CC BY
48Н.М.Нагорный
К ВОПРОСУ О НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ КЛАССИЧЕСКОЙ ФОРМАЛЬНОЙ АРИФМЕТИКИ*
Abstract. In this article a new proof of consistency of the classical formal number theory is given. The proof is performed in the Kleene-Nelson style.
Публикуемая работа тематически связана с докладами [29] и [30], прочитанными автором на конференциях, посвященных памяти В.А.Смирнова. Излагаемый в ней результат, по сути дела, подводит итог авторским исследованиям, начавшимся еще в ходе его участия в работе семинара по клиниевской реализуемостной семантике, организованного им в Вычислительном центре АН СССР во второй половине 50-х годов прошлого столетия.
Значительная часть второго из данных докладов посвящена истории этого семинара, участниками которого были получены замечательные результаты и проанализированы труднейшие, и до сих пор остающиеся нерешенными проблемы. Что же касается первого из них, опубликованного в материалах конференции лишь в виде кратких тезисов, то данная работа представляет собой расширенную его версию. Основой для нее послужил материал, в свое время изданный небольшим тиражом в виде брошюры [28], ставшей ныне практически недоступной. Ввиду сказанного мне представилось целесообразным опубликовать этот материал повторно, внеся в него необходимые поправки и изменения, а также снабдив отдельные рассуждения дополнительной аргументацией.
1. Проблема установления непротиворечивости арифметики, то есть "чистой" - неаналитической - теории чисел, оказалась в центре внимания гильбертовской теории доказательств, - часто называемой также метаматематикой, - с момента зарождения этой теории. И хотя впоследствии ближайший сотрудник Гильберта П.Бернайс высказывал мнение, что «окончательный приговор судьбе теории доказательств может вынести лишь решение задачи установления непротиворечивости анализа» ([1], с. 13), первой по замыслу Гильберта "проверку на непротиворечивость" должна была пройти арифмет ика, «это чистейшее, - по его выражению, - и наивнейшее дитя человеческого духа» ([2], с. 434).
*
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, грант № 01-06-80142.
В рассматриваемой ситуации формальная система арифметики мыслилась Гильбертом как соединение записанной на специально для этой цели разработанном формальном "логико-арифметическом языке" версии неформалььной теоретико-множественной аксиоматики натурального ряда, ранее построенной в трудах Пеано и Дедекинда, с "классической" аристотелевской логикой в виде классического исчисления предикат ов. Как известно, существенной чертой этой логики является наличие в ней так называемого закона исключенного третьего, что влечет за собой допустимость доказательств мет одом "от прот ивного" и, как следствие, неконструктивность понятий как самой арифметики, так и всех базирующихся на ней математических теорий (и в первую очередь - математического анализа).
Исторически теория доказательств разрабатывалась Гильбертом как средство, нацеленное на преодоление трудност ей, обнаружившихся в теоретико-множественной программе Кантора уже на начальном этапе ее реализации. Особенно тяжелое впечатление на него, как и на многих других математиков, произвело открытие в ней так называемых "антиномий' ("парадоксов') теории множеств1, в особенности "парадокса Рассела". «Перед лицом этих парадоксов надо согласиться, - писал он, - что положение, в котором мы пребываем сейчас, на длительное время невыносимо. Подумайте: в математике, - этом образце надежности и истинности, - понятия и умозаключения, как их всякий изучает, преподает и применяет, приводят к нелепостям. Где же тогда искать надежность и истинность, если даже само математическое мышление дает осечку?» ([2], с. 438). Теории доказательств Гильбертом отводилась также роль противовеса той критике, которой Брауэр с более общих позиций, не ограничиваясь одной лишь проблемой антиномий, подверг теорию множеств в целом.
Альтернативная программа Брауэра, - его интуиционизм, -предложила возводить математику на базе так называемых умст -венных мат емат ических построений, и Брауэр убедительно показал [3], что при рассмотрении этих последних требуется применять особую, интуиционист скую, логику, в которой, в частности, ни "закон исключенного третьего", ни "закон снятия двойного отрицания" более не могут претендовать на роль универсальных логических принципов.
Таким образом, теория доказательств с самого начала возникла "на стыке" двух конфронтирующих концепций, каждая из которых пользовалась своей особой логикой, и это обусловило проблему
1 В сущности, прямых контрадикторных противоречий, т. е. лождыхсуждений.
выбора логических средств, допустимых в математических рассмотрениях. В самом деле, высказывание, оказавшееся истинным в рамках одной логики, вполне могло оказаться ложным в рамках другой. Более того, могло оказаться, что высказывание, истинное в рамках обеих логических систем, в действительности доказывается в них по-разному, так что доказательство, приемлемое в рамках одной из этих систем, будет отвергаться в рамках другой, и наоборот. Впоследствии, с уточнением в 1936 г. общего понятия алгорифма и с выходом в свет работы С.К.Клини [4], создавшей благоприятную почву для разработки основ конструктивной семантики, сформировалось и еще одно самостоятельное направление в основаниях математики - марковский конструкт ивизм, также выдвинувший свою логическую концепцию, которую тоже надлежало "принять в расчет".
При анализе столь сложного вопроса, как вопрос о непрот иво-речивост и какой-либо формальной теории (в том числе и арифметики), безусловно, следует самым тщательным образом учитывать все могущие здесь возникнуть проблемы - в том числе и вопрос о соотношении формализуемой т еории с ее формализацией. Он не так прост, как это представлялось в момент зарождения теории доказательств. Например, видимо, попросту не замеченное Гильбертом расхождение в языках, на которых "говорили" о натуральных числах Пеано и Дедекинд, с одной стороны, и он сам - с другой, обусловило неполноту формальной арифметики (знаменитая теорема Гёделя о неполноте), а значит, и возникновение ее нест андарт ных моделей. Тем не менее, гильбертовский подход вошел в "математическую классику", и у него есть свои резоны (см. [31]). Следует также внимательно относиться и к вопросу о том, какие логические средства могут быть в этой ситуации применены. Естественно добиваться их "нейтральности", то есть приемлемости в рамках по крайней мере трех упомянутых выше концепций и т. п. К рассмотрению этих вопросов мы вернемся несколько позже.
2. Первое по времени (1936 г.) доказательство непротиворечивости классической формальной арифметики было опубликовано учеником Гильберта Г.Генценом [5]. Как мы теперь знаем (см. [1], с. 439), ему предшествовало более раннее доказательство того же автора, которое в свое время было необоснованно отклонено (оно по сохранившимся гранкам опубликовано [6] лишь в 1969 г.). С
2 Гильберт рассчитывал получить полную и непротиворечивую аксиоматику не только арифметики, но и всех других математических дисциплин, включая теорию множеств.
тех пор появилось еще одно доказательство Генцена [7], а также доказательства Л.Кальмара [1; Приложение V, § 1], В.Аккермана [1; Приложение V, § 2] (см. также [8]), П.С.Новикова [9], К.Шютте [10, 11] и сравнительно малоизвестное доказательство И.Н.Хлодовского [12], опубликованное посмертно с комментариями А.С.Есенина-Вольпина.
