CC BY
26
Геометрия срединных поверхностей оболочек
КАНАЛОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ИОАХИМСТАЛЯ С НАПРАВЛЯЮЩИМИ КРИВЫМИ 2-го ПОРЯДКА
В.Н. ИВАНОВ, докт. техн. наук, профессор Российский университет дружбы народов, Москва
Каналовые поверхности Иоахимсталя являются циклическими поверхностями с образующими окружностями переменного радиуса в плоскостях пучка, являющимися семейством линий кривизны поверхности [1,2]. Геометрия кана-ловых поверхностей Иоахимсталя рассматривалась в работах [3-7]. В работе [4].показано, что имеется три способа образования каналовых поверхностей Иоахимсталя: 1) вращение окружности переменного радиуса вокруг оси так, что расстояние от полюса (точки на оси вращения) до точки касания образующей окружности остается постоянным (рис. 2) вращение окружности переменного радиуса вокруг общей хорды (рис. 1,6); 3) вращение окружности переменного радиуса вокруг касательной.
Рис. 1. Схемы образования каналовых поверхностей Иоахимсталя
Третий способ образования каналовой поверхности Иоахимсталя можно считать предельным случаем второго способа образования поверхности и переходным от 1-го ко 2-му способу.
Линией центров образующих окружностей поверхности является плоская кривая. Плоскость линии центров является плоскостью симметрии поверхности. Точку пересечения оси вращения с плоскостью линии центров будем называть полюсом каналовой поверхности Иоахимсталя. Для записи уравнения каналовой поверхности задается уравнение направляющей кривой поверхности и закон изменения радиуса образующей окружности связанный с способом образования поверхности. В качестве направляющих кривых используется линия центров образующих окружностей г (и), или кривые г^ (и), г2(и) описываемые концами диаметра образующей окружности в плоскости линии центров (см. рис. 1). Здесь и - полярный угол радиус-вектора направляющий кривой с центром в полюсе поверхности. В работе [2] приводятся уравнения для этих видов направляющих в линях кривизны поверхности. Вывод уравнений каналовых поверхностей Иоахимсталя в линиях кривизны и исследование их геометрии проведен в работах [3, 4]. Более удобным является уравнение с направляющими кривыми ^ (и), /*2 (и). В него не входит в явном виде функция изменения радиуса образующей окружности.
Для направляющей кривой г2(и), описываемой внешним концом диаметра образующей окружности, лежащем в плоскости линии центров, векторное уравнение каналовой поверхности в линиях кривизны имеет вид
Р)=T^-^í (Р) - («) • л (ос) + С?! (ос) - У(р) - Л], (1)
где р(а, (З) - радиус-вектор поверхности; Я - характерный размер, определяющий реальные размеры поверхности (например, начальный радиус образующей окружности); г2 (а) - Г2^ - безразмерное уравнение направляющей
Н
кривой; £> = 1 + г22(а)• /2(р); Gx{a)=r}{a)-C G2(p) = l + C-/2(p); /(р) -произвольная кососимметричная функция, изменяющаяся в пределах от -оо до +оо в диапазоне изменения координаты /? (например, /(/?) = /?
(-оо<р<+0о),или f{p) = tg{j]) (-f <p<f)); С = ±е2; д = с-па-
Z 1 г!
раметр, характеризующий способ образования каналовой поверхности Иоахимсталя (расстояние от полюса до точки касания образующей окружности для 1-го способа образования поверхности; размер полухорды образующей окружности на оси вращения для 2-го способа образования поверхности; для 3-го способа образования поверхности с = 0). Знак '+' перед с2 в параметре С берется для 1-го способа образования поверхности, знак '-' - для 2-го способа образования поверхности; /г(а)=i eos а + у sin а - уравнение окружности единичного радиус в горизонтальной плоскости с началом в полюсе поверхности; а = и - полярный угол; к -орт по оси z.
