Компьютерное моделирование и экология Текст научной статьи по специальности «Математика»

живучесть // Москва: Энергоатомиздат. - 2009. - С. 331.

4. Надежность электроснабжения промышленных предприятий с непрерывными технологическими процессами: Сборник докладов НТК «Влияние роста потребления и нового рыночного механизма на формирование и ведение режимов энергосиситем» / Исмагилов Ф.Р., Саттаров Р.Р., Пашали Д.Ю. -Уфа : Скиф - 2007. - 192 с. Ил. С.21-32.

5. Приобская ГТЭС // URL: https://energybase.ru (дата обращения 20.12.2017)

© Горшков М.В., Пашали Д.Ю., 2018

УДК 681.14:577.4

А.Л. Королев, канд. техн. наук, доцент г. Челябинск, РФ, ЮУрГГПУ E-mail: koroleval@cspu.ru Е.С. Фролова, студент 5 курса физико-математического факультета, г. Челябинск, РФ, ЮУрГГПУ E-mail: fesmes@mail.ru

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ЭКОЛОГИЯ

Аннотация

Рассматриваются особенности моделирования экологических систем. Представлены результаты моделирования классических экологических систем средствами системы компьютерного визуального моделирования MVS. Показана эффективность применения данной системы.

Ключевые слова:

Компьютерное моделирование. Система «хищник-жертва». Закон Ферхюльста.

Еще в 60-х годах XX века термин «экология» практически никто, кроме узких специалистов, не знал. В чем же особенность в моделировании экологических систем? В экологии исследуются живые системы, созданные природой. Это означает, что в условиях окружающей среды экологические системы должны либо выживать и развиваться, либо гибнуть.

Законы развития экологических систем изучаются, как правило, на простых моделях, результаты моделирования формулируются в виде качественных выводов. Экологические системы отличаются существенной сложностью объектов моделирования. При моделировании экологических систем возникают трудности выделения отдельной системы, элементов этой системы и подсистем. Структура экологических систем при развитии изменчива и подвержена воздействию случайных факторов. Результаты моделирования трудно проверить экспериментально. Они имеют, в большинстве своем, качественный характер [5].

Классическая или традиционная экология - это наука о взаимодействии организмов и окружающей среды. Применение системного подхода в экологии обусловил формирование направления, ставшего ее самостоятельной отраслью - системной экологией. Развитие системного подхода и общей теории систем связано с именем Людвига фон Берталанфи [7].

Системный подход - это направление в методологии исследования объектов как систем. Система - это множество взаимодействующих объектов, образующих определенную целостность. Таким образом, структура - одно из важных свойств системы.

Взаимодействие системы и окружающей среды происходит по принципу обратной связи (рис.1).

Здесь X - внешнее воздействие на систему. Y - реакция системы (воздействие на окружающую среду). Ъ дополнительное воздействие окружающей среды на систему, порожденное Y.

Рисунок 1 - Схема взаимодействия системы и окружающей среды

При построении любой модели необходимо выполнить системный анализ объекта моделирования:

• установить состав системы;

• выявить связи между элементами системы;

• выявить взаимодействия системы с окружающей средой.

Необходимо построить не только модель собственно системы, но и модель ее взаимодействия с окружающей средой [4].

Одной из первых моделей развития популяции можно считать модель, которая предложена Мальтусом. Эта модель развития популяции в условиях неограниченных ресурсов среды обитания. При этом считалось, что скорость роста популяции пропорциональна ее численности [1]:

dx

-= Кх

dt

Здесь К - врожденный коэффициент скорости роста популяции х - численность популяции. Данное уравнение имеет экспоненциальное решение с неограниченным ростом во времени:

х = х0 • ехр(К^)

Однако, растущая по такому закону популяция со временем исчерпает ресурсы окружающей среды и ее численность стабилизируется. В этом случае развитие популяции описывается логистическим уравнением Ферхюльста [1]:

dx ^ (k

-= Rx

dt

x

k

Ч У

Здесь k - экологическая емкость среды, т.е. максимальная численность популяции, которую способна «прокормить» экологическая система. Уравнение имеет простую интерпретацию - скорость роста популяции пропорциональна ее численности и свободной части среды обитания (рис.2).

