Каскадный метод реализации распределений с тяжелыми хвостами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 519.2:004.421.5:004.7 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ

Омский государственный технический университет

КАСКАДНЫЙ МЕТОД РЕАЛИЗАЦИИ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ С ТЯЖЕЛЫМИ ХВОСТАМИ_

Исследуется и решается проблема искажения распределений с тяжелыми хвостами, реализуемых в статистическом моделировании. Предлагаются методы решения этой проблемы. Разрабатывается эффективный метод генерации случайных величин с тяжелыми хвостами распределений. Оценивается точность разработанного метода. Ключевые слова: фрактальный трафик, теория массового обслуживания, имитационное моделирование, генераторы случайных чисел.

1. Введение. Обнаружение у трафика информационных сетей фрактальных свойств (масштабной инвариантности, долговременной зависимости и «взрывных» пульсаций) привело к существенной корректировке теории телетрафика и математических моделей, используемых в области проектирования компьютерных сетей [1—3]. Для анализа и моделирования фрактального трафика теперь широко используются распределения с тяжелыми хвостами (РТХ). В частности, узлы сетей передачи данных (СПД) представляются системами массового обслуживания (СМО), в которых интервалы поступления сообщений и/ или время их обработки задаются РТХ. И поскольку исследование таких СМО классическими методами теории массового обслуживания затруднено, широко используется метод статистического моделирования (СМ).

В СМ для генерации случайных величин (с.в.) с РТХ используется метод обращения. При генерации любой с.в. х с заданной функцией распределения (ф.р.) F(f) метод обращения сводится к реализации значений х по формуле х = Р -1(и), где и — базовая с.в. (БСВ), равномерно распределенная в промежутке от 0 до 1, а Р -1 — это обратная к Р функция. Метод обращения является точным методом. Поэтому предполагается, что использование в методе обращения качественных программных генераторов БСВ гарантирует качественную генерацию требуемой с.в. х.

Однако, как показано в [4, 5], при генерации с.в. с РТХ это далеко не так. Выясняется, что реализуемые с.в. с РТХ имеют смещенные моменты. Ниже будет показано, что, соответственно, искажается и форма распределения. Причиной такого искажения является ограниченная разрядность генериру-

Таблица 1

Смещения м.о. и KB при различных а, е [К= 1)

М(х) М(х) С(х) ОД

а Е=10"12 Е=10"15 а е=10"12 е= КГ"

1,01 24,612 29,662 101 1,5 63,2 200,0 оо

1Д 10,154 10,549 И 1,9 3,68 4,67 ОО

1,5 2,9998 3,0000 3 2 2,46 2,79 оо

2 1,9999985 2 2 2,1 1,81 1,92 2,18

емых БСВ. В качестве примера с.в. с РТХ рассмотрим с.в. хеРа (К\ а)г где Ра (К; а) — распределение Парето (РП) с параметрами К и а( описываемое ф.р.

F(t) = l-(K/t)a , t>K, К>О, сс>0.

(1)

При моделировании СПД с фрактальным трафиком наиболее актуальны значения ае(1, 2]. Математическое ожидание (м.о.) с.в. хеРа (К] а) при а>1 конечно и выражается формулой М(х) =аК/(а— 1). Дисперсия D(x) этой с.в. при а<2 бесконечна. Таким образом, при СМ СПД часто приходится иметь дело со с.в. хеРа (К] а), у которых М(х) конечно и D(x) =ао. Применение для генерации с.в. х с ф.р. (1) метода обращения дает формулу х = К( 1 - u)"1/a . И, поскольку с.в. и и (1 — и) эквивалентны по распределению, формула преобразуется к виду

х = Ки~

(2)

Пусть, например, ос = 1,1, К= 1 и генератор БСВ и выдает значения и с точностью 6 десятичных цифр после точки (подобные генераторы БСВ используются в системе моделирования GPSS World [6]). Это значит, что фактически вместо непрерывной равномерной БСВ и в преобразовании (2) участвует дискретная равномерная с.в. й с множеством значений {u1(..., uN} = {е, 2в, ... , Ne}, где 8 = 0,000001, Ne= 1, N= 1/е. Подлежащая реализации непрерывная с.в. хеРа(К; а) = Ра(1; 1,1) имеет м.о. М(х) =аК/(а- 1) = = 11. Но реализуемая фактически дискретная с.в. 1, имеет м.о.