Если в уравнении (1) г2 (а) заменить на гх (а), то получим уравнение каналовой поверхности Иоахимсталя с направляющей кривой, описываемой внутренним концом диаметра образующей окружности. Для 1-го способа образования каналовой поверхности Иоахимсталя при переходе значения радиуса от г2(а)<с к значению г2 (а) > с вешний конец диаметра образующей окружности становится внутренним и кривая г2(а) автоматически переходит в кривую ^(а). В точке со значение r2(a\rl(a)=c радиус образующей окружности равен нулю и в этой точке образуется сдвоенная коническая поверхность.
Радиус вектор образующей окружности определяется по формуле
(2)
r2{a) r¡(a)
Рассмотрим каналовые поверхности Иоахимсталя с направляющими кривыми 2-го порядка - парабола, гипербола, эллипс В уравнение (1) направляющие кривые записываются в полярной системе координат. Для этого используем полярное уравнение кривых второго порядка с началом в полюсе кривых 2-го порядка [8]:
1 -ecos<p
Здесь ср - полярный угол радиус-вектора кривой 2-го порядка с началом в полюсе кривой и отсчитываемой от оси х; р - параметр кривой 2-го порядка, определяющий расстояние между фокусом кривой и директрисой; е - эксцентриситет кривой 2-го порядка. Формулы для определения параметров полярного уравнения кривых 2-го порядка приведены на рис 2. Здесь также приведены канонические уравнения кривых в прямоугольной системе координат. Через параметры канонического уравнения кривой 2-го порядка определяются параметры полярного уравнения (3). формулы приведены на рис. 2,а-в, для каждой кривой.
Парабола имеет одну фокусную точку, гипербола и эллипс по две фокусные точки. Положение фокуса определяется координатой d. За основной фокус эллипса и гиперболы будем принимать 1-ую фокусную точку с положительной координатой. Замена фокуса приводит к повороту поверхности на 180 ° - сим-
метричному отображению. Гипербола имеет две ветви - wj и w2. Каждая ветвь имеет свой диапазон изменения полярного угла. (см. рис. 2,6).
Для эллипса эксцентриситет с < 1, полярный угол изменяется в интервале Оф < 271, радиус вектор кривой - в диапазоне a-d < г(ф) < а + d . При а = Ъ эллипс вырождается в окружность, эксцентриситет е - 0, фокус перемещается в центр окружности, директриса - в бесконечность (р = ос ). Полярное уравнение окружности г = а.
Для параболы эксцентриситет е = 1, полярный угол изменяется в интервале 0 < ф < 2л, причем при ф = 0 и ф = 2л, радиус вектор параболы, а, следовательно, и радиус вектор образующей окружности стремятся к бесконечности.
Для гипепболы экспентписитет е > 0 . знаменатель в поляоном уоавнении
Г 1 - г - - ' 1 ' ж * А
(3) обращается в ноль при ф0 = arccos(l/e). При этом радиус вектор кривой стремится в бесконечности. Одновременно к бесконечности стремится радиус обра-
о\/1Лшрй П1гт/1ь*илг>тм в \/попирини ь-аиаплолм ПЛПРПУНПГТН ИПЯУММЛТЯПа Vrnn
J J t^/Ll^VIi v^lvpj yt\liw 111 U J |VV«U11V111111 llunw 1VWVI1 lHJlywjyi4.iv/w ч» i^um^uuov y— j • - *
+ Фо разделяет области существования 1-й и 2-й ветвей гиперболы. Первая ветвь гиперболы определена в интервале фо < ф < 2я-фо; вторая ветвь - в интервале -ф0 < ф < фо-
Уравнения каналовых поверхностей Иоахимсталя с направляющими кривыми 2-го порядка получаем, подставляя в уравнение поверхности (1) полярное уравнение (2), положив в нем ф = а . Для параболы и первой ветви гиперболы удобнее пользоваться измененным уравнением полярного уравнения, положив в нем ф = а - ti . Тогда получим
г(а) =-£-= . (4)
1 - cos(ct - тс) 1 + cos(a)
При этом имеем для 1-й ветви гиперболы -7г + фо<а<7г-фо,
Фо = arccos(l / е); для параболы - % < ф < %. Принимаем функцию /((3) = /g3 .
При изменении р в пределах -п/2 до л/2 получаем замкнутую образующую окружность.
