CC BY
27
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ НЕКОТОРЫХ ВОЛЬТЕРРОВЫХ ОПЕРАТОРОВ В КЛАССЕ КОНЕЧНО-АДДИТИВНЫХ МЕР1
Л, А. Савинова, А. Г. Ченцов Институт математики и механики УрО РАН
Рассматриваются физически реализуемые процедуры типа откликов на управляющие программы Получена конструкция расширения вышеупомянутых процедур с использованием конечно-аддитивных мер Это расширение обладает свойством физической реализуемости в многозначном варианте
'Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных следований (94-01-00350)
118
Л. А. САВИНОВА, А. Г. ЧЕНЦОВ
1. Введение
Рассматривается процедура построения некоторой "оболочки" многозначного неупреждающего оператора на пространствах управлений, стесненных интегральными ограничениями. В результате этой процедуры удается построить расширение исходного оператора, также обладающее свойством неупре-ждаемости (вольтерровости). Операторы, имеющие смысл неупреждающих откликов на управления, рассматривались в [1-4]. Многозначные операторы такого рода, действующие в пространствах борелевских мер, использовались в [5-8] в связи с проблемой построения обобщенных программных конструкций для решения позиционных дифференциальных игр [9-12] методом программных итераций. Вышеупомянутые конструкции связаны с использованием классов управляющих программ, стесненных понтрягинскими (геометрическими) ограничениями [13,' 14].
В настоящей работе мы рассматриваем подобные методы для классов управлений, стесненных интегральными ограничениями. Итак, пусть ío и г?о, ¿о < ^о, — Два момента времени. Рассмотрим множество F всех неотрицательных, кусочно-постоянных и непрерывных справа вещественнозначных функций на / = [¿о, г?о[ (здесь и ниже = означает равенство по определению) Фиксируем два числа: ао €]0, оо[ и 6о €]0, оо[. Посредством этих чисел определяем множества F< [ао] и /*V [feo] всех функций / G F таких, что
соответственно.
Определим отображение ао, сопоставляющее программе и € ^<[ао] непустое подмножество ^<[6о]. Пусть а0 обладает неупреждаемостью: если их 6
/<<[<10], у.2 £ и 9 € Т0, где (здесь и ниже) То =]<о,^о[, таковы, что
«1(£) = Для I £ [<о,0[, то множества всех сужений на [<о,^[ функций из с*о(м1) и ао(мг) совпадают. Во многих задачах возникает проблема расширения «о с сохранением свойства неупреждаемости. Это обстоятельство предусматривает, конечно, надлежащий выбор "компактификатора" Обычно в этом качестве, для случая других (геометрических) ограничений, используются пространства мер (как правило, счетно-аддитивных и борелевских [6,* 8,"
В настоящей работе рассматривается схема расширения в классе конечно-аддитивных (к.-а.) мер, что связано с необходимостью "обработки" различных разрывных зависимостей, для которых счетно-аддитивные меры не могут реализовать эффект компактификации. Мы ставим своей целью построение некоторой к.-а. "оболочки" ао, ориентируясь на достижение естественных топологических свойств, допускающих определенные аналогии со свойством полуне-црерывности сверху многозначных отображений [17-19] в топологических пространствах (ТП). Оказывается, что, реализуя "оболочку" (т.е. минимальное в некотором смысле "охватывающее" «о отображение), мы "автоматически" получаем неупреждающий оператор на пространстве обобщенных управлений — (к.-а.) мер. Этот факт устанавливается в статье для простейшей ситуации,
f(t)dt < Ъо
15; 16])
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
119
когда "управления" неотрицательны и имеют достаточно простую структуру (кусочно-постоянные непрерывные справа функции либо ступенчатые в смысле подходящего измеримого пространства отображения). Такое предположение естественно для задач управления техническими системами, где кусочно-постоянные управляющие программы наиболее естественны с точки зрения реализации.
Отметим, что исследование неунреждающих процедур-откликов на управление "противника" открывает возможность перехода (и притом в достаточно общей форме) от программного управления к построению вариантов синтеза в системах с интегральными ограничениями. Возможность селекции много-' значных неунреждающих откликов (до однозначных) с сохранением неупре-ждаемости установлена в [27]. В этом отношении следует отметить известный факт [5-8; 15; 16], связанный с эквивалентностью позиционной формализации дифференциальных игр и формализации в классе квазистратегий (имеющий, конечно, место при надлежащем выборе условий экстремальной согласованности [10; 28]).
2. Общие определения и обозначения
Для сокращения записи используем кванторы, связки (=£-,&,V, и т.д.),
специальные символы def (по определению) и = (равно по определению).
Если X — множество, то через V{X) (через 2*) обозначим семейство всех (всех непустых) подмножеств Х\ Fin(X) есть def семейство всех конечных множеств из 2х. Если А и В — множества, то Вл есть def множество всех функций [1, с. 18], действующих из А в В; если, кроме того, / € ВА и С € V{A),
то (/|С) = /П(С х В) € Вс есть def след / на множество С и fl{C) = {/(ж) :
*€С}.
