Как разрешить 3D уравнения Навье Стокса How to Solve 3d Navier Stokes Equations Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научная статья на тему 'Как разрешить 3D уравнения Навье Стокса' по специальности 'Математика' Читать статью
Pdf скачать pdf Quote цитировать Review рецензии ВАКRSCI
Авторы
Коды
  • ГРНТИ: 27 — Математика
  • ВАК РФ: 01.01.00
  • УДK: 51
  • Указанные автором: ББК:Ч30я54

Статистика по статье
  • 669
    читатели
  • 66
    скачивания
  • 0
    в избранном
  • 0
    соц.сети

Ключевые слова
  • ДВИЖЕНИЕ
  • ВЯЗКАЯ ЖИДКОСТЬ
  • ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
  • ЧАСТНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ
  • НЕЛИНЕЙНОСТЬ
  • ИНТЕГРАЛ
  • СОВМЕСТНОСТЬ
  • MOTION
  • VISCOUS FLUID
  • DIFFERENTIAL EQUATION
  • PARTIAL DERIVATIVE
  • NONLINEARITY
  • INTEGRAL
  • COMPATIBILITY

Аннотация
научной статьи
по математике, автор научной работы — Коптев Александр Владимирович

Автором предложен метод построения решений 3D уравнений Навье Стокса для случая неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. Благодаря реализации метода задача построения решений 3D уравнений Навье Стокса сводится к решению совокупности более простых задач.

Abstract 2015 year, VAK speciality — 01.01.00, author — Koptev Aleksandr Vladimirovich

A method for constructing solution of Navier Stokes equations for 3D unsteady viscous incompressible fluid flow has been suggested. Owing to the implementation of the suggested method, the solutions of the 3D Navier Stokes equations have been reduced to the solution of a set of simpler problems.

Научная статья по специальности "Математика" из научного журнала "Известия Российского государственного педагогического университета им. А.И. Герцена", Коптев Александр Владимирович

 
Читайте также
Читайте также
Читайте также
Читайте также
Рецензии [0]

Похожие темы
научных работ
по математике , автор научной работы — Коптев Александр Владимирович

Текст
научной работы
на тему "Как разрешить 3D уравнения Навье Стокса". Научная статья по специальности "Математика"

