Компенсатор Оффнера в автоколлимационной схеме контроля вогнутых отражающих поверхностей вращения несферической формы Текст научной статьи по специальности «Физика»

компенсатор оффнера в автоколлимационнои схеме контроля вогнутых отражающих

поверхностей вращения несферической формы

В.А. Зверев, Е.В. Кривопустова

Компенсационный метод контроля вогнутых отражающих поверхностей вращения несферической формы основан на применении линзового, зеркального или зеркально-линзового компонентов, преобразующих сферический волновой фронт, излучаемый точечным источником, в волновой фронт, эквидистантный контролируемой поверхности и, в конечном счете, совпадающей с ней [1-4]. Погрешность формы главных зеркал оптических систем космического базирования, формирующих изображение, качество которого ограничено дифракцией, не должна превышать -20 в видимом диапазоне спектра излучения, а поэтому желательно, чтобы оптические элементы компенсаторов для их аттестации были ограничены плоскими или сферическими поверхностями, которые можно обработать с необходимой точностью.

к

Рис.1. Компенсационная схема контроля несферической поверхности

В общем случае компенсационную схему контроля формы несферической поверхности можно представить в виде, показанном на рис.1. Здесь фк - компенсатор,

ф0 - контролируемая поверхность, £ - точечный источник излучения. Для исключения путаницы в знаках величин после контролируемой поверхности формально введена плоская отражающая поверхность, образующая с контролируемой поверхностью «зеркальную линзу» с показателем преломления среды между ними =-1. В соответствии с рисунком имеем

ак = -ак, ак = -ак, а0 = -а0 = -г0 .

у

В рассматриваемом случае с точностью до малой величины углового поля ш = —,

Ь

где Ь - расстояние от осевой точки предмета (источника излучения £ ) до осевой точки входного зрачка, первичные аберрации (аберрации третьего порядка) в изображении точки, образованном компонентом, равны

- 28g ' = ш'(ш'2 +П'2 ) +(зШ2 +П'2 Уу8п

- 280' = П ' ( 2 +П'2 ) + 2ш'0 'У

£

II ■

(1) (2)

Здесь

Б! - Во-, ,=1

Бя = 3 (К о + дВ0), где 3 - инвариант Лагранжа-Гельмгольца, д -1 ^ - у1 - 1

3 к

(

к

1

1

Л

а1 ар1 ,

(

ы

1

1

ак арк J

(4)

1

п

арк - расстояние от первой поверхности компенсатора до осевой точки входного зрачка;

К0 ЫгБгйг ,

г-1 г-1

а, +1 -а

Щ =

V,+1

к= й.

1- (V,-

+1а,+1 -Viаi

X V - —;

п

Б. - ^ йк-1 , Qi - Т1 о, + Р, Р -а■+1 а■ Щ, Т, - (ni+1а■+1 па

)3

k - 2 кк-1ккпк

V ,+1 ^ ,

(п,+1 - п)

о, - коэффициент деформации сферической поверхности в уравнении:

х'

+ у2 - 2Т2 -(1 + 6) 2.

Проблемы изготовления и аттестации компенсатора определяют требование предельной простоты его конструкции. В простейшем случае компенсатор представляет собой отдельную линзу в воздухе. Будем считать эту линзу тонкой. Тогда оптическую систему в соответствии со схемой рис.1 можно записать в виде:

а1 --1 п1 -1

а 2 -а к й?1 - 0 п2 - пк

а 3 -а 0 й2 - ак - г0 п3 -1

а 4 -а 0 йз - 0 п4 - -1

а 5 --а 0 й4 - ак - г0 п5 -1

а 6 - -ак й 5 - 0 п6 - пк

а 7 -а' -1 п7 -1

При этом к1 - к2 - к5 - к6 - кк - ака1 - -ак, к3 - к4 - к0 - а 0г0.

щ - -Щ - -

1 + а к-(1 + V к а к),

1 ^ к

Щ--Щ-О-^ (а 0-V к а к), 1 ^ к

Щ - Щ - 0;

(1 + а к Л 2

Р- Рб -

1 ^ к

(1 + V к а к),

Р2 - Р5 -

а0 -ак 1 -V к

(а 0 -V к а к ),

Рз - Р4 - 0,

2

£1 = £ 2 = 0, £ = £ + Г2 = 0 + а'к - Г0 = ак + г0а0 к2к3п3 ккк0 акг0а0 '

£ 4 = £3 + 3— = £3, к3к4 п4

£5 = £4 + = £3 + ^^ = 2£3 , к4 к5Щ к) кк

£6 = £5 + ТГ-= £5 = 2£3 .