Рассмотрим каналовые поверхности с параболой. Поскольку параметр Н является масштабным множителем, определяет общие размеры поверхности и не влияет на изображение (вид) поверхности, то далее этот параметр принят Н= 1.
1. Направляющая - парабола (ф - а - л).
А. Первый способ образования поверхности. (С-+с2)
На рис 3. показаны поверхности с направляющей параболой при с = р/2 -расстоянию от фокуса параболы до вершины параболы (х = у - 0). Тогда эта точка является сдвоенной конусной точкой поверхности. На рис. 3 показаны поверхности с различным диапазоном изменения полярного угла а: от а = ±0,5л до а- ±0,75%. При дальнейшем увеличении полярного угла радиус образующей окружности резко возрастает. На рис З.,а показана одна ветвь поверхности 0 < а < 0,5л. На остальных рисунка показаны обе симметричные ветви поверхности. Диапазон изменения полярного угла показан под рисунками. Направляющая парабола является внешней кривой поверхности.
На рис. 4 приведены поверхности с направляющей параболой при с<р/ 2. Варьируется параметр с и интервал изменения полярного угла.
Рис. 3. Каналовые поверхности Иоахимсталя с направляющей параболой. 1-й способ образования поверхности при (С =+с2), р - 1, с1=р!2
а(-0,5я-й),5я О(-0,65яч-0,65Л
Рис. 4. Каналовые поверхности Иоахимсталя с направляющей параболой. 1-й способ образования поверхности (С = +с2), с < р/2 , р = 1
В нижнем ряду на рис. 4,д,е приведен предельный случай с - 0 - поверхность образуется вращением образующей окружности вокруг касательной, проходящей через полюс параболы. Для всех вариантов поверхности при с < р!2 направляющая парабола является внешней кривой.
На рис 5 показаны поверхности с направляющей параболой при с>р/2. Приведены варианты поверхности с различными значениями параметра с и интервала полярного угла. Особенностью этого семейства каналовых поверхностей Иоахимсталя является наличие двух сдвоенных конусных точек. Они образуются, когда г(а)-с при приполярном угле ас = ±агссоз(р/с-1). В зоне
|а|<|ас| направляющая парабола является внутренней кривой поверхности г\ (а), которая при переходе конусной точки становится внешней направляющей кривой г2(а). На рис. 5,в построена поверхность при с = 1 в интервале а - -0,5л ч- 0,5л:, для которой конечные точки интервала соответствуют конусной точке поверхности а] = ±0,5я. На рис. 5,д (с=1,5) концы интервала не достигают конусной точки ас = 0,608л;
а(-0,571^-0,5
а(-0,65л-ь0,65я)
Рис. 5, Каналовые поверхности Иоахимсталя с направляющей параболой.
1-й способ образования поверхности (С = +с2), с > р/2 , р = 1
2
Б. Второй способ образования поверхности (С = -с ).
Нар рис. 6,7. приведены каналовые поверхности Иоахимсталя, образованные вращением образующей окружности переменного радиуса вокруг общей хорды длиной 2с, Ось хорды проходит через фокус параболы, образующие окружности касаются направляющей параболы. Параметр р = 1. На рис. 6 приведены поверхности с параметром с < 1. Варьируются параметр с и интервал изменения полярного угла. Хорда вокруг которой вращается образующая окружность разбивает ее на две не равные части, каждая из которых образует свою ветвь поверхности, которые имеют общие конусные точки на концах хорды. В этих точках ветви переходят одна в другую. При с < р внешней ветвью является ветвь касающаяся направляющей параболы. Первая (внешняя) внешняя ветвь поверхности, касающаяся направляющей параболы закрывает внутреннею часть второй ветви. Поэтому для анализа характера внутренней ветви на рис. 6 показаны отсеки поверхности в интервале координаты Р = 0 -ь 0,5л:, где видно среднее сечение поверхности. Для общего вида поверхности приведены рисунки в интервале Р = -0,5я-г-0,5л Внутренняя ветвь описывает овальные незамкнутые кривые. Эти овальные кривые замыкаются при а —> ±л . При этом радиус образующей окружности стремится к бесконечности, т.е. образующая окружность вырождается в прямую. Внутренняя ветвь поверхности увеличивается с увеличением параметра с и, соответственно уменьшается с его уменьшением. При с = 1 поверхность вырождается в поверхность образуемую вращением образующей поверхности вокруг касательной (рис. 4,д). При с = р внутренняя и внешняя ветви поверхности соприкасаются по сечениям а = ±0,5 я. По линии этих сечений обе ветви имеют общую систему касательных плоскостей. На рис. 7,и показан отсек поверхности (с = р) в интервале а = -0,5я -ь 0,5л, имеющий сфероиджный вид. При увеличении интервала а (рис 6,к) ветви поверхности расходятся.
