CC BY
50
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Т о м XV 1984
№ 2
УДК 629.735.033
К ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ КОНСТРУКТИВНО-СИЛОВЫХ СХЕМ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ АНИЗОТРОПНОЙ МОДЕЛИ
Н. В. Баничук, В. И. Бирюк, Д. М. Епураш
Рассматривается задача оптимизации анизотропных свойств двумерных элементов конструкций из локально-ортотропного материала. Отыскивается наилучшая ориентация осей ортотропии упругой среды из условия минимума функционала интегральной жесткости. Полученное распределение ориентации осей ортотропии может быть использовано для формирования конструктивно-силовой схемы, поскольку найденные линии направления осей могут рассматриваться в качестве сосредоточенных элементов (типа ребер жесткости).
Одной из сложнейших задач оптимизации конструкции является выбор конструктивно-силовой схемы, т. е. расположение в конструкции сосредоточенных силовых элементов, образующих каркас конструкции. Подобные задачи обычно решают либо используя предварительную континуальную модель конструкции, в которой проводится оптимизация распределения силового материала и на основе анализа основных путей передачи усилий выбирается конструктивно-силовая схема, либо конструктивно-силовая схема задается на основании статистики, опыта или экспериментальных данных, полученных на моделях.
При использовании континуальной модели не всегда возможно получить приемлемые решения, поскольку авиационные конструкции, как правило, конструктивно-анизотропные, поэтому было бы целесообразно использовать для целей выбора конструктивно-силовой схемы анизотропные модели.
Ряд исследований, в которых рассмотрены некоторые вопросы выбора оптимальных распределений модулей жесткости упругих тел, выполнен в работах [1—7].
В данной работе рассматриваются плоские ортотропные элементы конструкции, в каждой точке которых может быть своя ориентация осей ортотропии.
1. Постановка задачи. Рассмотрим задачу о равновесии упругого анизотропного тела. Будем предполагать, что упругая среда является ортотропной, т. е. через каждую точку тела проходят три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии. На части контура Г! тело нагружено силами q^, а на остальной части контура Гв жестко закреплено. Систему координат ХУХ выбираем так, чтобы плоскости координат совпадали с плоскостями упругой симметрии. Предположим далее, что нагрузки вызывают только малые деформации.
Предположим, что оси координат X, У не совпадают с главными направлениями ортотропии 5, ц. Ориентацию осей ортотропии относительно осей фиксированной системы координат X, У в точке с координатами х, у зададим при помощи угла а = а(х, у), где а — угол между осями X и 6. Заметим, что положение осей упругой симметрии относительно фиксированной системы координат ХУ изменяется при переходе от одной точки тела к другой, значения же упругих модулей Атп [8] в осях упругой симметрии остаются неизменными.
Функцию а = а (х, у) примем в качестве управляющей переменной, а величину работы внешних сил, приложенных к контуру —в качестве оптимизируемого функционала:
Па) = |(«<Ь + Щу) (1.1)
г.
Рассмотрим задачу отыскания оптимальной ориентации осей ортотропии из условия минимума функционала (1.1):
У* = т1п У (а). (1.2)
а
Равновесие упругого тела при указанных граничных условиях характеризуется вариационным принципом
Г С , ( ди dv ди dv \ Г
П (и, v, а) = / I •, -jfc- , -gy-, -gy- , a I dxdy— (uqx + vqy) dz min ;
a f,
/ = ~2~ (^u £* + ^22 ey + Am Тдгу) + ^12 Ex By + Аб BX ~txy + ^26 sy ~ixy<
(1 3)
где 2 — область, ограниченная контуром Г, Атп — модули упругости в фиксированной системе координат, вх, гу и -(Ху компоненты тензора деформаций. Связь
между модулями упругости Атп и заданными константами ортотропии Хтп задается известными формулами перехода [8].
Заметим далее, что для рассматриваемой выше задачи оптимизации вследствие того, что уравнения равновесия в перемещениях являются уравнениями Эйлера для функционала (1.3), дифференциальные связи можно исключить
из рассмотрения. Учитывая, что для функций перемещения и = и(х, у), v = = v(x, у), минимизирующих функционал (1.3), имеет место равенство П = — У, запишем соотношение между П и У в следующем виде:
J — — min, П.