к5к6п6

В рассматриваемом случае коэффициенты деформации 01 = а 2 = а 4 =05 = Об = 0,

03 * 0 . При этом 01 = Р1 = Рб = 06, 02 = р2 = р5 = 05 , 03 = ^303, 04 = 0 . Параметр

33 Т3 = -2а0. Обозначив 03 =00, имеем 03 = -2а0а0 .

Итак,

£1 = В0 = 2кк ((1 + Р2)+к0б3 (5)

£11 = J (К 0 + дВ0). (6)

г = 6

Легко убедиться, что ^ Щ = 0 . При этом

г = 1

К0 = к3£363 + к5£5Р5 + к6£6Р6 = £3 [2кк (Р1 + Р2)+к003 ] = £3В0 . Следовательно,

£11 = JBo (£3 + Ч). (7)

где коэффициент равен

ака рк ч = - ик

По смыслу решаемой задачи апертурной диафрагмой в рассматриваемой схеме является наружный контур контролируемой поверхности. Тогда

а' = а' г = ак + г0а 0

арк = ак - г0 =--.

а0

Используя формулу отрезков, находим, что

а = а'рк = а'рк = а ак + г0а 0 —-—---— (Ль

кк (арк - ак)

Рк 1 -фка'рк 1 -1 + а0 а' ак +(1 + а0КГ0 '

*рк 1 -^т^ а кк 1

При этом ч = . арк ■ =- ак + Г0а0 ак(а^-ак) акг0а2

Следовательно,

£11 = ^0

^ ак + г0а0 ак + г0а0 ^

22 ^ акг0а0 акг0а0 ^

=0.

Полученные соотношения позволяют выражение, определяющее коэффициент £1 первичной аберрации, преобразовать к виду:

Ят = 2 [(2 + пк )(1 + а о )а 2 +(1 + 2щ )-а 2 )а ^

(пк -1)

+ пк (1 + а0 - о а 0

+

Смысл применения компенсатора состоит в том, чтобы суммарная аберрация в изображении точки £ в точке £' была бы равна нулю, а, следовательно, чтобы был равен нулю коэффициент 82 . Заметим, что при а о = -1 коэффициент = 2коао • При этом £7 = 0 при ао = 0 .

При а о = 1 условие 82 = о выполняется при вещественном решении уравнения:

а к =.

2 + пк

пк -1

V пк J

А _ !

~гао -1

кк

(9)

ко

Отсюда следует, что при а о = 1 угол а к = 0 при —а о = 2

кк

пъ

пк -1

. Легко убедиться,

к0

что при пк = 1,5 -И,8 соотношение —-ао = 18 ^10.

кк

В общем случае выполнение условия 82 = 0 определяется уравнением

2 1 + 2пк / ч а2 + ^ . ,,к (1 -аоЯк +

1 + а о

2 + п

к

2 + пк 1 + ао

1-

п

2

п

к

ко а о к, 1 + а3

-аг

= 0

(10)

Решение этого уравнения можно представить в следующем виде:

а = 1 + 2пк 1 -ао ±

а к =---±

2+п

к

2

' 1 + 2пк^ (1 -ао)2

V 2 + пк J

п

к

1+а

4

2 + пк 1 + а

1-

пк -1

V пк J

ко а о

кк 1 + а

-а (

о

(11)

Полученное выражение определяет функциональную зависимость угла ак от конструктивных параметров оптической системы контроля формы несферической поверхности: от показателя преломления пк материала линзы компенсатора, от величины

к

угла а о, от величины отношения высот т = —0 и от величины коэффициента дефор-

кк

мации сферической поверхности а 0. По сути дела, выражение (11) определяет семейство возможных вариантов однолинзовых компенсаторов.

Важно обратить внимание на то, что в уравнении поверхности второго порядка (за исключением сплющенного эллипсоида) величина коэффициента а о < 0. Кроме того,

к

о

к

оо вполне очевидно, что при 0 величина угла а о < 0, а при —< 0 величина угла

кк кк

а о > 0. Таким образом, под корнем выражения (10) имеем

(

1 + 2п

к

V 2 + пк J

(1 -ао)2 >0, пк 1 + а0 >0,

4

2 + пк 1 + а о

пк-1 | ко а о

пк

Т\-3ио

кк 1 + а 0

а0 > 0.

