CC BY
14
УДК 536.421; 669; 004.942
КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЛИТЕЙНОЙ СВАРКИ
КРОПОТИН Н.В.
Физико-технический институт УрО РАН, 426000, г. Ижевск, ул. Кирова, 132
АННОТАЦИЯ. Проведены компьютерный и натурный эксперименты получения монолитной системы сталь-чугун методом литейной сварки. Исследованы химический состав и микротвердость области соединения. Предложен способ управления сварным соединением варьированием температурно-временного режима.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: литейная сварка, моделирование, сталь, чугун. ВВЕДЕНИЕ
Механические свойства конструкции, полученной методом литейной сварки, в первую очередь, будут определяться качеством сварного соединения. Технология получения цельного изделия в условиях производства на примере системы сталь-чугун может быть реализована следующим образом:
В инертной среде на сталь с затвердевшей поверхностью выливается расплав чугуна. Затем полученная конструкция, в зависимости от размеров, затвердевает в течение времени, исчисляемого минутами и даже часами. Поскольку этот достаточно длительный процесс происходит при высоких температурах, диффузия на границе раздела позволяет соединить с хорошей прочностью эту пару материалов. Оценить качество соединения можно по химическому составу шва.
Для прогнозирования химического состава изделия, получаемого литейной сваркой, можно использовать подходы на основе неравновесной теории кристаллизации в терминах двухфазной зоны.
В данной работе представлена физико-математическая модель литейной сварки системы сталь-чугун. В основу данной модели легла неравновесная модель кристаллизации бинарного сплава, учитывающая процессы диффузии компонент и тепла, а так же наличие фазовых переходов в области контакта расплава с твердой фазой.
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ
Система уравнений, описывающая физико-химические процессы литейной сварки состоит из законов сохранения массы, импульса, энергии; уравнений баланса примеси, баланса фаз, кинетического уравнения и уравнения состояния и выглядит следующим образом:
) = 0; (1)
от
д
- (pV) + р(ГЧУ + pRV = цЪУ -Ур -р ; (2)
ОТ
дТ Жк
ср — + У(рхсУ) = У(ЛУТ) + £ qk —; (3)
дt к дt
- (ЬСТ) + У
д
— (£кСк) дГ
= УЛ -У(УЬСЬ); (4)
к
д дТ г)Сь
— (ТСТ) - кСТ — + (1 - = УфЬУС1-) - У^1С£); (5)
дt дt дt
Ь + £ ^ = 1; (6)
к
д
д (^к ) = 0к (Ткь5 - Т); (7)
дt
F (С, Т^ ) = 0. (8)
В уравнениях (1 - 8) приняты следующие обозначения: Т - температура; СЬ - концентрация примеси в расплаве; Ск - концентрация примеси в к-ой твердой фазе; ТЬк5 - температура ликвидуса/солидуса; Ь - доля жидкой фазы; ^ - доля к-ой твердой фазы;
с - теплоемкость; р - плотность; qk - теплота кристаллизации; А — теплопроводность; к - коэффициент распределения; е - «параметр» равновесности; Б - коэффициент диффузии в расплаве; V - конвективная скорость; ^ — динамическая вязкость; g - ускорение свободного падения; р - давление; Я - сопротивление дендритного каркаса; в - кинетический коэффициент роста. Диффузионные потоки через границы элементарных объемов для соответствующих фаз обозначены как /Ь и Jk.
Решение данной системы реализовывалось как решение двух подзадач:
• Нахождение поля скоростей и давлений при заданном изменении плотности и коэффициенте вязкости, не меняющимся за временной шаг интегрирования системы уравнений.
• Нахождение полей температур, концентраций и фазового состава в известном поле скоростей движения расплава.
ЧИСЛЕННЫЙ АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ
Для численного решения дифференциальных уравнений в частных производных применялся разностный метод. То есть непрерывные искомые функции аппроксимировались сеточными функциями на равномерной (шаг к) прямоугольной разностной сетке. Для построения неявной консервативной разностной схемы использовался интегро-интерполяционный метод (метод баланса) [ 1].
Интегрирование уравнения УУи -УкУи = f на отрезке хг-1/2 < х < хг+1/2 дает
qг+l/2 -Чг-т + | V(х)дх^ = |f (х)йХ
хг—1 / 2 хг-1/2
где Чг+1/2, Чг-ш - диффузионные потоки на концах отрезка.
