К задаче о целостности L-функции Артина Текст научной статьи по специальности «Математика»

В. Н. Кузнецов и др. К задаче о целостности L-функции Артина

References

1. Khromov A. P. Integral operators with kernels that are discontinuous on broken lines. Sbornik: Mathematics, 2006, vol. 197, no. 11, pp. 1669-1696. DOI: 10.4213/sm1534.

2. Koroleva O A., Khromov A. P. Integral operator with a kernel that has jumps on broken lines. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 2, pp. 613 (in Russian).

3. Kornev V. V., Khromov A. P. Uniform convergence

of expansions in eigenfunctions of integral operators with kernels that can have discontinuities on the diagonals. Sbornik: Mathematics, 2001, vol. 192, no. 10, pp. 1451— 1469. DOI: 10.4213/sm601.

4. Koroleva O A. On Convergence of Riesz Means of the Expansions in Eigen and Associated Functions Integral Operator with Kernel Having Jumps on Broken Lines. Izv. Sarat. Univ. N.S. Ser. Math. Mech. Inform., 2013, vol. 1, iss. 2, pp. 63-67 (in Russian).

УДК УДК 501.1

К ЗАДАЧЕ О ЦЕЛОСТНОСТИ Ь-ФУНКЦИИ АРТИНА

В. Н. Кузнецов1, В. В. Кривобок2, Д. С. Степаненко3

1 Доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KuznetsovVN@info.sgu.ru

2Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, KrivobokVV@info.sgu.ru

3Ассистент кафедры компьютерной алгебры и теории чисел, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, stepanenko.dmitry@gmail.com

В работе определяется класс Ь-функций Артина, которые являются мероморфными функциями, полюсы которых лежат на критической прямой Ие 5 = 1/2 и совпадают с нулями Z-функций Дедекинда некоторых числовых полей.

Ключевые слова: Ь-функция Артина, теорема Брауэра.

ВВЕДЕНИЕ

Пусть К — нормальное расширение числового поля к степени п и С — группа Галуа этого расширения. Пусть {М(д)}де^ — представление группы С в группу матриц размерности п х п и х — характер этого представления:

Х(д) = Яр М(д), д е

где Яр М(д) означает след матрицы М(д).

Ь-функция Артина определяется следующим образом:

L(s,x) = L(s,x,K |k) = I]

I—M

K |k

p

N (p-*)

-1

где p — неразветвленный простой идеал поля k,

K/k

p

— автоморфизм Фробениуса (т. е. образующий

' K/k'

I—M

p

N(p-*)

элемент, связанный с расширением классов вычетов по модулю р), а

характеристический многочлен матрицы М(д) при А = N(р)-8.

Отметим некоторые свойства Ь-функции Артина [1,2].

1. Ь(з,х) регулярна при а > 1.

2. Если расширение К|к абелево, а х — простой характер, то определение функции Ь(з,х) за вычетом множителей, относящихся к разветвленным простым идеалам, совпадает с Ь-функцией Дирихле.

3. Пусть О — промежуточное поле между К и к, являющееся нормальным над к. Пусть Н = Оа1(К|О) так, что Н — нормальный делитель в С и С|Н = Оа1(О|к).

Тогда каждый характер х группы С|Н можно очевидным образом рассматривать как характер группы С, причем Ь(з,х, К|к) = Ь (з,Х, О|к).

4. Предположим, что х — непростой характер в С, а именно х = Х1 + Х2. Тогда

Ь(з,х) = Ь(з,х1 )Ь(з,х2).

© Кузнецов В. Н, Кривобок В. В., Степаненко Д. С., 2013

23

5. Предположим снова, что О — поле между К и к, но уже не обязательно нормальное над к. Пусть Н = Оа1(К|О) и пусть С = ^На; есть разложение группы С на правые классы смежности.

г

Каждому характеру х группы Н соответствует индуцированный характер х* группы С:

х*Ы = 5^ х(«гМ«г-1 ),М е

а; да-1

при этом Ь(з, х*, К|к) = Ь(з, х, К|О).

