К вопросу о сходимости в точке тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следующий алгоритм позволяет построить функцию д(х) по спектральным данным {Л^,ап}п>1 Алгоритм. 1. По заданным числам {Л^,а^п>1 строится функция Г(х,£) по формуле (10).

2. Находится функция А(х, £) из уравнения (9).

3. Вычисляется д(х) по формуле (8).

Библиографический список

1. Akhmedova E.N. The definition of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients by Weyl function // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2005. V. XXII (XXX). P. 3-8.

2. Гасымов М.Г. Прямые и обратные задачи спектрального анализа для одного класса уравнений с разрывными коэффициентами // Неклассические методы в геофизике: Материалы Междунар. конф. Новосибирск, 1977. С. 37-44.

3. Гусейнов И.М., Пашаев Р.Т. Об одной обратной задаче для дифференциального уравнения второго порядка // УМН. 2002. Т. 57, № 3. С. 147-148.

4. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М., 2007. 384 с.

УДК 517.51

К ВОПРОСУ О СХОДИМОСТИ В ТОЧКЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ПРОЦЕССА ЛАГРАНЖА

Л.В. Борисова, А.В. Шаталина

Саратовский государственный университет, кафедра теории функций и приближений E-mail: ShatalinaAV@info.sgu.ru

Получен аналог признака Р. Салема для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов.

Ключевые слова: интерполирование, интерполяционный процесс, равноотстоящие узлы, сходимость в точке.

5. Левитан Б.М., Гасымов М.Г. Определение дифференциального оператора по двум спектрам // УМН. 1964. Т. 19, вып. 2. С. 3-63.

6. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев, 1977. 331 c.

7. Akhmedova E.N. On representation of solution of Sturm - Liouville equation with discontinuous coefficients // Proc. of IMM of NAS of Azerbaijan. 2002. V. XVI (XXIV). P. 5-9.

8. Akhmedova E.N., Huseynov H.M. On eigenvalues and eigenfunctions of one class of Sturm - Liouville operators with discontinuous coefficients // Transactions of NAS of Azerbaijan. 2003. V. XXIII, № 4. P. 7-18.

The Problem of Convergence in Point Trigonometric Interpolation Process of Lagrange

L.V. Borisova, A.V. Shatalina

Saratov State University,

Chair of Theory of Functions and Approximations E-mail: ShatalinaAV@info.sgu.ru

An analogue of the characteristic of R. Salem is obtained for a trigonometric Lagrange interpolation process on the matrix of equally spaced nodes.

Key words: interpolation process, equidistant nodes, convergence at point.

Один из основных вопросов теории интерполирования состоит в выяснении для данной матрицы M узлов интерполирования условий на функцию f Е С, обеспечивающих равномерную или поточечную сходимость интерполяционного процесса Лагранжа {Zn(M, f, x)}. Признаком сходимости интерполяционных процессов Лагранжа, построенных для конкретных матриц, посвящено большое количество работ. Укажем работы С.Н. Бернштейна [1], Д.Л.Бермана [2], Г.Н. Неваи [3], А.А.Привалова [4].

В данной работе получен аналог признака Р. Салема [5] для тригонометрического интерполяционного процесса Лагранжа по матрице равноотстоящих узлов в точке x Е [—п; п].

Пусть MT = {tk,n}, tk,n = 2ПТГ, —n — k — n, n = 0, ±1, ±2, ±3,... - матрица равноотстоящих узлов интерполирования на [—п; п]. Для любых n Е N и f е С2п тригонометрический интерполяционный многочлен Tn(x, f) в точке x Е [—п; п] запишем в виде

т,(*,/)= £ л, sin(m-(tk-n - x))

k=-n

2mn sin Ьь-П

(1)

где m, = n + 1/2 и fk,, = f (tk,n)•

© Л.В. Борисова, А.В. Шаталина, 2010

9

Положим для х е [—п; п] Н = т-, Рп = [хТ1], 5п = [х] — Рп• Перенумеруем узлы интерполиро вания , —п < к < п, п = 0, ±1, ±2, ±3,... следующим образом:

х + п

¿0, n ¿ —n,n +

- 1 h, (2)

h

tk,n = ¿0, n + kh, k = -Pn, -Pn + 1,..., 0, 1,... qn • (3)

Обозначив через

£ = |x -ht0,n1, (4)

равенства (3) запишем следующим образом:

tk,n = ¿о, n + (k - e)h, k = -pn, -Pn + 1,..., 0, 1,...,qn. (5)

Из соотношений (2) и (4) следует, что е = f - [f] = { f } , т. е. 0 < е< 1. Справедлива