ди
ч( х) = -к (х)—;
дх
ч(х) „ } Лх
иг-1 - иг = | ТТТ ЛХ * Чг-1/2 |
к(х) " 1/21 к(х)
I х
Обозначив а, =
^ 1 Лх ^
к к (х)
V хг-1 ' J
, получим
Чг-1 /2 ~ агих,г, Чг+1 /2 ~ аг+1их,г ;
иг - иг-1 и+1 - Щ
и . =—-—, и ■ =■
х ,г 1 "> х,г 7
кк
Для аппроксимации конвективных слагаемых использовалась схема с направленными разностями. Выбор такой аппроксимации связан с тем, что решение задачи конвекции-диффузии с выбором конвективного оператора в виде разности против потока является наиболее «физичным», а так же обеспечивает безусловную монотонность схемы.
х
х
г-1
7+1/
I
X,
7-1/2
V(Х) — ^^^ - и'-1) 1^-1/2(иг+1 - и, )'
Полуцелый индекс у скоростей означает, что сеточные функции скоростей, относительно остальных функций, разнесены на пол-узла. Можно сказать, что если значение концентрации определено в центре куба разностной сетки, то значения скоростей определены на его гранях.
Для аппроксимации по времени применялась двухслойная разностная схема.
ди ^ и"+1 -ип дг ~ т '
где т - шаг интегрирования по времени. Тогда эволюционные уравнения системы
ди . ,
--+ Аи = / представимы в следующем виде:
дг
п+1 п
В(гп) +А(гп К =?п.
т
Если в качестве оператора В выбрать тождественный оператор Е, то вычисление можно будет произвести достаточно просто, но схема не будет, безусловно, устойчивой, и могут появиться достаточно жесткие ограничения на шаг интегрирования по времени. Поэтому оператор В был выбран как В = Е + тА. Так как в используемом приближении коэффициенты уравнений считаются постоянными за шаг интегрирования по времени, оператор А является линейным. Однако, в виду большой размерности задачи, численное решение прямым методом не может быть найдено. Решение сложной задачи оказывается возможным, если свести ее к последовательному решению более простых, то есть решить методом расщепления. Редукция сложных задач к более простым возможна тогда, когда исходный положительно полуопределенный оператор представим в виде суммы положительных полуопределенных операторов [2]. В задаче диффузии-конвекции оператор А является суммой операторов диффузии Б и конвекции С: А = Б + С. Оператор Б всюду положительно определен для уравнения теплопроводности, для уравнения диффузии П>0 внутри области и Б=0 на границе. В виду выбора для решения задачи конвекции схемы с направленными разностями и граничных условий прилипания, оператор С также положительно полуопределен.
Имея такие свойства уравнений, применялась схема последовательного решения:
(Е + тС)~ = ип, (Е + тО)ип+х = ~ .
Операторы С и Б так же могут быть расщеплены методами покомпонентного расщепления, однако, такой способ не применялся, так как при сильно меняющихся коэффициентах в уравнениях могли возникнуть погрешности, вызванные нарушением симметрии уравнений. Поэтому, несмотря на большие временные затраты, по сравнению с решением факторизованной задачи методом прогонки, системы с симметричной матрицей решались методом сопряженных градиентов, а уравнение переноса как уравнение первого порядка, для обеспечения консервативности которого, необходимо накладывать ограничение на шаг по времени т < .
Для решения уравнений гидродинамики применялся стандартный прием, при котором сначала решается уравнение (2)
1
п+- 1 1 1
V 2 - Уп I \ п+— п+— п+— 1
г г - + 2 + ЕУ 2 =у AV 2--Ур0 + g
Р
т
1
1 П+--
в поле давления р0, с последующей корректировкой Уп+ = V 2 + КЧдр, ёр находится из
дР
условия--ъУ(р>Уп+1) = 0 . Граничные условия для ёр заданы на твердой поверхности
дг
д-Р = 0 и на свободной ёр=0. дп
В задаче литейной сварки, взаимодействуют материалы с сильно отличающимся химическим составом. Поэтому важен учет как температурной, так и концентрационной зависимости плотности расплава. Для сплавов на основе железа существует достаточно точные данные по молярным объемам V0 компонент сплава и объемным параметрам взаимодействия между железом и /-ом компонентом сплава 1ц [3], поэтому формула
Е Х/М/
/=1
Р = —
' п п
Е хУ0 +Е АЛ Х
/=1 /=2
с хорошей точностью описывает концентрационную зависимость плотности. Здесь х1, х/ -концентрации основного элемента (Ре) и /-ой примеси, соответственно, М - молярная масса /-го элемента.