Не вдаваясь в сравнение этих доказательств и в их подробный разбор, отметим лишь, что в основе каждого из них лежит поиск высказывания, невыводимого в рассматриваемой формальной системе. Тем самым система оказывается непротиворечивой, ибо в противоречивой системе можно было бы вывести любое высказывание. Невыводимость же подобранного высказывания доказывается путем сложного, итерированного преобразования предполагаемого вывода этого высказывания к некоему стандартному виду, причем обрыв процесса этого преобразования доказывается трансфинитной индукцией до некоторого "относительно небольшого" порядкового числа. Степень конструктивности перечисленных доказательств не всегда анализируется, и отдельные авторы (см. напр., [13], с. 295) демонстративно считают этот вопрос «проблемой субъективной природы».
Несколько особняком по отношению к упомянутым выше работаем стоит более ранняя (1933 г.) публикация Гёделя [14], в которой классическая арифметика "погружается" в интуиционистскую, так что если непротиворечива интуиционистская арифметика, то непротиворечива и классическая (обратное тривиально). К этому времени какое-либо доказательство непротиворечивости интуиционистской арифметики отсутствовало (оно появилось лишь в 1936 г. как следствие работы Генцена [5]). Но после появления понятия реализуемой логико-арифметической формулы, введенного Клини в уже упоминавшейся работе [4], Д.Нельсон [15] показал, что всякая логико-арифметическая формула, выводимая в интуиционист скойформальной арифметике, реализуема и что формула (0=1), напротив, не реализуема (и, значит, в этой арифметике не выводима). Это было первое прямое (не ссылающееся на непротиворечивость классической арифметической системы) доказательство непротиворечивости интуиционистской формальной арифметики, и в соединении с уже упомянутой работой [14] оно давало еще одно доказательство непротиворечивости классической формальной арифметики, по своему стилю существенно отличающееся от предшествующих.
Первое утверждение только что сформулированной теоремы Нельсона доказывается индукцией "вдоль вывода формулы" и ни с какой техникой преобразования выводов дела не имеет. Анализ
проводимого при этом рассуждения показывает, что оно "нейтрально" в упоминавшемся выше смысле. Естественно пытаться доказать аналог теоремы Нельсона уже для классической формальной арифметики, надлежащим образом модифицировав клиниев-ское определение реализуемой формулы, но сохранив при этом обе перечисленные выше черты доказательства Нельсона.
3. С течением времени, прошедшего после публикации работы Клини [4], в литературе появился целый ряд модификаций первоначального клиниевского определения. В определенном отношении интересна модификация, содержащаяся в работе Н.А.Шанина [16]. В ней наряду с собственно реализациями формул фигурируют, будучи четко отделены от них, записи этих реализаций . Записи представляют собой некоторым стандартным образом закодированную информацию о реализующих формулы объектах, и в полном соответствии с замыслом Клини они несут в себе "максимум" информации об этих объектах, фактически являясь их гёделевыми номерами. Такая структура определения реализации естественным образом подводит к мысли рассмотреть и другие его варианты, беря, например, в качестве записей реалиаций не их гёделевы номера, а какую-нибудь иную, "более слабую" информацию.
В порядке реализации этой идеи нами в работах [17, 18] было введено и рассмотрено понятие восполнимой логико-арифметической формулы, представляющее собой другой "крайний" вариант клиниевского определения, в котором мы в записи объектов, восполняющих формулы, включили "минимум" информации о них: в качестве записи восполнения, вне зависимости от того, каково оно само, мы всегда брали один и т от же фиксированный объект -для конкретности, натуральное число нуль (за точным определением мы отсылаем читателя к работе [18, п. 3]). В частности, рассматривая это понятие без какого бы то ни было обращения к теоретико-множественным представлениям, но тем не менее с апелляцией (по-видимому, неустранимой: см. [18, теор. 4.2]) к закону исключенного третьего (то есть в рамках классической логики), мы доказали аналог теоремы Нельсона для классической формальной арифметики. Это давало классически справедливое доказательство непротиворечивости классической формальной арифметики. Но "нейтральным" - из-за использования закона исключенного третьего - оно не являлось.
3 В одном из писем Н.А.Шанин сообщил мне, что эта идея восходит к А.А.Маркову, который применял ее в своих лекциях еще в 1948 г.
В заметке [19] мы ввели такую модификацию понятия воспол-нимой логико-арифметической формулы - понятие квазивоспол-нимой формулы, - для которой соответствующий аналог теоремы Нельсона может быть доказан "нейтральными" средствами, то есть средствами, приемлемыми в рамках всех трех упоминавшихся выше концепций - теоретико-множественной, интуиционистской и конструктивной. Эти средства ниже будут охарактеризованы детально. Однако уже сейчас мы хотели бы подчеркнуть, что приводимые ниже доказательства утверждений, сформулированных в [19], мы склонны трактовать в содержательном плане, то есть доказывать истинность утверждений, а не их выводимость в каких-либо исчислениях (хотя и этот вариант, о чем говорится в [19] в начале с. 27, напрашивается сам собой). Выдержав наше доказательство в духе первоначального доказательства Нельсона [15] и приняв во внимание роль, которую сыграло это последнее в прямом установлении непротиворечивости интуиционистской формальной арифметики, мы хотели бы оспорить распространенное мнение, будто «любое доказательство непротиворечивости ... лишь сводит вопрос о непротиворечивости одной теории к вопросу о непротиворечивости другой» (см., напр., [20], столб. 999).
4. Чтобы сделать чтение этой работы не зависящим от заметки [19], мы повторим приведенные там определения.
4.1. Логико-арифметический язык мы будем использовать в том виде, как он описан в [21]. Буквами S и Т мы будем обозначать произвольные постоянные термы этого языка. Значение терма Т будет обозначаться посредством з(Т). Буквы Р и Q будут обозначать произвольные замкнутые формулы языка. Буквой х будем обозначать произвольную переменную (числовую), а символом R(х) - произвольную формулу, не содержащую параметров, отличных от х.
Наши определения мы для большей краткости будем формулировать с использованием следующих сокращений:
а) знаки л, и, ^ и о будут обозначать соответственно логические союзы "и", "или", "не", "если..., то..." и "тогда и только тогда, когда ...";
б) содержательные кванторные комплексы общности и существования мы будем обозначать выражениями типа (п), ... , и (Ей), ... , (Ew) соответственно;
в) знак =ЁГ будет обозначать отношение графического равенства слов (см. [26, § 2.4]), а знак = ¿г будет сокращением для слов "есть по определению".
