CC BY
29
УДК 621.01 : 621.39
Е. С. ГЕБЕЛЬ Б. ЖУРСЕНБАЕВ А. САРБАСОВ
Омский государственный технический университет
Институт механики и машиноведения им. академика У.А. Джолдасбекова, г. Алматы, Казахстан
Атырауский инженерно-гуманитарный институт г. Атырау, Казахстан
КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ С ИЗМЕНЯЕМЫМ ЗАМКНУТЫМ КОНТУРОМ
Для теоретического исследования кинематики рычажных механизмов и определения их конструктивных параметров необходимо иметь расчетные математические модели. Выбор расчетной модели в каждом конкретном случае определяется кинематической схемой рычажного механизма. В статье для кинематического исследования плоского рычажного механизма с изменяемым замкнутым контуром используется векторно-матричный метод.
Ключевые слова: рычажный механизм, кинематическое исследование, векторно-матричный метод.
Плоские шарнирные механизмы, обладая широкими возможностями воспроизведения требуемых движений, высокой надежностью и долговечностью, а также простотой их изготовления, находят широкое применение при создании различных видов механических устройств и систем.
Возможной областью применения рассматриваемого плоского рычажного механизма с изменяемым замкнутым контуром являются подъемные машины, дорожная техника и так далее.
Одним из важнейших этапов создания новой конструкции механизма (рис. 1) является расчет его кинематических параметров. Решение обратной задачи о положениях дает возможность определить линейные и угловые параметры схемы рычажного механизма. Для решения задачи кинематического анализа одним из эффективных методов является векторно-матричный метод [1,2].
Для описания вращательных и поступательных связей между соседними звеньями Денавит и Хар-тенберг предложили матричный метод последовательного построения систем координат, связанных с каждым звеном кинематической цепи [3]. Смысл представления состоит в формировании однородной матрицы преобразования, имеющей размерность 4x4 и описывающей положение системы координат каждого звена относительно системы координат предыдущего звена. Это дает возможность последовательно преобразовать координаты выходного звена механизма (рис. 1, звено ОБ) из связанной с ним системы отсчета в базовую систему отсчета, принятую для входного кривошипа.
Каждая система координат, связанная с г-ым шарниром рычажного механизма, формируется на основе следующих правил:
1. Осью г( поступательной кинематической пары является какая-либо из прямых, параллельная её на-
Рис. 1. Кинематическая схема механизма с изменяемым замкнутым контуром
правляющей. Осью вращательной кинематической пары, соединяющей 1-ое звено с (/+1)-м, является ось вращения шарнира;
2. Ось х{ направляется по линии кратчайшего расстояния между осями и в сторону от оси (так, чтобы образовать правостороннюю систему координат либо с и г., либо с и
3. Ось координат у. выбирается так, чтобы система координат х. у. г. была правосторонней.
Для того чтобы совместить (/—1)-ую систему координат с /-ой при использовании преобразований Денавита-Хартенберга достаточно четырех перемещений, осуществленных в следующей последовательности:
1. Поворот (/— 1) -ой системы координат вокруг оси г( против часовой стрелки на угол 9г. до тех пор, пока ось х{_{ не станет параллельной и однонаправленной с осью х.;
2. Сдвиг повернутой (г—1)-ой системы вдоль оси
на величину сГ до совмещения оси х/_1 с осью х..
3. Сдвиг (/—1)-ой системы вдоль оси х{ на величину а. до совпадения начал координат (/—1)-ой и /-ой.
4. Поворот (г— 1)-ой системы вокруг оси х.против часовой стрелки на угол скручивания ос, до совмещения осей и гг
Параметры сГ, 0,., а( и а,. (где /= 1.....5) описывают конфигурацию каждого звена механизма подъемника. Кинематическая схема подъемного механизма содержит лишь вращательные кинематические пары, поэтому три параметра с!а и а, являются константами, а один 9, подлежит определению.
Каждое из вышеупомянутых элементарных движений (/—1)-ой системы координат описывается соответствующей частной матрицей перехода. В результате перемножения частных матриц перехода получаем результирующую (1), описывающую преобразования системы координат /-го звена в систему координат (/—1)-го звена:
а;
С9, -59,- 9 9" 9 9 9
59,. се, 9 9 9 1 9 9
9 1 9 9 9 1
0 9 9 1 9 9 9 1
1 9 9 "1 9 9 9"
9 1 9 9 9 Сое, -5а,. 9
9 9 1 9 9 5а, Са,. 9
9 9 9 1 9 9 9 9
Се.-Ссс^Э; 5аг-50,- а,С9-50, СагС9г- -5а-С9г- а-59 •
Ба-О
Саг-0
1
(1)
где 09, = С, = Ссф,), 59,. = 5,. = 5т(9, ).