Кроме линейной части уравнения тепло-массопереноса содержат источники, связанные с выделением тепла и ликвацией компонент при фазовых превращениях. Вычисление неоднородной части уравнений требует наибольших вычислительных затрат. В простейшем случае, когда при кристаллизации образуется одна твердая фаза или возможно определить другие фазы по простым зависимостям, можно реализовать итерационный процесс с использованием в качестве итерационного параметра приращение доли жидкой фазы. Используя решение, полученное из уравнений тепло-массопереноса и начальные значения функций концентрации и температуры, запишем следующие уравнения:
дТ А дL
кЩ = Я¥; (9)
L ^ + С — - кС — + ка(1 - L) — = и ; (10)
дг дг дг дг
дТ
д- = в(Тт (С) - Т), (11)
дг
где )) - скорость изменения количества тепла, полученная из решения уравнения
теплопроводности, и - скорость изменения концентрации компонента, полученная из решения уравнения диффузии.
Решение системы (9 - 11) при постоянных скоростях изменения количества тепла и концентрации дает приближенное значение доли жидкой фазы на £+1 итерации, которое затем подставляется в уравнения теплопроводности и диффузии. Итерационный процесс завершается при достижении заданной точности.
Чтобы итерационный процесс сходился необходимо накладывать
ограничения на шаг интегрирования по времени, так как производная итерационного
2
процесса меньше единицы, только если т <-.
(Я/ к) в
ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ
п
Для задачи литейной сварки принципиальный интерес представляет область, в которой происходит соединение двух материалов. Проведенные натурные эксперименты показали, что выдержка тигля со сталью и чугуном в печи в течение 10 мин при температуре ~ 1380 °С приводит к образованию сварного шва толщиной не более 100 мкм.
Соответственно, из анализа экспериментальных данных, был выбран шаг разностной сетки 10 мкм. Для моделирования натурного эксперимента, где диаметр тигля равен 20 мм и высота его 60 мм, необходима двумерная сетка (2000*6000) узлов. Такую трехмерную задачу для современных персональных компьютеров решить затруднительно, поэтому задача решалась в двух измерениях, исходя из того, что тигель имеет цилиндрическую форму.
Начальными условиями для задачи являлись: температура во всем объекте равна температуре печи, ниже температуры солидуса стали, но выше ликвидуса чугуна, равномерное распределение компонент сплавов по твердой стали и жидкому чугуну. Скорости движения в расплаве равны нулю.
Граничные условия для скоростей - это условие прилипания на твердой поверхности. Для уравнения диффузии - поток на границе объекта отсутствует. Для уравнения теплопроводности использовались граничные условия третьего рода:
л— = H(I - Т*), дп
где I* - температура окружающей среды, Н - коэффициент теплопередачи.
В терминах двухфазной зоны, при решении задач кристаллизации, граница раздела фаз не моделируется. В каждой ячейке расчетной области определяется доля жидкой и соответствующие доли твердых фаз. В поставленной задаче концентрации компонентов вычисляются в каждой фазе, то есть в двухфазной зоне должна протекать межфазная диффузия и для решения задачи необходимо найти эффективные поверхности контакта жидкой и твердых областей зоны.
Для этого, по первой координационной сфере каждой ячейки двухфазной зоны находится средний градиент жидкой фазы. По полученной нормали и доле жидкой фазы, строится плоская поверхность, имитирующая границу раздела фаз. Такие «фазовые границы» на гранях ячеек не сшиваются, а их совпадение будет означать, что фронт кристаллизации плоский.
При межфазной диффузии закон Фика в виде J ~ УС не справедлив. Потоки на межфазной границе определяются разностью химических потенциалов. Для определения потоков можно воспользоваться такой функцией как активность, которая позволяет записать выражение для химического потенциала реального раствора как для идеального. Ее использование в качестве переменной в уравнении диффузии очень удобно, но для ее применения необходимо знать коэффициенты активности. Приближенное определение этих коэффициентов осуществляется из условия отсутствия межфазной диффузии при фазовом равновесии. В таком приближении коэффициенты активности можно вычислить как у (С ,1) = 1/ k (С,1), где k - равновесный коэффициент распределения. Конечно, при замене концентрации на активность в уравнении диффузии коэффициенты диффузии необходимо переопределить, для этого воспользуемся уравнением для диффузионной силы [4]
( ч д 1п а, -ЯТ
(уэ, )т = -=-grad а .
1 дг УС
Таким образом, получим уравнение диффузии
Ji = - grad а = -В''grad а{, ус.