В качестве обозначений для натуральных чисел мы будем использовать переменные т, п и р. Мы будем рассматривать также пары натуральных чисел (ПНЧ), частично рекурсивные функции одного аргумента (ЧРФ1) и одну фиксированную общерекурсивную функцию f двух аргументов такую, что Дт,п)=0 тогда и только тогда, когда т=п. В качестве обозначений для ПНЧ, ЧРФ1 и функции f мы будем использовать буквы и, V и w. Первый и второй члены ПНЧ w мы будем обозначать соответственно и ^)2. Запись ^(п) будет означать, что ЧРФ1 w определена в точке п. Выражения ^еПНЧ), ^еЧРФ1) и ^е!1) будут соответственно означать, что w есть ПНЧ, w есть ЧРФ1 и w есть £
4.2. Переходя к определению квазивосполнимой формулы, мы индуктивно определим два вспомогательных отношения - бинарное G и тернарное Ъ. (Для ориентировки подскажем читателю, что G будет аналогом клиниевского отношения «объект w реализует формулу Р», а Ъ - аналогом шанинского отношения «число п есть запись реализации w формулы Р».) Определение G и Ъ мы начнем со случая замкнутых формул. Оно, с учетом определения самого понятия формулы, распадается на следующие семь подслучаев:
Подслучай а) - элемент арная формула: О (8=Т)) ^еф л з(Т))=0),
Ъ (п, (8=Т)) (п =ЁГ 0) л О (8=Т)). Подслучай б) - конъюнкция. О^, (Р&0)) =df (wеПНЧ) л
~ (и) ~ (О(и, Р) л Ъ (^)ь и, Р)) л
~ (V) ~ (О(у, 0) л Ъ(^)2, V, 0)),
ъ (п, w, (Р&0)) =df (п =ЁГ 0) л а (Р&0)). Подслучай в) - импликация. О (Р з 0)) (w е ЧРФ1) л
(п) [~ (и) ~ (О(и, Р) л Ъ (п, и, Р))] ^ (!w(n) л ~ (V) ~ (а(v, 0) л Ъ ^(п), V, 0)))], Ъ (n,w, (Р ^ 0)) =,„■ (п =Ёг 0) л О (Р з 0)). Подслучай г) - всеобщност ь: О УхЯ(х)) =df (w е ЧРФ1) л
(п)[Мп)л~(иМО(иД(п))лЪ^(п),иД(п)))], Ъ(п, w, УхЯ(х)) =df (п =Ёг 0) л a(w, УхЯ(х))
Подслучай д) - отрицание - мы, как обычно, трактуем в духе Клини [41:
О =,«■ О (w, (Р з (0 = 0'))), Ъ (n,w, 1Р) (п =Ёг 0) л О 1Р).
Подслучаи е) и ж) - дизъюнкцию и сущест вование - мы трактуем, следуя идее Гёделя [14]:
е) а^,^)) а^, 1(1р&1о>), 2(п, w, (PvQ)) (п =Ёг 0) л а^, ^)).
ж) а(w, Зх R(х)) = ^ (а(w, 1Ух Ъ(х)), г(п, w, Зх R(х) (п =gг 0) л а(w, Зх R(х)).
Теперь понятие квазивосполнимост и для произвольной замкнутой логико-арифметической формулы Р (символическая запись: gP4) мы введем с помощью следующего определения:
(1) gP ~a(w,p ).
Случай незамкнутой формулы F трактуется обычным для подобного рода ситуаций образом:
(2) а^, Б) а(w, Уаб),
2(п, w, Б) =аг (п =gг 0) л а(w, Б) (здесь - замыкание F по всем её параметрам; впоследствии (см.7.4) мы убедимся, что порядок "связывания" параметров формулы F здесь никакой роли не играет).
Читателю было бы полезно сравнить по пунктам приведенные здесь определения с соответствующими определениями в [17] и [16].
Заключая этот раздел, мы отметим, что для произвольной формулы F
2(п, w, Б) о (п =р 0) л а^, Б), и потому
4.2.1. ДлялюбыхF, w и п
Ст^, Б) л 2(п, w, Б) о (п =gг 0) л a(w, Б).
5. Приведенные нами определения отношений G и Ъ и свойства g представляют собой некоторые тексты, которые в дальнейшем должны быть восприняты и поняты читателем. При этом, естественно, он будет руководствоваться своими представлениями о семантике (в частности, о том, следует ли считать истинными такие-то и такие-то высказывания), а также о допустимых способах рассуждений (то есть фактически о законах логики). Ему естественно желать, чтобы в процессе чтения у него не возникало необозримых и, тем более, запутанных ситуаций, способных вызывать сомнения. И автор обязан идти читателю навстречу.
В свете сказанного мы перечислим ниже ряд более или менее сложных, а также не слишком часто встречающихся в математическом обиходе "нейтральных" логических законов, и каждый раз, применяя их, мы будем оговаривать это специальной ссылкой.
4 Буква g употреблена здесь в честь Гёделя.
Говоря ниже о высказываниях, мы будем иметь в виду высказывания типа тех, которые уже фигурировали в определениях отношений G и Ъ, а также свойства g. Более точное определение могло бы быть сформулировано, но мы надеемся, что оно читателю не понадобится. Для уточнения позиции подчеркнем, что в наши задачи не входит построение синтаксиса "метаязыка", поскольку нам требуется доказать лишь небольшое число утверждений, и что перечисленные нами в п. 4.1 а) - 4.1 б) логические знаки мы используем лишь "в стенографических целях" (то есть для сокращений).
Большинство используемых ниже "нейтральных" логических фактов навеяно формальными правилами интуиционистской логики и математики, как они были введены Гейтингом в его работах [22, 23]. Со временем на перечисленные в этих работах правила установился взгляд лишь как на некие исчисления, для которых якобы надо искать надлежащую семантику. Такой взгляд имеет под собой определенную почву - особенно с тех пор, как была уяснена возможность раздельно-последовательного изложения синтаксиса и семантики искусственных (формализованных) языков. Однако интуиционистская логика сформировалась гораздо раньше этих работ, и эти последние лишь кодифицируют "заведомо надежные" способы рассуждения первой. Сошлемся на самого Гейтинга, который уже в [22] пишет: «Интуиционистская математика представляет собой мыслительную деятельность, и любой язык, в том числе и формализованный, есть только подсобное средство для сообщений о ней. Разработать систему формул, которая была бы эквивалентна интуиционистской математике, невозможно в принципе, ибо возможности нашего мышления не могут быть сведены к конечному набору заранее составленных правил». Впоследствии в [24] он писал еще более определенно: «Мне жаль, что мое имя известно ныне главным образом в связи с этими работами... Они от фундаментальных идей отвлекали внимание в сторону самих формальных систем».
Разумеется, будучи истинным математиком, Гейтинг свел число исходных правил (аксиом) и способов умозаключений к минимуму, о чем он пишет в своем письме Оскару Беккеру от 23.07.1933 г. (см. [25], с. 16). Кроме того, система его исходных формальных правил устроена так, что система аксиом классической (аристотелевской) логики получается из нее простым присоединением закона исключенного третьего.
Надо сказать, что в связи с интуиционизмом бытует немалое число досадных мифов и один из них состоит, например, в том, что работы [4] и [27] суть работы по интуиционистской семантике.
На самом же деле эти работы представляют собой попытку объяснить интуиционистскую семантику читателю, не знакомому с интуиционизмом.
Исходные правила гейтинговской системы, безусловно, были интуиционистски приемлемы уже в самый момент формулировки этой системы (именно это и позволило Гейтингу взять их в качестве исходных). Их непосредственная обозримость делала их особенно убедительными. Приемлемость производных (выводимых) правил также признавалась, но уже не в силу первоначальной интуиции, а в силу некоего рассуждения (индукцией по построению вывода), и по мере усложнения вывода выводимое правило, вообще говоря, становилось все менее обозримым.