Выражение
3TS[T Ф 0] (VT5[T ф 0])
следует читать: существует множество (для всякого множества) Т, Т ф 0. Если Н - множество, то
В[Н] й{Н£ 2pW I VA € Н VB € Н ЗС € Н : С С А П В),
Во[Н) = {Не В[Н} I 0 i Щ
(элементы Во[Н] — базисы фильтров И и только они).
В дальнейшем широко используются направленности, так что потребуются некоторые обозначения на этот счет. Если Т — непустое множество, то через (D1R)[T) обозначим множество всех направлений на Т, если <С€ (DIR)[T], то
120
Л. А. САВИНОВА, А. Г. ЧЕНДОВ
пару (Т, <) называют направленным множеством; если к тому же Я — множество и / 6 Нт, то тройку (Г, <, /) именуем далее направленностью в Я. Для нас наиболее важны направленности в топологических [1] пространствах (ТП). Если (X, г) — ТП, (Т, <С, /) — направленность в X и х 6 X, то выражение
(Т,<,/)-ж
означает высказывание: направленность (Т,<С,/) сходится [1, гл. 1] к ж в
(ад-
Для произвольных ТП (Т, г) и множества А , А СТ через с1(А,т) обозначаем замыкание в смысле (Т,т). Если (X, т) есть Til, х € X, то через NT(x) обозначаем фильтр всех окрестностей [22, с. 62] точки х в ТП (X, т) Кроме того, для произвольного множества S в ТП (Х,г), т.е. S € V(X), через NT[5] обозначаем фильтр всех окрестностей [22, с. 153] множества S в ТП (Х,т). Если Я есть множество, а (Т, <С, /) есть направленность в Я, через (Н—ass)[T\ <С; /] обозначаем фильтр подмножеств Я, ассоциированный [20] с (Т, <С,/):
(Я - ass)[T; <; /] É {Е € V(H)\3a € TV/? £ Т : (л < /?) => (/(/?) € Я)}.
Следующее утверждение аналогично в идейном отношении равенству (2.5.1) [21] и устанавливается с использованием конструкции направленного произведения и теоремы Биркгофа [22, с. 97]
Предложение 2 1. Пусть X и Y — непустые множества; X £ fí[A'] ; г -топология Y;
<р. :Х ~*2y ; Ф, :'Р{Х) есть такая функция множеств, что VA £ V(X):
Ф,{А) й U <р,(х).
xíA
В этих условиях справедливо равенство
р] с/(Ф.(Л),т) = {у 6 У|Зт5[Т ф 0]3 <е (DIR)[T] дед'
3 f£XT: (X С (Х- ass)[T; <; /]) & (3* € J]>* ° Ж*) = (Т, «, g) - у)}.
<6Т
3. Конечно-аддитивные меры и конструкции обобщенных квазистратегий
В дальнейшем фиксируем два числа to < и полагаем, что / = [<о,^о[ и
Tó =]<о, *90[- Фиксируем полуалгебру [21, 23] С подмножеств I, обладающую тем свойством, что Vi £ 1 Vr €]¿Oi^o] : С. Кроме того, фиксируем неотрица-
тельную к.-а. меру i] на С, так что (/, С, г]) есть своеобразное к.-а. пространство с мерой.
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
121
Мы следуем в основном системе обозначений [21, гл. III, IV]. Через (а<М)+[£] и A(jС) обозначаем, как и в [21], соответственно конус всех неотрицательных к.-а. мер на £ и порожденное этим конусом линейное пространство (всех к.-а. мер ограниченной вариации); конус
(a<tá)+[£;??] i {/, 6 (а<М)+[£]| VL £ С : (r,(L) = 0) => (ц(Ь) = 0)}
соответствует [21, с. 79]
Для L £ £ обозначаем через \ь , XL £ R;, характеристическую функцию множества L £ С Тогда Bq(1,£) — линейная оболочка {xt : L £ £] есть линейное многообразие в пространстве В(/) всех ограниченных функционалов на / с традиционной sup-нормой || • || [24, с. 261]; В(1,С) есть def замыкание Въ{1,С) в (В(/),|| • У), используемое [21, гл. III] в качестве предсопряженного пространства по отношению к А(£) с нормой-вариацией.
Интегрирование / £ В(1,С) относительно /< £ А(£) полагается ниже соответствующим простейшей схеме [21, гл. III; 25] ,так что / * // С А(£) есть неопределенный //-интеграл /, понимаемый в смысле [21, с. 70].
Обозначаем через т»(£) слабую топологию А(£) [21, с. 71], получая в виде
(А(£), т»(£)) (3 1)
локально выпуклое TIÍ с условиями компактности, определяемыми теоремой Алаоглу [24, гл. V]; ТП
(А(£),г0(£)) (3.2)
соответствует [21, с. 80]: (3.2) — подпространство тихоновского произведения экземпляров вещественной прямой R с дискретной топологией каждого экземпляра и индексным множеством £.
Через ß(j" [I; £] обозначаем положительный конус Во(/, £); здесь и ниже линейные операции, умножение и упорядоченность в каждом пространстве функционалов с общей областью определения понимаются как поточечные. Если с £ [0, оо[, то [21, с. 82] через M¿~(£) (через Е+(£)) обозначаем множество всех / 6 Bp [/;£] (всех /í £ (adeí)+[£; ij\) таких, что
Jfdi)<c Ш < с).