(д.с.в.) х = Ки1/а

м(х) = X х,.р(х,.) = X Kû;Wa = Кг^ №)" i=i я i=i /=1

(3)

ф.р. A(t) с м.о. а<оо, независимое время обслуживания имеет ф.р. B(t) с м.о. Ь<оо. Хотя бы одна из ф.р. A(t), B(t) асимптотически степенная (т.е. задает фрактальную с.в. [9]) и имеет бесконечную дисперсию.

Типичными представителями ФС являются системы Ра|М|л|т, М|Ра|л|ш и Ра|Ра|л|л2. Здесь символ Ра соответствует распределению Парето (1). Если буфер m конечный, то обычно требуется определить вероятность Р потери заявки при данном m (прямая задача) или найти наименьший размер буфера т, гарантирующий, что вероятность потери будет не больше данной Р (обратная задача). При т = со интерес представляет средняя длина очереди L или среднее время ожидания W.

Если обе ф.р. A(t) и B(t) являются РП, то ФС адекватно учитывает все основные особенности обслуживаемого фрактального трафика — его статистическое самоподобие, наличие характерных взрывных пульсаций нагрузки и долговременные зависимости объемов поступлений [5]. При этом чем меньше а, тем «тяжелее» хвост РП. Изменяя масштабный параметр К, можно при заданном а>1 получить РП с любым положительным м.о.

3. Смещение моментов распределения Парето. Из ( 1 ) нетрудно вывести общую формулу для — начальных моментов k-то порядка с.в. хеРа (К] а):

И*=Е(х*) =

a Кк

а-к

00 ,

a > к,

а< к, (к = 1,2,...).

(4)

Фактически при шаге значений БСВ 8 реализуется д.с.в. х = Кй'1/а, распределение которой обозначим через ОРа(К] а; е). Ее начальные моменты ¡лк по аналогии с (3) выражаются суммой

которое при 8 = 0,000001 составляет 8,0297. Смещение значения М(х) =8,0297 относительно М(х) = 11 очевидно.

Рассмотренный пример ставит следующие вопросы:

— насколько значительным может быть искажение реализуемых РТХ и от чего оно зависит?

— насколько существенно оно может влиять на результаты СМ систем с очередями?

— как можно преодолеть это искажение? Решению этих вопросов посвящается данная

статья.

2. Объекты статистического моделирования.

В качестве базового формализма при моделировании узлов СПД используют системы с очередями [7, 8]. Специфика фрактального трафика учитывается при этом выделением из систем Gl|Gl|n|iii подкласса, называемого далее фрактальными системами (ФС) [5]. Независимые интервалы времени между моментами поступления заявок в ФС имеют одну и ту же

fik=E(xk) = £xfP(x/) = Ks£(ïe)-

(5)

В табл. 1 приведены рассчитанные с помощью (5) м.о. М и коэффициенты вариации (КВ) С фактически реализуемой д.с.в. хеЭРа(К; а; 8), и соответствующие полученные с применением (4) характеристики с.в. хеРа(/С; а).

Оценивая сумму (5) снизу и сверху подходящими интегралами, с помощью элементарных алгебраических преобразований можно вывести общее соотношение:

к ^ a

<А[1к<[хкг

(а>К),

(6)

где А[хк = . При этом реализованный к-й мо-

мент всегда меньше, чем Коэффициент занижения у = [хк/{хк ->оо при а I К. Если а<К, то у = оо.

Выполненные расчеты и анализ полученного общего соотношения (б) приводят к выводу, что смещения моментов РП при использовании любого фиксированного в (т.е. при любой разрядности генератора БСВ) могут быть сколь угодно велики. Очевидно, аналогичные особенности имеют место и при реализации других РТХ.