Подводя итоги сказанному, мы приходим к выводу, что гарантированной "нейтральной" убедительностью будут обладать рассуждения, правильность которых обосновывается ссылками на истинность таких высказываний, которые являются "подстановочными примерами" формул5, имеющих обозримые (в частности, достаточно короткие) выводы в соответствующих гейтинговских (то есть интуиционистских) системах. В качестве таких формул можно было бы брать формулы, факт ически выведенные в подходящем систематическом курсе математической логики. Мы позволим себе ссылаться на фундаментальную монографию С.К.Клини [21, часть II]. Такие формулы будут выводимы и классически ввиду уже отмечавшейся связи между гейтинговскими и классическими системами. Это обеспечивает классическую приемлемост ь проводимых рассуждений. Гарантией конструкт ивной их приемлемост иявляется уже упоминавшаяся выше теорема Нельсона.
6 6. Разделу 7, в котором мы докажем важные для дальнейшего подготовительные утверждения, мы предпошлем список формул, на интуиционистскую выводимость которых будем в этом разделе ссылаться. Для каждой из формул мы укажем адрес ее вывода, а также те места в разделе 7, где "подстановочные примеры" этих формул будут применяться. Мы надеемся, что читатель найдет формулы этого списка простыми и обозримыми, что таковы же и фактически используемые "примеры" этих формул и что число этих примеров не слишком велико. Мы специально обращаем внимание на то, что ввиду занятости у нас под содержательное
5 То есть результатами подстановки в эти формулы надлежащих высказываний вместо фигурирующих в них переменных.
6 Этот раздел носит справочный характер и при первом чтении (особенно читателем, знакомым с интуиционистской логикой) может быть пропущен.
отрицание знака ~ , клиниевский знак эквивалентности ~ (см. [21, § 26]) мы заменим знаком э.
6.1. Пропозициональные формулы:
6.1.1. 1 1(Л&Б) = (1 1Л&1 1В) [21, с. 105, ф.*25]. "Нейтрально" истинные подстановочные примеры будут иметь вид
~ ~ (а л в) о (~ ~ а л—в),
где а и в - некоторые высказывания. Замена по этим эквивалент-ностям производится при доказательстве утверждений 7.2 - 7.4 (см. соответствующие ссылки в квадратных скобках; ссылки по аналогии, специально не отмеченные, также учитываются).
6.1.2. 1 1(Л зБ) = (1 1Л з1 1В) [21, с. 110, ф.*60 ]. "Нейтрально" истинные подстановочные примеры в данном
случае будут иметь вид
~ ~ (а ^ в) о (— а ^ — в),
где а и в - некоторые высказывания. Один из таких примеров используется для замены при доказательстве утверждения 7.3. (см. ссылку).
6.1.3. 1 1 1 А = 1 А [21, с. 109, ф.*49 Ь]. Соответствующие этой формуле "нейтрально" истинные
высказывания имеют вид
~ — а о ~ а ,
где а - некоторое высказывание. Они используются в 7.2 и 7.3 для снятия двойного отрицания с высказываний вида gF, поскольку эти последние начинаются [см. 4 (1)] знаком ~ . (См. ссылки в квадратных скобках.)
6.1.4. (Л&Б) з С = Л з (Б з С) [21, с.104, фф.*4 и *5].
Соответствующие этой формуле "нейтрально" истинные высказывания будут иметь вид
(а л в) ^ у о а ^ (в ^ у). Одно из них используется для замены в доказательстве утверждения 7.3 (см. ссылку).
6.1.5. Пользуясь теоремой о дедукции [21, §§ 21 и 22], а также правилами введения и удаления конъюнкции [там же, § 23], можно легко вывести эквивалентность
А з В&С э (А з В)& (А з С).
Соответствующее ей "нейтрально" истинное высказывание используется для замены в доказательстве утверждения 7.3 (см. ссылку).
6.1.6. Используя формулы *63 [21, с. 109] и *30 [там же, с.107], легко вывести эквивалентность
1 (1 а&1в) = 1 1 ^В).
Соответствующая ей "нейтрально" истинная эквивалентность
~ (~ gP л ~ gQ) о ~~ ^Р и gQ)
используется в доказательстве утверждения 7.6 (см. ссылку).
Добавим, что преобразования, связанные с коммутативностью и ассоциативностью конъюнкции, мы ввиду их тривиальности, как правило, оговаривать не будем.
6.2. Предикатные формулы:
6.2.1. Зх (А(х)&В) = ЗхА(х)&В, где х не является параметром В. [21, с. 148, ф.*91].
Подстановочные примеры в данном случае будут иметь вид ^)(а л в) о л в,
где w не является параметром в. Такого рода "нейтрально" истинные высказывания используются в эквивалентных заменах, производимых в доказательствах утверждений 7.1 - 7.4, включая и рассуждения по аналогии (см. ссылки).
6.2.2. 1 Ух 1 У(х) =1 1 ЗхА(х) [21, с. 151, таблица
Гейтинга, II, фф. с! и с 3]. Подстановочные примеры в данном случае будут иметь вид ~ ~ а^) о ~~ (Ew) а где а^) - некоторое высказывание, зависящее от параметра w.
Такого рода эквивалентности используются в заменах, производимых при доказательстве утверждений 7.1 - 7.4 и 7.7 (см. ссылки).
6.2.3. 1 1 Ух 1 А(х) = Ух 1 А(х) [21, с. 151, таблица
Гейтинга, фф. а! и а 2].
Подстановочный пример этой формулы ~~ (п) ~ (и) ~ а(и,Я(п)) о (п) ~ (и) ~ а(и,Я(п)) используется на предпоследнем шаге доказательства 7.4.
6.2.4. Ух(А(х) &В(х)) = УхА(х) &УхВ(х) [21, с. 148, ф.*87]. Используется описанным выше способом на втором шаге
обоснования высказывания (14) в доказательстве утверждения 7.4.
6.3. Логико-арифметические формулы:
6.3.1. На втором шаге обоснования высказывания (10) в утверждении 7.3 мы могли бы сослаться на интуиционистскую выводимость формулы
Уп (п=0 з Б(п)) = Б(0).
К сожалению, в [21] такого вывода нет. Мы оставляем его читателю в качестве легкого упражнения. Указание: воспользуйтесь интуиционистской выводимостью формулы
(т = п) з (Б(ш) = Б(п)).
6.3.2. На заключительном этапе доказательства утверждения 7.1 можно было бы воспользоваться интуиционистской выводимостью формулы 1 1 (ш = п) з (т = п), которая может быть получена на основании фф. *158 и *49 ([21], сс.173 и 110). Однако "нейтральная" приемлемость этого шага общеизвестна и сама по себе.
7. Докажем теперь ряд утверждений, проливающих свет на то, как наличие свойства g у какой-либо логико-арифметической формулы F зависит от строения этой формулы и от наличия свойства g у ее составных частей, когда она не элементарна.
7.1. Пуст ь S и Т - пост оянные т ермы. Тогда
^ = Т) о з(в) =Ёг з(Т).
В самом деле, В (8 = Т) о ~ ~ О (8 = Т))
о ~ ~ ^ е 0 л (f(з(S),з(T)) = 0)) о ~ (w) ~ (^ е 9 л (з(8) =Ёг з(Т))) о ~~ (Ew) (^ е ф л (зф =р з(Т)))
(1) о ~~ (w е ф л (зф =Ёг з(Т)))
Но (Ew)(wеf) имеет место (в качестве w мы можем
потому
^ = Т) о ~~ (зф =Ёг з(Т)) о зф =Ёг з(Т) что и требовалось доказать.