а(-0,5я+0,5 с<-0,6571-0,65
Рис. 6. Каналовые поверхности Иоахимсталя с направляющей параболой.
2-й способ образования поверхности (С = -с ), с < р, р = 1
На рис 7 Показаны варианты каналовой поверхности Иоахимсталя с параметром с = 1,5 (с > р). Варьируется интервал определения полярного угла а. Ветвь касающаяся направляющей параболы при с > р становится внутренней частью поверхности. В интервале а(-0,571+0,5%) эта ветвь занимает значительно меньший объем поверхности по сравнению с внешней ветвью. При увеличении интервала а. внутренняя ветвь растет быстрее внешне. При а = ±0,75я внутренняя ветвь поверхности касается внешней ветви (рис 6,г), причем по четырем линиям поверхности. При дальнейшем увеличении полярной координаты внутренняя ветвь поверхности пересекает внешнюю ветвь (рис. 6,д,е), стремясь в бесконечность.
Аналогично можно построить поверхности с другими направляющими кривыми 2-го порядка.
аН>,75л-И),55я) «(-0,8571-0,8571)
Рис. 6. Каналовые поверхности Иоахимсталя с направляющей параболой. 2-й способ образования поверхности (С = -с"), с < р, р= 1
Литература
1. ¡Пуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия. -М.: ГИФМЛ, 1963. -540 с.
2. Кртошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности. // Научное издание. - М.: Наука, 2006. - 540 с.
3. Иванов В.Н., Жиль-улбе Матье. К вопросу о геометрии и конструировании оболочек в форме каналовых поверхностей Иоахимсталя//Строительная механика инженерных конструкций и сооружений: Межвузовский сборник научных трудов, вып.4. -М.: МБК Биоконтроль", 1994. -С. 68-75.
4. Иванов В.Н. Каналовые поверхности Иоахимсталя с плоской линией цен-тров//Исследования пространственных систем: Материалы семинара кафедры сопротивления материалов РУДН. -М.: Изд-во РУДН, 1996. -С. 32-36.
5. Иванов В.Н., Насер Юнее Аббуши. Исследования геометрии каналовых поверхностей Иоахимсталя/УПроблемы теории и практики в инженерных исследованиях: Труды XXXIII научной конференции РУДН. -М.: РУДН, 1997. -С. 115-118.
6. Иванов В.Н. Конструирование оболочек на основе каналовых поверхностей Иоахимсталя// Вестник Российского университета дружбы народов/Специальный выпуск: - «Инженерные исследования». - № 1. - 2000. - С. 57-61.
7. Насер Юнее Ахмед Аббуши. Применение каналовых поверхностей Иоахимсталя в различных отраслях строительства// Вестник Российского университета дружбы народов/Серия: «Инженерные исследования»/ Специальный выпуск «Геометрия и расчет тонкостенных пространственных конструкций». -№ 1.- 2002. -С. 80-89.
8. Ильин В.А., Лозняк Э.Г. Аналитическая геометрия. -М.: Изд-во «Наука», 1968. -232 с.
JOACHIMSTHAL'S CHANNEL SURFACES WITH THE DIRECTRIX CURVES OF THE 2-ND ORDER
V.N. Ivanov
The geometry of the Joachimsthal's channel surfaces are investigated in the article. The equation of the surfaces in the lines of main curvatures are given. The polar
equations of curves of the 2-nd order are used for directrix. The drawings of
Joachimsthal's channel surfaces with parabola as directrix are shown for examples.