4. Проявление смещений моментов в СМ ФС. В разных задачах СМ ФС отличие дискретного РП от РП проявляется по-разному.

4.1. Свойства генерируемых степенных выборок. Если при ае(1, 2] по независимым реализациям хл,..., хп д.с.в. х eDPd.(K', a] е) вычисляется оценка Мх = (Xj +...+ хп)/л, то Мх -> Е(х) при л->оо. Сходимость оценки Мх к М(х) очень медленная из-за большого KB С(х). Так, если а = 1,1, то даже при 8 = 10 6 для получения приемлемого приближения 8,028 к точному значению М(х) =8,0297 (см. (3)) потребовалась выборка длиной п = 1 млрд.

При этом разные способы оценки параметров распределения по выборке х1( ...,хЛ приводят к разным результатам. Поэтому нужно тщательно обосновывать применяемые оценки и осторожно их интерпретировать. Например, если по выборке х1(...,хЛ параметры К и а оценивать методом максимального правдоподобия, который приводит к формулам

а = л / In xf - л In К j, К = min {х,.}, то такие оценки сходятся к точным значениям К и а достаточно быстро, и даже при е=10~6 оказываются практически несмещенными. По найденным оценкам К, а можно получить косвенную оценку м.о. в виде М'х = Ка/(а -1). Эта оценка, соответственно, оказывается достаточно точной. Но сходится она не к м.о. М(х) элементов выборки, а к м.о. М(х)=аК/(а — 1) с.в. хеРа(К] а), подлежащей реализации.

В рассмотренном примере путем обработки выборки непосредственно обнаруживается смещение м.о. Мх « М(х) ф М(х). Искажение формы распределения, определяемой параметрами К, а, непосредственно не обнаруживается: статистические оценки этих параметров близки к заданным в генераторе значениям.

4.2. Особенности СМ ФС Ра | М111 оо. В этой системе [7] среднее время ожидания может быть найдено точно:

W = -

(7)

где [1=1/Ь — интенсивность обслуживания, а — единственный в области 0<о<1 корень уравнения

ст = А*(ц-ца).

(8)

гается при 5 = 0,4x8,0297 = 3,21188, т.е. при ц = = 0,311344. Но СМ данной СМО при таком ц (при прогоне около 125 млн заявок), действительно дающее для коэффициента загрузки р оценку рсм = = 0,401 «0,4, для Издает оценку WCM= 19,657. Таким образом, решение методом СМ поставленной задачи о величине W(p) при р = 0,4 отличается от точного решения более чем впятеро.

Здесь уже проявляется не смещение моментов РТХ (моменты интервалов поступления заявок, согласно (7), на время Wне влияют), а искажение формы распределения Парето, которою определяется решение уравнения (8). Действительно, с учетом дискретности реализуемого распределения DPa(l; 1,1; 10~б) уравнение (8) принимает вид

а = 10"6 ]Г 1 / ехр [ (0,3113441(1 - а) ) (10"6 i)~

(9)

его численное решение дает а = 0,85953 (что легко проверить) и, в соответствии с (8) (при ц = 0,311344), \У= 19,653. Этому точному решению вполне соответствует полученная путем СМ оценка №см = 19,657.

Этот пример показывает, как может влиять на результаты СМ искажение формы реализуемого РТХ, обусловленное дискретностью генератора БСВ.

4.3. Особенности СМ ФС М|Ра|1|оо. В данной системе время обслуживания хеРа(К] а), и если ае (1, 2], то стационарная средняя длина 1(р) очереди заявок бесконечна при любом ре(0, 1). Действительно, согласно формуле Полячека — Хинчина [7], здесь имеем

Up)-

р2[1 + С2(х)] 2(1-р)

ре(0, 1),

(Ю)

так как коэффициент вариации С(х) при ае(1, 2] бесконечен. Но если эту ФС мы будем исследовать методом СМ, то вместо с.в. хеРа(К\ а) реализуется д.с.в. хеЭРа(К] а; 8) и, например, при К=1, а = 2, 8= 10"15 мы получим:

ц Р) =

р2[1 + С2(х)] р2(1 + 2,792) 4,39р2

2(1-р)

2(1-р)

1-р

(11)

Л*(s) = Je stdA(t) — преобразование Лапласа от ф.р. A(t).