к

к

1

2

2

2

2

Чтобы иметь представление о возможных числовых величинах углов а0 и аk, рассмотрим случай контроля поверхности отражающего параболоида, т.е. случай, когда а о = -1. Вполне очевидно, что уравнение (10) имеет вещественные корни, если подкоренное выражение в решении (11) уравнения (10) больше нуля или равно нулю. Рассмотрим предельный случай, когда подкоренное выражение равно нулю. При этом относительно угла а 0 получаем уравнение третьей степени вида:

аа 0 + Ьа2 + са 0 + d = 0, (12)

где а = (Ц)+ J, Ь = с = 1, d =, a = ( -1)2^, т = ^ . (1 + 2nk)) A У ' (1 + 2nk) Кк J пк ' Ик

Как следует из выражения (11), угол а к в этом случае определяется формулой а к =- ^ ^. (13)

2 + Пк 2

Пусть показатель преломления материала компенсатора пк = 1,5. Предельная положительная величина отношения высот т = 1. При этих значениях Пк и т уравнение (12) принимает вид:

0,458333а0 +а2 +а0 + 0,3125 = 0 .

Решение этого уравнения дает значение угла а0 =-0,5154 . Подставив его в формулу (13), получаем а к = -0,8659 . При т = 10 аналогично находим, что а 0 = -0,3595 , ак = -0,7768 .

Из выражения, определяющего коэффициент а в уравнении (12), следует, что при

4Пк -1

т =--коэффициент а = 0. При этом уравнение (12) вырождается в квадратное

A

уравнение, которое не имеет вещественных корней. Следовательно, при отрицательных значениях отношения высот величина т должна удовлетворять условию: 4пк -1 = 1 Пк 4пк -1

т < —

42 + пк ( -1)2 При пк -1,5 это условие принимает вид: т <-2,1429.

Пусть т - -5. При этом находим, что а0 - 3,2182, а ак --1,2675 . Однако в

этом случае, если угловой размер контролируемой из центра кривизны поверхности равен 2ш , то угловая величина наблюдаемого из точки Б' изображения этой поверхности равна

а1

2и' =

а 0

2ш

2ш = -

3,2182

Таким образом, при 2ш «1:8 угловая величина изображения 2ш'«1:26, а это означает, что на расстоянии, равном, например, 250 мм, будем наблюдать изображение контролируемой поверхности диаметром ~10 мм. Эту величину изображения можно увеличить, если совместить изображение Б' точечного источника излучения с осевой точкой поверхности изображения, образованного микрообъективом, а наблюдать полученное изображение из осевой точки плоскости предмета микрообъектива, т.е. применить микрообъектив в обратном ходе лучей. В рассматриваемом случае можно применить, например, ахроматический микрообъектив 6,3 х 0,17(ОХ-27), имеющий рабочее расстояние ~10 мм. Величина наблюдаемого при этом изображения будет равна ~60 мм.

Положив т = -10, получаем а о = 1,5495 , а а к = 0,628 . Заметим, что увеличение показателя преломления материала компенсатора приводит к более благоприятным параметрам. Так, например, при щ = 1,75 и т = -10 получаем а о = 1,0746, а к = 0,0448.

Из габаритных соображений и из соображений возможности изготовления компенсатора абсолютная величина отношения высот т достаточно велика. При этом достаточно велики и апертурные углы в пространстве предметов и изображений компенсатора, что приводит к появлению аберраций более высокого порядка. Поэтому далеко не всегда с помощью отдельной линзы в воздухе, преломляющие поверхности которой имеют сферическую форму, можно построить безаберрационную оптическую систему контроля требуемой несферической поверхности. Это приводит к необходимости усложнения конструкции компенсатора. И в этом случае в первом приближении задача расчета параметров компенсатора сводится к устранению первичной аберрации в схеме контроля, определяемой коэффициентом, равным

81 = 81к + ко°о = 81к - 2коаоао, где - коэффициент первичной аберрации, вносимой оптической системой компенсатора в изображение точки, причем

£к = . г=1

3

При £г = 0 получаем: £ Л = 2коа оа о . При достаточно «тонкой» оптической системе компенсатора последнее выражение можно представить в виде

Ок = 2 У0- аоа кк

г = 5

где Ок = аг + Рг). При этом «лишние» параметры можно использовать для лучшей

г=1

компенсации остаточной аберрации различных порядков.

Идея контроля параболических зеркал компенсационным методом впервые в 1921 году была высказана и практически осуществлена академиком В.П. Линником [1]. В 1924 году член-корреспондент АН СССР Д. Д. Максутов предложил использовать компенсационный метод для контроля параболоидных зеркал с помощью значительно меньших по размеру сферических зеркал [2]. В дальнейшем идея контроля компенсационным методом была развита в работах Кудэ [5], Далла [6], Росса [7], Оффнера [8, 9] и других авторов. Большой вклад в теорию и практику применения компенсационного метода внес профессор Д. Т. Пуряев [3, 10]. Им разработан ряд оригинальных конструкций компенсаторов и компенсационных схем для контроля различных несферических поверхностей.