I
В связи с аппроксимативной реализацией /./ € 3£{С) в классе неопределенных интегралов / * г) , f £ Мс+(£), нам потребуется одна специальная конструкция направленности (более подробно см. [21, с. 83, 84]). Через D обозначаем множество всех (неупорядоченных [21, с. 58]) конечных £-разбиений 1 с направлением вписанности одного разбиения из D в другое [21, с. 83]. Направленное множество (D, ■<) , D ф 0, дополняем при ß £ (add)+[C; tj] оператором 0J[-] (см.[21, с. 84]) из D в Мс+(£), где с = /((/). Тогда с учетом леммы 4.3.1 [21] имеем важное аппроксимативное свойство: если fi £ (add)+[C,ij\, то Vr £ {т»(£); т0(£)}:
(D,^,0+[] + I?)i/t. (3.3)
122
Л. А. САВИНОВА, А. Г. ЧЕНЦОВ
С учетом (3.3) и леммы 4.3.2 [21] имеем, что Ve G [0, оо[: - + (£) = cl({f * ,,: / G М+(£)}, r.(£)) = с/({/ : / € М+ (£)}. г0(£)). (3.4)
4. Обобщённые квазистратегии
Рассмотрим отображение
«о " 2м-+О(£> (4.1)
такое, что V/, G М+(£) V/2 € М+(£) Vi G Т0:
((/I|[*o,ÍD = (/2 |[*о, *[))=>
({(¡#о, <[) : áf G a0(/i)} = {(<7|[io, i[) : 9 € M/2)}). (4-2)
В дальнейшем рассматриваем естественную процедуру "расширения" многозначного отображения (4.1), (4 2). Свойство (4.2) характеризует многозначный вариант вольтерровости (физической осуществимости) оператора »о (4 1); см. в этой связи [5-8; 11, 12].
Свойство плотности (3.4) подсказывает естественный вариант построения обобщенного аналога (4.1): с точки зрения (3.4) такой аналог естественно было бы определить в виде многозначного отображения из S¿f (£) в S+ (£). Пусть Vi G Т0:
£, = {L G C\L С [<о,<[> = {Hf][t0lt[. Я G £}. (4.3)
Обобщенной квазистратегией I игрока назовем всякий оператор
Л :=+(£)-> 2^) гакой, что Vi/i G Н + (£) Vf2 G S+ (£) Vi G Т0:
(М-С,) = ЫЬ)) => ({(/i|A) : /< € ¿M} - {(/Í|£4) ' /Í G ЛМ}). Если Я G V(A(£)), то
А(Я) = {/ G М+(£)|/ * ?? G Я} G V(M+(C)). Полагаем, что VЯ G 'Л(А(£)):
А£(Я)^ IJ «„(/). (4.4)
/еа(я)
Соотношение (4.4) определяет некоторое подмножество М^(£).
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
123
Теперь мы введем одну специальную конструкцию многозначного оператора на пространстве неотрицательных конечно-аддитивных мер (см. в этой связи [21, с. 85]). Именно, полагаем, что
Л :Е+(£)-?(-+(£)) есть def такой оператор, что Vf £ Н^(£):
П ci({g*ir.geK(H)},n(C)). (4.5)
H£Nr0(C)
Лемма 4.1. Если и £ то A(f) ф 0.
Доказательство легко следует из простейших свойств центрированных систем замкнутых множеств в компактном пространстве (см. также замечания [21, с. 82] в связи с (4.2.25) [21]).
Для дальнейшего исследования оператора А нам потребуются обозначения и простейшие определения, касающиеся сужения и склеивания управлений (в том числе обобщенных управлений-мер). Если f£RI,0£Tottg£ то
полагаем, как обычно, что / □ g : I —» R есть def такая функция, что
(Vi G [/о, в[: (/ П y)(t) É f(t))k(Wt £ [в, M' (/ □ 9){t) = Ш
В обозначениях для подпространств (7, С) мы используем символику [21,
с. 67]. Мы полагаем также V/ <Е Т0 : С* = {Le C\L С Мо[} = {#ПМо[: H е С}. Тем самым определены некоторые новые полу алгебры множеств. При этом в случае, когда у нас / £ В*[/; С], в Ç Т0 и g £ В£[[в, t?0[, £9]> то
fa,je В+ [/; £]•(/□ = (ЛМ)- (4-6)
Отметим здесь же, что V/í £ (add)+{£] V¿ £ То
MС1) £ (я<М)+[£']. (4.7)
Условимся о следующем обозначении. Если ц £ (а<М).}.[£] , t £ Т0 и v £ (а<М)+[£*], то
/iO/.<G(a<M)+[£] (4.8)
определяем тем условием, что 4L £ С:
(fi о u)(L) = /1(1 П [t„, t[) + v(L n [t, (4.9)
Относительно к.-a. меры (4.8), (4.9) можно сделать следующее замечание: именно, в условиях, определяющих (4 8) и (4.9), имеет место
(/i О И£') = "■ (4.1°)
Еще один вид сужения к.-а мер связан со следующим определением подпро-
124 Л. А. САВИНОВА, А. Г. ЧЕНЦОВ
странства. Если t £ То, то
Ct = {A G £|А С [t0,t[) = {L П [¿о, t[: L £ £}.