о

В данном случае A(t) есть ф.р. Парето (1).

Влияние дискретности датчиков БСВ на результаты СМ системы Pa|M|l|oo оценим на следующем примере. Пусть при а= 1,1, К= 1 (тогда среднее время между приходами заявок а = 11 ) требуется найти W=W(р) при коэффициенте загрузки р = Ь/а = 0,4. Такая загрузка имеет место при Ь = 0,4а = 4,4, т.е. при ц = 0,22727. Решая уравнение (8) численным методом, находим а = 0,964199, W= 118,5.

При СМ этой СМО с шагом генератора БСВ 8 = 10"6 среднее время между приходами заявок равно 8,0297 (см. (3)). Коэффициент загрузки р = 0,4 дости-

(табл. 1). Особенностью рассмотренного случая является принципиальное отличие статистического решения (11) от точного (10) из-за смещения моментов, обусловленного дискретностью генератора БСВ.

5. Критическая зона значений БСВ. При заданной ф.р. F(t) с.в. х генерируется по формуле x = F (и), либо по формуле х = F~l(u), где F — функция, обратная к дополнительной ф.р. (ДФР) F, F[t) = 1 - F(t). Частным случаем формулы обращения ДФР является (2). Выполненные расчеты и анализ показывают, что с.в. с РТХ, генерируемые методом обращения ДФР, искажаются тем больше, чем ближе к нулю оказываются реализованные значения БСВ и. При использовании обращения не ДФР, а ф.р. F(t), этому условию вполне симметричным образом соответствует условие близости значений БСВ к единице, поэтому достаточно рассмотреть случай обращения ДФР.

Если значение и приближается к нулю, то (так устроены генераторы БСВ) старшие разряды, начиная с первого после десятичной точки, становятся нулями, и общее число значащих цифр уменьшается. Это и является источником погрешностей. В достаточно вероятной критической зоне значений и, близких к нулю, эти значения превращаются при реализации РТХ в очень большие значения х,

вносящие существенный вклад в формирование моментов, тогда как при реализации обычных распределений соответствующие х относительно невелики, и ими можно пренебречь.

6. Каскадный метод реализации РП. Пусть имеется генератор Randl(), реализующий БСВ с точностью г> 12 десятичных разрядов и Rand2(), дающий хотя бы б разрядов. Разобьем область t>K значений с.в. хеРа(К-, а) на интервалы точками К{ = К, К2 = К{- 10б/а, К3 = К2- 106/а, ... . Тогда с учетом (1) вероятности интервалов составят р.= P(K<jc<K.+ 1) =

= 0,999999х 10~б(,_1), /=1, 2.....Представим ДФР

F(t) = (K/t)a линейной комбинацией соответствующих условных ДФР:

F(t) = fjPiFi(t)i (12)

где

Fi(t)=

1, if t<Ki,

ifKl,t<KMI ,13,

Pi

о, ifKM<t.

М,(х) = 10"12 ¿(0,999999 • 10"6'n + 10~6')

(14)

Input: К, a output: x

Stepl: /?<-( 1-10-6) /<- 1

Step2: If Rand2() < 10-6 thenp ¿—рЛОГ6 i <— / + 1 goto Step2 Step3: ^ <— Rand 1 ()

x <- K(up + 10~*')~1/a return: *

Рис. 1. Каскадная процедура генерации с.в. с РП

Расчет безусловного м.о

Таблица 2 реализуемой с.в.

Случайную величину х с ДФР F(t) = (К/t)a будем генерировать как смесь с.в., имеющих ДФР (13) и выбираемых с соответствующими вероятностями рг В соответствии со сказанным процедуру генерации с.в. хеРа(К; а) можно представить так, как показано на рис. 1. Цикл на шаге Step2 (не считая проверки условия) выполняется однократно приблизительно один раз за 106 обращений к процедуре (двукратно — один раз за 1012 обращений, и т.д.), что обеспечивает достаточно быструю генерацию с.в. х. Шаг Step3 реализует метод обращения условной ДФР с учетом (13).