УДК 532.516:517.958 А. В. Коптев
КАК РАЗРЕШИТЬ 3D УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА
Автором предложен метод построения решений 3D уравнений Навье — Стокса для случая неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. Благодаря реализации метода задача построения решений 3Dуравнений Навье — Стокса сводится к решению совокупности более простых задач.
Ключевые слова: движение, вязкая жидкость, дифференциальное уравнение, частная производная, нелинейность, интеграл, совместность.
А. Koptev
HOW TO SOLVE 3D NAVIER — STOKES EQUATIONS
A method for constructing solution of Navier — Stokes equations for 3D unsteady viscous incompressible fluid How has been suggested. Owing to the implementation of the suggested method, the solutions of the 3D Navie — Stokes equations have been reduced to the solution of a set of simpler problems.
Keywords: motion, viscous fluid, differential equation, partial derivative, nonlinearity, integral, compatibility.
1. Уравнения Навье — Стокса. Уравнения под таким названием представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают движение жидких и газообразных сред при наличии вязкости.
Для случая движения вязкой несжимаемой жидкости при условии, что внешние силы имеют потенциал, безразмерный вариант 3D уравнений Навье — Стокса может быть представлен в виде
du du du du -г— + u^— + v^— + w-T— : dt dx dy dz
d( p + Ф) + J_
dx Re
С д^и д^и Pu} dx2 +Э/ + dz2
(1)
dv dv dv dv d( p + Ф) 1
т—+ u— + + =--^Цг-- + — ■
dt dx dy dz dy Re
'^v av aV
, dx2 +dy2 +dz2 ,
dw dw dw dw d( p + Ф) 1 f d2w d2w d
-r— + u-rr— + v^— + w-г— =--^-1 + —— • -T- +--- +--—
dt дх dy dz dz Re ^ dx2 dy2 dz2 y
du dv dw -
dx + dy + ~dz = 0• (4)
Основными неизвестными в уравнениях (1)-(4) являются скорости u, v, w и давление p. Каждая из этих величин является функцией четырех независимых переменных — координат х, y, z и времени t.
Ф обозначает заданную функцию потенциала внешних сил. Re — число Рейнольдса, представляющее положительный параметр.
Отличительной особенностью рассматриваемых уравнений является наличие нелинейных членов. Они присутствуют в левых частях уравнений (1)-(3). Это обстоятельство значительно усложняет и исследование, и решение, так как методы, разработанные для линейных уравнений, в данном случае не применимы.
На сегодняшний день существует целый перечень вопросов, связанных с уравнениями (1)-(4), которые изучены недостаточно и требуют дополнительного исследования. Нет окончательного решения проблемы существования гладкого решения 3D уравнений [4-5]. Не ясна структура решений и отсутствуют общие подходы к построению решений. Последнее относится как к построению частных решений, так и к построению решений начальных и краевых задач. К изученным не до конца проблемам следует отнести и лами-нарно-турбулентный переход, который предположительно должен возникать при больших значениях числа Re.
Справедливо сказать, что на сегодняшний день теоретическое исследование уравнений Навье — Стокса значительно отстает от потребностей практики.
Как подтверждение значимости теоретического исследования рассматриваемых уравнений можно привести следующий факт. Известный центр изучения математики — Математический институт Клэя, США (Clay Mathematical Institute, USA) в 2000 году определил проблему существования гладкого решения уравнений Навье — Стокса как одну из семи главных математических проблем третьего тысячелетия [6].
Все перечисленные проблемы, связанные с уравнениями Навье — Стокса, заведомо получат дополнительный импульс в исследовании, если будет разработан конструктивный метод решения. Это позволит строить конкретные решения, изучать их свойства и переходить к обобщениям. Разработка такого метода, применимого при общих предположениях, есть сложная и интересная задача. Данная работа представляет шаг на этом пути.
2. Первый интеграл и структура решений. При построении решения будем исходить не из уравнений (1)-(4) непосредственно, а из первого интеграла этих уравнений.
Первый интеграл уравнений Навье — Стокса для случая 3D неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится к следующим девяти соотношениям [1-2]:
U 2
р = _Ф__ _ d-dt = a4 + ß4 + g 4, (5)
V 2 Г_Эи + Эу, =
Э2Ш
10
+-
Э 2Ш
10
Э 2Ш
11
Re ^ Эх Эу) Эх2 Эу2 Эг2
Э2Ш^ + Э 2Ш^ + Э2ШМ
■+
+-
Э
Эт2 ЭуЭг ЭхЭг Эt
ЭШ1 + ЭШ3 + Э(Ш 5 + Ш 6)
Эх Эу
Эг
+ 3(а4 _р4),
(6)
2 Г Эу . Эи1 Э2Ш10 Э2Ш„ Э2Ш
2 2 ОУ ОИ|
у2 _ и2 + — I + I = -Re ^ Эу Эг ] Эх2