«, V
С учетом этого равенства задача оптимизации (1.2) сводится к последовательному вычислению минимума по и и v и максимума по а функционала П:
У* = min (— min, П) = — max, min, П. (1.4)
a a, v а и, v
Таким образом, задача определения оптимальной ориентации осей ортотропии
сводится к отысканию максимина.
2. Метод численного решения. Для решения сформулированной задачи оптимизации (1.4) применялся алгоритм, в основе которого заложено использование нескольких методов: метода градиентов для отыскания максимума по а, метода сопряженных градиентов и модифицированного метода локальных вариаций для определения минимума по и и v.
Рассмотрим функцию а° (х, у) и, наряду с ней, функцию а1 (лг, у), определяемую формулой
а1 (г, у) = а° (х, у) + 8^ (X, у), (2.1)
где через Ва обозначена малая вариация функции а (х, у). В дальнейшем нам требуется выражение для вариации 5а, приводящей к увеличению функционала П, т е. первая вариация 5аП функционала, обусловленная вариацией Ъа управляющей функции, должна быть положительной. Для этого достаточно положить
h = (М)
О а
где t — малое положительное число (шаг по градиенту). Тогда
5“п = Я Э7 dxdy = * II {Ш dxdy > °-
2 2
Следовательно, подбирая достаточно малое положительное число t и вычисляя по формулам (2.1) и (2.2) новую управляющую функцию а1 (х, у), можно увеличить функционал П. Таким образом можно построить следующий алгоритм отыскания управляющей функции а = а (х, у). Пусть известно к-е приближение для управляющей функции ак (х, у) и для функций состояния ик (х, у), ик(х, у). С использованием величины к-го приближения ик (х, у) V*1 (х, у) по формуле
вычисляется вариация управляющей функции и тем самым определяется (£-|-1)-е приближение для управляющей функции
а*+1 = ак + 1
Затем для найденного распределения угла ортотропии
(х, у) решается
вариационная задача (1.3) и определяются тем самым и(х, у), V +1 (х, у). Процесс решения оптимизационной задачи оканчивается, если выполняется условие
шах
ПЙ+1 _ п*
П1 — ПО
, шах (•*, у)
д/
(2.3)
где е — достаточно малое положительное число. Условие (2.3) означает требование малости приращения функционала и невязки выполнения необходимого условия оптимальности.
Для решения вариационной задачи минимизации функционала П но и и V применялось сочетание двух методов: метод сопряженных градиентов и модифицированный метод локальных вариаций с переменными шагами варьирования.
Разностно-квадратурная аппроксимация [9, 12, 13] позволяет свести задачу минимизации функционала (2.3) к решению задачи нелинейного программирования при квадратичной целевой функции. Метод сопряженных градиентов [14, 15] при большом числе переменных плохо сходится, поэтому целесообразно его использовать на грубой сетке, а на более точной сетке минимизацию проводить методом локальных вариаций с переменными шагами варьирования [10, 11].
3. Численные результаты Описанный выше алгоритм реализован в виде программы, по которой проводились расчеты оптимального распределения углов ортотропии для области 2 (0 ^ х < а, кх у Ь.х + Ь) при различных значениях параметра к, который определяется углом ? наклона прямой у — кх относительно координат оси X. Рассматривался случай, когда пластинка нагружена сосредоточенной силой в точке х—а, у=ка, действующей в отрицательном направлении оси х, и закреплена вдоль стороны л: = 0. Значения модулей Юнга Еи £2, модуля сдвига и коэффициентов Пуассона полагались равными: Ег = 17,5, £2 = 13,1, 0]3 = 2,82-Ю4 (в кг/см2), Ч12 = 0,1, ч21 = 0,07Ъ. Параметры вычислительного алгоритма полагались равными е0 = 10 8, а— 10-2- Сначала расчеты проводились на прямоугольной сетке с 50 ячейками (Ы — 10, М = 5), на которой выполнялись 100 итераций метода сопряженных градиентов. Затем решение задачи продолжалось на сетке из 200 ячеек (Л^ = 20, М — 10), причем в качестве начального Приближения ДЛЯ фуНКЦИЙ и И V на МеЛКОЙ Сетке браЛИСЬ ВеЛИЧИНЫ Ну И VI],
получаемые линейной итерацией по значениям, найденным на грубой сетке. На мелкой сетке выполнялись сначала 100 итераций по методу сопряженных градиентов, а затем решение продолжалось по методу локальных вариаций до полного достижения требуемой точности. Учитывая тот факт, что функционал задачи обладает несколькими экстремумами относительно управляющей функции а [5], в целях определения глобального экстремума при решении задачи брались различные начальные приближения для распределения углов наклона осей ор-
Ь
тотропии. Решение разыскивалось для ряда значений параметра ср при Х=— = 1.
