К вопросу об определении радиальной деформации толстостенной трубы Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Ю. А. БУРЬЯН

B. Н. СОРОКИН

C. А. КОРНЕЕВ А. С. БЕКШЕНЁВ

Омский государственный технический университет ЗАО «Пирс», г. Омск

К ВОПРОСУ ОБ ОПРЕДЕЛЕНИИ РАДИАЛЬНОЙ ДЕФОРМАЦИИ ТОЛСТОСТЕННОЙ ТРУБЫ______________________________________

В статье рассмотрен расчётно-экспериментальный способ уточнения эффективного значения модуля Юнга материала толстостенной трубы с целью определения радиальной деформации трубы под внешним давлением.

Ключевые слова: деформация, модуль упругости, давление, напряжение.

Одним из перспективных методов повышения нефтеотдачи является локальный гидроразрыв пласта с помощью имплозионных устройств многоразового действия 11 ). Имплозионное устройство воздействует на пласт путём создания импульсов высокого давления в зоне перфорации, что приводит к улучшению фильтрационной характеристики призабойной зоны пласта из-за образования системы трещин. Основным узлом устройства является имплознонная камера с клапаном в нижней части (толстостенная труба диаметром 45...70 мм и длиной З...10м), в которой перемешается плунжер. При движении плунжера вверх в имплозионной камере создаётся разрежение, вто время как давление скважинной жидкости может достигать больших величин (20...30 МПа) в зависимости от глубины скважины.

Для обеспечения работоспособности данного устройства необходимо рассчитать минимальный зазор между трубой и плунжером, величина которого, с одной стороны, устраняла возможность заклинивания плунжера и, с другой стороны, сохраняла высокую степень создаваемого вакуума. Исчерпывающий ответ на поставленный вопрос даёт известное решение задачи Ламе классической теории упругости |2|:

и = —

2гА

;Р*.

(|

Здесь и = Аг, - радиальное смещение внутренних точек трубы под действием наружного давления р^ (рис. 1), г, и г2 — внутренний и наружный радиусы трубы в ненагруженном состоянии, Е модуль упругости Юнга.

Как известно (см., например, |3|), значении модуля Юнга у конструкционных сталей имеют разброс порядка 10% (Е= 190...210 ГПа). Согласно формуле (1), такой же разброс имеют значения радиальных перемещений:

Ди Д£ и " Е

Неопределенность модуля Юнга в состоянии поставки конкретной трубы вносит нежелательную погрешность, которую следует свести к минимуму. На это дополнительно накладывается погрешность,

которая связана с деформационной анизотропией свойств материала, неизбежно возникающей в процессе изготовления трубы. Наличие остаточных напряжений и деформаций также сказывается на несущей способности трубы, иногда очень существенно [А]. Данные обстоятельства следует учитывать при проведении расчётов, поскольку заклинивание плунжера является нештатной ситуацией, которая может привести к выходу из сгроя дорогостоящего оборудования скважины.

В принципе, из трубы, предназначенной для использования, можно вырезать небольшие образцы (вдоль оси и поперёк) и провести с ними стандартные испытания на растяжение. Однако такие образцы (особенно поперечные образцы, представляющие наибольший интерес) будут криволинейными, а не плоскими. Поэтому диаграмма деформирования в упругой области будет нелинейной, что скажется на точности определения модуля упругости. К тому же поперечный образец после вырезания из тела трубы может изменить свою кривизну из-за освобождения от остаточных напряжений.

Прямой учёт перечисленных, а также других факторов представляет большую сложность. Поэтому для решения поставленной задачи предлагается следующий расчётно-экспериментальный метод Из конкретно взятой грубы вырезается короткий трубчатый образец, который помещается между двумя массивными плитами. При сдавливании заданной силой Р экспериментально определяется наибольшее изменение внутреннего радиуса трубы Д, (рис. 2). На основании полученных экспериментальных данных определяется эффективное значение модуля упругости Юнга, исходя из формулы

Рр*

2ЕУ

Здесь к — постоянный коэффициент. Р = (г\ + г1)/2 - средний радиус. J = ь/г'/12 - момент инерции продольного сечения трубчатого образца длиной Ь и толщиной стенки Л = г, - г,. Вычисленное по формуле (2) эффективное значение модуля упругости Е будет интегрально учитывать влияние всех факторов, о которых говорилось выше.

А, = -к

(2)

Формула (2) получена в |5, 6| при рассмотрении образца трубы как кривого стержня прямоугольного сечения с размерами Ь. И. В силу ряда упрощающих допущений' формула (2) и входящий в неё коэффициент пропорциональности к = 0.М9 являются приближёнными. Однако обратно пропорциональная зависимость между Д, и Е не вызывает сомнений. Поэтому точность формулы (2) определяется точностью значения коэффициента к.