12
Эх2 Эу2
+

Э2^12 Э2^13 Э2ШМ
Э
Эг2 ЭхЭу ЭхЭг Э?
Э(^1 + Ш2) + ЭШ4 _Э^6 Эх Эу Эг
+ 3(а 4 _р4)
(7)
1 Г эу Эи
иу +—I
Э 2Ш
10
+ -
1г э 2ш15+э 2ш14
+
Э 2^13 1 Эг2 )
1 _Э_
+ 2 Э?
Яс ^ Эх Эу) ЭхЭу 2 ЭШ3 ЭШ1 Э(^9 + )
ЭхЭг
+
Эх Эу
Эг
ЭуЭг
+ 1 (_а1г + Ь{2 ),
(8)
иш + _!_ I_Эи _Э^|=Э 2Шп +1
Яс I Эг Эх) ЭхЭг 2
2ш л Г э 2Ш15 Э2Ш
14
Э 2Ш13 1 +11
ЭуЭг I 2Э?
ЭШ5 + Э(Ш9 _Ш7) + ЭШ 5
Эх
Эу
Эг
+ 2
ЭхЭу Эу2
2 (_а/ у _a2t + 71' у _уз\) =
(9)
1 Г Эу Эи
уи + ——1
Яс^ Эг Эу
Э 2Ш12 1 Г Э 2Ш14 Э 2Ш
+
ЭуЭг + 21 ЭхЭу ' Эх2
15
Э 2Ш131 +1 _Э_ + 2 Э?
ЭхЭг
Э(Ш8 +Ш 7) + ЭШб +ЭШ4
Эх
Эу Эг _
2 (Ь1 х + Ь3, + У1 х + 7 2' ,).
(10)
1
и=2
Э ГЭШ1 ЭШ3 + ЭШ7^ + Э I ЭШ5 +ЭШ8 ЭШ2
Эу^ Эу Эх Эг ) Эг ^ Эх Эу Эг
+2 (а2'г + а3' у + 52г + 81' у) , (11)
1
У = 2
_ЭГЭШ3 ЭШ1 ЭШ71+_ЭГЭШ9 + ЭШб _ ЭШ4 Эх^ Эх Эу Эг ) Эг^ Эх Эу Эг
+ 2 (Ь2'х + Ь3г _81'х + 83'г ),
1
и=2
IЭШ5 _ЭШв +ЭШ21+_Э
Эх^ Эх Эу Эг ) Эу'
ЭШ 9 ЭШ 6 + ЭШ4 Эх Эу Эг
+2 (
2 (у2' у+ 73х _ 82'х _83' у)
(12) (13)
Здесь Ш ^ — новые ассоциированные неизвестные с номерами от единицы до пятнадцати включительно. В работах [1-2] для них введено название псевдофункции тока;
аш, Рш, Уш, 5Ш — произвольные функции, каждая из которых зависит лишь от трех переменных из четырех возможных и не зависит от одной переменной, соответственно х, у, г или
2
и
Для этих функций выполнены равенства
дат = Эрш = дут = дЪт = 0. дх ду дг дЬ
И2 и2 + V2 + ш2
=-2--безразмерный скоростной напор;
С, ^ — диссипативные члены, вычисляемые по формулам
С = "Т + 3<12Х|1 -^ду51Г-1& +АЛ, ) , (14)
= 3! 2 +ду(*43) +1(15)
Символами Дху, Ду2, Д2Х, в формуле (14) обозначены неполные операторы Лапласа по координатам
Аху дх2 + ду2 ' Ауг ду2 + дг2 ' Агх дг2 + дх2 '
В работе [2] показано, что существует комбинация первых производных от уравнений (5)—(13), которая приводит к уравнениям Навье — Стокса (1)-(4). Рассмотренные в совокупности девять соотношений (5)-(13) представляют первый интеграл уравнений Навье — Стокса (1)-(4).
Эти девять соотношений выбираем в качестве исходных для построения решений уравнений Навье — Стокса. Чтобы получить окончательные решения основных уравнений, нужно сосредоточиться на исследовании и интегрировании системы (5)-(13).
Проведем предварительный анализ и отметим некоторые закономерности, характерные для выражений (5)-(13). Всего имеем девять уравнений, связывающих основные неизвестные и, V, ш, р, ассоциированные неизвестные *j и произвольные функции трех переменных ат, рт, ут, 5т. Среди этих уравнений особо выделяются четыре уравнения: (5), (11), (12), (13). Эти уравнения определяют выражения для и, V, ш, р через другие величины и задают, таким образом, структурные формулы для основных неизвестных.
Так, из уравнения (5) следует, что при нулевых ат, рт, ут, 5т неизвестное р должно быть представлено суммой четырех различных по своей природе слагаемых. Такими сла-
и2
гаемыми являются: потенциал внешних сил Ф, скоростной напор и два диссипатив-ных слагаемых С и С.
Уравнения (11)—(13) определяют выражения для неизвестных и, V, ш. Согласно этим выражениям каждое из неизвестных и, V, ш есть некоторая линейная комбинация вторых производных ассоциированных неизвестных * j, где j = 1, 2, ..., 9. Для этих девяти неизвестных, определяющих скорости, логично ввести уточненное название — скоростные псевдофункции тока.
Таким образом, уравнения (5) и (11)-(13) задают структуру решений уравнений На-вье — Стокса [3]. Тогда как оставшиеся пять нелинейных уравнений (6)—( 10) позволяют уточнить отдельные слагаемые структурных формул. Для получения окончательного решения нужно разрешить уравнения (6)-(10).
3. Условия совместности. Рассмотрим нелинейные уравнения (6)-(10). Из этих уравнений можно исключить и, V, щ если воспользоваться (11)—(13). Такой путь был предложен в работе [2]. В результате будем иметь систему пяти нелинейных уравнений с пятнадцатью неизвестными ¥ у, где у = 1, 2, ..., 15.
Однако более подробный анализ позволяет получающуюся систему значительно упростить и привести ее к соотношениям, более удобным для дальнейшей работы. Обратим внимание на следующую закономерность. В каждом из трех уравнений (8), (9), (10) неизвестные ¥10, ¥п, ¥12 представлены лишь одним слагаемым в правой части. Есть возможность с помощью уравнений (8), (9), (10) указанные неизвестные исключить.
Ограничимся здесь и далее простейшим случаем
ат = 0, вт = 0, уш = 0, 5Ш = 0 и представим систему (6)-(10) в виде
*2 =■
Э 2^10 + Э 2^10
Э2¥
11
Э 2^12 + Э^]5 +Э 2^14
Эх2 Эу2 Эг2 Эг2 ЭуЭг ЭхЭг
(16)
Э2^10 + Э 2^11 Э2^12 + Э 2^12 Э2^13 Э 2^14
_ Эх2

