CC BY
20
появление и развитие латентных дефектов, оказываются несколько выше истинных. Это позволяет прогнозировать развитие этих дефектов с большей степенью вероятности (точности).
При использовании подхода Рейсса для приведенной жесткости этих слоев получим оценку снизу, то есть их жесткость будет ниже реальной. В этом случае расчетные напряжения будут ниже истинных, что не позволяет в ряде случаев прогнозировать возможное развитие дефектов.
В соответствии с подходом Фойхта приведенный модуль упругость определяется выражением
п
еф = у • Е, (1)
у=1
где ^^ - относительное объемное содержание; Е - модуль упругости у-го компонента в структуре.
Применительно к каждому к -му слою гетерогенной структуры его модуль упругости в соответствии с (1) определяется выражением 7(к) _
Так как клеевой шов работает на сдвиг, то для него соответственно вводится приведенный модуль сдвига
• ^ • (3)
При использовании такого подхода в ранее предложенной модели при определении приведенного модуля и коэффициента ^ следует полагать:
E — E(3) . E — e(4) . G — G
Е3 — Епр ' e4 _ Епр ' G Gm
Епр ' Е4 Епр
Существенной особенностью при изменении рисунка
является то, что печатного проводника на
плате изменяются значения
Y
при
k — 2,3,4 ),
значения соответствующих модулей и, естественно, напряжений и деформаций, возникающих в слоях гетерогенной структуры.
Следует заметить, что если защитный слой заполняет все «выемки» «А» (см. рис. 1), то это учитывается следующим образом: приведенные модули в слоях с к = 2 3 4 вычисляются с учетом
ЕПр ■ Ек ,
(2*
V
m ' k
Здесь V - объем k-
го слоя до
травления; V - объем к-го слоя после травления к
( V < V )• Следовательно Е(1) = Ел - для к к пР 1
основания
заполнения выемок «А»
Е(к) = Т • Ек + (1 )Е5 •
В работе предложена модель определения приведенного модуля упругости для печатных проводников на основе модели Фойхта. Приведенная модель позволит учесть при аналитическом моделировании гетерогенных структур неравномерности печатных проводников, клеевого слоя и наличия припоя.
платы и Ejp — Е5 -
для защитного слоя.
ЛИТЕРАТУРА
1. Кочегаров И.И. Виды дефектов при распознавании повреждений печатных плат / И.И. Кочегаров, Е.А. Данилова // Современные наукоемкие технологии. 2014. № 5-1. С. 60-61.
2. Гришко А.К. Алгоритм верификации электромагнитной устойчивости радиоэлектронных плат / А.К. Гришко, И.И. Кочегаров, Е.С. Каракулов // Инновации на основе информационных и коммуникационных технологий. 2015. Т. 1. С. 301-304.
3. Кочегаров И.И. Межсистемное взаимодействие систем CAD и CAE при моделировании / И.И. Кочегаров, Н.К. Юрков, В.Б. Алмаметов // XXI век: итоги прошлого и проблемы настоящего плюс. 2015. № 4 (26). С. 161-166.
4. Кочегаров И.И. Выбор оптимального варианта построения электронных средств / И.И. Кочегаров, Н.В. Горячев, А.К. Гришко // Вестник Пензенского государственного университета. 2015. № 2 (10). С. 153-159.
5. Белов А.Г. Обеспечение влагозащитного покрытия печатных узлов датчика протечки / Белов А.Г., Баннов В.Я., Трусов В.А., Кочегаров И.И., Лысенко А.В., Горячев Н.В., Юрков Н.К. // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2014. Т. 2. С. 151-154.
6. Реута Н.С. Разновидности механических воздействий в радиоэлектронной аппаратуре / Реута Н.С., Горячев Н.В., Трусов В.А. // Молодой ученый. 2014. № 21 (80). С. 224-226.
7. Трусов В.А. Использование самоорганизующегося алгоритма для нелинейных технологических процессов / Трусов В.А. // Труды международного симпозиума Надежность и качество. 2012. Т. 2. С. 395.
УДК 004.94
Кочегаров И.И., Жихарев К. В., Паршиков А.А. Таньков Г.В.
К ВОПРОСУ ДИНАМИЧЕСКОГО АНАЛИЗА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СИСТЕМ
Рассмотрены вопросы исследования динамики статически неопределимых стержневых конструкций РЭС и строительных конструкций с применением дискретных конечно-разностных моделей. Приведены примеры решения различных задач строительной меха-
В статье [1] на основе метода конечных разностей (МКР) разработан алгоритм расчета собственных частот и форм изгибных колебаний стержня. На основе этого алгоритма написана программа по расчету первой собственной формы и частоты изгибных колебаний стержня, где использован итерационный метод, который состоит в последовательном уточнении значений перемещений в узлах модели при резонансе и собственной частоты.
Поскольку в расчетах перемещения собственной формы определяются с точностью до постоянного множителя, то для получения истинных значений перемещения для стержневых элементов предложена формула масштабного коэффициента, в которую введены амплитуды внешнего воздействия и затухания.