В рассматриваемой практической задаче (внешний радиус трубы г2 = 57 мм. внутренний радиус г, = 44.7 мм) отношение Ь/р = 0.242, что не соответствует требованию малой кривизны стержня. Для стержней большой кривизны система уравнений сопротивления материалов становится нелинейной (прежде всего, из-за геометрической нелинейности), и традиционный метод Мора получения зависимостей вида (2) перестаёт быть математически строгим. С другой стороны, в курсах сопротивления материалов обычно ограничиваются статически определимыми задачами для стержней большой кривизны, в которых рассчитываются только внутренние силовые факторы и напряжения. Поэтому, чтобы найти уточнённое значение коэффициента к в формуле (2). сначала надо получить полную систему уравнений для плоских стержней большой кривизны. Используя стандартные методы сопротивления материалов |5.6|. будем иметь

dV

-----г

d г d W dz dy/ dz

d N dz '

dQ, dz d M,

dz

cos(9» + v/)-cosí>.

M

EJ

-fiL+jq

EF EFp)

,(i+í.)+JL,

Да» p1) EFp

+ N 4- -

р EJ, <<» Р\ EFp

\ м, Íi+V +—

.Р + EJ, \(о р EFp

(3)

Здесь V. W - перемещения точек оси кривого стержня по осям глобальной декартовой системы координат У, Ъ соответственно (рис. 3); N. Оу. М, -действующие в поперечном сечении нормальная сила, перерезывающая сила и изгибающий момент, ориентированные по отношению к локальной системе координат х, у, г (рис. 3); ф - угол между касательной к оси стержня и координатной осью X, отсчитываемый относительно оси х против хода часовой стрелки; ц/

— угол поворота сечения стержня при деформировании; р - радиус кривизны оси стержня в ненагру-женном состоянии; Я = ЬЬ - площадь поперечного сечения; = ЬИ/12 - момент инерции сечения; /, - ^,/Р - радиус инерции сечения; чу. - распределённая нагрузка по осям локальной системы координату, т, ш, - распределённая моментная нагрузка;

«л Ь+у/р

- геометрический фактор, учитывающий гиперболический характер распределения нормальных напряжений в поперечном сечении кривого стержня.

О)

Рис. 3. К постановке граничных условий

Система шести уравнений (3) служит для определения шести неизвестных величин по соответствующим граничным условиям. Каждую из них после интегрирования следует дополнить формулой ДЛЯ нормальных напряжений

о — —

N М. Мм у

+—*- + —2-------------

F Fp a)Jx \ + y/p

Система уравнений (3) решалась численно для нижней половины кривого стержня (образца трубы) совместно с уравнением dф/dt = 1 /р при следующих граничных условиях (рис. 3):

при а при а

0: ф = п/2. V = л/2: V = u. W

0. Оу = 0;

= 0.

'Осношшми допущениям И ЯВЛЯЮТСЯ ГИ ПОТОМ ПЛОСКИХ СОЧОННЙ и ограничение ИЛ мллость криинзны стержня (h/p<l/5). которое лопускл* ет применение линейных урлпионий сопротивления млтериллоп для прямого стержня.

1Й НАУЧНЫЙ МС1НМК Н> 1 (fn. »09 МАШИ»ОС1ГО«НИ{ И МАШИМО*1А*ММ1

МЛШММОСТРО! ММ( И МАШИНОИД1ИИ1 ОМСЖИЙ НАУЧНЫЙ ЫСТНМК * 1 (77). 2009

в-2

я

Перемещение и назначалось по формуле (I) для давления р, = 25 МПа. которое соответствует исходной практической задаче (рис. I). Для определенности модулю упругости было дано значение Е = 210 ГПа. что не ограничивает общности конечного результата. Приложенные распределённые нагрузки описывались функциями

= Рб(ра - яр/2), я, = 0. т, = 0.

где 6(7.) - дельта-функция Дирака, которая численно моделировалась прямоугольником единичной площади с малым основанием Д:

£(/)

0. /<-Д/2;

1/Д. - Д/2 £ 2 £ Д/2; 0. г > Д/2.

Искомой величиной являлось значение силы Р (рис. 2), обеспечивающей заданное перемещение и.

В результате численного решения с использованием п/к МаШСАО для коэффициента пропорциональности в формуле (2) было получено значение к = 0.15028, которое уточняет справочное значение к = 0.149 лишь на 0.9%. Столь малая поправка обусловлена тем, что для рассматриваемого случая отношение И/р = 0.242 мало отличается от порогового значения 11/р = 0.2. При больших значениях отношения Ь/р поправка к коэффициенту к = 0.149 линейной теории увеличивается. Например, при г2 = 57 мм. г, = 25 мм (т.е. при И/р = 0.78) получается значение к = 0.165. т.е. поправка составляет 11%.