Тогда в дополнение к (4.10) отметим, что V/î £ (асИ)+[£] V/ £ То Vu £ (а(М)+[Г«]:
OlO = (4.11)
По поводу конструкций "нарезки-склейки" (4.10), (4.11) отметим определения [8, § VI.4]. В дальнейшем используем следующий оператор интегрирования [21, с. 70]; именно, через J обозначаем оператор
С учетом (3.4) и леммы 4.3.2 [21] мы получаем, что W € Н^(£):
х„ й {J-\H) П М+(£) : Я G NTo(c){u)} G S0[M+(£)]. (4.12)
Напомним в связи с (4.12), что VH £ V{А(£)):
А(Я) = ^-](Я)р1М+(£).
Таким образом, в случае f G 2^(£) мы в виде Л'„ имеем семейство всех множеств
Л(Я), Я G WTe(jC)(i/).
Рассмотрим следующий оператор ip\
/ ь- {» * т- ff е МЛ) ■■ мЦС)
Иными словами, V/ G ; £>(/) = Jl{ao(f)).
Полагаем далее оператор
таким, что УЯ G V{M^{C))\
Ф(Я) â (J *,(/).
/ея
В частности, имеем Vf G £^в(£) УЯ G WTt>(£)(i/):
Ф(А(Я)) = ^(А;(Я)). (4-13)
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
125
Из (4.5) и (4.13) непосредственно следует, что Уи € Е£(£):
АП= П с1(^(А*0(Н)),т.(С)). (4.14)
Представление (4.14) подобно в идейном отношении (2.5.1) [21], но для наших целей важнее представление (4.14) в терминах предложения 2.1. Дело в том, что в силу (4.5), (4.13), (4.14) имеет место £ Е^(£):
А(и)= р| г/(Ф(Л(Я)),г.(£)) = Р| с/(Ф(Л),г,(£)) (4 15)
н^Тв(с)(*) лед-.
Из предложения 2.1 и (4.15) вытекает, что \/и £
А(и) = {Ц £ Н+(£)|Эт5[Т ф 0] 3 ^ (01ЩТ] 3г е М+(£)т :
(Д',С(М+(£)-а^)[Т;^;г])& (35е (Т, Ч, д) ^1 /д)>. (4.16)
<ет
В связи с (4.16) вновь отметим представление (2.5.1) [21].
Лемма 4 2 Пусть /г 6 (шМ)+[£;г/] и д £ Т0, причем (¡¡¡Со) = НА?) Пусть,
кроме того, ф : Б —> [/; £] есть Не/ такой оператор, что У/С 6 В . =
0+[А^] □ (в+[/С]|[г?, тУо[)- Тогда справедливы утверждения
((Б, ,7 о 1/>) т°-1£) & (Э/Со € О У/С € Б :
(£о Ч £)=* (У ^/ЗД = «/(/))). !
Доказательство является простым следствием (3.3) и представления [21, с. 81] для топологии т0(£). Имеет место и более общая
Лемма 4.3. Пусть ц С (агМ)+[£;»?] , и £ (а<М)+[£;?>] , г? € Т0 и МА?) = (¿/|£#). Пусть, кроме того, (Т,<^,ф) есть (1г/ направленность в В^[/; £] со свойством
(Т,<, ^ о V)
Пусть, наконец, ф Т х Б —» В* [/, £] есть (1с/ такой оператор, что VI £ Т У/С 6 В.
¿(г, £) = ^(0П(еЛ*Ж довели (/?/й)[гГ х О] есть <1е/ произведение направлений [22, с. 99] <С и ~<, то
((Т х Б, Ч, ^ о -0) ¡у) & (Зг0 е Г х Б Уг € ГГ х Б :
I
Доказательство весьма очевидно следует из представления [21, с. 81] и леммы 4.3.1 [81], поскольку для Ь £ £ имеет место совпадение: 1) /¿(¿) и ^-интеграла ф, 2) I>(Ь) и ^-интеграла ©¡{"[/С]; разумеется, упомянутые равенства справедливы с некоторого момента. Дальнейшие рассуждения используют
126
Л А. САВИНОВА, А. Г ЧЕНЦОВ
(4.9).
