К задаче замыкания дифференциальных систем с вырождающейся диффузией Текст научной статьи по специальности «Математика»

е е—

е —е

УДК 517.925.5:519.216

К задаче замыкания дифференциальных систем с вырождающейся диффузией

Г. Т. Ибраева, М. И. Тлеубергенов

Лаборатория дифференциальных уравнений Институт математики Казахстан, 050010, Алматы, ул. Пушкина, 125

Получены необходимые и достаточные условия разрешимости обратной задачи замыкания в классе стохастических дифференциальных систем Ито первого порядка со случайными возмущениями из класса винеровских процессов и вырождающейся относительно части переменных диффузией.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, стохастические уравнения, интегральное многообразие, функция, вероятность, вектор.

Введение

Основы теории и общие методы решения обратных задач дифференциальных систем разработаны в [1-7] и др. для детерминированных систем, уравнения которых являются обыкновенными дифференциальными уравнениями. Так, в работе Еругина [1] строится множество обыкновенных дифференциальных уравнений, которые имеют заданную интегральную кривую. Эта работа впоследствии оказалась основополагающей в становлении и развитии теории обратных задач динамики систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ). В работах [2-7] изложены постановка, классификация обратных задач дифференциальных систем и их решение в классе ОДУ. Следует отметить, что один из общих методов решения обратных задач динамики в классе ОДУ предложен в [7].

В работах [8-10] обратные задачи динамики рассматриваются при дополнительном предположении о наличии случайных возмущений из класса винеровских процессов и, в частности, решены:

1) основная обратная задача динамики — построение множества стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито, обладающих заданным интегральным многообразием;

2) задача восстановления уравнений движения — построение множества управляющих параметров, входящих в заданную систему стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито, по заданному интегральному многообразию;

3) задача замыкания уравнений движения — построение множества замыкающих стохастических дифференциальных уравнений второго порядка типа Ито по заданной системе уравнений и заданному интегральному многообразию.

Для разрешения обратных задач широко используется метод квазиобращения, в основе которого лежит Лемма 1 [7, с. 12-13].

Лемма 1. Совокупность всех решений линейной системы

Ну = д, Н = ), V = (ук), д = (дД ^ = 1 ,т; к = 1,п, т < п, (1) где матрица Н имеет ранг, равный т, определяется выражением

V = ЗУт + V". (2)

Статья поступила в редакцию 24.05.2007 г.

Физика. № 1 2008. с. 12

в1 . . вп

Н11 . . Н1 п

Нт1 . . Н Нтп

Ст+1,1 . . Ст+1 ,п

Сп-1,1 . . Сп- 1 ,п

Здесь в — произвольная скалярная величина,

[НС] — [Н\ ... Ьтст+1 ... Си-г]

есть векторное произведение векторов — (Н^к) и произвольных векторов Ср — — (срк), р — т + 1,п — 1; вк — единичные орты пространства Яп, уТ — (уЦ,), где

Vк

0

Нц

Нт1

Ст+1,1

С"п-1,1

1

Нгк

Нтк Ст+1 ,п

Сп— 1,к

0

Н1 п Н

Нтп Ст+1 ,п

Сп 1 ,п

— Н+д,

Н + — НТ(ННт)-1, Нт — матрица, транспонированная к Н.

1. Постановка общей задачи построения замыкающих стохастических дифференциальных уравнений и её решение

Пусть задано множество

А(г): Л(у1х,и,ю1г) — 0, где Л е Ят, Л — Л(у1х1ю1ю1г) е СУ ЦЦ (3)

и система стохастических дифференциальных уравнений Ито первого порядка вида

Гу — gl(y,z,v,w,t), [ х — д2(у, х, V, ю, ^ + а1(у, х, V, ю, Требуется достроить систему замыкающих уравнений вида

{V — д3(у,х,у,ю,г), 1 ю — д4(у, х, V, ю, ^ + а2(у, х, V, ю,

(5)

так, чтобы множество (3) было интегральным многообразием системы уравнений (4), (5). Здесь у е Я11, х е Я12, V е Яр1, ю е ЯР2, 11 + 12 + р1 + р2 — п, а — матрица (рхк), {£1 ^,и),... ,£к (¿,ш)} — система независимых винеровских процессов [11], заданная на некотором вероятностном пространстве (0,и,Р). Искомые для решения поставленной задачи вектор-функции д1, д2, дз, д4 и матрицы а1, а2 предполагаются из класса К-множества функций, непрерывных по £ и липшице-вых по у, х, V и ю в области

ин (Л) — {д — (уТ ,хТ ,ьТ ,юТ )Т : р(д, Л(г)) < Н, Н> 0}.