Рисунок 2 - MVS-модель для модели Ферхюльста

~ 36 ~

В этой модели рост численности популяции считается пропорциональным количеству особей, что, строго говоря, характерно при размножении путем деления или самооплодотворения. При половом размножении прирост будет тем выше, чем большее встреч происходит между разнополыми особями.

В этом случае при низкой плотности популяции скорость размножения резко падает, т.к. вероятность встречи особей разных полов пропорциональна квадрату численности популяции. Плотность популяции не должна опускаться ниже определенного критического уровня. Если это произойдет, то популяция вымирает. Модель, учитывающая нижнюю границу численности, естественную смертность и внутривидовую конкуренцию, имеет вид [1]:

*=& (x _ i / hzx 1.

dt v k у

Здесь l - нижняя граница вырождения популяции. Эта величина - биологическая характеристика конкретного вида, она различна для различных популяций. Практическое применение данной модели состоит в возможности оценки степени приближения к нижней границе при промысловом использовании вида, т.к. скорость восстановления численности особей зависит от этой характеристики [1].

Еще одна известная модель взаимодействия популяций - модель «хищник-жертва». В интерпретации Лотки-Вольтерра она имеет вид [2]:

— = Rx _ P1 xy dt

— = P2 xy _ Dy. dt 2

Первое уравнение отражает закономерность изменения популяции «жертв», второе - «хищников». Слагаемое Rx характеризует скорость размножения «жертвы» в отсутствии «хищника», а слагаемое Pixy характеризует скорость гибели «жертвы» за счет уничтожения её «хищником». Скорость этого процесса пропорциональна количеству парных встреч. Слагаемое P2xy характеризует увеличение численности «хищников» за счет поедания «жертв», а слагаемое Dy характеризует естественную смертность «хищника» в отсутствии пищи, т.е. «жертв». Коэффициенты P, D, R - const >0.

Модель Лотки-Вольтерра имеет два стационарных решения при начальных условиях: x(t=0)=0; y(t=0)=0 и x(t=0)=D/P2; y(t=0)=R/P1. Первое решение из них неустойчивое, а втрое решение устойчиво. В первом случае малые отклонения от точки равновесия дают взрывообразный рост, а во втором случае наблюдаются малые незатухающие, но и не растущие во времени колебания около точки равновесия (рис.45).

Рисунок 3 - Результат моделирования системы «хищник-жертва» (модель Лотки-Вольтерра),

временная и фазовая диаграммы

Рисунок 4 - Взрывообразное поведение решения при Рисунок 5 - Колебания вокруг точки равновесия малых отклонениях от начальных условий: при малых отклонениях от начальных условий:

х^=0) =0; у^=0) =0 х^=0) =Б/Р2; у^=0) =R/Pl

Несмотря на ряд недостатков, модель Лотки-Вольтерра для математической экологии считается базовой, при помощи этой простой модели были установлены некоторые качественные закономерности системы, в частности, колебания численности видов и их сосуществование (рис. 3).

Известны примеры, когда «хищники» искусственно уничтожались. Тогда «жертвы» не развивались, а деградировали и вымирали, так как «хищники», в первую очередь, уничтожали больных и ослабленных особей. В другом случае (в Китае) была развернута кампания по массовому уничтожению воробьев, так как они питаются зерном. Это вызвало бурный рост популяций насекомых-вредителей, для которых воробьи были хищниками, и произошла гибель посевов риса. Эти примеры подчеркивают важность системного анализа любой экологической проблемы.