Описанный метод нетрудно модифицировать и для реализации других РТХ.

Процедуру на рис. 1 нетрудно модифицировать и для генераторов Rand( ) с другой разрядностью, с другими разбиениями оси t на интервалы условных распределений, с другой, не десятичной системой счисления и для других РТХ.

7. Оценка точности каскадного метода. Для оценки точности предложенного каскадного метода реализации РТХ рассчитаем м.о. М(х) с.в. х, которая фактически реализуется процедурой на рис. 1 при К= 1, а = 1,1, и сравним это м.о. с точным значением 11 м.о. с.в. хеРа(1; 1,1), подлежащей реализации. Поскольку используемый генератор Randl() имеет г> 12 десятичных разрядов, рассмотрим наихудший случай г= 12. Применим использованный в (3) метод вычисления М(х) как м.о. дискретной с.в. Для условного распределения на интервале (K/t Kj+{) м.о. фактически реализованной с.в. составляет:

i М(= М,.(х) Pi PiMi Частичная сумма PiMi

1 7.86717Е + 00 9.99999Е-01 7,867162 7,867162

2 2.24060Е + 06 9.99999Е-07 2,240598 10,10776

3 6.38130Е+11 9.99999Е-13 0,638129 10,74589

4 1.81742Е+ 17 9,99999Е-19 0,181742 10,92763

5 5,17607Е + 22 9.99999Е-25 0,051761 10,97939

6 1.47416Е + 28 9.99999Е-31 0,014742 10,99413

7 4Д9847Е + 33 9.99999Е-37 0,004198 10,99833

8 1.19574Е + 39 9.99999Е-43 0,001196 10,99953

9 3.40551E4- 44 9.99999Е-49 0,000341 10,99987

10 9,69901 Е +49 9.99999Е-55 9,7Е-05 10,99997

11 2.76231Е + 55 9.99999Е-61 2,76Е-05 10,99999

Этот интервал выбирается с вероятностью р; = = 0,999999-10"6(|_1). Результаты вычисления условных м.о. (14), соответствующих вероятностей интервалов и безусловного м.о. представлены в табл. 2. Эти расчеты показывают, что безусловное м.о. М(х) фактически реализуемой д.с.в. х с точностью до б значащих цифр совпадает с точным м.о. М(х). Аналогично численными методами устанавливается, что форма РП, реализуемого каскадной процедурой, определяющая решение уравнения (8), практиче-

ски не искажается (с точностью до (г—б) значащих цифр).

Выполненный расчет убедительно показывает, что каскадный генератор полностью решает выявленную проблему смещения моментов реализуемых РТХ.

8. Заключение. Исследование свойств реализуемых при СМ РТХ, показывает, что они реализуются в общем случае со значительными искажениями. Это может приводить к существенным, иногда принципиальным ошибкам в результатах СМ и их интерпретации. В большинстве практических случаев эти ошибки скрыты от исследователя-экспериментатора.

Причиной искажения РТХ является дискретность используемых генераторов стандартных случайных чисел. Но «устранение» дискретности за счет перехода к «длинной арифметике» неэффективно из-за возникающих аппаратных затрат или потерь производительности, а также из-за того, что заранее невозможно определить, какая длина разрядной сетки будет достаточна.

В статье исследованы проблемы влияния искажений РТХ на результаты СМ и предложен эффективный каскадный метод реализации РТХ. Он не требует использования «длинной арифметики» и приводит к минимальным потерям производительности.

В инженерной практике СМ редко требуются выборки такого объема, при котором отличие предложенного генератора от обычных генераторов было бы заметно. Однако в научных исследованиях он может быть весьма полезен. По крайней мере, он снимает с исследователя-экспериментатора заботу об оценке погрешностей СМ, связанных с дискретностью используемых генераторов.

Библиографический список

1. Crovella, M. E., Taqqu M., Bestavros A. Heavy Tailed-Probability distributions in the World Wide Web, 5 (6), December 1997, pp. 835-846.