Оригинальную схему линзового компенсатора для контроля отклонений обрабатываемой поверхности отражающего параболоида от номинальной формы предложил в 1963 году А. Оффнер. Компенсационная схема контроля с компенсатором Оффнера показана на рис.2. Здесь компенсатор фк в виде плосковыпуклой линзы изображает точечный источник £ в центр кривизны Со в осевой точке контролируемой поверхности

Е . Принципиальным отличием компенсатора Оффнера от других компенсаторов является необходимость промежуточного изображения точечного источника между компенсатором ф к и контролируемой поверхностью Е, при этом компенсатор фк может быть линзовым, зеркально-линзовым или зеркальным.

Рис. 2. Компенсатор Оффнера с полевой линзой

При разработке линзового компенсатора Ф. Росс обнаружил, что чем дальше от центра кривизны отражающей поверхности параболоида он помещал линзу, тем меньше была остаточная аберрация при наличии точной компенсации в центре и на краю поверхности. Если бы компенсатор был помещен в непосредственной близости к параболоиду, то сферическая аберрация в изображении точки, образованном компенсатором, вполне соответствовала сферической аберрации нормалей к контролируемой поверхности, однако при этом компенсатор пришлось бы делать таким же большим, как и контролируемая поверхность. А. Оффнер отмечал [11], что небольшая линза, образующая действительное изображение точечного источника в центре кривизны параболоида, в сочетании с полевой линзой, изображающей ее на поверхности параболоида, с оптической точки зрения эквивалентна большой линзе вблизи контролируемой поверхности. Однако вполне очевидно, что речь идет лишь о совмещении поверхности преобразованного компенсатором волнового фронта с контролируемой поверхностью, при этом при равенстве первичных аберраций аберрации более высокого порядка в изображении, образованном линзой вблизи поверхности и рассматриваемой линзой, могут весьма заметно различаться. Таким образом, замена большой линзы вблизи поверхности малой линзой, как показано на рис. 2, определяется соображениями технологичности (меньшей трудоемкости) ее изготовления [12]. Как справедливо отмечал А. Оффнер, при наличии в его схеме полевой линзы нужно лишь, чтобы изображение точки, образованное линзой компенсатора фк, обладало первичной сферической аберрацией, достаточной

для компенсации разброса точек пересечения с оптической осью нормалей к контролируемой несферической поверхности. Тогда изменением оптической силы полевой линзы фр и, соответственно, положения изображения линзы фк можно добиться сведения

аберраций высшего порядка к минимуму. Последнее замечание А. Оффнера следует рассмотреть более обстоятельно.

В общем случае сечение несферической поверхности вращения плоскостью уОг можно определить уравнением вида:

у2 - а^ + «2 ^2 + «3 г 3 + к + апгп, (14)

где а1 - 2г, Г - радиус кривизны в вершине поверхности. Пусть N0^ - нормаль к поверхности в точке N - N (у, 2), пересекающая ось Ог в точке CN - CN (О, ZN), как показано на рис.3.

г

Рис. 3. Сечение несферической поверхности вращения меридиональной

плоскостью

В соответствии с рисунком

ZN - г +

Но tgф- — -

У ^ф

(15)

2у

ёу а1 + 2а2 г + ... + папг

2

. При этом

г—1 г

1 и \ 3 2 1

zN - — а1 +(1 + а2+ — а3г +... + —

папг

п—1

1 X 2, 3 п (16)

2 1 27 2 3 2

В рассматриваемом случае сечение поверхности меридиональной плоскостью удобно представить степенным рядом в функции от ординаты у , т.е. определить уравнением вида:

2

1

г-

у

1+

V

При этом

- 1

ZN ---

, е2 —12 1 +—— у2

2 4 2п

■ + а1у + агу + . + апу

г

у

2

1 + .

1 е2 — 1 2 1 + —— у2

2 4 2п

: + а1у + а2 у + . + апу +

г

2

+ -

, е2 —12

1+— у

г

+ 2г (а1 + 2а2 у2 + ... + папу2(п 1))1 + у

(17)

(18)

В случае несферической поверхности второго а1 - а2 - . - ап - 0, выражение (18) принимает вид:

2

ZN - Г +"

у

2

1 +

е2 —1 2

1 +—— у2

порядка, т.е. при

(19)

г

2

При у - 0 абсцисса ZoN - г . При этом разброс точек пересечения нормалей к поверхности с оптической осью (сферическая аберрация нормалей к поверхности) равен

г

г

г

г

У

1 +

1 +

е 2 -1

(20)

У

Предположим, что тонкий компонент фр расположен на расстоянии 2р = г + А от

вершины несферической поверхности. При этом отклонение точек пересечения с оптической осью нормалей к поверхности относительно компонента фр определится очевидным соотношением вида:

р = - 2 р = ■

У

1+

1+-

е 2 -1

--А.