(6)

Поставленная задача обобщает рассмотренную в [10] задачу построения по заданному уравнению

х — ¡1(х,х,п,п,1) + а1 (х, х, и, и,

(7)

Т

V

V

V

и заданному множеству

Л(Ь) : Л(х,Х,п,П, Ь) = 0, где Л е Кт, X = Л(х,Х,п,П,Ь) £ С, стохастических дифференциальных уравнений Ито второго порядка

П = ¡2(х, X, п, П, Ь) + 02(х, X, п, П,

12 12 1 (о)

хх ,пй (8)

(9)

так, чтобы множество (8) было интегральным многообразием системы уравнений (7), (9).

Для решения поставленной задачи построения замыкающей системы уравнений (5) по правилу Ито дифференцирования сложной функции [11] Л = Л(у, г,ь,ю,Ь) в случае винеровского процесса имеем

• дЛ (ВЛ\ (дЛ\ (дЛ\ (дЛ \

Л = т Л Зу)91 Ч д~г) 92 Л до) 93 Л Зю) 94+

+ 51 + 52 + (ЗЛ \ ы + (£ \ Ы. (10)

1 'д2л - 1 \д2Л Т - 'д2Л в - го2л в -

2 дг2 0101 , 52 = 2 дю2 : 0202 . , а под дг2 1 и дю2 2

следуя [11], понимаются вектора, элементами которых служат следы произведений матриц вторых производных соответствующих элементов Л^(у, г, V, ю, Ь) вектора по компонентам г, ю на матрицы ^1,

дП

дг2

: А =

1 А

д^ А

V дг2

д 2л

дю2

: =

+ (д2Л1л

1;г —^ Б2 V дю2

. (д2Лт V дю2

где = 010Т, ^2 = 020Т. Введём далее произвольные типа Еругина [1] т-мерную вектор-функцию А и (т х к)-матрицу В со свойством: А(0, у, г, V, ю, Ь) = 0, В(0, у, г, V, ю,Ь) = 0 такие, что имеет место уравнение

Л = А(Л, у, г, V, ю, Ь) + В (Л, у, г, V, ю, Ь)£. (11)

Сравнивая уравнения (10) и (11), приходим к следующим соотношениям

дЛ {дЛ\ ГдЛ\ ГдЛ\ (дЛ, а а дЬ + 1 ~9у) 91 + ^ '92 + (^7 ) 9з + ( — )94 + 51 + 52 = Л

дг )

\дv /

V дю

дЛ\ (дЛ\

зл ь + зю.^2 = в.

Равенства (12) перепишем в виде

(12)

дЛ дЛ „ [дЛ дЛ дЛ п

ЗV93 + зю94 = А Л т + Зу91 + о;92 + 51 + 52

дЛ дЛ

— ^2 = В - — 01, дю дг

(13)

из которых нужно определить вектор-функции 93,94 и матрицу 02. Положим 93 п(у, г^,ю,Ь), где ц е К. Тогда выражение (13) примет вид:

дЛ дЛ дЛ дЛ дЛ

—94 = А - — + — 91 + — 92 + 51 + 52 + П дю \ дЬ ду дг дv

дЛ дЛ

— 02 = В - — 01. дю дг

Из соотношений (14) по формуле (2) леммы 1 определим искомые вектор-функцию д4 и матрицу в виде

94 = si &2i = S2

—С dw

где

dX OX dt dy9

dX

dz

- з\С dw + dX " dw + bi,

- dxc dw + dX " dw + Bi,

ei en

dXi dXi

dwi dwn

dXm dXm

dwi dwn

cm+i,i . . cm+i ,n

Cm-i,i . . cn+i,n

92 + Si + S2 + dX \ dv'n )

(15)

(16)

B = B - ^

dw

a2i — i-й столбец матрицы a2 = (&2vj) (v = 1,p2, j = l, k); Bi — i-й столбец матрицы B = (B^i) (^ = 1,pi, l = 1,k). Следовательно, справедлива Теорема 1:

Теорема 1. Для того, чтобы система дифференциальных уравнений типа Ито (4), (5) имела заданное интегральное многообразие (3), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты замыкающих стохастических дифференциальных уравнений (5), вектор-функцияg4 и матрица а2 имели соответственно вид (15) и (16).