В начале 1930-х гг. Артин высказал предположение о целостности Ь-функции в случае неглавного характера [1]. В направлении решения этой гипотезы Р. Брауэром в 1947 г. было доказано следующее утверждение [3].

Теорема (Брауэр). Неабелев характер х можно разложить в виде линейной комбинации индуцированных характеров х* циклических подгрупп с целыми коэффициентами, т. е.

х = ^5^ пг,ахг,а-

а г=1

Как следствие теоремы Брауэра, получается мероморфность Ь-функции Артина.

Действительно, рассмотрим семейство циклических подгрупп На группы С и семейство характеров ха этих циклических подгрупп. Из теоремы Брауэра следует, что неабелев характер х можно разложить в виде линейной комбинации индуцированных характеров ха- с целыми коэффициентами. Отсюда в силу свойств Ь-функции Артина следует представление Ь-функции Артина в следующем виде:

ГШ*,хг, К|ка; )П;

Ь(з,х,К|к) = гГП---------К|к )п’

ПЬз («,хз,К ^ )п

где хг,хз — характеры циклических групп С(К|ка), что и доказывает мероморфность Ь-функции Артина.

В 1949 г. Брауэр показал, что Ь-функция в случае неглавного характера является регулярной и не обращается в ноль при а > 1, и возможные полюсы этой функции могут располагаться в критической полосе 0 < а < 1. В работе [4] приводится уточнение результата Брауэра, а именно показывается, что возможные полюсы Ь-функции могут лежать только на критической прямой а = 1/2.

В данной статье указывается класс Ь-функций Артина, полюсы которых лежат на критической прямой а = 1/2 и совпадают с нулями некоторой Z-функции Дедекинда.

ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА

Пусть дано расширение к С К с характером х и группой Галуа С.

Теорема. Пусть для характера х имеет место разложение

т 8;

х(д) = 1>21>2ггзх3 - г0х*(д), (1)

г=1 3 = 1

где ггз — положительные рациональные числа, а х*з — индуцированные характеры некоторых

^3 т

циклических подгрупп С = и Нг, где Нг П Н3- = {е}, г = ]. Тогда Ь(в, х) — мероморфная функция,

г=1

полюсы которой являются нулями некоторой Z-функции Дедекинда и лежат на прямой а = 1/2. Доказательство. В силу (1) и свойства 4 Ь-функции Артина получаем:

т 8;

' Г;

П П ЬГ« (в,хг,-,К|кгз)

Ь(в,х,К |к) = гП 3П 7Г0 (<Л--------------.

Zк (5)

Отсюда в силу мероморфности функции Ь(з, х) ее полюсы совпадают с некоторыми нулями Z-функции Дедекинда, которые в силу работы [4] лежат на критической прямой а = 1/2.

В. Н. Кузнецов и др. К задаче о целостности Ь-функции Артина

Ех|Н*, д = е

гт1 (2)

Ех|Н*- (т - 1)х(е), д = е-

г=1

Покажем, что существует достаточно много расширений и характеров Артина, удовлетворяющих условию (1).

Рассмотрим расширение Галуа к С К с группой Галуа С.

т

Предположим, что группа С представима в виде С = Нг, где Н* — циклические и Н*ПН3- = {е},

г=1 г = 3.

Рассмотрим следующее представление характера х:

х(д) =

^ - 17-т- / \ | п = [С], д = е,

Обозначим х = х|Нг и хо(д) = < п

0, д = е.

Предположим также, что

8;

х*(д) = 5^ г*зх*з(д)> д е Н*> (3)

(3 = 1)

где Г3 — некоторые положительные рациональные числа, а х*3 — одномерные характеры подгрупп Н*. В силу (2) и (3) выполняется соотношение (1)

т 8;

х(д) = 5] х*з- го хО (д)-

г=1 3 = 1

Остановимся на примерах расширений, для которых выполняются (2) и (3).