7.2. Пусть Р - замкнутые формулы. Тогда
8(Р&0) о вР л
В самом деле,
8(Р&0 о ~ (w) ~ О (w, (Р&О) [4(1)].
Но ~ (w) ~ {( wеПНЧ) л
~ (и) ~ (О(и,Р) л Ъ((w) 1, и, Р)) л
(2) ~ (V) ~ (а(v,Q) л Ъ((w)2, V, О)} [4.2:б)].
Но
~(u)~(а(u,P)лЪ((w) 1 ,и,Р)) о ~(иМО(и,Р)л(^)1 =вг 0)) [4.2.1]
[4(1)] [4.2:а)] [4.1] [6.2.2] [6.2.1]. взять f), и
[6(1)] [6.3.2],
О ~~ (Ей) (О(и,Р) л (М: =ЁГ 0)) [6.2.2] О -- (Еи) (О (и,Р) л ((^0: =gг 0)) [6.2.1] О -- (Еи) (О (и,Р) л --(^ =Ёг 0)) [6.1.1] О ~ (и) - (О (и,Р) л =вг 0)) [6.2.2]
(3) О вР л ((w)l =Ёг 0) [4(1)]. Аналогично получаем, что
(4) - (V) - (О (у,0) л 2 (^)2, V, 0)) О (80л(^)2 =вг 0). Поэтому
В(Р&0) О (w)— {( w е ПНЧ) л ((w) 1 =вг 0)
л (^)2=вг 0) л вР л [(2),(3),(4)]
О -- (Ew) {( w еПНЧ) л ((w)l =вг 0) л
((w) 2 =вг 0) л вР л [6.2.2]
О -- {(Ew) (( w еПНЧ) л ((w)l =вг 0) л
(5) ((w)2 =вг 0) л вР л [6.2.1]. Но (Ew) (^еПНЧ) л 0) л (^)2 0)) имеет место (в
качестве w мы можем взять пару (0,0) ), и потому
8(Р&0) О -- (вР л [(5)]
О -- вР л -- [6.1.1]
О вР л [6.1.3],
что и требовалось доказать.
7.3. ПустьР - замкнутые формулы. Тогда в(Р ^ 0) о (вР ^
В самом деле,
в(Р з 0) О - - О К (Р ^ 0)) [4(1)]
О - - {( wеЧРФ1) л (п)[ - (и) - (О (и,Р) л 2 (п,и,Р)) ^ (6) !w(n) л - (V) - (О(^) л
г^п),^))]} [4.2:в)].
Но, аналогично (3), имеют место эквивалентности
(7) - (и) - (О (и,Р) л г (п,и,Р)) О вР л (п =вг 0) и
(8) - (V) - (О л 2 М,^)) О л Мп) =Ёг 0), и потому
в(Р з 0) О - - {^еЧРФ1) л (п) ^Р л (п =вг 0)) ^
(9) Мп) л (w(n) =Ёг 0) л в0)]} [(6),(7),(8)]
Но
(п)[(вР л (п =Ёг 0)) ^ (!w(n) л (те(п) =вг 0) л О (п)[(п =вг 0))^Р^(Мп) л Мп) =вг 0) л [6.1.4] О [gP(!w(0) л (™(0) =вг 0) л [6.3.1]
(10) О [(вР ^ (!w(0) л М0) =вг 0))) л (вР ^ [6.1.5], и потому [(9), (10)]
¿(Р з О о ~(w) ~{^еЧРФ1) л (¿Р ^ (!w(0) л ^(0) =вг 0)))
л (¿Р ^ ¿0)}
о -- (Ew) {(wеЧРФ1) л (¿Р ^ (^(0) л (w(0) =вг 0))) л (¿Р ^ ¿0)} [6.2.2]
о -- {(Ew) [(wеЧРФ1) л (¿Р ^ (!w(0) л (те<0) =вг 0)))] (11) л (¿Р ^ ¿0)} [6.2.1]
Но (Ew) {^еЧРФ1) л (¿Р ^ (!w(0) л ^(0) =gг 0))] имеет место (в качестве w мы можем взять ЧРФ1, определенную в нуле и принимающую там нулевое значение), и потому
¿(Р з 0) о ~~ (¿Р ^ ¿0) [(11)]
о ~~ ¿Р ^ [6.1.2]
о ¿Р ^ ¿0 [6.1.3],
что и требовалось доказать.
7.4. Пусть VхR(х) - замкнут аяформула. Тогда
¿Ух R(х) о (п)еЯ(п).
В самом деле,
¿Ух R(х) о ~ (w) ~ а(w, Ух R(х)) [4(1)]
о ~ (w) ~ {(wеЧРФ1) л
(12)
(n)[!w(n)л~(u)~(а(u,R(n))лZ(w(n),u,R(n)))]} [4.2:г)]
Но, аналогично (3), имеет место эквивалентность
(13) ~(и)~(О(иД(п)) л Z(w(n),u, R(n))) о gR(n) л (w(n) =Ёг 0)), и потому [(12), (13)]
¿Ух R(х) о ~ (w) ~ {(wеЧРФ1) л (п) [(!w(n) л (w(n) =gг 0)]
л (п) ¿Щп)} [6.2.4]
о ~~ (Ew) {(wеЧРФ1) л (п) [(Ип) л (w(n) =gг 0)] л (п) ¿Щп)} [6.2.2]
о ~~{^)(^еЧРФ1) л (n)[(!w(n) л (^(п) =gг 0)])
(14) л (п) ¿Щп)} [6.2.1]. Но (Ew) (^еЧРФ1) л (п) [(!w(n) л (^(п) =вг 0)]), имеет место (в качестве w мы можем взять тождественно равную нулю общерекурсивную функцию), и потому
¿Ух R(х) о ~~ (п) gR(n) [(14)]
о ~~ (п) - (и) ~ О (u,R(n) [4(1)]
о (п) ~ (и) - О (иД(п) [6.2.3]
о (п) ¿Щп) [4(1)],
что и требовалось доказать.
7.5. Пуст ьР - замкнут ая формула. Тогда
в 1 Р о -¿Р
В самом деле,
в 1 Р о ¿(Р з (0=0')) [4.2:д)]
о ¿Р ^ ¿(0=0') [7.3]
О вР ^ (0=вг 0') [7.1]
Но графическое равенство 0=в 0' места не имеет (см.об этом более детально, напр., [26, § 2, п.4]), и потому "методом приведения к нелепости" получаем
в! Р о -вР, что и требовалось доказать.
7.6. ПустьР и0_ - замкнутые формулы. Тогда в(Р V 0) О -- (вР и
В самом деле, в(Р V 0) о в! (! Р&! 0) О в (! Р&! о - (в! Р л в! 0) О - (-вР л О -- (вР и что и требовалось доказать.
7.7. Пусть ЗхR(х) - замкнутаяформула. Тогда вЗхЯ(х) О -- (Еп)вЯ(п).
В самом деле, gЗхR(х) О в! Ух ! R(х) О - в Ух ! R(х) О - (п)в ! Я(п) О - (п) - вЯ(п) О -- (Еп)вЯ(п) что и требовалось доказать.