Описание конечного звена рычажного механизма по отношению к системе координат звена (л—1) через однородные преобразования имеет вид:
7~7 — А,. • А,.,, •... • А,
(2)
А
9 а5А"
с5 9
9 9 1 9
9 9 9 1
с 32 9 а32^32
Я °32 с 32 9 ^32^32
9 9 1 9
9 9 9 1
Матрица однородного преобразования координат Тх (2) для первого контура Кх рассчитывается как произведение матриц Д'и А2 (3):
Д • А2 -
^5^32 35Б32
3 5С & ~ ^32^5
О
" ^32^5 35С32 О
0 1 О 0
—»
а32 ^32 а32 ^32 + 1
32^5 32^-5 +
0 О
(4)
Аналогично получаем частные матрицы перехода для контуров К2 и К3 и матрицу Т2:
Д2 . Д 2 . Д 2 . А2
2 ^3 4
Ях 9 Яз 9"
Я2 9 Я А 9
9 1 9 1
9 9 9 9
Так как рассматриваемый рычажный механизм с изменяемым замкнутым контуром имеет сложную структуру, то для удобства расчета разбиваем его на три контура:
К^Ш + Ш + РО)] К2 (ЦА + АС + СЁ + ЁЛ + Ш + рд);
К^ОА+АВ+Ш+Ш+ТЮ).
Параметры сочленений механизма по указанным контурам в соответствии с преобразованиями Дена-вита-Хартенберга показаны на рис. 1.
Используя обобщенные преобразования для каждого сочленения контура Кх, находим частные матрицы перехода:
где Я1 = С53 [С4 (С1ХС22 — 5, хБ22 ) - 54 (£>Т1СХ 1 + 5, ,С22 )]—
~ ^53 [^4 (^11^22 ~ 1^22 )+ (^22^11 + 1^22 )]~~
_ ^53 [^-4 1 ^22 ~ 1 $22(522С1, +5,,С22 )]~ I ~~ ^53 [^4 1С22 - 5,1522)+С4 (522С,, + 5П С22)];
Яг ~ ^53 [^4 (^11 0>2 ~ 1 ^22 ^22 + 1 С 22 )] ~~
~~ ^53 ^4 (^11 0>2 ~~ 1 ^22 ) + ^4 1 ^22 + 10>2 )]~
~ ^53 [^4 (^11 0>2 ~ 1 $ 22 Би522 + С,, С22 )] +
+ [^4 1^22 ~~ 1^22 ^А (^22^11 + 10>2 )]'
Яз = 53 А (^11 ^22 ~~ 1 ^22 ) ~~ ^4 (^22 ^ 11 + 1 ^22 )] ~ ~ ^53 [^4 (^п0г2 ~ 1^22 ) + ^4 (^22^11 + 1^22 )]'
Я А ~ [^4 (^11^22 ~ 1^22 1^22 + 1^22 )] +
+ ^53 [^4 (^11^22 — 1^22 ) + ^4 (^22^11 + 1^22 )]•
Однородные преобразования Денавита-Хартен-берга Т3 по контуру К3 выглядят следующим образом:
-А.| ■ А2 ' А3
Я 5 Я1 9 Я,
<7е Ян 9 <7ю
9 9 1 9
9 9 9 1
гАе Я5 ~ С31 (С,ХС2Х - 51,521)- 5:и (С,хБ2] + 51 ХС2]); Яъ = ^31 (^и ^21 ~ СиБ2Х)- — СПС21);
Яч ~ -^31 (^11^21 ~ 1^21531 (- С, ,521 - 5пС21 ); <78 = _531(5иС21 +С,п521)+С31(-511521 +СиС21);
Я9 ~ а13^31 (^11^21 ~ 1^21а31^31 (^11^21 "^пОп)"*"
+ 1а21 - 5,1а21,^21 + а111 (3) =а1 з^з 1(^11^21 1^21 )-аз 1^31(^11^21 1^*21
Перемножив соответствующие элементы результирующих матриц второго Т2 и третьего Т3 контуров, получим:
т2т.л
"Ьп ь12 Ь13 Ь14
