0 и поверхности ступеньки задавалось условие непротекания — нормальная компонента вектора скорости равна нулю V„ = 0. Необходимые для проведения расчетов параметры в точках, лежащих за границей расчетной сетки, находились с помощью зеркального отражения соответствующих точек относительно линии непротекания. Точность схемы при расчете граничных точек вблизи стенки снижалась до первого порядка по координатам. На левой внешней границе расчетной сетки поток считался невозмущенным с заданным числом М^. Для расчета течения вблизи верхней и правой границ расчетной сетки необходимые данные
а 6
Цифрами отмечены линии: /—М=0,08; 2—0,24; 5—0,39; 4—0,55; 5—0,71; 6—0,87; 7—1,00; 5—1,18; 9—1,34;
/0-1,50; //—1,66; /2—1,82; /3-1,97; 14-2,13; /5—2,92
Фиг. 1. Линии постоянных значений чисел М при = 3
в точках снаружи сетки получались с помощью линейной интерполяции изнутри расчетной области. Такое условие не вносит в поток заметных возмущений и широко применяется в численных расчетах. Начальные значения параметров во всех узлах расчетной сетки соответствовали невозмущенному набегающему потоку с заданным числом Моо .
Расчеты подтвердили устойчивость схемы (4) при выборе шага по времени в соответствии с условием (5). В полученных численных решениях в окрестности ударных волн все функции меняются монотонно и отсутствуют колебания, характерные для схем высокого порядка точности.
Методом установления были получены численные решения обтекания „плоской ступеньки11. Для расчетов была применена сетка размером 64X32, тело занимало часть этой области размером 32X8. Для получения установившегося режима необходимо было сделать 1300— 1800 шагов по времени, что занимало около двух часов времени на машине БЭСМ-6.
На фиг. 1 приведены линии равных значений чисел М в потоке при обтекании ступеньки с числом Мсо = 3. Фиг. 1 ,а соответствует расчету по настоящему методу, фиг. 1, б — расчету по методу Годунова с кусочно-постоянной аппроксимацией параметров течения по ячейкам при тех же размерах расчетной сетки. В эллиптической области оба метода дают примерно одинаковую картину течения. Наибольшие расхождения приходятся на область сверхзвукового течения над телом. Следует отметить более широкое „размазыва-ние“ скачка уплотнения в методе Годунова по мере удаления от плоскости симметрии.
На фиг. 2 для различных чисел показаны положения скачка уплотнения и звуковой линии, полученных настоящим методом (сплошные линии), методом Годунова (пунктирные линии) и методом „крупных частиц“ [3] (штрихпунктирные линии). Данные по настоящему методу и методу Годунова практически совпадают
У
1 1
и,а^с
У =1+1 щ П '/ М=2
1 у-2 + /7/ 1\1 М=3
1/-1 1 М=4
-г о г ь з
Фиг. 3
между собой. Метод „крупных частиц11 дает близкую к указанным методам форму ударной волны, но несколько другой вид звуковой линии.
На фиг. 3 приведены для различных чисел М„ графики зависимости давления от координаты 5, направленной вдоль критической линии тока (5 = 0 соответствует точке торможения потока).
Точные значения давления в критической точке обозначены кружками. Расчеты по настоящему методу дают ошибку в величине давления в точке торможения ~0,5— 1%. Ошибка в расчетах этих значений по методу Годунова (пунктирные линии) более заметна и достигает величины —2— 5%. В области головного скачка уплотнения оба метода дают примерно одинаковую картину течения с точностью до одного шага расчетной сетки. „Размазывание" скачка составляет 1—2 интервала расчетной сетки вблизи критической линии тока. По мере удаления от плоскости симметрии „размазывание" увеличивается до 2 — 3 интервалов при использовании настоящего метода и до 3—4 интервалов в методе Годунова. В области течения около верхней поверхности ступеньки оба метода из-за вязкостных эффектов дают завышенное значение энтропии, причем при расчетах по настоящему методу ошибка несколько меньше. Это обусловлено более высоким порядком членов с искусственной вязкостью, появляющихся при замене дифференциальных уравнений на разностные.
ЛИТЕРАТУРА
1. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. „Ученые записки ЦАГИ“, т. III, № 6, 1972.
2. Годунов С. К., Забородин А. В., Прокопов Г. П. Разностная схема для двухмерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной. „Журн. вычислит, матем. и матем. физ“, т. I, № 6, 1961.
3. Белоцерковский О. М., Давыдов Ю. М. Нестационарный метод „крупных частиц" для газодинамических расчетов. „Журн. вычислит, матем. и матем. физ.“, т. II, № 1, 1971.
Рукопись поступила 2/ VII 1973 г