Проверка точности численного решения проводилась сравнением аналитического и численного решений.
Так для стержня сечением 3x6 мм, шарнирно закрепленного по концам (рис. 1), значение первой резонансной частоты определялось по формуле [2]:
где ш-1 = -
Д = <м1/2п,
Величины, входящие в формулу: Е =
I2
2,1 X 1011 Н/м2 - модуль упругости материала; / = 54 X 10-12м4 - момент инерции сечения относительно оси у; р = 7800 кг/м3 - плотность материала; 5 = 18 X 10-6 м2 - площадь стержня; I - длина стержня, м; 1 = 1 - волновое число.
Рисунок 1
длины I = 1 м.
Аналитическое решение дает для /1 = 14,11 Гц, для ¿ = 2 м,/1 = 3,53 Гц.
Численное решение дало для I = 1 м.Д = 14 Гц, для I = 2 м,/1 = 3,0 Гц.
Для этого же стержня, жестко закрепленного с одного края и шарнирно закрепленного на другом конце (рис. 2), использована аналитическая фор-
3,932 /Ёу I2 ^^
мула
Рисунок 2
Для 5,52 Гц.
для I = 2 м,/1 = для I = 1 м,/1 =
при длине пролета ¿>5 м. не превосходило
при длине пролета
(цитируется по
загруженных заданными пролетными нагрузками [3], то величину прогиба каждого пролета от действия статической нагрузки можно найти по формулам простых однопролетных статически определимых балок [3].
Выберем сначала профиль балки. Наибольший изгибающий момент здесь будет во втором пролете
(г = 10 м.).
ц12 о,бхю2
мЛ5
8
8
■ =7,5 тхм.
о)
Рг-Зг
А' Г^Н.
иТГПР I ПтТТП, ГГТГТп 1111/1 ТТТ777Г
.;. ю .1 * .|'Й1<ма1
длины I = 1 м,/1 = 22,1 Гц, а
Численное решение дает 22 Гц, а для ¿ = 2 м,/1 = 5,0 Гц.
Результаты расчетов показали достаточно высокую точность численного решения, поскольку расхождение численного решения с аналитическим составляет доли процента, поэтому предложенная модель и программа [1] могут быть использованы для анализа реальных конструкций.
В данной статье делается попытка применения указанной программы к расчету динамики статически неопределимых стержневых конструкций. Поскольку в конструировании РЭС подобных расчетов не проводилось, обратимся к опыту строительной механики и сопромата, где «статически неопределимая балка, имеющая более двух опор, называется неразрезной балкой. Такие балки находят широкое применение в различных конструкциях.» (цитируется по [3]). Но в балках большой длины, «подверженных переменным нагрузкам, упругие перемещения могут оказывать вредное влияние. Напряжения, возникающие при колебаниях как следствие больших перемещений, особенно в случае резонанса, могут возрасти до разрушающих значений. Поэтому балки должны удовлетворять условию прочности и условию жесткости. Например, нормы на проектирование стальных конструкций требуют, чтобы абсолютное значение наибольшего прогиба
а
зии
¿ = 7 м. составляло не более [4]).
В строительной механике статически неопределимые балки после определения опорных моментов в промежуточных опорах считают с использованием уравнения трех моментов [3].
Для динамического анализа возьмем из [3] пример 9.4. (стр. 262), где для балки длиной 28 м. с тремя промежуточными опорами рассчитаны и построены эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов (от опорных моментов и моментов от нагрузки) - рис. 3а, б.
По эпюре моментов (рис. 3, б) создается представление о характере изогнутой оси балки (рис. 3, в) [3].
Так как рассматриваемая неразрезная балка эк-Бивалентна системе четырех однопролетных балок,
1' 1
Эпн>роМ] , I ! |
—I 1 I I
Рисунок 3
Необходимый момент сопротивления поперечного сечения [4]
ш = "ь™* = 750000 кг/см = 535,7см3 ^ 1400 кг/см2
где [о"в] - допускаемое напряжение (здесь взято 1400 кг/см2.
Выбираем двутавр №30а [3]. Его характеристики - ширина Ь=126 мм, высота 11=300 мм; площадь сечения S = 61,2 см2; момент инерции /2 = 8950см4; момент сопротивления поперечного стержня = 597см3.
Прогиб первого пролета от нагрузки Р1 = 3Г находим по формуле [4]
1 Аха2хЬ2 1х 3000 22 х 42
А1 = ^х"
х
■ г 6 мм,
3г 18795 х 103 3 х6
где Е = 2,1 х 1011 Н/м2 - модуль упругости.
Прогиб второго пролета от распределенной
нагрузки определим по формуле [4]
5г3 5 х 103
Д2 = ^ ™-= 0,6 х 10——^т———т г 41,4 мм.
2 384 х Я/ 384 х 18795 х 103
Прогиб четвертого пролета от двух сил Р2 и Р3
будет равен [4]
Дз =
¿7[1рй(3г2-4й2)]
1
[2 х 103
48 х 18795 х 103 х 2(3 х 82 - 4 х 22) + 2 х 103 х 2(3 х 82 - 4 х 22)] г 15 мм.