Теорема. Если функция f е С2п, то существует такое положительное число е, 0 < е < 1, что последовательность {Tn(x, f)}, n =1, 2, 3,..., сходится в точке x е [-п; п] к значению f (x) если

[qn/2] 1

lim E -T(f (x + (2k + 1 - e)h) - f (x + (2k - e)h)) = 0, (6)

n—ro (2k + 1 - е)

fc=-[p„/2] V 7

где h = 2п/(2n + 1), Pn = [^], qn = [f] - Pn-

Доказательство. Сделаем предварительные замечания. Для x е [-п; п] и mn = n + 1/2 в силу (5) имеем:

mn(tfc,n - x) = п(k - е), (7)

sin(mn(tfe,n - x)) = - sin(mn(tfc+i,n - x)), k = -Pn, -Pn + 1,..., 0,1,... ,qn. (8)

Далее положим

1 1 1 1

тт^—— = —+ g(u), g(u) = ■——---. (9)

2 sin- u yv У v ; 2 sin- u w

Тогда g(u) — непрерывная на [-п; п] функция. Сомнение вызывает точка u = 0, но, применяя

правило Лопиталя, находим, что lim g(u) = 0. Потребуем [6, с. 108], чтобы g(u + 2п) = g(u). Тогда

——^о

функция g(u) ограничена на (-го; го).

В силу соотношений (1), (7)-(9) для тригонометрического интерполяционного многочлена Tn(x, f) получим

sin(mn(tfc,n - x))

Tn(x, f)= J] fk

^fc, n x

2mn sin

[qni r

) f sin(mn(t2fc,n - x)) + f sin(mn (¿2fc+1,n - x))

^Д f2k,n 2mn sin + f2k+1,n 2mn sin t-^

k = — 2 J

_ W ,, , x sin(mn (¿2k+1, n - x)) = 2^ (f2fc + 1,n - J2fc, n) 7-. t2fc + 1 „-x--Ь

] 2mn sin 2

sin(mn(i2k,n - x))(sin w2n- sin + 1 f2k,n 2mn sin sin t2k+^n-x

k=-[pr] 2 2

_ ,, , ч sin(mn (¿2k+1, n - x))

= / (/2fc + 1, n - /2fc, n) -TT-N--г

"тР 1 mn(t2fc+1,n - x)

k=-%

, ff , s u ч sin(mn(Í2fc+i,n - x)) .

+ (/2fc+1,n — J2fc,n )g(Í2fc + 1,n — x)--г

k=- ^

+ У^ /2fc,n (т--Ь g(Í2fc,n - x) ----g(Í2fc + 1,n - x))

'rP i Vt2fc,n - x Í2fc + 1,n - x y

k = - Pn

sin(mn(Í2fc,n - x))

Таким образом, представим многочлен Тп(х, /) в виде суммы трех слагаемых

Тп(х, /) = £«(/) + ^П2)(/) + ^(/),

т. е.

r„(x,/)= £ (/2l+1.„ - /2k.„)sin(m;f2k+1'"-x))+

^ mn(Í2fc + 1,n - x)

m;(Í2fc+1,n - x)

"2n"

+ /2k sin(m;(¿2fc,n - x))(¿2fc + 1,n - ¿2fc,n) +

k=- ^

"qn"

m;(Í2fc+1,n - x)(Í2k+1,n - x)

sin(mn(Í2fc+1,n - x))

+ ^ (g(Í2fc+1,n - x)/2k + 1,n - g(Í2fc,n - x)/2k, n)

m;

k=- IT

(10)

Рассмотрим сумму /. Положим ^(у) = д(у — х)/(у) при х, у е [—п; п]. Так как ^(у) е С2п, то получаем

s;3) (/)

2n

У^ (g(t2k+1, n - x)/2k + 1, n - g(t2k, n - x)/2k, n)

sin(m;(Í2fc+1,n - x))

mn

k=- ^

<

'2n"

<¿ £ |F(f2k" +h)-F(t2k„)|<¿-(F>h)([ir-TD<

k=-

< h)

mn

1 o Pn

2 ■ 2mn - T

+

Pn 2

< h)).

Здесь w(F, h) = max |F(t2k n + h) — F(t2k n)| — модуль непрерывности функции F на

i2fc,n€[0;2n]

Так как lim h) = 0 и 0 < S3)(/)| < h), то lim S^(/) = 0.

(3)/n _

h^Q

Из равенств Í2k+1 , n = x + (2k + 1 -e)h, mn(¿2k+1 , n -x) = n(2k +1 -e) имеем sin(mn(Í2fc+1 , n-x)) = = sin ne, 0 < e < 1. Тогда

G(1)íf\ f V^ ff f \ sin(mn (t2k+1 , n - x))

Sn (/) = Z^ (/2fc+1 , n - /2fc , n) -л-Г-

^ mn (Í2fc+1 , n - x)

k=- T

= — sin ne

П

№

/(x + (2k + 1 - e)h) - /(x + (2k - e)h)

2k + 1 - e

k=- ^

Тогда, если справедливо (6), то lim Si,1^/) = 0.