В заключение раздела отметим некоторые очевидные обстоятельства, подобные рассматриваемым в [8, с. 259]. Следуем общим обозначениям [21, с 79] (см также раздел 3) Тогда V/i G (add)+[C; г}] Vi 6 То:
Ы^еН^',^')] (4 17)
Кроме тою, имеем,что V/i € (add)+[C,rj\ V0 G T0 Vf G (add)+{Ce, (i?|£e)]
ßOve (add)+{C,rj] (4 18)
В (4 17) и (4.18) мы учитываем, что (при 9 G То) Св и Св - суть полуалгебры подмножеств [f0,0[ и [в, i9o[-
Лемма 4 4 Пусть
(ч е 5+(£)) & (ъ е sto(£» к (в е То)
Пусть, кроме coro, (ui\Cg) = (i^l-Cö) Пусть, наконец, ¡.ii G A(ui) Тогда Зрг €
АЫ (fiilCe) = (ц2\Се)
Схема доказательства С учетом (4 16) подберем направленность (Т, в M*{C), для которой
(XVl C(M+(£)-ass)[T.<,r])&
(3je[î(por)(i) (Т,<,д)т'^\у). (4 10)
ter
Кроме того, мы, используя (4 19) подбираем элемент g произведения множеств (<р о r)(l) , t G Т для которого
(4 20)
Оператор g переводит множество Т в S+ (£) и Vi G T g(t) G ip(r(t)) Тогда при t G T множество T(i) всех / G ого(г(<)) со свойством <?(i) = / + г) непусто, так что мы получаем многозначное отображение F( ), обладающее селектором Пусть г есть элемент произведения всех множеств F(t) , t G Т Тогда r(f) G c*o(r(i)) и g(t) = r(<) * г] для t G T При этом (T, <С,?) есхь направленность в M+ (£) Мы рассматриваем эту направленность, как своеобразную аппроксимативную "реакцию" на гл
Сейчас мы построим подобного рода реакцию и на для чего, однако, нам потребуется использовать склейки "обычных" управлений и конструкцию направленного произведения [22]. Именно, пусгъ Z = T х D, а есгь произведение направлений <С и -< Иными словами, (Z, ecib направленное произведение (Т, С) и (D,-<) , Ъф% Введем оператор ф из Z в Bq[I,C] , пола1ая
Vi G TV/C G D t}(t,)C) = rD(0„.,[A:]|[Mo[)
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
127
Из (4.12) и (4.19) имеем, однако, что У Я £ Л'т<>(£)(^) 3 рвТУд 6 Т: (р < я) =» ((3 о »■)(«) € Я).
Это означает сходимость (ТД^ог) к ^ в смысле мы имеем сходимость
Полезно отметить, что У< € Т У/С £ В :
(^(<,/С)|[<о,0[) = (г(О1М). (4.22)
С другой стороны, в силу леммы 4.3, можно указать го £ Ъ так, что Уг £ Ъ
ф{г) ¿ч = //2(/)). (4.23)
I
Тогда Ъо = {г £ Ъ\го < г} есть непустое конфиналыюе (в (2, ■<)) подмножество Ъ, так что бинарное отношение < в 2о, характеризуемое условием: г' < г" тогда и только тогда, когда г' ■< г", является направлением в Ъо, а оператор ф0 = (Ф\"2>о) дополняет (см.(4.23)) (Ъо, <) до направленности в М^(С).
Имеем для г £ Zo в виде ао(фо(г)) непустое подмножество М+о (£). Вместе с тем (Ъо, <,3°Фо) сходится к V? в то(£). Для новой направленности (2о, <,Фо) реализуется аналог соотношения (4.22). При этом для I £ Т и /С € Ю таких, что (', А') £ Ъо; имеет место равенство «ли »инэадюи
{(/|[*о,0[) /б«о(КО)} = ШМ) 9 €«о(0о(<,А;))}. (4.24)
Поэтому для (¿,АЛ £ в виде множества £![<;/С] всех д £ ао(фо(1, /С)), удовлетворяющих условию
№,<?[) = (?(О1(*а,0[), (425)
мы имеем непустое подмножество М+(£) В этом случае, согласно аксиоме выбора, произведение всех множеств (2[<;/С], (¿,/С) £ Zo, непусто.
Выберем произвольный элемен г р упомянутого произведения (р — селектор многозначного отображения на Ъо, которое сопоставляет паре (1,К.) множество <2[<;/С]). Итак, элемент /?(<,/С) £ ао(Фо(1,1С)) может использоваться в качестве д в (4.25) при (1,/С) £ 20.
Полагаем, р = 3 о р, так что (Ъо,<,р) есть направленность в компакте Н+(£) с топологией подпространства ТП (3.1). Поэтому [22] можно указать $ £ Н+о(£), направленное множество (Е,С), £ ф 0, а также изотонное отображение а из (Е, С) в (Zo,<) с конфинальным в (2о,<) образом сг^Е), для которых
(Е,С,ро<г)МЯД (4-26)
го(£). В силу леммы 4.3 (4 21)
128
Л. А. САВИНОВА, А. Г. ЧЕНЦОВ
Легко видеть (см (4.21)), что
(^с^о^о^^^ (4.27)
Вместе с тем (рохро есть оператор из Zo в т.е. многозначное отображение
на Zo, так что при г £ Zo имеет место (ц>о-ф0)(г) ф 0 и, кроме того, (<роф0^(г) С Е+о(£) При этом для г £ Zo мы по выбору р имеем, что р(г) £ ао(Фо(^)), причем
(р(*)|[*о,*[) = (?(О1[<о,0[), (4 28)
где £ £ Т гаково, что г = (I, К,) при некотором К. £ В. Напомним, что У г € Zo '
р(г) * ?/ € (<р°$о){г)-
Как следствие, имеем, что У£ £ X! :
(р о <т)(£) *1] £(<р о ф0 о <г)(£).