Ь21 ь22 ь23 ь24
Ь31 Ь32 ьзз Ь34
_Ь41 ь42 Ь43 к
(5)
где элементы Ь, 3, Ь23, Ь31, Ь32, Ь33, Ь34, Ь41, Ь42, Ь43, Ь44 равны нулю, а остальные — рассчитываются по формулам:
~ ^31^21 +531521)-5и(С53С4522 + + С5354С22
^53 ^4 ^22
^33^4^22 +
22 53*^4 ^22 а53*-> 53*^4 ^22
— 0*1^21 + ^31^21 ) + 1 (^53^4*^22 +Ох А ^22
5,,С4С22 - С31521 — 531С21) = О 1 кзС53с4с
^534^22 ^4^4^22 ^4^ 4^22 ^22^22 1
~ аз 1^21 + азА1^21 — а21 -аи)-5и(а53С53С4522 -
—а5зОз^4^22 ~~ а53^53^4^22 + а53^53^4^22 +
+ а4С4522 +а454С22 +а22522 — а31С31521 — а31531С21
^21 = —^11 (^53 О ^22 ~~ ^53 ^4 ^22 ~~ 0>3 ^22 ~~ ^53^4^22 — ~ ^31^21 + ^31*^2.1) (^53С4$22 ^53^4^22 ~ ^53^4^22 +
+ г г г
^ 53 4 22
" ^31^21 ^31^21)
^22 = -5И(553С4С22 — 55354522 + С5352254 — С53С4С22 —
+ ^53^4^22 + ^31^21 + ^31^21)
^24 = 1 (^53^53^22 ~ а53^53^4'^22 а53^53^4^22 + а53^г>зООг2 + а4^4^22 ~ а 4^ 4^22 ) + +^22^22 ~~ ~а31^31^21 +а31*^31^21 — °21) + О 1 {а22 +
+ аАБАС22 +а22 — а31 С31Б21 — а31531С21 ^21^21 )• Введем следующие обозначения:
■5„-/2/ Ь/2 - 5,5 • + С\ 1 • /2,
(6)
где
Л* Рх
Лу ау Ру (7)
о, а,
0 0 0 1
В матрице (7) неизвестным параметром является переменная 0И. Приравнивая элементы матрицы (5) к элементам (7), получаем следующие 12 уравнений для определения векторов углов и перемещений в сочленениях:
Сз2(С5-Ьи)-5З2(55 + Ь12)=Лх;
сз2 (55 - ь2!) ■+ 532 (С5 + Ь22) = пу; ~ Я 32 (с5 - Ь11) ■- с32 (с5 - Ь12) = ох; -$22{$5-К)-С32{Сь-Ь22)=оу; (8)
а32С32(С5 — Ьг1)— а32532(55 -Ь24)+а51 (С5 -Ьи)=рх; «32^32 (^5 - Ь24)+а32532 (с5 - Ь14)+а51 (55 - Ь24 )= ру ;
а, = 1; п2=о2=ах=ау=Рг= 0.
Подставим в первое и третье уравнение системы уравнений (8) выражения (6) для расчета Ьп и Ь]2:
С32(С5-С11-/1+511-/2)-523(55+511./1+Сп-/2)=лх; 532(С5-С11./1 + 511-/2)-С23(55+511./1+С11-/2)=ох.
Выразим направляющий косинус обобщенной координаты 9П из обоих уравнений:
с„ =
С„ =
-ГС* ОюО + •^32^5 1 (0?2^2 + ^32^1)
~ (^32^1 + ^32^2 ) °х + ^32^-5 + ^32^5 + 1 (^32-^2 ~ )
^32 А ^32-^2
(9)
(10)
Приравняем выражения (9) и (10) и выразим неизвестную переменную 5,,:
и
(и)
где
4 ~ ^32(^32^2 + ^32^1 )+ 4(^32^2 ^32^1)]
1 ~ ^32 [^2 (^32^2 + ^32^1) _ (^32^2 ~ ^32^1)]'
[4=Ъ(-532пх-Б5-С:]2ох)-
Подставив выражение (10) в уравнение (9), получаем:
Г - 1П* ^32^5 -1" ^32^5 ч
/2 = С53С4522 + С53Б4С22 — 353Б4Б22 + + 3$зС4С22 — С31521 — 531С21.