-+
Эх2 Эу2 Э22 ЭхЭу ЭхЭг
(17)
*4
*5
Э
10
+ -
1 ( Э2¥15 . Э
+ -
14
+ -
Э2^13 ^
ЭхЭу 21 ЭхЭг ЭуЭг Эг2
Э 2¥п +1 ЭхЭг 2
( Э2¥15 Э2¥14
+-
Э ^
13
ЭхЭу Эу2 ЭуЭг
(18) (19)
Э2¥12
1 ( Э
14
+ -
Э2¥
15
Э^
13
ЭуЭг 21 ЭхЭу Эх2 ЭхЭг
(20)
Левые части уравнений (16)-(20) представляют некоторые комбинации, не содержащие неизвестных ¥10, Т11, ¥12, ¥13, ¥14, ¥15. Функции * определяются выражениями
_ 2 . + 2 I Эи + ЭИ + Э (Э¥1 Э¥ 3 Э(
*2_и -И+жесэх+Эу) + э7 1"Эх"~"Эу-Эг(¥5+^6}
, 9 2 2 ( Э V ЭиЛ Э (Э 4 Э¥
3 Яе^ Эу Эг) Э£^Эх^ 1 2) Эу Эг J'
1 (ду диЛ 1 д
/4 = иу-— I + ^ I +
Яе^дх ду) 2 дг^ дх ду дг
д¥ 3 д^1 д ш ч
- 1 (дш ди ^ 1 д
/5 = иш- — I -=;— + ^ I +
ЯеI дх дг) 2 дг
"эг+зу79 )-^т
/ = уш 1 I дш +ду^ 1 д ( д( 6 + д¥ д
/б=уш - яе [ эу+эг I- 2 д {дх(^7+^в)+■-эт
(21)
где под и, у, м'следует понимать правые части (11)—(13).
Рассмотрим подробнее уравнения (16)—( 17) и исключим из них неизвестные ¥10, ^11, ¥12. Все предлагаемые преобразования естественным образом разбиваются на два пункта, в результате осуществления которых будут получены два условия совместности.
Первое условие. Рассмотрим уравнение (16). Последовательно выполним следующие
действия. Вычислим
д д -тг- от выражения (18) и от выражения (16). Складывая результа-дх ду
ты, приходим к соотношению
/ + / =33^10 э3уп дх ду ду3 ЭуЭг2
д3^12 + д3^15 + 1 (д3У
ЭуЭг2 ду2 Эг 2
15 +д3^14
д3^
13
дх2дг дхдудг дхдг2
(22)
д д2
Вычисляем, далее от уравнения (22) и —2 от уравнения (18). Складывая резуль-дх ду2
таты, получаем равенство
э2 /4 э2 /2 э2 /4
- +
■ +
Э4^
11
Э
12
Эх2 ЭхЭу Эу2 ЭхЭуЭг2 ЭхЭуЭг2
+
1
+ 2
( д4У15 д4У15 д4У14 д4У14 . д4У,3 д4У ^
(23)
+
15
+
14
+ -

13
15
дхду2дг дх3дг дх2дудг ду3дг ду2дг 2 дх2дг2
д2
Вычислим 3 э от равенства (19) и сложим с равенством (23). В результате получаем
д2 /2 д2 /4 д2 /4 д2 /5_1 (д4У15 д4У14