2. Линейный случай обратной задачи замыкания

По заданному линейному множеству

A(t) : X = Hi(t)y + H2(t)z + H3(t)v + H4(t)w + h(t) = 0

и системе стохастических дифференциальных уравнений вида

( y = Ф1(€)у + Ф2(t)z + Ф3(ф + + <p(t),

\z = Wi(t)y + &2(t)z + W3(t)v + Wi(t)w + -ф(-,t) + Ti(t)i

(17)

(18)

требуется достроить линейную замыкающую стохастическую систему уравнений первого порядка с вырожденной по части переменных диффузией вида

V = Gi(t)y + G2(t)z + G3(t)v + C4(t)w + g(t), w = Ui(t)y + U2 (t)z + U3(t)v + U4(t)w + u(t) + T2(t)Ç,

(19)

для которой множество (17) являлось бы интегральным многообразием, иначе говоря, по заданным матрицам И\(г), Н2(г), Н3(г), Н4(г), Ф\(г), Ф2(г), Ф3(г), Ф4(г), &\(г), &2(¿), &з(г), &4(¿) и функциям Н(Ь), ф(Ь), ф(Ь) требуется определить матрицы

с^г), С2(г), Сз(г), С4(г), и^г), и2(г), из(г), Щ(г) и вектор-функции д(г) и и(г), а также матрицу Т2(г) так, чтобы для системы уравнений (18), (19) заданные свойства (17) являлись интегральным многообразием.

i

е е—

е —е

В рассматриваемой задаче уравнение возмущённого движения (10) имеет вид

Л = }г(1) + Щ(г)у + Н г(г)у +

+ щ(г)г + н2(г)г + Н3(г)у + н3(г)ь + и4(г)ю + и4(г)ю =

= К(г) + иг(г) [Фг(г)у + Ф2(г)г + ф3(Ф + + <^(г)] + + И г (г) у + щ(г) [Фг(г)у + Ф2(г)г + Ф3(г)у + + ф(г)] + + И2(г) г + и3(г) [Ог(г)у + О2(г)г + о3(г)у + +о4(г)т + д(г)] + + н3(г)ь + щ(г) [иг(г)у + щ(г)г + и3(г)ь + щ(г)ю + и(г)] +

+ И4(г)т + (И2(г)Тг(г) + щ(г)Т2Ш, (20)

а, с другой стороны, с помощью произвольной вектор-функции Еругина А = А\(г)Л и матрицы-функции Вг со свойством Вг(0, у, г, V, т,г) = 0 имеем

^ = А!Л + Вг£. (21)

Тогда из соотношений (20) и (21) следуют равенства:

Агиг(г)у + АгЩ(г)г + АгЩ(г^ + Аги4(г)ю + АгН(г) =

= К(г) + щ(г) [Фг(г)у + Ф2(г)г + Фз(г^ + Ф4(г)ю + <^(г)] + + иг(г)у + щ(г) [Фг(г)у + +Ф2(г)г + Фз(г)у + %(г)ю + ф(г)] + + и2(г)г + из(г) [Ог(г)у + О2(г)г + о3(г^ + о4(г)т + д(г)] + + йз№ + щ(г) [иг(г)у + щ(г)г + из(г> + щ(г)ю + и(г)] + и4(г)ю,

Вг = и2(г)Тг(г) + и4(г)Т2(г), которые преобразуются к виду:

' из (г) О г (г) + и4 (г)иг(г) = Агиг(г) - (Ыг(г)Фг(г) + и2(г)Фг(г) + !!г(г)] из(г)С2(г) + и4(г)Щ(г) = АгЩ(г) - (щ(г)Ф2(г) + Щ(г)Ф2(г) + Щ(г)] из(г)Оз(г) + и4(г)из(г) = АгЩ(г) - Шг)Фз(г) + Щ(г)Фз(г) + из(г)

(22)

из(г)О4(г) + и4(г)Щ(г) = Аги4(г) - {иг(г)Ф4(г) + Щ(г)Ф4(г) + Н4(г)'

из(г)д(г) + и4(г)и(г) = Агн(г) - (иг(г)^(г) + щ^Щг) + ь(г) Щ(г)Т2(г) = Вг - и2(г)Тг(г).