Пример 1. Пусть С — неабелева группа 6-го порядка, т. е. [С] = 6 = 2 ■ 3. В работе [2] показано, что неабелев характер можно представить в виде

^з(д) = (х1 + х*)(д) + 1(х4,2 + х4,з)(д) - х* (д).

Пример 2. Рассмотрим случай, когда порядок группы С является произведением двух простых, т. е. [С] = п = р1 ■ р2, р1 < р2. Как следует из теории конечных групп [5], в С существует нормальная подгруппа Н порядка р2. Пусть Н1 — подгруппа порядка р1.

Известно [5], что если С неабелева, тор1 |(р2 — 1) (в противном случае получим, что С — абелева). Рассмотрим группу С|Н. Так как С|Н — циклическая группа порядка р1, каждый её характер является одномерным. Известно [2], что каждый характер группы С|Н продолжим на всю группу С, причем число таких характеров равно р1. Число сопряженных классов у подгруппы Н1 равно р1 — 1 (порядок Н1, за исключением тривиального класса е), у Н два класса сопряженности (Н и е), тогда общее число сопряженных классов равно р1 — 1 + 1 + 1= р1 + 1.

Как показано в [6], число простых характеров группы С равно числу классов сопряженных элементов этой группы. Кроме того, имеет место равенство

^ п2 = п, (4)

где п* — размерность простого характера , а п = [С].

Следовательно, существуют р1 + 1 простых характеров группы С. Из них р1 одномерных — ^1,... ,^Р1 и один неодномерный — ^. Пусть его «толщина» равна ё, т. е. ^(е) = ё. Тогда по формуле (4) в нашем случае получим:

Р1Р2 = 12 +------+ 12 + ё2 Р1 (Р2 — 1) = ё2.

Извлечение корня возможно лишь в случае, когда р2 — 1 = р1^2 или р2 — 1 = р1 ё2. Тогда ё = р1 ^1. Рассмотрим соотношение ортогональности, приведенное в [6]:

Р1

(д) + ^(е)^(д) = х*(д)- (5)

г=1

Математика

25

Р2

Имеем С = ( и Н* ) иН. Тогда

Ч*=1

Ф’(я) = ( Е ФН + Ф’Н 1 (д) — ^хО(д).

Найдем ф|Н*. Из соотношения (5) получаем:

фн Л;*- д=е (6)

0, д = е.

Если х1,---,хР1 -1 — одномерные простые характеры подгруппы Н1, то Е х*(д) = "I Р ’ д ^

X; 0, д = е.

Но р1 = ё/ё1. Следовательно,

*1 Ех*(дл , д = е

ф|Н* = {

Рассмотрим

0, д = е.

Р2 ( =

х*(д)^5^хо(а*д^-1 )^ Р2’ д . е *=1 I1, д =е,

так как Н1 состоит из р1 несопряженных элементов. Пусть х* = х0. Тогда

Р2 (

_.-ь |Р2, д =е

х**(д) = 5^ х3 (а*д 1)

г=1

Так как все элементы не сопряжены в Н1, то

*=1 I х3 (д), д = е-

ф|Н1 (д) = ]Г}х*(дл=|ё *1Р1 ’ д = е? (7)

В силу (6) и (7) получаем:

^|Н1(д) = *1 х*(д^ = *1 р2 х*(д)^

(8)

И так для любой подгруппы из класса сопряженных подгрупп Н1,... ,НР2.

Рассмотрим действие характера ф на подгруппе Н.