Но тогда получаем, что У£ 6 £ :
(р°<г)(0 £ (<ро -ф0 о<г)(£)
Иными словами, рост есть элемент произведения всех множеств (<£>о ф0 о , £ £ 2!, причем этот оператор определяет сходимость (4 26). Тем самым установлено, что
Зд£ П(^°(^°<т))0П (Е,С,<,)т^:),А (4 29)
«бЕ
Напомним, что есть семейство всех множеств J"l(H) П М^(£), Н £ NTot<c){v) Выберем произвольно {/' £ Л'„2, после чего подберем множество Я8 £ ЛГта(£)(1/) СО свойством
и* = а-\Н*)()М?в{С) (4.30)
С учетом (4 27) подберем £ X из того условия, что У£ £ £
<т)(0£Я»).
Это означает в силу (4.30), что справедливо У£ £ £
Поскольку {/' выбиралось произвольно, установлено вложение
с (А/+(£) - ава)[Е; С; гр0 о <т]. (4 31)
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
129
Из (4.16), (4.29) и (4.31) следует, что G А(и2). Рассмотрим теперь пару ц\ 6 A(v\), цЪ £ v4(i/2). Покажем, что сужения fi на Св совпадают. Пусть Л £ С», так что А £ Г и при этом Л С По выбору р мы имеем для
(i, К) £ Z0 и А € Л совпадение p(t,K.)(А) = f(í)(A). В итоге V(í, £) £ Z0:
p(í,*:)(A) = J P(t, к) dn = у"г(ол?.
Л Л
Как следствие, мы получаем для £ £ £ равенство
(Р ° ")(0(А) = (f(0 * >/)(А) = (J О f)(i)(A), (4.32)
где í есть первая компонента (проекция) упорядоченной пары с(£). Напомним, что [21, с 80] Тф(£) есть топология, индуцированная в А(£) топологией поточечной сходимости R£, так что в силу (4.26) и рассуждений [21, с. 80] мы имеем сходимость
(S,C,¿o<r)TeX£V (4 33)
Это означает, в частности, что (/>осг)(£)(А) и А) становятся сколь угодно близкими для достаточно больших £ £ Е. Из (4.20) имеем сходимость [21, с. 80]
(T,«,Jor)4£)/<t. (4.34)
Из (4 32)-(4 34) имеем равенство р\(А) — В самом деле, через £ обо-
значаем оператор, действующий из £ в Т по следующему правилу: если £ £ £,
t £ Т и ¡C £ D, причем <г(() = (í,/C), то ((£) = t. Фиксируем е* £]0,оо[ и подбираем (см. (4.33)) ÍJ £ S так, что V£ £ S:
(tf Е О =» (I (Р о *)(£)(Л) ~ /1«(Л) |< у). (4.35)
Используя (4 34), подберем i* G Г так, что Vi G Т:
(i* С t) => (j (J о f)(t)(Л) - /ц(А) |< у). (4.36)
Пусть «о G Т и Л."о G D таковы, что z0 = (so, AJo)- Подберем для {í*;so} (в смысле (Т, <)) мажоранту s* G Т'
(i* «6*)&(во<«*).
Пусть г* = (s*,/Со); легко видеть, что 2* G Zo- Используя конфинальность ff'(S), подберем £ S так, что г* < сг(££). Тогда, согласно изотонности <т, имеем V^ G S:
(Í5 <<К0)
Пусть £* есть мажоранта в (£, С) пары {íiiís}- Тогда it(£*) G Zy. Подберем в* G Т и К." G D так, что при этом (т(£*) = (в* ,£*). При этом согласно (4.35)
|(ро^(Г)(Л)~/гНЛ)|<у. (4.37)
С другой стороны, в силу изотонности а, мы имеем
(** <*(£))&(*(£) <а(П). (4-38)
В силу транзитивности < из (4.38) имеем, что г" < а (С )■ Последнее означает,
130
Л. А. САВИНОВА, А. Г. ЧЕНЦОВ
что г* < а(С).
В силу равенств z* = (s*,JCo) и <т(£*) = (в*, 1С*) имеем, что s* < 9* и Kq ~< 1С*. Но тогда t* <С в*, так что согласно (4.36) имеет место неравенство
|(Уог)(П(А)-/ц(Л)|<у. (4.39)
Но согласно (4.32) имеем (в условиях £ = £*) равенство
(po<r)(r)(A) = (Jor)(0*)(A). (4.40)
Из (4.37), (4.39) и (4.40) получаем, что | цх(А) - р\А) |< с*. Но е* е]0,оо[ выбиралось произвольно, так что pi(A) = р,\Л). Но и A Ç Се выбиралось произвольно, так что (р,\\С$) — (р^\£е)- Таким образом, р^ 6 <4(f2) : (/'i|£9) = (/z''|£®). Лемма доказана.