Г-преобразование, относящееся к выходному звену такое, что начало системы координат рабочей точки подъемника описывается вектором положения р = (рх,ру,р2). С началом координат связана декартовая прямоугольная система координат, ориентация которой определяет ориентацию рабочего органа подъемника. Единичные векторы а, о и л образуют пргшостороннюю систему координат, т. е. ахо = п, охп = а и лха = о. Заметим, что в этом случае матрица Г будет равна:
- 51 ] (С32/2 + 532/1 ) ](532^1 + С32^2 ) 4 0-32^2 + ^32^1
~ (^32^1 + ^53^2)
• (12)
Для вычисления угла поворота 911 входного кривошипа рычажного механизма с изменяемым замкнутым контуром, значения которого лежат в пределах 0<9и<2л;г найдем тангенс угла как отношение уравнений (11) и (12):
14 { [Пх ^32^*5 + ^32 ^5
у _I >) JZ_JZ z__^
— , (C32/2 + 532/j )](S32-fi + C32/2)—
^-h(c22f2+s22f{)/fA}\
(13)
Обозначим знаменатель дроби (13) через т1( а числитель — через т2 и с учетом принадлежности аргумента функции арктангенс соответствующему квадранту, получаем следующую зависимость:
= arctg
0° < Gn < 90°, если т1 > 0, т2 > 0; 90°<еп <180°, если т, < О, т2 > 0; -180° <еп <-90°, если т, < 0, т2 < 0; -90°<еп <0°, если т, >0,т2 <0.
(14)
Библиографический список
1. Джолдасбеков, У. А. Теория механизмов высоких классов / У. А. Джолдасбеков. — Алматы : Гылым, 2001. — 427 с.
2. Хомченко, В. Г. Мехатронные и робототехнические системы : учеб. пособие / В. Г. Хомченко, В. Ю. Соломин. — Омск : ОмГТУ, 2008. - 160 с.
3. Зенкевич, С. Л. Управление роботами. Основы управления манипуляционными роботами : учеб. для вузов / С. Л. Зенкевич, А. С. Ющенко. - М. : МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000. - 400 с.
Выражение (14) позволяет определить обобщенную координату плоского рычажного механизма с изменяемым замкнутым контуром при заданном в положении выходного звена.
ГЕБЕЛЬ Елена Сергеевна, кандидат технических наук, старший преподаватель кафедры «Автоматизация и робототехника» Омского государственного технического университета. ЖУРСЕНБАЕВ Балахазы, старший научный сотрудник дочернего государственного предприятия «Институт механики и машиноведения им. У. А. Джолдас-бекова» Министерства образования и науки Республики Казахстан.
САРБАСОВ Арман, преподаватель Атырауского инженерно-гуманитарного института. Адрес для переписки: e-mail: Gebel_es@mail.ru
Статья поступила в редакцию 20.01.2011 г. © Е. С. Гебель, Б. Журсенбаев, А. Сарбасов
УДК 62-229.331:621.924 Н. А. ИВАНОВА
С. С. БЛИНКОВ В. С. ЩЕТИНИН
Комсомольский-на-Амуре государственный технический университет
МЕТОД РАСЧЕТА
ГАЗОМАГНИТНОГО ПОДШИПНИКА ВЫСОКОСКОРОСТНОГО ШПИНДЕЛЬНОГО УЗЛА_
Рассмотрена методика расчета несущей способности газомагнитной опоры высокоскоростного шпиндельного узла. Учтено влияние на характеристики шпиндельного узла магнитной силы и сил, созданных газовым слоем от внешнего наддува и газодинамического эффекта.
Ключевые слова: шпиндельный узел, газомагнитная опора, шпиндельные подшипники, газостатические подшипники, несущая способность, жесткость шпиндельного узла.
Развитие современной промышленности предъявляет повышенные требования к технологическому оборудованию по производительности и точности. К такому оборудованию относятся шлифовальные станки, используемые на финишных операциях обработки деталей. В основном точность и производительность такого оборудования зависит от шпиндельного узла, установленного на станок.
Высокоскоростные шпиндельные узлы для шлифовальных станков должны обладать достаточной несущей способностью для обеспечения высокой производительности. Для достижения высоких ско-
ростей в шпиндельных узлах применяют газостатические или магнитные опоры.
Газостатические опоры способны обеспечить высокие скорости вращения вала и практически являются долговечными из-за отсутствия контакта между шипом и вкладышем [ 1 ]. Главным недостатком этих опор является сравнительно низкая несущая способность. Поэтому они находят ограниченное применение в машиностроении. Известны также бесконтактные опоры на магнитных подвесах. Магнитные подвесы не нашли широкого применения из-за сложности их управления [ 1 ].