2

1

1

Осталось рассмотреть сумму S?. Очевидно, имеем

V^ £ sm(mn (t2 k,n - x))(t2k+1,n — ¿2 k,n)

Sn (J )= J2k,n -Т.-ТТГ-Ñ-

^ m n (¿2k + 1,n - X)(¿2k+1,n - x)

mn(t2k + 1, n — x)(t2k+1, n — x)

£ J(X +(2k - E)h) n(2k - ^+1 - e) • (11)

k=-Pf]

для любого e, 0 < e < 1.

?(1) _ S(2) _ >n - Sn

Заметим, что для е = 0 (т.е. при х = ¿0,п) справедливо равенство £п = б«2 =0. Докажем, что

(12)

lim

Mt] х л

211

^ V 2k + 1 - e 2k - e

\k=-í Pf

s.n ne

Положим [7, с. 21]

1

«z)_ -y+E1 - E m' (13)

k=1 k=0

где y — постоянная Эйлера. Тогда справедливы равенства

00 00

Ф(1 -z)_ -Y + £1 - £ кГГЛ ■ (14)

k=1 k=0

О 1 оо „

*(§)= -Y + £ 1 - £ , ^

k=1 k=0

о 1 о <-.

Ф Í1 - §)= -y + £1 - £ ^k+b • (16)

k=1 k=0

Отсюда имеем [2, с.20], что

о / 1 1 \ п ctg _ ф(1 - z) - _ £ { — - ■ (17)

оо /

п ct.g f _ ф i1 - D - ф (f)_£(--

U — п \

2 2) г \2/ ^V2fc + z 2k + 2 - z

k=0 v

1 z

Но так как -= ctg--ctg z, то в силу соотношений (17) и (18) получим

sin z 2

п V ( 2 2 1 1

i 2k + z 2k + 2 — z k + z +

sin nz \2k + z 2k + 2 - z k + z k + 1 - z

k=0

/ 2 2 1 1 1 1

^ V2k + z - 2k + 2 - z - 2k + z - 2k + 1 + z + 2k + 1 - z + 2k + 2 - z k=0

_ f p___1___^ + 1

2k + z 2k + 2 - z 2k + 1 + z

2k + 1 - e 2k - e 2k + 1 - e 2k - e

k = — o \k = — o k=1

(18)

2k + z 2k + 2 - z 2k + 1 + z 2k + 1 - z

k=0

1 ( 11 а так как ----—--- _ - —-----), то

(2k - e)(2k + 1 - e) V2k + 1 - e 2k - e/

- f í - ^) _ A f + E) í - ) 1 (^(e) - ОД)- (19)

2

2

Из равенств (13) и (15) следует, что

1 \ 1

= £ (- 2Т-ТТ7 + W+l) = Т-7+£ (W+1- ьЪ) = ф(е) - Н 2) +

k=0 4 7 k=0 v 7

Аналогично из соотношений (14) и (16) получаем 0(е ) =

оо

+ 1 -е 2k -е ^ \k + 1 -е 2k + 2 -е 1 -е k=0 k=0

е

= ф (l - 2) - ф(1 - е ) -

2/ rv 7 1 -е Тогда в силу (17), (18) имеем

/ е \ / е \ п е

^(е) + #(е) = ф у1 _ 2) _ Ф 2У - (Ф(1 - е )- Ф(е )) = п ctg у - п ctg п е •

Отсюда и из (19) получаем равенство

_ v (—1___L_ ^ = __Л_

^ V 2k + 1 _ е 2k _е/ sin пе'

которое означает, что доказано соотношение (12). Вернемся теперь к сумме $12)(/) и докажем, что

lim S(2) (f) = f (x) (20)

Зафиксируем натуральное число N, - j^J < N < j^J

y] <N<[f

Тогда равенство (11) можно записать в виде

Si2) (f) = - 1sin пе

п

( -N-1 N П2" \ ff . ,01 Nn

+ + f (x +(2k - е )h)

^ + ^ + ^ (2k - е )(2k + 1 - е)

, = — Ef 1 k=-N k=N+l

= Pl (f )+ P2 (f ) + P3(f)

\k=-[ t]

Из непрерывности функции f и равенства (12) следует, что

N .

lim P2(f) = lim ^ n(9k —иГ!-, e ) f (x + (2k - e)h) = f (x). (21)

n ^^o n ^^o —N n(2k — e )(2k +1 — e )