Теорема 4.1. Отображение А, определяемое (4.5), есть обобщенная квазистратегия: А переводит Sj" (£) в пространство всех непустых подмножеств 3+ (£), причем Мщ € 2+ (£) Vf, € S+(£) Vt G Т0:
(MA) = ЫЫ) =» (Ufi\£i) ■■ А» € A{Vl)} = (H£t) ^ M G ЛЫ))-
Доказательство сводится к очевидной комбинации лемм 4 1 и 4 4.
Б. Вольтеррова "оболочка" многозначного отображения
Через Т*(С) обозначаем семейство всех замкнутых в (А(£),г»(£)) непустых подмножеств Е+ (£).
Пусть Q — множество всех операторов А из Ej|" (£) в Т* (£) таких, что
Vf е е+(£) чнх е nt.(£)h>)] эн2 е мто{ф).
cl( U {9*4 9 6 ao(/)}i г*(£)) С Н\. /еА(я3)
Основное свойство, характеризующее операторы из Q, допускает естественную аналогию с одним из представлений полунепрерывных сверху многозначных отображений. Мы ставим своей целью установить, что оператор А § 4 (обобщенная квазистратегия) является наименьшим в некотором естественном смысле элементом Q. Это позволит затем сделать вывод об автоматической "вольтерровости" [26] "оболочки" оператора ао при погружении последнего в пространство мерозначных отображений. Отметим прежде всего, что G ЛГТв(с)Н :
{'J * V : g € л;(я)} = (J {g * т) . g Е а0(/)} (5.1)
/еЛ(я)
Лемма 5.1. А € Q.
Доказательство Фиксируем f € Е^(£), получая в виде A(v) непустое подмножество Е+(£). Далее, фиксируем Н\ g Nr<(£)[/Î(f)].
к вопросу о расширении
131
При некотором выборе С\ £ т,(С) имеет место А (и) С Сч С Н\ Полагаем для И £ NTo(£^¡(l'), что 0.н есть замыкание в (А(£),т,(£)) множества {у * г/ д £ Л5(Я)} В виде
Я ^ Пн Кмф) - Т(А(С)) (5 2)
имеем компактнозначное (в смысле г»(£)) отображение, монотонное на фильтре всех окрестное гей V в смысле ТП (А(£), 7о(£)) В этом случае образ 9 множества Лтт„(С)(^) в силу (5 2) есгь базис фильтра Н+о(£) Здесь мы учиты ваем (4 5), так что А(и) С ^я при Я £ АгТо(£)(^), а А(г/) / 0
При этом, как следствие, имеем, что У вместе с каждым своим непустым конечным подсемейством содержит и некоторые подмножества пересечения всех множеств этого подсемейства Тогда 6*1 содержит в силу (4 5) пересечение всех множеств из а следовательно [19, с 197], есть окрестность некоторого Я € 5>
я = , Н£МТа(С)(»)
Это означает (см (5 1)), что
и {9*4 9 6 ао(/)} Г,(£)) = /еЛ(я)
= с1({д *!} д£ Л2(Я)}, г.(£)) С 6', С Н,
Поскольку V и Н\ выбирались произвольно, то по определению (2 имеем основное утверждение леммы
Лрмма 5 2 ЧА £ <2 Чи € Н+(£) А(и) С А(и)
Доказательство Фиксируем А £ Я и v, Е ££(£), тль что е ЗЯ2 е
с1( и {9*4 ге«о(/)},г.(£))сЯ1 (5 3)
/еА(яг)
Вместе с тем А(р,) есть пересечение всех множеств
с1({д *'} д£ а;(я)}, п(£)), я е ^мою
При ^том для Я е А'т0(£)('/*) имеем в виде А£(Я) объединение всех множеств
«о(Я / € А(Я)
132
Л А. САВИНОВА, А Г ЧЕНЦОВ
Из (4 4), (5.1), (5.3) вытекает У/Щ € 1ЧТ.(£)[Д(1/.)] 3Я2 € ЯГо{с)(и>)
ск{д * v дект)мс))сни (5.4)
Пространство (А(£), т»(£)) является регулярным, а тогда в силу замкнутости А(р*) в (А(£),г„(£)) имеем, что У/л £ А(£)\Л(г/,) ЗЯ1 € Nu(c)(^^) ЭЯ2 €
Я, р) Я2 = 0 (5 5)
Но в этом случае непременно
С А(^) (5 6)
В самом деле, допустим противное ф 0 Выберем /г» £
.Д^еД/Цгл»), так что, в частности, р, € А(£)\Л(1/*) Тогда, согласно (5 5), можно указать Я* 6 ЛГг.(Г)(м*) и Я£ £ ^т.(х)[Л(г/»)] так, что Я) П Я2 = 0 Подберем Я2 £ А^г<,(£)('у*) со свойством (5.4) в условиях Я* = Я2 Поэтому С Я2, откуда следует, что £ #2 Это означает (в силу /<* £ Я*), что Я* П Я2 ф 0, последнее невозможно Противоречие доказывает вложение (5 6) Но А, 1/* выбирались произвольно, так что лемма дока}ана
Определим на б упорядоченность >/, полагая <1е/ ЧА\ £ 2 \/Л2 £ 2
(Л1уЛ2)^(Уг/£Н+(£) ЛхИС^И)
В виде (<2,у0 мы имеем частично упорядоченное множество, подобное [12, с 33] Из лемм 5 1 и 5 2 вытекает следующая
теорема 5 1 Обобщенная квазистратегия А является наименьшим элементом частично упорядоченного множества (О, л/)
Заключение