Таким образом:
а) Наличие свойства g у элементарной замкнутой формулы равносильно ее истинности, - "нейтральной", - так как решение вопроса о графическом равенстве слов не опирается ни на теоретико-множественные представления, ни на закон исключенного третьего; существенную роль здесь, - равно как и в формировании самого представления о слове, - играет (см. [26, § 2, п.п. 2-4]) принцип полной индукции,, приемлемый и с теоретико-множественных позиций, и в рамках интуиционистской программы, и с точки зрения марковского конструктивизма.
б) Свойство g, как показывают утверждения 7.2-7.5, "проносится" через конъюнкцию, импликацию, отрицание и квантор всеобщности.
в) Через дизъюнкцию и квантор существования свойство g проносится лишь "с двойным отрицанием" (утверждения 7.6 и 7.7).
[4(1), 4.2:е)]
[7.5]
[7.2]
[7.5]
[6.1.6],
[4(1), 4.2:ж)]
[7.5]
[7.4]
[7.4]
[6.2.2],
8. Теперь мы перейдем к установлению основного утверждения данной работы, что всякая формула, выводимая в классической формальной арифметике (для конкретности мы будем иметь дело с формальной системой из гл. IV монографии [21]), квази-восполнима. Отсюда, ввиду того, что формула (0=0') не является квазивосполнимой (см. 7.1), мы сможем сделать вывод, что она не выводима в рассматриваемой системе. А это, в свою очередь, позволит нам констатировать непротиворечивость этой последней.
Мы докажем квазивосполнимость всех аксиом системы и покажем, что применение ее правил вывода7 ведет от квазивоспол-нимых формул к формулам, также обладающим этим свойством.
Начнем с импликационной группы (в [21] это постулаты 1а и
1ь).
8.1. Всякая формула вида (А з (В з А)), где А и В - произвольные формулы, квазивосполнима.
В самом деле, если А и В - замкнутые формулы, то, согласно
7.3,
g(А з (В зА)) о (¿А ^ (¿В ^ ¿А)), и высказывание, стоящее в правой части этой эквивалентности, "нейтрально" истинно как "подстановочный пример" интуиционистской аксиомы. Восполнимость же формулы этого вида в случае, когда хотя бы одна из формул А, В не замкнута, обеспечивается -на основе предыдущего - утверждением 7.4.
Совершенно аналогичным рассуждением - снова, с применением 7.3 и 7.4 - доказывается
8.2. Всякая формула вида
((А з В) з ((А з (В з С)) з (А з С))), где А, В иС - произвольные формулы, квазивосполнима.
Аналогичным же рассуждением - на этот раз с применением 7.3, 7.2 (для пронесения g сквозь конъюнкцию) и 7.4. - доказываются теоремы, касающиеся конъюнкционной группы аксиом (в [21] это постулаты 3, 4а и 4 ь):
8.3 - 8.5 Любые формулы следующих трех видов: (А з (В з А&В))), ((А&В) з А) и((А&В) з В) квазивосполнимы.
Перейдем теперь к группе аксиом, связанных с дизъюнкцией (в [21] это постулаты 5а, 5ь и 6).
Имеют место утверждения
8.6 - 8.7 ЛЬобые формулы следующих двух видов:
7 В [21] и аксиомы, и правила вывода называются постулатами.
(А з (А v В)) и (В з (А v В)), где А и В - произвольные формулы, квазивосполнимы.
Как и в 8.1, мы начнем со случая замкнутых формул, после чего случай формул с параметрами может быть рассмотрен с привлечением 7.4.
Рассмотрим формулу первого вида. Тогда
В(А з (А v В)) о (вА ^ в(А v В)) [7.3]
(1) ^ о (ВА ^ ~~ (вА и gВ)) [7.6]
Но "нейтрально" истинны высказывания 8А ^ (вА и вВ) [21, с. 77,
Постулат 5 а]
и
((ВА и |В) ^ ~~ (еА и вВ)) ^ [21, с.109, ф.*49а],
и потому по "правилу цепного заключения" [21, с. 104, ф*2] "нейтрально" истинно высказывание (1), что и оставалось доказать. Случай формулы второго типа трактуется аналогично. Учитывая накопившийся у читателя опыт, мы позволили себе несколько сократить приводимую аргументацию.
8.8. Любая формула вида ((А з С) з ((В з С) з ((А v В) з С))), где А, В и С - произвольные формулы, квазивосполнима. Снова мы ограничимся случаем замкнутых А, В и С. Итак, согласно 7.3 и 7.6, имеет место "нейтральная" эквивалентность
В((А з С) з ((В з С) з ((А v В) з С)))
о ((gA ^ gC) ^ ((gB ^ gC) ^ (gA и вВ) ^ gC))), правая часть которой может быть преобразована сначала в
((gA ^ gC) ^ ((gB ^ gC)^ (gA и вВ)^ —gC))), [6.1.3],
затем в
((вА ^ вС) ^ ((вВ ^ вС)^ -- (вА и gВ)^ вС))) [6.1.2], и наконец в
(((вА ^ вС) л (вВ ^ вС)^ -- ((вА и gВ)^ вС)) [6.1.4]. Но "нейтрально" истинны высказывания
((вА ^ вС) л (вВ ^ вС)) ^ ((вА и gВ)^ вС))) [21, с.77,
постулат 6; 6.1.4.]
и
((вА и gВ) ^ вС) ^ -- ((вА и gВ) ^ gC) ^ [21, с.109, ф.*49а], и потому по "правилу цепного заключения" ([21, с.104, ф.*2]) "нейтрально" истинно высказывание (2), что и оставалось доказать.
Перейдем теперь к аксиомам, связанным с отрицанием (в [21] это постулаты 7 и 8°; последний специфичен для классической системы).
Первый из них, поскольку g проносится сквозь отрицание [7.5.], трактуется совершенно аналогично 8.1, так что
8.9. Всякая формула вида ((А з В) з ((А з 1 В) з 1 А)), где А и В - произвольные формулы, квазивосполнима.
"Нейтрально" истинно и соответствующее утверждение для второго постулата. Именно,
8.10. Всякая формула вида (1 1 А з А) квазивосполнима.
Действительно,
g((1 1 А з А) о (—gA ^ gA).
Но, как отмечалось в 6.1.3., правая часть этой эквивалентности "нейтрально" истинна, поскольку высказывание gА начинается со знака
Итак, пропозициональные аксиомы системы рассмотрены. Перейдем теперь к рассмотрению кванторных аксиом (в [21] это постулаты 10 и 11).
Прежде всего отметим, что для любого постоянного терма Т имеет место графическое равенство з(з(Т)) =gr з(Т), и потому любая постоянная элементарная формула (Т= з(Т)) квазивосполнима [7.1].
Покажем теперь, что
8.11. Всякая формула вида (Vx А(х) з А(Т)), где А(х) - произвольная формула, аТ - произвольный т ерм8 , квазивосполнима.
Как и в 8.1, достаточно ограничиться случаем замкнутой формулы, и общий случай трактовать на основе 7.4.