+ -
д4У13 ^
12
дхду дх2 ду2 дудг 21 дх3дг дх2дудг дх2 дг2 дхдудг2
(24)
В качестве последних действий вычисляем
дхдг
от уравнения (20) и вычитаем ре-
зультирующее равенство из выражения (24). Приходим к соотношению
Э2 /2 Э2 /4 , Э2 /4 , Э2 /5 Э2 /6 = 0
- +
+-
дхду дх2 ду2 дудг дхдг
2
д
Равенство (25) представляет первое необходимое условие разрешимости системы
(16)-(20). Функции / определяются выражениями (21) с учетом (11)—(13). Правые части выражений, определяющих /, будут содержать производные третьего порядка относительно неизвестных где j = 1, ..., 9. Поэтому уравнение (25) есть дифференциальное уравнение пятого порядка относительно этих неизвестных.
Второе условие. Рассмотрим уравнение (17) и аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, исключим из него неизвестные Ч10, Ч11, Ч12.
Для этого предлагаются следующие преобразования. Вычисляем от равенства
Э/
(17) и -0 от уравнения (18). Складывая результаты, получаем равенство
Эх
д/3 + Э/4 _Э3^11 Э3^12 ,Э3^12 Э3^13
-+
+ -
1 (Э3У13 Э3У14 Э3У ^
Э/ Эх Эх2 д/ Э/3 д/дг2 ЭхЭ/2 2 ^ ЭхЭг2 ЭхЭ/Эг Эх2 Эг
15
(26)
Э Э2
Далее вычисляем от равенства (26) и ЭХЭ/ от выражения (19). Вычитая второе из
первого, приходим к соотношению
3 /4 - /5 _ Э4^12 + Э4^12 + 1 (Э4^1з
Э2 /3 + Э2 /4 Э2 /5
+-