На содержательном уровне теоремам 4.1 и 5 1 можно дать следующее истолкование Располаг ая многозначным отображением «о в пространствах обычных управлений, можно поставить вопрос о построении естественных "расши рений" «о, ориентируясь на достижение тех или иных "хороших" топологических свойств Одно из таких свойств у нас "закладывается" в определение операторов из <3, которые являются многозначными отображениями на про странстве конечно-аддитивных мер
Эта цель достигается посредством построения оператора А, причем, как
К ВОПРОСУ О РАСШИРЕНИИ
133
показывает теорема 5.1, некоторым экстремальным способом: А может рассматриваться как своеобразная "оболочка" «о (смысл термина "оболочка" проясняется в определении бив теореме 5.1). Согласно 'геореме 4.1, эта "оболочка" наследует от «о свойство вольтерровости (неупреждаемости) "автоматически": если »о есть неупреждающий в многозначном смысле оператор, то и ее "оболочка" А является неупреждающей (в связи с применением свойства вольтерровости к многозначным отображениям см.[5-8; 12]; в связи с проблемой существования вольтерровых селекторов для многозначных неупреждающих отображений отметим [27]).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
[lj Roxin Е. Axiomatic Approach in Differential Games // J. Optimiz. Theory and Applic. 1969. V. 3, № 3. P. 153 163.
[2] Nardzewski C.R. A theory of pursuit and evasion Adv. in game theory. Ann. Math. Studies. 1964.
[3] Elliott R.J., Kalton N.J. The Existenee of Value in Differential Games of Pursuit and Evasion // J. Different. Equat. 1972. 12, № 3.
[4] Varaiya P., Lin Jiguan. Existence of saddle points in differential games // SIAM J. Control. 1969. V. 7, № 1.
[5] Ченцов А Г О структуре одной игровой задачи сближения // ДАН СССР. 1975 Т. 224, № 6.
[6] Ченцов А.Г. К игровой задаче наведения // ДАН СССР. 1976. Т. 226, № 1
[7] Ченцов А.Г. Об игровой задаче сближения в заданный момент времени Ц Мат. сб. 1976. Т. 99, № 3.
[8] субботин Л И., Ченцов А.Г Оптимизация гарантии в задачах управления М : Наука, 1981
[9] КрасовскиЙ Н.Н. Игровые задачи о встрече движений М.: Наука, 1970. 420 с.
[10] КрасовскиЙ Н.Н., Субботин А.И. Позиционные дифференциальные игры М.: Наука, 1974. 456 с.
[11] КрасовскиЙ Н.Н. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985.
[12] Ченцов А.Г. Метод программных итераций для дифференциальной игры сближения-уклонения / ИММ УНЦ АН СССР. Свердловск, 1979. 103 с. Деп. в ВИНИТИ, № 1933-79.
[13] Понтрягин J1.С. Оптимальные процессы регулирования // Успехи мат. наук. 1959. Т. 14, вып. 1. С. 3-20.
134
Л А САВИНОВА А Г ЧЕНЦОВ
[14] Понтрягин Л С , Болтянский В Г , ГЧмкРЕЛшиь Р В Мищенко Е Ф Математическая теория оптимальных процессов M Наука, 1969
[15] Krasûvskii N N chentsov a G On the design of differential games, /// Problème of Control and Information Theory 1977 V 6, N> 5 6 P 381-395
[16] Krasovskii N N , Chentsov A G
// Problème of Control and Infoimation Theory 1979 V 8, № 1 P 3 11
[171 Куратовский К Топология T i M Мир, 1966 594 с
[18] Варга Дж Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями M Наука, 1969
[19] энгелькинг Р Общая топология M Мир 1986 751 с
[20] Александрии Р А Мирзаханян Е А Общая топология M Высш шк 1979
Г21] Ченцов А Г Конечно-аддитивные мер0| и релаксации экстремальных задач Екатеринбург Наука, 1993 232 с
[22] Келли Дж Л Общая топология M Наука, 1981 431 с
[23] Неве Ж Математические основы теории вероятностей M Мир 1969 309 с
[24] Данфорд H Шварц Дж Т Линейные операторы Общая теория M
Изд-во иностр лит , 1962 895 с
[25] ченцов А Г К вопросу об универсальной интегрируемости ограниченных сЬункций // Мат сб 1986 Т 131, № 1 С 73-93
[26] Курбатов В Г Операторные методы исследования линейных систем управления с неограниченной памятью Дис д ра физ мат наук /' Воронеж гос }н-т Воронеж, 1992 395 с
[27] ЧьНЦОВ А Г Селекторы многозначных квазистратегий в дифференциальных играх / ИММ УНЦ АН СССР Свердловск, 1978 22 с Деп в ВИНИТИ, N> 3101-78
[28] Krasovskii, N N SuBBOTIN, А I Game-theoretical control problems Berlin Springer-Verlag, 198$