Так как ф3- полностью определяются только на подгруппах Н*, а на Н они равны 1, то из соотношения (5) имеем:

Ф|Н = { 9==е’ (9)

[-1/ё, д = еС другой стороны, пусть х3' — одномерные характеры группы Н. Для подгруппы Н имеется р классов смежности. Поэтому имеем

*^ ^ -^ ( -1\ /(р2— 1)р1, д =е, /*2, д =е,

2^ х*(д)= 2^ 2^х3(а*д«г )^^ 2^ х3(а*да )^ , = 4 ,,, ,

хПЛхо хПлХо *=1 *=1 хПЛхо 1—Р1' 5 =е 1—ё/*1 • д =е-

(10)

В силу (9) и (10) получаем:

ф|Н(д) = ^ х**) (д)-

V Хп =Х0 /

** 1(д)- (11)

Хп =Х0

Л. Л. Тюленева. Приближение периодических функций ограниченной р-вариации

Таким образом, в силу (8) и (11) получаем:

^(g) = dl

Е X*) (g) + Е j

. Xi / V Xj =Xo /

что соответствует условию (1) основной теоремы Библиографический список

1. Artin E. Uber eine neue Art von L-Reihen // Abh. Math. Sem. Hamburgischen Univ. 1923. Vol. 3. P. 89108.

2. Хейльброн Х. Z-функции и L-функции // Алгебраическая теория чисел. М. : Мир, 1969. С. 310-348

3. Brauer R. On Artin’s L-series with general group characters // Ann. of Math. 1947. Vol. 48. P. 502-514.

(g) - dlX*(g^

□.

4. Степаненко Д. С. Об одном уточнении теоремы Брауэра относительно Ь-функций числовых полей // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2012. Т. 12, вып. 4. С. 31-34.

5. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М. : Наука, 1972.

6. Ленг С. Алгебра. М. : Мир, 1968.

To the Problem of the Integrity of the Artin’s L-functions V. N. Kuznetsov, V. V. Krivobok, D. S Stepanenko

Saratov State University, Russia, 410012, Saratov, Astrahanskaya st., 83, KuznetsovVN@info.sgu.ru, KrivobokVV@info.sgu.ru, stepanenko.dmitry@gmail.com

In this paper was described a class of Artin’s L-functions, each of which is meromorphic, their poles lays on the critical line Re s = 1/2 and coincides with zeroes of Dedekind’s Z-functions of some fields.

Key words: Artin’s L-function, Brauer’s theorem.

References

1. Artin E. Ober eine neue Art von L-Reihen. Abh. Math.

Sem. Hamburgischen Univ., 1923, vol. 3, pp. 89-108.

2. Heilbronn H. Z-functions and L-functions. Algebraic Number Theory (Proc. Instructional Conf., Brighton,

1965), Washington, D.C., Thompson, 1967, pp. 310-348.

3. Brauer R. On Artin’s L-series with general group characters. Ann. of Math., 1947, vol. 48, pp. 502-514.

4. Stepanenko D. S. On verification of Brauer’s Theorem

УДК 517.518

ПРИБЛИЖЕНИЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ОГРАНИЧЕННОЙ Р-ВАРИАЦИИ ОБОБЩЕННЫМИ СРЕДНИМИ АБЕЛЯ-ПУАССОНА И ЛОГАРИФМИЧЕСКИМИ СРЕДНИМИ

А. А. Тюленева

Ассистент кафедры теории вероятностей, математической статистики и управления стохастическими процессами, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, aatuleneva@km.ru

В работе доказывается асимпотическая оценка приближения обобщенными средними Абеля-Пуассона и логарифмическими средними p-вариационной метрике на классе функций с заданной мажорантой p-вариационных наилучших приближений. Получен ряд других количественных результатов о приближении этими средними.

Ключевые слова: функции ограниченной p-вариации, обобщенные средние Абеля-Пуассона, наилучшее приближение, p-вариационный модуль непрерывности.

concerning Artin’s L-functions of Number Fields. Izv. Sarat. Univ. N. S. Ser. Math. Mech. Inform., 2012, vol. 12, iss. 4, pp. 31-34 (in Russian).

5. Kargapolov M. I., Merzliakov Iu. I. Osnovy teorii grupp [Fundamentals of Group Theory]. Moscow, Nauka, 1972 (in Russian).

6. Leng S. Algebra. Moscow, Mir, 1968 (in Russian).

( Тюленева Л. Л., 2013

27