Итак, пусть рассматриваемая формула замкнута. Тогда Т -постоянный терм и
g(Vx А(х) з А(Т)) о (gVx А(х) ^ еД(Т)) [7.3]
о ((n)gA(n) ^ gA(T)) [7.4]
Но формула ((Т=з(Т)) з (A(T) = А(з(Т))) интуиционистски выводима, и потому высказывание
g(T=a(T)) ^ (gA(T) о gA^T))), а значит, и gA(T) о gA^(T)) "нейтрально" истинно. Следовательно,
g(Vx А(х) з А(Т)) о ((n)gA(n) ^ еА(з(Т)),
8 Здесь, а также в 8.12 должны соблюдаться условия, обеспечивающие допустимость подстановки терма Т вместо параметра х. Более удобны такие варианты операции подстановки, когда за счет надлежащих переименований переменных в А(х) допустимой оказывается подстановка любого терма.
причем правая часть этой эквивалентности представляет собой "подстановочный пример" интуиционистски выводимой формулы. Тем самым наше утверждение доказано.
8.12. Всякая формула вида (А(Т) з ЗхА(х)), где А(х) - произвольная формула, аТ - произвольный т ерм, квазивосполнима.
Как и в предыдущих утверждениях данного пункта, мы опять ограничимся рассмотрением случая замкнутой формулы. В этом случае
g(A(T) з ЗхА(х)) о (gA(T) ^ ~~ (En)gA(n)) [7.3,7.7], и потому, ссылаясь на "нейтральную" истинность высказываний
gA(T) ^ ~~ (En)gA(n) [21, постулат 11],
(En)gA(n) ^ ~~ (En)gA(n) [21, c. 109,ф*49а]
и применяя "правило цепного заключения" ([21, с. 104, ф.*2]), мы, как в 8.8, можем заключить, что рассматриваемая нами формула действительно квазивосполнима.
Тем самым проверка наличия свойства g у всех логических аксиом закончена.
Перейдем теперь к проверке правил вывода.
8.13. Применение правила modus ponens (в [21] это постулат 2) ведет от формул, обладающих свойством g, к формуле, также обладающей эт им свойст вом.
Легко видеть, что достаточно - на основании 7.4 - ограничиться случаем замкнутых формул.
Итак, пусть формулы А и В замкнуты, а кроме того, А и (А з В) обладают свойством g, то есть высказывания gA и В(А з В) являются истинными. Но тогда в силу 7.3 истинно gA ^ gB, а значит, и gB, что и требовалось доказать.
8.14. Оба квант орных правила Бернайса (в [21] это постулаты 9 и 12) ведут от формулы, обладающей свойст вом g, к формуле, т акж е обладающей эт им свойст вом.
Напомним, что первое из них (постулат 9) разрешает переходить от формулы (СзА(х)), где С не содержит параметра х, к формуле (С з УхА(х)), а второе - от формулы (А(х) з С), где С снова не содержит параметра х, к формуле (ЗхА(х) з С).
Как и ранее, вместо общего случая достаточно рассмотреть специальный - случай, когда посылка правила не содержит параметров, отличных от х.
Для доказательства нашего утверждения удобнее всего сослаться на интуиционистскую выводимость формул
Ух(С з А(х)) = (С з Ух А(х)) [21, с. 148, ф.*95]
Ух(А(х) з С) = (Зх А(х) з С) [21, с. 148, ф.*96]
По предположению, посылка первого правила обладает свойством g. Но
g(C з А(х)) о gVx(C з А(х)) [4.2(2)]
о (n)g(C з А(п)) [7.4]
о (n) (gC ^ gA(n)) [7.3]
о (gC ^ (n) gA(n)) [21, ф.*95]
о (gC ^ gVxA(x)) [7.4]
о g(C з VxA(x)) [7.3],
и потому g(C з VxA(x)) имеет место. Тем самым разбор первого правила закончен. Второе правило трактуется совершенно аналогично на основе формулы [21, с. 148, ф.*96].
Таким образом, утверждение 8.14 доказано, и нам теперь остается проверить квазивосполнимость арифметическиx аксиом и сxемы индукции (в [21] это постулаты 13-21).
Начнем со сxемы индукции (постулат 13), которая в [21] фигурирует в следующем "незамкнутом" виде:
((А(0) & Vx(A(x) з A(x'))) з A(x)). С учетом 7.4 мы рассмотрим случай, когда формула A(x) не имеет параметров, отличные от x. Покажем, что в этом случае имеет место утверждение
8.15. Для любой формулы A(x) соответствующая ей сема индукции квазивосполнима. В самом деле,
g((A(0) & Vx(A(x) з A(x'))) з A(x)) о gVx((A(0) & Vx(A(x) з A(x'))) з A(x)) о (n)g((A(0) & Vx(A(x) з A(x'))) з A(n)) [4.2(2)]
о (n)((gA(0) л (n)(gA(n) ^ gA(n'))) ^ gA(n)) [7.3,7.2,7.4] о ((gA(0) л (n)(gA(n) ^ gA(n'))) ^ (n)gA(n)) [21,с.148,ф.*95]. Но правая часть этой эквивалентности представляет собой, -как выражение общего принципа полной индукции для конкретного свойства gA(x), "нейтрально" истинное высказывание [см. замечание а) в конце раздела 7]. Таким образом, интересующая нас формула действительно обладает свойством g, что и требовалось доказать.
Теперь перейдем непосредственно к аксиомам Пеано (так мы будем называть оставшиеся постулаты 14 - 21). В отличие от пре-дыдущиx рассмотрений мы будем иметь здесь дело с конкретными аксиомами, а не сxемами аксиом. В каждой из ниx фигурирует конкретное отношение =, которое в определении свойства g интерпретируется посредством графического равенства слов =gr [см. п. 4.2.а) и утверждение 7.1]. За "нейтральным" изложением требующегося здесь материала мы отсылаем читателя к гл. I и II монографии [26] (в связи с вопросом о "нейтральности" приме-
няемьк здесь средств специально обращаем внимание на последний абзац на стр. 18 Предисловия; во 2-м издании - это предпоследний абзац на стр. XLIII).
Аксиомы (постулаты) 14 и 17 естественно рассмотреть одновременно.
8.16. Аксиомы 14((а'= b') з (а = b)) и 17((а = b) з (a'= b')) ква-зивосполнимы. (Здесь а иЬ - две конкрет ные переменные.)
Действительно,
g((^= b') з (а = b)) о gVaVb ((а'= b') з (а = b)) [4.2(2)] о (m)(n)g((m'= n') з (m = n)) [7.4] о (m)(n)(g(m'= n') ^ g(m = n)) [7.3] о (m)(n)((m'=gr n') ^ (m =gr n)) [7.1].
Аналогично,
g((а = b) з (а'= b')) о (m)(n)((m =gr n) ^ (m'=gr n')).
Утверждение, стоящее в правой части первой эквивалентности, представляет собой частный случай более общего "нейтрально" истинного высказывания §17.5.1 из монографии [26]9. Правая часть второй эквивалентности тривиальным образом доказывается правой индукцией по построению слова (см. там же §9.5) с учетом определения графического равенства (там же, §2.4). Тем самым наше утверждение доказано.
8.17. Дксиома 1 (а'= 0) (постулат 15) квазивосполнима.