Э/Эг ЭхЭ г ЭхЭ г Э/3Эг Э/Эг3 2 ^ ЭхЭ г3 ЭхЭ/2 Эг
Э 4У
13
+
+■
Э4^14 Э4^,4 Э4^,5 . Э4^,5 ^
14
15
+-
15
ЭхЭ/3 ЭхЭ/Эг2 Эх2Эг2 Эх2Э/2
(27)
В качестве следующих преобразований предлагается вычислить -°-у от уравнения
Э/2
(20) и результат вычесть из соотношения (27). Получаем равенство
Э2 /3 + Э2 /4 Э2 /5 Э2 /6 _Э4У12
■ +
1 ( Э4У +-
Э/Эг ЭхЭ г ЭхЭ/ Э/2 Э/Эг3 2 ^ ЭхЭ г3 ЭхЭ/Эг2 Эх2Эг2
13
Э 4У
14
Э 4У ^
15
(28)
Э2
На заключительном этапе преобразований вычисляем —2 от равенства (20) и скла-
дг2
дываем результат с уравнением (28). Приходим к соотношению
о2 /3. о2 /4 о2 /5 о2 /6 ,э2 /6 _ 0
-+
+-
д/дг ЭхЭг ЭхЭ/ Э/2 дг2
(29)
Равенство (29) представляет второе необходимое условие совместности системы (6)-(10). Равенство (29), как и (25), есть дифференциальное уравнение пятого порядка относительно неизвестных Ч/ где где j = 1, 2, ..., 9.
Таким образом, получены два необходимых условия совместности системы (6)-(10). Чтобы построить окончательные решения уравнений Навье — Стокса (1)-(4), нужно произвести второе интегрирование.
4. Второе интегрирование. Этот этап построения решений сводится к следующим двум задачам.
А. Нужно разрешить систему двух уравнений (25), (29) относительно девяти неизвестных где7 = 1, 2, ..., 9. Каждое из уравнений этой системы представляет нелинейное дифференциальное уравнение пятого порядка относительно указанных неизвестных. Обращает на себя внимание значительное превышение числа неизвестных над числом уравнений. Неизвестных — девять, а уравнений — два. Это обстоятельство представляется весьма выгодным при решении конкретных задач, поскольку некоторые из неизвестных можно выбрать удобным образом или подчинить некоторым условиям. После того, как указанная система разрешена и неизвестные ¥, найдены, по уравнениям (11)—(13) можно
определить и, V, ж В результате три из основных неизвестных будут найдены, и останется определить только р.
Б. Для определения р вначале нужно обратиться к уравнениям (18)-(20). Поскольку все скоростные псевдофункции тока уже определены, то в качестве неизвестных в этих уравнениях фигурируют лишь Ч10, Ч11, Ч12, Ч13, Ч14, Ч15. Относительно этих неизвестных уравнения (18)-(20) линейны. Таким образом, имеем систему трех линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Причем имеем превышение числа неизвестных над числом уравнений. Неизвестных — шесть, а уравнения — три.
Замечаем также, что в каждом из уравнений присутствует лишь по одному члену с неизвестными Ч10, Ч11, Ч12. В уравнении (18) присутствует одно слагаемое с указанными
неизвестными, а именно —' в уравнении (19) ^ э и в уравнении (20) —^ э •
Один из простейших вариантов решения рассматриваемой системы предлагается таким. Неизвестные Ч13, Ч14, Ч15 можно задать произвольно. Тогда каждое из уравнений (18)-(20) представляет уравнение с одним неизвестным, соответственно Ч10, Ч11, Ч12, Ч13. Эти уравнения имеют вид
_ ЭхЭу> *5 _~ЭХЭ7' *6 _ ЭуЭг' (30)
где левые части * есть известные функции х, у, г, I
Чтобы разрешить уравнения (30), достаточно левую часть два раза последовательно проинтегрировать — соответственно по х и у, х и г или у и г. Таким образом, все ассоциированные неизвестные будут определены. Ч13, Ч14, Ч15 заданы произвольно, при7 = 1, 2, ..., 9 определены из решения уравнений (25), (29), и неизвестные Ч10, Ч11, Ч12 — из решения уравнений (30).
Теперь можно определить р, последнее из основных неизвестных. Для этого достаточно воспользоваться уравнением (5) с учетом соотношений (14), (15). Уравнение (5) дает выражение для р через другие неизвестные, которые уже определены. Воспользовавшись
выражением (5), находим p. Из предыдущего высказывания ясно, что результирующее выражение для p будет содержать не менее трех произвольных функций четырех независимых переменных. Такими функциями являются ¥13, ¥14, ¥15. Если допустить ненулевые значения произвольно выбираемых функций трех переменных am, pm, ym, ôm, то эти функции также будут присутствовать в выражениях для неизвестных.
Итак, все неизвестные определены и задачу построения решений уравнений Навье — Стокса (1)-(4) можно считать решенной полностью.
Выводы. Таким образом, основные этапы предлагаемого подхода к построению решений 3D уравнений Навье — Стокса сводятся к следующему.
Первый интеграл уравнений нужно взять за основу. Дальнейшее интегрирование сводится к решению совокупности более простых задач. Такими задачами являются две. Первая — это решение системы двух нелинейных уравнений пятого порядка относительно девяти неизвестных. Вторая — решение линейной неоднородной системы трех уравнений второго порядка с тремя неизвестными.
Результатом реализации указанного подхода являются выражения для основных неизвестных u, v, w, p, содержащие набор произвольных функций трех и четырех независимых переменных, что удобно при решении начальных и краевых задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коптев А. В. Интегралы уравнений Навье — Стокса // Труды Средне-Волжского математического общества. Саранск, 2004. № 1. Т. 6. С. 215-225.
2. Коптев А. В. Первый интеграл и пути дальнейшего интегрирования уравнений Навье — Стокса // Известия РГПУ им. А. И. Герцена: Научный журнал: Естественные и точные науки. 2012. № 147. С.7-17.
3. Коптев А. В. Структура решений уравнений Навье — Стокса: Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования // Герценовские чтения — 2014. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2014. C. 71-74.
4. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
5. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.
6. Сhaгles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes équation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. Р. 1-5.
REFERENCES
1. Koptev A. V. Integraly uravnenij Nav'e — Stoksa // Trudy Sredne-volzhskogo matematicheskogo ob-westva. Saransk, 2004. № 1. T. 6. S. 215-225.
2. Koptev A. V. Pervyj integral i puti dal'nejshego integrirovanija uravnenij Nav'e — Stoksa // Izvestija RGPU im. A. I. Gercena: Estestvennye i tochnye nauki. 2012. № 147. S. 7-17.
3. Koptev A. V. Struktura reshenij uravnenij Nav'e — Stoksa: Nekotorye aktual'nye problemy sovremen-noj matematiki i matematicheskogo obrazovanija // Gertsenovskie chtenija — 2014. SPb.: RGPU im. A. I. Gercena, 2014. C. 71-74.
4. Ladyzhenskaja O. A. Matematicheskie voprosy dinamiki vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. M.: Nauka, 1970, 288 s.
5. TemamR. Uravnenija Nav'e — Stoksa. Teorija i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981, 408 s.
6. Сhaгles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes equation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. P. 1-5.

читать описание
Star side в избранное
скачать
цитировать
наверх