(21)

У

В первом приближении будем считать, что тонкий компонент фр не вносит аберраций в образованные им изображения точек. Тогда, полагая отрезок Ъ2р равным переднему отрезку ар компонента фр, в соответствии с формулой отрезков получаем

ар

аР =

1 + ф рар

Подставив в это соотношение выражение (21) и преобразовав, получаем

22 е у - г А

ар /р

1+

22 е 2 у 2 +

/Рг (1 -ф р а) + ^1 +

е2 -1 2

—У2

г

л •

(22)

При у = 0: а ' =- /'_

^ор Jр

А

/р-А

При этом положение изображений точек пересечения нормалей к поверхности с оптической осью, образованных компонентом ф р, определится разностью отрезков а'р

и аор в виде:

= а'р - а'ор =

/р2 р

е! у ^

г

ор

/р-А у у2+(Р-А)(1+J1 + 'Г

е2 -1 2

—у2

Л'

(23)

Легко убедиться, что при /р = да выражение (23) принимает вид выражения (20).

2

Разделив числитель и знаменатель выражения (23) на /'р и преобразовав, получаем

=

1

у

(1 -А )2

1 + .

е2 -1 2

1 +—— у2

г

2

У

1+

1 е2

у

1 -А г/р

1+

е2 -1 2

1 + г 2 у 2

г

е

г

2

г

2

е

г

2

г

2

е

(

\

Заметим, что при А = 0 выражение (24) принимает вид:

(

(25)

Анализ полученных соотношений, определяющих влияние полевой линзы фр на

аберрации компенсатора в целом, позволяет сделать следующие выводы.

1. Полевая линза, расположенная в плоскости, проходящей через центр кривизны в осевой точке несферической поверхности, т.е. при А = 0, влияет только на аберрации высшего порядка, причем влияние тем больше, чем больше ее оптическая сила.

2. Смещение полевой линзы из плоскости, проходящей через центр кривизны в осевой точке несферической поверхности, вдоль оптической оси на расстояние А влияет как на аберрации высшего, так и на аберрации третьего порядка, причем влияет не само смещение, а отношение смещения полевой линзы к ее фокусному расстоянию.

Вполне естественно предположить, что при достаточно больших величинах разброса точек пересечения нормалей к поверхности с оптической осью оказывает влияние на аберрации и прогиб полевой линзы.

1. Линник В.П. Способ исследования параболических зеркал и астрономических объективов. / Труды ГОИ., Т.У11, 1931, вып.67, с.15.

2. Максутов Д. Д. Анаберрационные отражающие поверхности и системы и новые способы их испытания. / Труды ГОИ. Т.УШ, 1932, вып.86, 120 стр.

3. Пуряев Д.Т. Методы контроля оптических асферических поверхностей. М.: Машиностроение, 1976. 262 с.

4. Оптический производственный контроль. / Под редакцией Д. Малакары. Перев. с англ. М.: Машиностроение, 1985. 400 с., ил.

5. Couder A. Procede d'Examen d'un Miroir Concave Non-spherique. // Revue d'Optique therique et instrumentalle. 1927. А..6. №2., Р.49-55.

6. Dall H.E. A Null Fest for Paraboloids. / In: Amateur Telescopes Making (Book Three). Scientific American, New York, 1953, pp.149-153.

7. Ross F.E. Parabolizing mirrors without a flat. // Astrophysical Journal. 1943. У.98. №., Р.341-346.

8. Offner A. A Null Corrector for Paraboloidal Mirrors. // Applied Optics. 1963. У..2. №2. pp.153-155.

9. Offner A. Field Lenses and Secondary Axial Aberration // Appl. Opt. 1969. У 8, 1735.

10. Креопалова Г.В., Пуряев Д.Т. Исследование и контроль оптических систем. М.: Машиностроение, 1978. 224 с., с ил.

11. Оффнер А. Компенсационные методы контроля. / В кн. Оптический производственный контроль. Под редакцией Д.Малакары. Перев. c англ. М.: Машиностроение, 1985. 400 с., ил.

12. Русинов М.М. Несферические поверхности в оптике. М.:: Недра, 1973. 296 с.

Литература