CC BY
97
УДК 621.91.01
КОМПЛЕКСНАЯ МОДЕЛЬ ИЗНОСА РЕЖУЩЕГО ИНСТРУМЕНТА И ПРИМЕР ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ ОПТИМИЗАЦИИ РЕЖИМА
ПРОФИЛАКТИКИ
Н.И. Пасько, А.В. Анцев, Н.В. Анцева, С.В. Сальников
Предлагается математическая модель процесса износа режущего инструмента, учитывающая главные факторы разброса стойкости инструмента: нестабильность режущих свойств инструментов и разброс показателей обрабатываемости заготовок. Определена функция надежности инструмента, учитывающая отмеченные факторы. Предлагается метод оценки параметров модели на основе статистики «наработка - износ». Иллюстрируется использование модели на примере оптимизации режима профилактики режущего инструмента.
Ключевые слова: режущий инструмент, разброс стойкости, наработка, интенсивность износа, замена инструмента, удельные затраты, вероятность безотказной работы.
Разброс стойкости режущего инструмента зависит в основном от трех факторов: разброса режущих свойств инструментов; разброса твердости и припуска на обработку заготовок; стохастической природы самого процесса износа. Факторы первого вида, связанные с качеством инструментов, детерминировано действуют в течение периода стойкости и при замене инструмента скачкообразно изменяются. Факторы второго вида, связанные с заготовками, действуют во время обработки заготовки и скачкообразно изменяются при ее замене после окончания обработки. При решении задачи о профилактической замене инструмента и при назначении режимов резания важно знать закон распределения стойкости, который существенно зависит от отмеченных факторов. В литературе для описания разброса стойкости предложены различные распределения, согласующиеся, по мнению авторов, с опытными данными. При этом должного теоретического обоснования выбора закона не приводится.
Подойдем к задаче о разбросе стойкости исходя из математической модели процесса износа режущего инструмента, учитывающей отмеченные выше факторы разброса. При этом будем исходить из следующих фактов и предположений:
- износ в среднем растет пропорционально наработке как сумма приращений износа на каждой обработанной детали;
- приращения износа случайны из-за разброса твердости, припуска на обработку заготовок и других факторов, изменяющихся со сменой заготовки после обработки;
- средняя интенсивность износа скачкообразно изменяется при замене инструмента из-за разброса режущих свойств инструментов даже одной партии.
Износ инструмента после наработки t
Mit)
Y(t)= ХА Yj, (1)
Jiï=1
где ДГу - износ инструмента за время обработки j -й детали; M(t) - число
обработанных деталей при наработке t. Наработка может измеряться временем резания, числом обработанных деталей, объемом снятой стружки и др. В этом случае есть основание ожидать согласно [1], что Y(t) будет иметь асимптотически нормальное распределение с плотностью
2
(2)
V2no2t 2с i
2
где а - средняя интенсивность износа текущего инструмента; с - дисперсия приращения износа на единицу наработки. Чем больше наработка t, тем точнее формула (2). Например, если наработка измеряется штуками обработанных деталей, то при ¿>10 достигается практически достаточная точность асимптотической формулы (2). Вероятность отрицательных значений Y по формуле (2) при t > 10 практически равна нулю.
Если L - предельно допустимый износ инструмента, то вероятность безотказной работы в течение наработки t инструмента со средней интенсивностью износа а Ра (t) равна вероятности того, что У(7) < L, то есть
L
Pa(t) = l<?t(y)<ly-0
Если воспользоваться выражением (2), то
ра(0~\ , 0 exp[-—-= 0 (-(—
о л/2тгс / 2czi <wf cV/
* —ai
Но так как с ростом t Ф (—стремится к нулю, то при />10
cvi
можно с достаточной для практики точностью считать, что
tï / ч ,L-at.