/ г г
где В' - новый коэффициент диффузии, который можно выразить через стандартный с помощью формулы:
/1 +д1п^] Я д 1п с )
Была проведена серия компьютерных экспериментов, имитирующих литейную сварку стали состава 0,6 % С; 4,5 % Сг; 0,35 % Si и чугуна состава 3,6 % С; 2,4 % Si. Система из твердой стали и жидкого чугуна выдерживалась некоторое время в адиабатических условиях
при температурах в интервале между температурой солидуса стали и температурой ликвидуса чугуна. После выдержки система охлаждалась до полного затвердевания. В течение выдержки и последующего охлаждения происходит перераспределение примесного компонента сплава, которое определяется диффузионными взаимодействиями между двумя частями системы. Распределение примесных компонентов сплава по пространству изделия характеризует диффузионное взаимодействие двух частей системы и позволяет оценить ширину области соединения этих частей.
Вследствие того, что основной матрицей сплава является твердый раствор углерода в железе, была рассмотрена псевдобинарная диаграмма состояния Fe-C. Наличие хрома и кремния приводит к изменению температур ликвидуса и солидуса, но не образованию новых фаз, а пересыщение твердого раствора углеродом приводит к образованию графита. В итоге были получены графики распределения компонентов по изделию, полученные при температурах 1250 °С и 1380 °С, которые представлены на рис. 1 - 3.
1-1-1-1-г
0 20 40 60 80 100 120 140
Область сварного шва, мкм
о
; /
; 1
' 1
• '
• II
■ 1 -% С (1=100 с)
---% С 0=300 с)
' / 1 л___ ----% С 0=600 с)
0 20 40 60 80 100 120 140 Область сварного шва, мкм а) Т=1250 °С б) Т=1380 °С
Рис. 1. Профили концентрации углерода
20 40 60 80 100 120 Область сварного шва, мкм а) Т=1250 °С
б) Т=1380 °С
Рис. 2. Профили концентрации хрома
20 40 60 80 100 120 140 0 20 40 60 80 100 120 140
Область сварного шва, мкм Область сварного шва, мкм
а) Т=1250 °С б) Т=1380 °С
Рис. 3. Профили концентрации кремния
Из этих графиков видно, что в случае непродолжительной выдержки, кривая имеет явный излом. Такой ход кривой свидетельствует о том, что процессы переноса не успели перераспределить примесь и, соответственно, сварной шов не сформировался. С увеличением времени выдержки изменение профилей концентрации, полученных при температуре 1250 незначительно. При температуре 1380 ^ наблюдается резкое увеличение ширины области взаимодействия, что свидетельствует о подплавлении твердой фазы и ускорении диффузионных процессов. Таким образом, можно сделать вывод, что модель вполне адекватно описывает физико-химические процессы литейной сварки.
РЕЗУЛЬТАТЫ И ОБСУЖДЕНИЕ
Для подтверждения результатов моделирования был проведен натурный эксперимент по свариванию стали с чугуном [5]. Химические составы сплавов соответствовали модельным. В условиях лаборатории была сварена в тигле сталь состава %: 0,6 ^ 4,5 0,8 Mn; 0,35 Si и охлаждена до температуры 7=1380 °С, большей температуры ликвидуса чугуна, после чего на поверхности затвердевшего метала был расплавлен чугун состава %: 3,6 ^ 0,7 Mn; 2,4 Si. Для увеличения времени диффузии на интерфейсе, система выдерживалась при постоянной температуре в течение 10 мин, и затем тигель был извлечен из печи, и система сталь-чугун кристаллизовалась и охлаждалась до температуры окружающей среды. Эксперименты проводились на небольших отливках (~ 300 г). Благодаря выдержке в печи, сформировалась область соединения шириной порядка 50 мкм. В ходе эксперимента получен образец композиционного монолита сталь-чугун. В результате исследования области соединения стали и чугуна (выделена на микрофотографии, рис. 4) можно констатировать следующее:
Измерения микротвердости (рис. 5) показали, что шов не уступает по этому значению стали. Это объясняется достаточно большим содержанием хрома и углерода в области соединения.
Исследования химического состава области соединения показывают, что содержание хрома монотонно убывает от стали к чугуну, а концентрация кремния имеет обратную зависимость. Это означает, что кремний проник в область, которая в момент контакта с расплавом чугуна была твердой сталью. Однако, коэффициент диффузии кремния недостаточно велик для того, чтобы отвечать за такой эффект. Можно предположить, что основной движущей силой этого явления, является диффузия углерода, так как коэффициент диффузии углерода в железе на два порядка выше, чем у кремния. То есть, диффундировавший в сталь углерод понизил температуру солидуса стали в области
контакта, что привело к подплавлению твердой фазы и создало условия для диффузии других компонент сплава (Сг и Si). Последующая кристаллизация обеспечивает качественное соединение конструкции, в том случае если диффузионные процессы имели время и условия для развития (рис. 6).