Для оценки точности результатов, получаемых приближёнными методами сопротивления материалов, поставленная задача (рис. 2) была решена также с использованием методов классической теории упругости |2,8). В сопротивлении материалов длина 1рубчатого образца

остаётся неизменной. В теории упругости этот случай соответствует плоскому де<|юрмированному состоянию, которое описывается уравнениями равновесия

^1 + ^1 = 0 ^1 + ^ = 0 ах, дхг ' ах, ах,

и уравнениями состояния (законом Гука)

ЗдесьX,, Хг - декартовы координаты, для которых ранее (рис. 3) использовались обозначения Ъ, У соответственно; и, и и, - перемещения точек тела в направлении осей X,, X, соответственно; Тп, Тя, Т„ -компоненты тензора напряжений; X и ц — упругие постоянные Ламе, которые равны

■Я-

уЕ

(1 + и)(1-21')‘ 2(1 + »')

(4)

Осевые нормальные напряжения определяются выражением Тп *= у(Т,, +ТП).

Если торцы трубчатого свободны от напряжений (Тю = 0), то тогда имеет место плоское напряженное состояние, уравнения которого отличаются от уравнений состояния ПЛОСКОГО деформирован!! ого состояния тем, что в них надо использовать в (4) вместо значения упругой постоянной >. другое значение:

Рис.

XI в-2

•I. Деформироплммос состояние трубчатого образца и пуансонон

Рис. 5. Векторная диаграмма перемещений

При решении задачи (рис. 2) считалось, что трубчатый образец и оба пуансона (верхний и нижний) имеют одинаковые упругие характеристики Е = 210 ГПа, V = 0.3. Было принято, что пуансоны имеют ширину 2гг (по оси X,) и высоту Н = 2(г3-г,) по оси Х2, а их стороны с координатами Ха = ±(i\+ Н) перемещаются поступательно вдоль оси Х; навстречу друг другу на одинаковые расстояния.

Деформированное состояние трубчатого образца и пуансонов представлено на рис. 4. на котором перемещения и,, u2 увеличены в 200 раз для наглядности. Векторная диаграмма перемещений приведена на рис. 5.

В результате численного решения с использованием п/к FlcxPDE было получено, что для плоского напряженного состояния значение коэффициента пропорциональности в формуле (2) равно к = 0.1597 (поправка к справочному значению к = 0.1 -19 составляет?^).

Таким образом, предложенный расчётно-экспе-римеш-альный методопределення радиальной дес|юр-мации толстостенной грубы может использоваться при назначении зазоров между плунжером и цилиндром с целью исключения рисков заклинивания от действия внешнего давления.

Библиографически Л список

1. Попов. А.А. Ударные воздействия на призабойную зону пласта / А Л. Попов. — М. : Недра. 1990. - 136 с.

2. Кац, Д М. Теория упругости / А.М. Кац. - СПб. : Изд-во «Лань». 2002. - 208 с.

3. Физические величины : справочник / А.П. Баби-

чев, И Л Бабушкина, Л.М. Братковский и др.; под ред И.С. Григорьева, Е.З. Мейлихова. - М. : Энерго-атомнздат. 1991. - 1232 с.

4. Корнеев, С.А. Анализ поведения труб магистральных трубопроводов с предысторией деформирования / С.А. Корнеев, В.В. Шалай, И.В. Крупников, М. И. Чигрин. // Омский научный вестник. - 2007. - № 2 (56). -С. 56-59.

5. Федосеев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Федосеев. - М. : Наука, 1979. - 560 с.

6. Писаренко, Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев. В.В. Матвеев. - Киев : Изд-во «Наукова думка». 1975. - 704 с.

7. Погорелов. А.В. Дифференциальная геометрия / А.В. Погорелов - М. : Наука. 1974. - 176.

8. Демидов. С П. Теория упругости / С.П. Демидов. -М.: Высш. шк., 1979. - 432 с.

БУРЬЯН Юрий Андреевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Основы теории механики и автоматического управления» Омского государственного технического университета. СОРОКИН Владимир Николаевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Основы теории механики и автоматического управления» Омского государственного технического университета. КОРНЕЕВ Сергей Александрович, доктор технических наук, доцент, заведующий кафедрой «Сопротивление материалов» Омского государственного технического университета.

БЕКШЕНЁВ Альфред Сафарович, главный инженер ЗАО «Пирс.

Дата поступления статьи п редакцию: 05.03.2009 г.

© Бурьян Ю.Л., Сорокин В.H., Корнеев С.А.,

Бекшенёв A.C.