Пусть Ог(г), О2(г), Оз(г), О4(г) —произвольно заданные непрерывные матрицы соответственно порядка (рг х 1г), (рг х 12), (рг х рг), (рг х р2), а д(г) —произвольно заданная непрерывная вектор-функция, тогда (22) можно переписать в виде:

и4(г)иг(г) = Агиг(г) - (Ыг(г)Фг(г) + Щ(г)Фг(г) + Нг(г) - из(г)Ог(г)у Щ(г)и(г) = АгЩ(г) - (щ(г)Ф2(г) + Щ(г)Ф2(г) + щ(г) - Щ(г)О2(г)] Щ(г)из(г) = АгЩ(г) - (иг(г)Фз(г) + Щ(г)Фз(г) + щ(г) - щ(г)Оз(г)), (23) Щ(г)и4(г) = АгЩ(г) - (щ(г)Ф4(г) + Щ(г)Ф4(г) + и4(г) - Щ(г)О4(г)] ]Щ(г)Т2(г) = в г - и2(г)Тг(г).

© е—

а —е

По лемме 1 совокупность всех решений системы уравнений (18), (19) на основании (23) примет вид:

щ(г) = в! [Щ(г)с] + [Щ(г)]+ыи и2(г) = в2 [Щ(г)с] + [Щ(г)]+м2, и3(г) = вз [Н4(г)С] + [Н4(г)]+Мз, Щ(г) = в4 [Н4(г)С] + [Щ(г)]+м4, и(г) = въ [Щ(г)С] + [Щ(г)]+ м5, Т2г(г) = вб [Н4(г)С] + [Н4(г)]+ вг,

где в)л (^ = 1, 2, 3, 4, 5, 6) —произвольные скалярные величины,

(24)

м-1 = л1Н1(г) - (и1(г)Ф1(г) + щ(г)&1(г) + Щ(г) - Н3(г)с(г)^ М2 = Л1Н2(г) - (Н1(г)Ф2(г) + Н(г)&2(г) + Щ(г) - Нз(г)С2(г)] Мз = Л1Нз(г) - (Н1(г)Фз(г) + н2(г)&з(г) + Нз(г) - Нз(г)Сз(г)] М4 = Л1Н4(г) - (н1(г)Ф4(г) + Щ(г)&4(г) + Щ(г) - Нз(г)С4(г)], м5 = Л1Н(г) - Шгмг) + Н2(г)-ф(г) + н(г) - Нз(г)д(г)]

Т21 - 1-й столбец матрицы Т = (Т2„^), (V = 1,р2, ] = 1, к).

Тем самым доказана Теорема 2:

Теорема 2. Для того, чтобы стохастическая система линейных дифференциальных уравнений первого порядка Ито (18), (19) имела заданное линейное интегральное многообразие (17), необходимо и достаточно, чтобы при произвольно заданных непрерывных матрицах С1(г), С2(г), Сз(г), С4(г) и вектор-функции д(г) матрицы и1(г), и2(г), из(г), и4 (г), Т2(г) и вектор-функция и (г) имели соответственно вид (24).

. Скалярный нелинейный случаи обратной задачи замыкания

По заданному множеству

Л(г) : п(у,и,г,у,г) = 0, где ц е Я1, (25)

и системе стохастических дифференциальных уравнений

(у = Ю1(у,и,г,у,г), [и = ш2(у, и, х, V, г) + 71(у, и, х, V, г)£

требуется достроить замыкающую систему уравнений вида

{х = юз(у, и, х, V, г), V = Ю4 (у, и, х, V, г) + 72(у, и, х, V, г)£,

(26)

(27)

где £ = £(г,и) —скалярный винеровский процесс [11], так, чтобы множество (25) было интегральным многообразием системы уравнений (26), (27). Задача заключается в определении функций юз, т4 и 72 по заданным функциям Ю1, Ю2, и заданному интегральному многообразию ц(у, и, х, V, г) = 0.