Представленная выше модель взаимодействия популяций типа «хищник -жертва» является биологически не совсем корректной так как не учитывает многие важные факторы: ограниченность ресурсов для развития «жертвы» и «хищника», эффект насыщения «хищника» и т.д. Поэтому предлагаются другие модели, уточняющих поведение популяций на основе экспериментальных наблюдений [1]. Модель А.Д. Базыкина является обобщением и уточнением классической модели Лотки-Вольтерра. Она учитывает следующие важные биологические факторы:

1. Насыщение хищников. С ростом плотности популяции жертв рацион хищников асимптотически стремится к постоянному значению. Это означает, что «аппетит» хищника имеет пределы. А.Д. Базыкин

описывает эту зависимость функцией следующего вида: X /(1 + рх).

2. Конкуренция жертв. Из ограниченности жизненных ресурсов вытекает невозможность безграничного размножения популяции жертв. Этот эффект учитывается логистическим членом вида

Их(к — х) / к , что эквивалентно введению в уравнения слагаемого: — Ех2 .

3. Конкуренция хищников. Даже при неограниченном питании популяция «хищников» не может расти безгранично. Недостаток, например территории, приводит к конкуренции, которую учитывается с

2

помощью дополнительного слагаемого — Му .

Разработанная А.Д. Базыкиным модель взаимодействия «хищников» и «жертв» [1] представляется следующей системой уравнений:

dx dt dy

= Ax

Bxy 1 + px

Ex2

C + - My 2. dt 1 + px

Рисунок 6 - Развитие системы «хищник-жертва» по модели А.Д. Базыкина [1]

Исследование свойств, представленных выше, моделей могут проводиться чисто математическими методами, например [6]. Развитие информационных технологий позволяет провести анализ данных моделей методами современного компьютерного моделирования [3]. Например, используя инструментальные системы моделирования MVS (Model Visual Studium) или RMD (Rand Model Designer) [8]. Работа в среде этих инструментальных систем не требует программирования (написания кода) и особых знаний в области информационных технологий. Генерация исполняемого компьютером модуля и выбор численных методов реализации математической модели производятся самой системой. Именно в среде MVS получены результаты, представленные на рис. 2-6.

Таким образом, на примере достаточно простых моделей показаны возможности эффективного применения методов компьютерного моделирования, в частности системы MVS. Время, которое потребовалось для создания представленных моделей, составило, примерно 60 минут. Далее имеется возможность компьютерного экспериментирования с данными моделями. Создание подобных моделей средствами программирования (например, СИ#) потребовало бы значительно больше времени, несмотря на то, что студенты специальности «информатика» изучали систему программирования СИ# и численные методы. По оценкам студентов, такое задание тянет по уровню сложности и объему работы на курсовую работу.

С нашей точки зрения, система компьютерного моделирования MVS (RMD) превосходный инструмент для применения в образовании и на школьном, и на университетском уровнях. Список использованной литературы:

1. Базыкин, А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций [Текст]/ А.Д. Базыкин, М.: Наука, 1985.

2. Вольтерра, В. Математическая теория борьбы за существование [Текст]/ В. Вольтерра - М.: Наука, 1976.

3. Королев, А.Л. Аспекты компьютерного математического моделирования [Текст]// В сборнике: Вузовское преподавание: проблемы и перспективы. Материалы 8-й международной научно-практической конференции. Челябинск, 2007, С. 88-96.

4. Королев, А.Л. Компьютерное моделирование [Текст]/ А.Л. Королев - М.: ЛБЗ-БИНОМ, 2010.

5. Ризниченко, Г. Ю. Математические модели в биофизике и экологии [Текст]/ Г.Ю. Ризниченко - Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

6. Тарасевич, Ю.Ю. Математическое и компьютерное моделирование [Текст]/Ю.Ю. Тарасевич М.: Едиториал УРСС, 2004.

7. фон Берталанфи, Л. Общая теория систем: критический обзор [Текст]// Исследования по общей теории систем. М.: - Прогресс, 1969, С.23-82.

8. Сайт компании MVStudium Group [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http://www.mvstudium.com, свободный. - Яз. рус.

© Королев А.Л., Фролова Е.С., 2018