В масштабе прогибов изогнутая ось балки будет иметь вид (рис. 4):
Рисунок 4
Это статика. Если балка будет подвержена действию внешних переменных сил, в ней должны возникать изгибные колебания и в случае возникновения резонанса наиболее опасной будет первая частота, где будут большие амплитуды смещений.
Предлагаемая программа позволяет получить первую собственную форму такой неразрезной
балки. Введем в качестве исходных данных параметры двутавра №30а и длину балки ¿ = 28 м. Граничные условия: на левом конце жесткое защемление, на правом - жесткий шарнир. Три промежуточные опоры - жесткие шарниры. Ускорение внешнего воздействия - 1д. Результат расчета дан на рис. 5.
Рисунок 5
Рисунок 6
Получаем первую собственную форму балки как сумму первых форм каждого пролета и характер изогнутой оси балки такой же как от статических прогибов (рис. 4), только здесь кривая перевернута, так как внешние силы задаются в положительном направлении оси г.
Но амплитуда прогибов уже при 1д внешнего воздействия во втором пролете равна 575,9 мм (в статике - 41 мм). Изгибающий момент в среднем
сечении второго пролета можно определить по разностной формуле
д2^ Шх + Ю- 2w(x) + = ^ = -^-).
Шаг сетки в данном случае равен /гх = 280 мм. Значение амплитуд смещения в середине второго пролета равны: ^(х+я) = 575,9 мм, М(Х) = 570,6 мм, = 559,9 мм. Тогда МЬтах = 129,4 Г хм. При моменте
сопротивления = 597 см3, максимальное напряжение в сечении будет
12940000 кг/см
^Ьтох = -^-5- = 21675 кг/см2 » 1400 кг/см2
0т 597 см3
Момент сопротивления в этом случае будет равен Щ, = 8032 см3 » 597 см3.
Такая нагрузка для данной балки неприемлема по условию прочности.
Снизим амплитуду внешнего воздействия до 0,1д. Результат расчета - на рис. 6.
Здесь амплитуда формы приближается к статическим прогибам, но во втором пролете еще высока и для этой амплитуды момент сопротивления = 924 см3 > 597 см3, следовательно и изгибное напряжение будет больше допустимого.
Вывод. Чтобы использовать такую балку в условиях нестационарного нагружения следует поменять профиль либо ставить дополнительную опору во втором пролете.
В следующем эксперименте рассмотрена динамика неразрезных балок с учетом осадки опор, поскольку в таких балках осадка опор вызывает их изгиб и появление внутренних силовых факторов [3].
Для анализа из [3] взят пример 9.6 (стр. 270), где для балки с тремя промежуточными опорами построена эпюра моментов и изогнутая ось балки от осадки опоры 2 (рис. 7)
Рисунок 7
Для примера возьмем длину балки 4/ = 8 м. и профиль сечения - двутавр №30а. Крепление балки в точке 1 - жесткое защемление, в точке 2, 3, 4, 5 - жесткий шарнир. Введем эти данные в программу и зададим внешнее возмущение амплитудой 1д с учетом подвижности опоры 2 в пролете 1-3 (рис. 7). Результат решения дан на рис. 8.
I
Рисунок 8
При амплитуде внешнего воздействия в 2д и 3д амплитуда прогиба пролета 1-3 в собственной форме будет соответственно 17,1 мм. и 26,6 мм., но момент сопротивления сечения под опорой 2 будет равен 154 см3 и 257 см3, что меньше ^ = 597 см3.
При внешнем воздействии 10д амплитуда прогиба пролета 1-3 возрастает до 85,4 мм. В этом случае изгибающий момент в сечении над опорой 2 будет равен МЬтах = 12,7 Г/м, а напряжение изгиба
1270000кгхсм 597 см3
= 2128 кг/см2,
что больше допустимого напряжения 1400 кг/см2 в 1,5 раза.
Вывод. Зная амплитуду внешнего воздействия с помощью расчетов по предложенной программе можно быстро подобрать профиль сечения неразрезной балки с учетом осадки опоры по условию прочности и жесткости.
Статья подготовлена в рамках реализации проекта «Разработка методов и средств создания высоконадежных компонентов и систем бортовой радиоэлектронной аппаратуры ракетно-космической и транспортной техники нового поколения» (соглашение №15-19-10037 от 20 мая 2015 г.) при финансовой поддержке научного фонда.
ЛИТЕРАТУРА
1. Таньков Г.В. Разработка и исследование дискретных моделей несущих конструкций РЭС / Г.В. Таньков, В.А. Трусов, И.И. Кочегаров - Прикаспийский журнал: Управление и высокие технологии. -
№2, 2 016 г.
2. Бабаков И.М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1965 - 560 с.
3. Рудицын М.Н. Справочное пособие по сопротивлению материалов / М.Н. Рудицын, П.Я. Артемов, М.И. Любошиц. - Изд-во «Высшая школа», Минск, 1970 - 628 с.
4. Дрейер Г. Учение о прочности. - М.: Машиностроение, 1964 - 416 с.
ь