Рис. 4. Микрофотография области соединения
Рис. 5. Микротвердость образца
.100 150 200
Расстояние, мкм
Рис. 6. Сравнительный график распределения компонент по околошовной области
Моделирование цилиндрических отливок даже небольшого размера с хорошей точностью в условиях эксперимента длилось более трех часов. Моделирование литейной сварки реальных многотонных объектов потребует огромного количества вычислительных ресурсов. Поэтому для решения практических задач предлагается воспользоваться результатами компьютерных экспериментов и построить приближенную зависимость ширины шва от температуры и длительности процесса. То есть построить регрессионную модель, которая позволит определить толщины соединения при том или ином температурно-временном режиме. Так как основным процессом, приводящим к подплавлению стали и, соответственно, образованию сварного соединения является диффузия, удобно выбрать
зависимость ширины шва от времени действия жидкого чугуна на интерфейсе в виде х ~ 4т . Коэффициент пропорциональности естественно зависит от температуры. Представив в
Т - Т
безразмерном виде в =-—, где Тё - температура ликвидуса чугуна, Т£ - температура
Т£ - Тё
солидуса стали. Так как процесс литейной сварки связан с жидким чугуном и твердой
сталью, то рабочий интервал температур Т8 > Т > Тг . Таким образом, если на интерфейсе
создать температуру равную температуре солидуса стали, то подплавление сразу начнется, и будет идти интенсивно, что приведет к широкому шву. При разливке чугуна без перегрева возможны варианты, когда подплавление так и не произойдет. Коэффициент пропорциональности р(в) удобно представить в полиномиальной форме р(в) = ^ а^в'.
I
Методом наименьших квадратов находим коэффициенты полинома по температурам Tk на интерфейсе и длительности процесса тк, полученным в вычислительных экспериментах. Для исследуемой системы температура равновесного солидуса стали 7=1410 °С, температура ликвидуса чугуна 7^=1165 °С. Ограничив четвертым порядком разложения, определили коэффициенты полинома а0 = 2,83936-10"7; а 1= -1,68897; а2 = 14,02214; а3 = -35,70859; а4 = 31,13848. Таким образом, с помощью данной регрессионной модели, задав пару параметров из трех (ширина шва, температура и время выдержки), можно определить искомую величину. Например, по заданным значениям температуры и времени выдержки можно спрогнозировать ширину области сварного соединения.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Построена физико-математическая модель литейной сварки, адекватность которой проверена на натурном эксперименте. По проведенным численным экспериментам построена регрессионная зависимость ширины сварного шва от температуры и времени выдержки. Предложенная регрессионная зависимость позволяет прогнозировать ширину шва по температурно-временному режиму в области контакта свариваемой пары материалов. Это позволяет заменить прямое моделирование литейной сварки реальных многотонных изделий, где для решения задачи необходимы чрезвычайно мощные компьютерные ресурсы, на определение ширины шва по полученной зависимости от температурно-временного режима в свариваемой области, который может быть рассчитан в пакетах программ, моделирующих литейные процессы (LVMFlow).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Численные методы решения задач конвекции-диффузии / изд. 2-е, испр. М : Едиториал УРСС, 2003. 248 с.
2. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики / учеб. пособие. М : Наука, 1989. 608 с.
3. Olsson A. Some aspects of the formation of macrosegregation and structure in ingots. Stockholm, Dept. of Casting of Metals. Royal Inst. of Technology, 1980. 88 p.
4. Дуров В.А., Агеев Е.П. Термодинамическая теория растворов / учеб. пособие. М : Едиториал УРСС, 2003. 248 с.
5. Кропотин Н.В., Саламатов Е.И., Кропотин В.В. Математическая модель сваривания стали с чугуном при литье // Литейное производство. 2009. №5. C. 17-19.
COMPUTER MODELING OF THE FOUNDRY WELDING
Kropotin N.V.
Physical-Technical Institute, Ural Branch of the Russian Academy of Science, Izhevsk, Russia
SUMMARY. Computer and natural experiments of monolithic system of the steel-pig-iron generation are made by a method of foundry welding. The chemical compound and microhardness of the area of bonding are investigated. The way of management in width of a welded seam is offered by a variation of a time- temperature condition.
KEYWORDS: foundry welding, modeling, steel, iron.
Кропотин Николай Валентинович, соискатель ученой степени кандидата физико-математических наук ФТИ УрО РАН, е-таИ: nickkrop@rQmbler.ru