© ф—

е —ф

Дифференцируя сложную функцию п = п(у, и, г, V, г) по правилу стохастического дифференцирования Ито [11] в случае винеровского процесса имеем

дп дп дп дп дп П = + тт шг + Ш2 + тг ™з + ш4 = дг ду ди дг дv

= 2 (+ + (+ (28)

Далее, следуя методу Еругина [1], введём скалярные функции а = а(п,у,и, х,^),г) и Ь = Ь(п,у,и, х,^),г), а(0,у,и, х,^),г) = Ь(0,у,и, х,^),г) = 0 такие, что имеет место равенство

г] = а + Ь£. (29)

Из (28) и (29) следуют соотношения

дп дп дп дп дп 1 дп дп

— + — ыг + Ш2 + шз + — Ы4 + - —^г + Ъ ) = а, дг ду ди дг дv 2 \ди дv )

дп дп

-ттИ + 12 = Ь, ди дv

которые перепишем в виде

дп дп дп дп дп 1 дп дп

7Ттз + 7Тш4 = а - — + шг + ш + - ^~1г + 12 дг дv \дг ду ди 2 \ ди дv

дп дп

ттЪ = Ь - тт- 1г. дv ди

(30)

Положим шз = •ю(у,и,х,1),г), где ш £ К. Тогда из (30) следует справедливость соотношений:

дп дп дп дп 1 дп дп дп

—ш4 = а - — + — шг + ш2 + - тт1г + тт12) - шз дv \дг ду ди 2 \ди д^ / дг

дп дп

ттЪ = Ь - тт- 1г. дv ди

(31)

(дп\-г

Из (31) в предположении, что ( ) = 0, имеем

ш4

12

дп -г дV) аг дл\г ъ

дv) '

(32)

где

{дп дп дп 1 {дп дп \ дп

аг = а Л дг + дуиг + виШ2 + 2 + дР2) -

дп

Ьг = - д~иЪ

Соотношения (32) представляют собой решение стохастической задачи замыкания — задачи построения замыкающих уравнений (27) по заданному интегральному многообразию (25) и заданному уравнению (26).

Таким образом, в обратной задаче замыкания при наличии случайных возмущений из класса винеровских процессов в общем нелинейном, линейном, а также скалярном нелинейном случаях построены множества замыкающих стохастических дифференциальных уравнений Ито первого порядка с вырождающейся по части переменных диффузией и обладающих заданным интегральным многообразием.

Вестник РУДН, Серия Математика. Информатика. Физика. № 1. 2008. с. 12-19 19

Литература

1. Еругин Н. П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую // ПММ. — Т. 10, вып. 16. — 1952. — С. 659-670.

2. Построение систем программного движения / А. С. Галиуллин, И. А. Муха-метзянов, Р. Г. Мухарлямов, В. Д. Фурасов. — М., 1971.

3. Галиуллин А. С. К задаче построения систем дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения. — Т. 6, № 8. — 1970. — С. 1343-1348.

4. Галиуллин А. С. Построение поля сил по заданному семейству траекторий // Дифференциальные уравнения. — Т. 7, № 8. — 1981. — С. 1487-1489.

5. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. — М., 1986.

6. Галиуллин А. С., Мухаметзянов И. А., Мухарлямов Р. Г. Обзор исследований по аналитическому построению систем программного движения // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — № 1. — 1994. — С. 5-21.

7. Мухарлямов Р. Г. О построении систем дифференциальных уравнений движения механических систем // Дифференциальные уравнения. — Т. 39, № 3. — 2003. — С. 343-353.

8. Тлеубергенов М. И. Об обратной стохастической задаче динамики // Вестник РУДН. Серия «Прикладная математика и информатика». — № 1. — 1999. — С. 48-51.

9. Тлеубергенов М. И. Об обратной задаче восстановления стохастических дифференциальных систем // Дифференциальные уравнения. — Т. 37, № 5. — 2001. — С. 714-716.

10. Тлеубергенов М. И. Об обратной стохастической задаче замыкания // Доклады МН-АН РК. — № 1. — 1999. — С. 53-60.

11. Пугачев В. С., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. Анализ и фильтрация. — М., 1990.

UDC 517.925.5:519.216

To the Problem of Closure of Differential Systems with Degenerating Diffusion

G. T. Ibraeva, M. I. Tleubergenov

Laboratory of Differential Equations Institute of Mathematics 125, Pushkin str., Almaty, 050010, Kazakhstan

Necessary and sufficient conditions of inverse problem of closure in the class of Ito stochastic

first order differential systems with random disturbances are received.