Из-за разброса режущих свойств инструментов средняя интенсивность износа а при смене инструмента изменяется в соответствии с некоторой плотностью распределения v|/(a). С учетом этого плотность распределения износа Y(t) согласно [2] получается как рандомизация или смесь плотности фt(y) по параметру а с плотностью v|/(a). То есть
ОО 1 оо , ч2
Ш = Ыа)ъ(у)4а=-г±--1у(а)ех.) № . (3)
0 л/2яа / о 2а2/
С учетом рандомизации по а вероятность безотказной работы, то есть вероятность того, что У(/) < Ь,
1 00 00 * Т -а/
ДО = ¡Му№ ~ /ЧКа)Ра№а = |х|/(а)Ф {—^а . (4)
0 0 о ал//
Плотность распределения стойкости инструмента (наработки на отказ) Т
Ш 0 ш
Среднее значение (математическое ожидание) и дисперсия стойкости Т
ОО ОО
Т = \ Р(* )А, Вт = 21 Р(/)*Л - Г2 . (6)
0 о
Для явного определения плотности \|/(а) воспользуемся известной
формулой теории резания для точения [3]
т=__
где V - скорость резания; £ - подача; Ь - глубина резания; Н^ - твердость; Су,а,р,7Д - эмпирические константы. Если Ь - предельно допустимый износ, то интенсивность износа а = Ы Т. Логарифм интенсивности зависит от логарифмов линейно, то есть
1па = 1п1 + а1пГ + р1п5 + 71п/? + ?11п(Я5/200)-1пСг. Если слагаемые в этой формуле случайны, то и сумма их будет случайной и согласно центральной предельной теореме теории вероятностей [4] распределена приблизительно нормально. А если 1па распределен нормально, то интенсивность износа а будет иметь логарифмически нормальное распределение с плотностью
\|/(а) = -i=i—ехр л/2 л 5а
5]
о
(lna-lna) ^
252
где а - медиана и среднее геометрическое значение интенсивности износа; 5 - квадратичное отклонение логарифма интенсивности износа.
Математическое ожидание а и коэффициент вариации интенсивности износа Ка через 5, а выражаются так:
а = аехр(52 /2), Ка = ^ехр(62)-1. (8)
Если имеется статистика опытных значений а, то есть (а, - = 1,..., N), то метод наибольшего правдоподобия [6] дает следующие формулы для оценки а, 5 = 5а :
а = (Па)17N, 52 =1 £(1па^- 1па)2. (9)
I=1 NI=1
С учетом (8) плотность распределения (3) выражается так:
(1п а - 1п а )2 (у - а1 )2
1 1
(у ) =-ехР
2ро5? о а
252 2<52г
йа. (10)
Это распределение имеет три параметра:
1) а - среднегеометрическую интенсивность износа по всем инструментам;
2) 5 - дисперсию логарифма интенсивностей износа по инструментам, связанную с разбросом режущих свойств пластин одной партии;
3) о - дисперсию износа инструмента за единицу наработки, связанную с разбросом твердости заготовок, разбросом величины припуска на обработку, стохастическим характером самого процесса износа.
2 о
Оценка параметров а, 5 , о распределения (10) может быть проведена по статистике «наработка - износ», но с индексацией номеров инструментов и номеров замеров износа. Причем для каждого инструмента необходимо несколько замеров износа (минимум два). Если - - номер инструмента, 7 - номер замера износа - -го инструмента, то отмеченная статистика обозначается так:
, АУг]), ^ = 1,..., N; 7 = 1,..., Мг, (11)
где А^у - приращение наработки - -го инструмента до 7 -го замера износа;
АУ^ - соответствующее приращение износа; N - число инструментов,
М- - число замеров износа - -го инструмента. Приращения наработки на одном инструменте не должны перекрываться.
Параметры а, о для каждого инструмента оцениваются отдельно по частным статистикам с использованием метода наибольшего правдоподобия [6] исходя из ранее рассмотренной модели накопления:
М, М, М,
Яц = £, 52,- = £ ^, Яя = £Уг2 /^. (12)
7=1 7=1 7=1
При этом
Я 1
а, = , о2 = —- (- 2а5я + а2^). (13)
511 М1
Окончательно для о2 получаем оценку как среднее арифметиче-
2
ское оI , то есть
2 1 М 2
о2 = 11 о2. (14)
Мг=1 2
Для оценки параметров а и 8 с учетом (9) получаем следующие формулы:
а = (Па)17*, 82 =1£(1па! - 1па)2. (15)
!=1 * !=1
Для иллюстрации полученных результатов рассмотрим пример износа резцов с режущими пластинками из ВК8 при обработке стальных валиков на станке с ЧПУ [7]. На рис. 1 приведены значения радиального износа резцов У (¡, ^) для 9 пластин одной партии с шагом по наработке М = 10 деталей.
0,14
0,12 0,1
а
ё 0,08
£ 0,06 я
0,04
0,02 0
0 10 20 30 40 50 60 Наработка, шт.
Рис. 1. Реализации радиального износа 9резцов с твердосплавными пластинами
Таблица приращений износа приведена ниже.