Далее, в силу ограниченности функции f (x) имеем

гqn1 гqn1

C L 2 J 1 C L 2 J 1

|p3(f)l< - £ (5F—-7)2 < - £ (2k:—1)2 - (22)

k=N+ 1 v 7 k=N+1 v '

[qn] 1

Но ряд £ —-сходится, т.е. начиная с некоторого номера N для сколь угодно мало-

k=N+1 (2k — 1)

го числа ¿1 > 0 справедливо неравенство |P3(f)| < ¿1. Аналогично для суммы P1(f) справедливо неравенство

|P1 (f)l <¿1- (23)

Тогда из соотношений (21)-(23) следует равенство (20), а из (10) имеем, что lim Tn(x, f) = f (x).

n —^^o

Теорема доказана.

1

Библиографический список

1. Бернштейн С.Н. Несколько замечаний об интерпо- 4. Привалов А.А. О равномерной сходимости интерполировании. Собр. соч.: В 3 т. М., 1952. Т. 1. С. 253-263. ляционных процессов Лагранжа // Мат. заметки. 1986.

2. Берман Д.Л. Сходимость интерполяционного процес- Т. 39, № 2. С. 228-243

са Лагранжа, постр°енног° для абсолютно непрерыв- 5. Салем Р. Acta Sci. et. Ind. Paris, 1940. № 1234. P. 862. ных функций и функций с ограниченным изменением

// Докл. АН СССР. 1953. Т. 112, № 1. С. 9-12. 6. Бари НК. Тригонометрические ряды. М, 1961.

3. Неваи Г.П. Замечания об интерполировании // Acta 7. Уитеккер Э.Т., ВатсонД.Н. Курс современного ана-Math. Acad. Sci. Hung. 1974 V. 25, № 1-2. P. 123-144. лиза: В 2 т. М., 1963. Т. 2.

УДК 512.532.2

О КОНГРУЭНЦИЯХ

ДВУПОРОЖДЕННОГО

МОНОИДА

Л.А. Кудрявцева

Московский государственный институт электронной техники, кафедра высшей математики E-mail: kety3@mail.ru

Рассматриваются конгруэнции свободной полугруппы над двух-буквенным алфавитом, порожденные парами слов длины 2. Показано, что число классов эквивалентности для слов длины n равно n +1. Найдено число слов в каждом классе.

Ключевые слова: конгруэнция, свободная полугруппа, моноид, класс эквивалентности.

ВВЕДЕНИЕ

About the Congruences of Two-Generated Monoid L.A. Kudryavtseva

Moscow Institute of Electronic Technology, Chair of Higher Mathematics E-mail: kety3@mail.ru

The congruences of two-generated monoid which generated by pair of words of length 2 are considered over two-letter alphabet. It is shown that number of equivalence classes for words of length n is equal to n +1. The number of words in each class is found. Key words: congruence, free semigroup, monoid, equivalence class.

Полугруппы часто задают множеством образующих М и определяющих соотношений Е. Будем рассматривать множество образующих из двух элементов М = {а,Ь}.В качестве Е будем рассматривать одно соотношение, представляющее собой равенство двухбуквенных слов. Полугруппы, заданные одним определяющим соотношением, изучались многими авторами, см., например, [1, 2]. Всего слов длины 2 в алфавите М существует 4. Из них можно составить С| =6 соотношений. На множестве из 4-х двухбуквенных слов можно рассмотреть два преобразования. Первое состоит в том, что буква а меняется на Ь, а Ь — на а. Второе является инверсией слова, т.е. первая буква становится последней, вторая — предпоследней и т.д. Если одно соотношение можно перевести в другое с помощью указанных преобразований, то количество классов эквивалентности на множестве Мп, а также количество элементов в каждом классе останутся без изменения. Такие соотношения можно назвать равносильными. Так, равносильными будут соотношения аа = аЬ, Ьа = ЬЬ, аа = Ьа, аЬ = ЬЬ. Таким образом, принципиально разными будут только соотношения

аа = аЬ, аЬ = Ьа, аа = ЬЬ, (1)

которые и будут рассмотрены в данной работе.

Если конгруэнция задается равенством к-буквенных слов, то конгруэнтными могут быть только слова одинаковой длины. Поэтому будем рассматривать соответствующее отношение эквивалентности на множестве Мп слов длины п.

Для каждого соотношения в каждом классе эквивалентности будет выбрано каноническое слово. Будет показано, что любое слово эквивалентно одному из канонических, и разные канонические слова между собой не эквивалентны. Заметим, что возможность сведения любого слова к одному из канонических означает алгоритмическую разрешимость проблемы равенства слов. В общем случае

© ЛА. Кудрявцева, 2010