2. Resaul, K. M., Grout, V. A Comparison of Methods for Estimating the Tail Index of Heavy-tailed Internet Traffic, in Innovative Algorithms and Techniques in Automation, Industrial Electronics and Telecommunications, Springer, Dordrecht, 2007, pp. 219-222.

3. Задорожный, В. Н. Предпосылки создания фрактальной теории массового обслуживания / В. Н. Задорожный // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2010. — № 2 (90). — С. 182—187.

4. Задорожный, В. Н. Проблемы генерации случайных величин с фрактальными распределениями / В. Н. Задорожный, О. И. Кутузов // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. — 2012. — № 3 (113). — С. 20 — 24.

5. Zadorozhnyi, V. N. Simulation modeling of fractal queues, in Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Dynamics), 2014, December, 2014, pp. 1—4. — DOI: 10.1109/Dynamics. 2014.7005703.

6. GPSS World reference manual. Minuteman Software, Fifth Edition, Holly Springs, NC, U.S.A., 2009 [Электронный ресурс]. — Режим доступа : http://www.minutemansoftware.com/reference/ rpreface.htm (дата обращения: 30.03.2015).

7. Клейнрок, Л. Вычислительные системы с очередями / Л. Клейнрок ; пер. с англ. Б. С. Цыбакова. — М. : Мир. — 1979. — 600 с.

8. Вишневский, В. М. Теоретические основы проектирования компьютерных сетей / В. М. Вишневский. — М. : Технософия. — 2003. — 512 с.

9. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы / Б. Мандельброт ; пер. с англ. — М. : Ин-т компьютерных исследований, 2002. — 656 с.

ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, доктор технических наук, доцент (Россия), профессор кафедры автоматизированных систем обработки информации и управления.

Адрес для переписки: zwn@yandex.ru

Статья поступила в редакцию 31.03.2015 г. © В. Н. Задорожный

УДК 519.2+621.391

А. А. РОМАНОВА

Омская юридическая академия

ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАКАЗОВ ПАРТИЯМИ С КРИТЕРИЕМ МИНИМИЗАЦИИ ВЗВЕШЕННОЙ СУММЫ МОМЕНТОВ ЗАВЕРШЕНИЯ_

В работе рассматривается задача составления расписания выполнения заказов клиента одним производителем партиями ограниченного размера с критерием минимизации взвешенной суммы моментов завершения. Доказана ^-трудность задачи, выделены полиномиально разрешимые случаи, предложен алгоритм нахождения приближенного решения, проведен вычислительный эксперимент.

Ключевые слова: расписание, выполнение требований партиями, сложность задачи, приближенное решение.

Задачи теории расписаний состоят в определении оптимальной очередности обработки изделий на различных станках или других рабочих местах, составлении программы-диспетчера для управления работой ЭВМ в мультипрограммном режиме и т. п. Подобные задачи возникают во многих сферах человеческой деятельности: образовании, транспорте, управлении, информатике, производстве, сельском хозяйстве.

Многие современные производственные системы обслуживают схожие либо идентичные требования партиями. Требования одной и той же партии обслуживаются прибором непосредственно друг за другом либо одновременно. Такая технология приводит к снижению транспортных издержек и затрат на переналадки оборудования, что особенно актуально в настоящее время. Монография [1] посвящена обзору подобного рода задач в различных условиях.

В данной работе исследуется задача составления расписания выполнения заказов некоторого клиента одним производителем. Заказы выполняются последовательно и доставляются клиенту партиями для уменьшения транспортных издержек. В силу того, что заказы доставляются с помощью транспортных средств, вместимость которых чаще всего ограничена, количество заказов в одной партии не должно превышать заданной величины. Число транспортных средств будем считать заданным, поэтому в случае одного клиента транспортные издержки на перевозку продукции можно считать постоянными. Кроме этого, суммарное время доставки заказов клиенту также можно считать постоянным. Поэтому под моментом завершения выполнения заказа будем понимать время завершения обслуживания партии, в которую данный заказ размещен. В качестве критерия оптимизации рассматривается классический крите-