По каждой пластине проведены 6 измерений износа. Каждая строка таблицы относится к новой пластине. Значения средней интенсивности износа по пластинам а^ получены такие: 0,0012, 0,0017, 0,0014, 0,0009, 0,0016, 0,0016, 0,0019, 0,0021, 0,0018 мм/шт.
Статистическая обработка этих данных с использованием формул (12) - (15) позволила оценить параметры плотности (10): а = 0,0016 мм/шт., о = 0,0007 мм/шт., 8 = 0,250, а = 1,7 мкм/шт., Ка = 0,254.
196
Таблица приращений радиального износа 9резцов в зависимости от наработки
Пластина Наработка, шт.
10 20 30 40 50 60
1 0,0310 0,0100 0,0070 0,0070 0,0040 0,0120
2 0,0160 0,0130 0,0060 0,0210 0,0250 0,0230
3 0,0190 0,0120 0,0160 0,0130 0,0090 0,0180
4 0,0080 0,0080 0,0030 0,0080 0,0100 0,0170
5 0,0370 0,0120 0,0000 0,0060 0,0200 0,0230
6 0,0440 0,0160 0,0080 0,0060 0,0070 0,0180
7 0,0360 0,0190 0,0140 0,0270 0,0110 0,0080
8 0,0340 0,0240 0,0210 0,0190 0,0150 0,0150
9 0,0240 0,0240 0,0210 0,0190 0,0050 0,0160
Рассмотрим вариант организации профилактической замены инструмента, когда инструмент заменяется по достижению плановой наработки tp. Функция надежности P(t) предполагается известной, то есть определена в соответствии с (4), (7) и ее параметры оценены по имеющимся статистическим данным, как это было проделано выше. В зависимости от реакции на отказ инструмента возможны различные варианты организации замены [8].
Здесь рассмотрим вариант, когда замена инструмента всегда выполняется после наработки tp, то есть не исключено, что некоторое время
обработка будет вестись изношенным инструментом и это может привести к браку. С уменьшением tp вероятность брака снижается, но одновременно уменьшается коэффициент использования стойкости инструмента и соответственно увеличиваются инструментальные затраты. То есть существует оптимальное значение tp, к определению которого и перейдем.
В качестве критерия оптимальности примем удельные затраты 0, полученные как отношение суммы средних затрат, связанных с возможным браком Zfr, и средних затрат, связанных с заменой инструмента Zp к
полезной наработке Tp (средней наработке за один период за вычетом возможного брака) [9]. То есть
Zb + Z п
0 = Jb^JL. (16)
Затраты Zb зависят от числа обработанных деталей с момента отказа до замены инструмента. Вероятность безотказной работы в течение наработки t равна P(t), откуда
<Р
Тр=\Р№, (17)
о
а средняя длина интервапа по наработке от момента отказа до замены
^р-Тр, (18)
Доля брака Р^ = т / ^.
Средняя наработка на отказ Т , если всегда работать до отказа, и коэффициент вариации этой наработки К? определяются через Р(/) так:
Г = ¡Р(№, Кт = 2\Р(()Ш-Т2/Т .
о 1 О
Коэффициент полезного использования стойкости инструмента
Ки=Тр/Т.
Затраты из-за брака пропорциональны т, то есть
где Сд - затраты из-за брака, приходящиеся на единицу наработки. Если наработка / и измеряется временем резания, то С¿> - с! 1рез, где 1рез -
время резания одной детали, а с - средние затраты на исправление брака одной детали. Если наработка измеряется числом обработанных деталей, то С^-с. Вообще, если наработка измеряется некоторым другим показателем (длиной пути резания, площадью обработанных поверхностей, объемом снятой стружки, выполненной механической работой по снятию стружки и др.), то Съ = с/¿я, где \я - наработка, приходящаяся на одну деталь.
Затраты могут рассчитываться по следующей формуле:
^р ~'зам ' Сем + • Здесь 1зам - время замены инструмента; Ссм - стоимость станкоминуты; Си - цена сменной режущей пластины; g - число режущих граней пластины.
Если 0 - это удельные затраты времени (затраты на деталь), то
7 =г ^ р 'зам-
Значение , при котором удельные затраты 0 минимальны, нахо-
дится в результате решения уравнения
¿/0
= 0.
которое после упрощающих преобразований принимает вид
198
1
-С ра )си - =-р-
Р^р )0 ^ р съ
(19)
Это уравнение относительно 1р решается численно.
Проиллюстрируем полученные результаты на числовом примере при следующих исходных данных. Затраты времени на исправление брака 2ъ = 15 мин, затраты времени на замену резца и подналадку Ср =5 мин.