В самом деле,
g 1 (а'= 0) о gVa 1 (а'= 0) [4.2.(2)]
о (n)g 1 (n'= 0) [7.4]
о (n) ~g(n'= 0) [7.5]
о (n) ~ (n'=gr 0) [7.1].
Но правая часть этой эквивалентности тривиальным образом "нейтрально" истинна в силу п. Р.3 определения графического равенства (см.[26, §2.4.]: последней буквой слова n' является ', а последней буквой слова 0 является отличная от ' буква 0.
8.18. Дксиома ((а = b) з ((а = с) з (b = c))) (постулат 16) квазивосполнима.
В самом деле, ^(а = b) з ((а = с) з (b = c)))
о g VaVb Vc ((а = b) з ((а = с) з (b = c))) [4.2.(2)]
о (m)(n)(p) ((m = n) з ((m = p) з (n = p))) [7.4] о (m)(n)(p) (g(m = n) ^ (g(m = p) ^ g(n = p))) [7.3] о (m)(n)(p) ((m =gr n) ^ ((m =gr p) ^ (n =gr p))) [7.1].
9 Оно утверждает, что для любого слова R из графического равенства слов PR и QR вытекает графическое равенство слов Р и Q.
Но последняя правая часть в этой цепи эквивалентностей представляет собой "нейтрально" истинное высказывание о транзитивности графического равенства применительно к словам специального вида - натуральным числам. Оно, как легко убедиться, может быть доказано на основании п.п. Р.1-Р.4 определения графического равенства (см. [26, §2.4]. Тем самым утверждение 8.18 доказано.
Квазивосполнимость оставшихся четырех аксиом (постулатов 18-21) тривиальна, поскольку аксиомы эти представляют собой описание правил, по которым вычисляется значение терма:
((а+0)=а), ((а+b') = (а+b) '), ((а • 0)=0), ((а • b') = ((а • Ь)+а)). При фиксированных значениях переменных а и b значения термов, стоящих в левых частях равенств, графически равны значениям термов, стоящих в правых частях. Проверка может быть предоставлена читателю.
Тем самым мы показали, что
8.19. Классическая формальная арифметика непрот иворечива, что и являлось целью данной работы.
Автор выражает сердечную признательность В.А.Степанову за ряд полезных советов и за большую помощь, оказанную при подготовке текста к печати.
ЛИТЕРАТУРА
1. Гильберт Д, Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств /Пер. с нем. М.: Наука, 1982.
2. Гильберт Д. О бесконечном // Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М.: Факториал, 1998. С. 431-448.
3. Brouwer L.E.J. De onbetrouwbaarheid der logische principes // Tijdschrift voor wijsbegeerte. 1908. V. 2. P. 152 - 158.
4. Kleene S.C. On the interpretation of intuitionistic number theory // J. Symb. Logic. 1945. V. 10. P. 109 - 124.
5. Gentzen G. Die Widerspruchsfreiheit der reinen Zahlentheorie // Math. Ann. 1936. Bd 112, No 4. S. 493 - 565. (Рус. пер. в сб.: Математическая теория логического вывода. М.: Наука, 1967. С. 77 - 153).
6. Gentzen G. The collected papers. Amsterdam: North Holland, 1969.
7. Gentzen G. Neue Fassung des Widerspruchsfreiheitsbeweises fur die reine Zahlentheorie // Forschungen sur Logik und sur Grundlegung der exakten Wissenschaften. Neue Folge. 1939. H.4. S. 19 - 44. (Рус. пер. в сб.: Математическая теория логического вывода. М.: Наука, 1967. С. 154 -190).
8. Ackermann W. Zur Widerspruchsfreiheit der Zahlentheorie // Math. Ann. 1940. Bd 117, No. S. 162 - 194.
9. Новиков П. С. On the consistency of certain logical calculus // Матем. сб.
1943. Т. 12, вып. 54. С. 231 - 261.
10. Schütte K. Beweistheoretische Erfassung der unendlichen Induktion in der Zahlentheorie // Math. Ann. 1951. Bd 122. S. 369 - 389.
11. Schütte K. Beweistheorie. Springer-Verlag: Berlin - Göttingen - Heidelberg, 1960.
12. ХлодовскийИ.Н. Новое доказательство непротиворечивости арифметики // Успехи матем. наук. 1959. Т. 16, вып. 6. С. 105 - 140.
13. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. 3-е изд. / Пер. с англ. М.: Наука, 1984. 319 с.
14. Gödel K. Zur intuitionistischen Arithmetik und Zahlentheorie // Ergebnisse eines math. Koll. 1932 - 33. H. 4. PP. 40.
15. Nelson D. Recursive functions and intuitionistic number theory // Trans. Amer. Math. Soc. 1947. V. 61. P. 307 - 368.
16. Шашш Н.А О некоторых логических проблемах арифметики. М.: Изд-во АН СССР, 1955 (Тр. матем. ин-та АН СССР. Т. 53).
17. Нагорный Н.М. О реализуемых и восполнимых логико-арифметических формулах // ДАН СССР. 1964. Т. 157, No 3. С. 529 - 531.
18. Нагорный Н.М Об одном варианте определения реализуемой логико-арифметической формулы // Исследования по теории алгорифмов и математической логике. 2. М.: Изд-во ВЦ АН СССР, 1976. С. 32 - 45.
19. Нагорный Н.М Одна конструктивная модель классической формальной арифметики // ДАН. 1993. Т.332, No 1. С. 26 - 28.
20. Плиско В.Е. Непротиворечивость // Матем. Энцикл. Т. 3. М.: СЭ, 1982, столб. 998 - 999.
21. Клини С.К. Введение в метаматематику /Пер. с англ. М.: ИЛ, 1957.
22. Heyting A. Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik // Sitzungsberichte der preussischen Akademie der Wissenschaften. Physikalischmathematische Klasse. 1930. S. 42 - 56.
23. Heyting A. Die formalen Regeln der intuitionistischen Mathematik. II, III. Ibid. S. 56 - 71, 158 - 169.
24. Heyting A. History of the foundations of mathematics // Nieuw Arch. Wisk. Ser. 3. 1978. V. 26. P. 1 - 21.
25. Troelstra A.S. Arend Heyting and his contribution to intuitionism // Nieuw Arch. Wisk. Ser. 3. 1981. V. 29. P. 1 - 21.
26. Марков АА, Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. М.: Наука, 1984. 432 с. (2-е изд. М.: Фазис, 1996. 448 с.)
27. Kolmogoroff A.N. Zur Deutung der intuitionistischen Logik // Math. Zeitschr. 1932. Bd 35. S. 58 - 65.
28. Нагорный Н.М К вопросу о непротиворечивости классической формальной арифметики //Сообщения по прикладной математике. ВЦ РАН. М., 1965. 25 с.
29. Нагорный Н.М К вопросу о непротиворечивости классической арифметики // Международная конференция «Смирновские чтения». М., 1997. С. 20-22.
30. Нагорный Н.М Реализуемостная семантика раннего периода марковского конструктивизма (история и проблемы) // Логические исследо-
вания. Вып. 7. М., 2000. С. 61-71. 31. Нагорный Н.М. К работам по основаниям математики // Гильберт Д. Избранные труды. Т. 1. М.: Факториал, 1998. С.562-570.