На рис. 1—3 приведены оптимальные распределения углов а (х, у) соответ-
71 71
ственно для значений ср = 0, —Касательные к линиям, приведенным на этих фигурах, показывают направление с максимальным модулем упругости.
qr=~0,1
Рис. З іх ’
10 — «Ученые записки» № 2 137
Для сравнения сопоставлялись значения функционалов для полученных оптимальных пластинок и для пластинок с распределением углов ортотропии
а — — ап^ 1, соответствующим веерообразному распределению из точки
приложения силы. Выигрыш, получаемый за счет оптимизации, при изменении параметра <р от 0 до —тс/4 увеличивается от 10 до 20%.
Результаты, полученные на рис. 2 и 3, могут быть использованы, например, при выборе подкреплений панелей киля Т-образного оперения, у которого основная нагрузка от стабилизатора приходится на задний лонжерон. В этом случае при использовании изотропных конструкций можно трактовать траектории как ребра жесткости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Аннин Б. Д. Оптимальное проектирование упругих анизотропных неоднородных тел. — Тр. III национального конгресса по теоретической и прикладной механике,—Варна: 1977.
2. Образцов И. Ф., Васильев В. В., Бунаков В. А. Оптимальное армирование оболочек вращения из композиционных материалов.— М.: Машиностроение, 1977.
3. Бани чу к Н. В. Об оптимальной анизотропии скручиваемых стержней.—Изв. АН СССР, МТТ, 1978, № 4.
4. Т е т е р с Г. А., Р и к а р д с Р. Б., Н а р у с б е р г В. Л. Оптимизация оболочек из слоистых композитов.—Рига: Зинатне, 1978,
5. Бани чу к Н. В. Оптимизация анизотропных свойств деформируемых сред в плоских задачах теории упругости,—Изв. АН СССР,
МТТ, 1979, № 1.
6. Лурье К. А. Некоторые задачи оптимального изгиба и растяжения упругих пластин.—Изв. АН СССР, МТТ, 1979, № 6.
7. Б а н и ч у к Н. В. Оптимизация форм упругих тел. —М.: Наука,
1980.
8. Лехницкий С. Г. Теория упругости анизотропного тела.—
М.: Наука, 1977.
9. Баничук Н.В., Картвелишвили В. М., МироновА. А. Численное решение двумерных задач оптимизации упругих пластин.—
Изв. АН СССР, МТТ, 1977, № 1.
10. Ч е р н о у с ь к о Ф. Л., Б а н и ч у к Н. В. Вариационные задачи механики и управления.— М.: Наука, 1973.
11. М у х а м е д и е в Ш. А., Никитин Л. В., Юнга С. Л. Применение модифицированного метода локальных вариаций к задачам нелинейных механических разрушений. — Изв. АН СССР. МТТ, 1976,
12. Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Черноус ь-к о Ф. Л. О вариационно-разностных методах и вопросах их сходимости.—М.: Препринт ИПМ АН СССР, 1975, № 60.
13. Баничук Н. В., Картвелишвили В. М., Черноус ь-ко Ф. Л. О разностно-квадратурных аппроксимациях выпуклых интегральных функционалов.—ДАН СССР, 1976, 231, № 2.
14. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации,—М.: Наука, 1978.
15. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач,—М.: Наука, 1980.
Рукопись поступила 6/1Х 1982 г.