Предельный износ инструмента Ь = 0,4 мм. Параметры распределения стойкости берем а = 0,0016 мм/шт., о = 0,0007 мм/шт., 8 = 0,250, а = 1,7 мкм/шт., Ка = 0,254.
Графики зависимости удельных затрат (16) от периода замены приведены на рис. 2.
Рис. 2. Графики зависимости удельных затрат от значения параметров распределения износа:
1 - а = 1,7 мкм/шт., Ка = 0,254, о = 0,7 мкм/шт.;
2 - а = 1,7 мкм/шт., Ка = 0, о = 0,7 мкм/шт.;
3 - а = 1,7 мкм/шт., Ка = 0,254, о = 5 мкм/шт.
t
Графики зависимости оптимального периода замены инструмента при различных значениях Ка и о приведены на рис. 3 и 4.
На рис. 3 и 4 остальные параметры распределения остаются фиксированными в соответствии с принятыми значениями.
Рис. 2, 3, 4 показывают, что удельные затраты 0 и оптимальный период замены инструмента существенно зависят от параметров разброса Ка и о . Первый зависит от стабильности качества инструмента, а второй - от однородности свойств заготовок.
Рис. 3. Зависимость оптимального периода замены инструмента от коэффициента вариации интенсивности износа Ка
Рис. 4. Зависимость оптимального периода замены инструмента
от квадратичного отклонения износа, приходящегося
на одну деталь о
Главный вывод состоит в том, что оба фактора разброса существенно влияют на надежность режущего инструмента, но механизм их влияния различен. В данной работе предложена математическая модель, позволяющая раздельно учитывать влияние этих факторов при оптимизации режима профилактики режущего инструмента.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ и Администрации Тульской области в рамках научного проекта 15-48-03265 «р_центр_а».
Список литературы
1. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные случайные величины. М.: Наука, 1965. 524 с.
2. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. Т 2. M.: Мир, 1984. 752 с.
3. Справочник технолога машиностроителя. в 2 т. Т. II / под ред. А.Н. Малова. М.: МАШГИЗ, 1959. 585 с.
4. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1962, 720 с.
5. Пасько Н.И., Анцев А.В. Статистические методы в управлении качеством: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. 173 с.
6. Кендалл М.Д., Стьюарт А. Статистические выводы и связи. М.: Наука, 1973. 903 с.
7. Пасько Н.И., Картавцев И.С. Математическая модель процесса изменения размера деталей, при токарной обработке партии деталей // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 4. 2013. С. 206 - 211.
8. Иноземцев А.Н., Пасько Н.И. Надежность станков и станочных систем: учеб. пособие. Тула: Изд-во ТулГУ, 2002. 182 с.
9. Пасько Н.И., Анцев А.В. Оптимизация планово-предупредительной замены режущего инструмента по данным об износе и наработке // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. Вып. 5. Ч. 2. 2015. С. 257 - 265.
Пасько Николай Иванович, д-р техн. наук, проф., pasko37@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Анцев Александр Витальевич, канд. техн. наук, доц., a.antsev@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Анцева Наталья Витальевна, канд. техн. наук, доц., anzeva@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Сальников Сергей Владимирович, асп., sergeysalnikov@yandex.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
UNIFYING MODEL OF CUTTING TOOL WEAR AND EXAMPLE OF ITS APPLICATION FOR PREVENTIVE MAINTENANCE MODE OPTIMIZATION
N.I. Pasko, A. V. Antsev, N. V. Antseva, S. V. Salnikov
The mathematical model of cutting tool wear process, considering major factors of tool life dispersion: instability of tool's cutting features and dispersion of workpiece's machi-nability index is suggested. Cutting tool's reliability function, which considers noted factors, is identified. The method of model's parameters evaluation by "operation time - wear" statistics is proposed. Using of the model is illustrated by example of a cutting tool's preventive maintenance mode optimization.
Key words: cutting tool, tool life dispersion, operation time, wear rate, tool replacement, cost per unit, probability of non-failure works.
Pasko Nicolay Ivanovich, doctor of technical sciences, professor, Pasko3 7@,mail. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Antsev Alexander Vitalyievich, candidate of technical sciences, docent, a. antsev@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Antseva Natalya Vitalyievna, candidate of technical sciences, docent, anze-va@rambler.ru, Russia, Tula, Tula State University,
Salnikov Sergey Vladimirovich, postgraduate, sergeysalnikov@yandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
