К теории нагрева сред электромагнитным излучением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.37:538.36

К ТЕОРИИ НАГРЕВА СРЕД ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМ ИЗЛУЧЕНИЕМ © И. Л. Хабибуллин, Ф. Ф. Назмутдинов*

Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450074 г. Уфа, Заки Валиди, 32.

Тел.: +7 (347) 229 96 43.

E-mail: mmx_@mail.ru

В работе построены решения уравнения теплопроводности, описывающие распределение температуры в среде, нагреваемой электромагнитным излучением, когда плотность тепловых источников является постоянной. Плотность тепловых источников определяется напряженностью и частотой электромагнитного поля, диэлектрическими параметрами нагреваемой среды. Рассматривается случай, когда глубина проникновения поля в среду намного превышает линейные размеры области нагрева. Для плоско-одномерной геометрии рассмотрены краевые задачи первого, второго и третьего родов, которым соответствуют различные граничные условия на поверхности: изотермичность (задана постоянная температура), адиабатичность (отсутствует тепловой поток) и конвективный тепловой поток. В отличие от известных в литературе случаев, рассматривается более общая ситуация, когда учитывается движение нагреваемой среды и теплообмен с окружающей средой в приближсении термически тонкого слоя. В работе также приведены полученные в ходе решения задачи интегралы от специальных функций. Эти интегралы представляют интерес при решении задач тепломассопереноса описываемые уравнениями параболического типа. Полученные решения позволяют проводить анализ режимов нагрева диэлектрических сред электромагнитным излучением с учетом характерных особенностей, обусловленных движением нагреваемой среды, теплообменом с окружающей средой и различием граничных условий

Ключевые слова: электромагнитное поле, нагрев, уравнение теплопроводности, конвекция, теплообмен с окружающей средой, распределение температуры.

Нагрев различных сред в электромагнитном поле характеризуется наличием в нагреваемой среде распределенных по объему тепловых источников. Эти источники появляются за счет процессов поляризации среды во внешнем электромагнитном поле. В зависимости от размеров нагреваемой среды и длины электромагнитной волны обычно различают нагрев в квазистационарном режиме и нагрев в волновом режиме [1].

Первый случай имеет место для малых частот и малых размеров области нагрева. С увеличением размеров области нагрева и частоты электромагнитного поля проявляется волновой характер распределения тепловых источников.

В обоих случаях возможно проявление эффектов неоднородности и нелинейности. Эффект неоднородности обусловлен вышеуказанным волновым характером распределения электромагнитного поля внутри нагреваемого материала и приводит к зависимости плотности внутренних электромагнитных тепловых источников от пространственных координат.

Эффект нелинейности обусловлен изменением диэлектрических параметров среды в зависимости от температуры и проявляется в виде немонотонных и скачкообразных зависимостей плотности тепловых источников от температуры [2].

Нелинейные и неоднородные режимы электромагнитного нагрева сред рассмотрены в [1-5]. В данной работе рассматриваются задачи теплопере-носа, когда плотность тепловых источников можно считать независящей от температуры и координаты с учетом движения нагреваемой среды и ее теплообмена с окружающей средой в приближении тер-

мически тонкого слоя. Отметим, что тепловые источники можно считать независящими от координат если выполнено условие Н >> I, то есть глубина проникновения электромагнитного поля в среду Н намного больше характерного размера области нагрева I [2]. Условие выполнения приближения термически тонкого слоя рассмотрено в [6].

Для исследования характерных особенностей процесса нагрева можно рассматривать три задачи, отличающиеся граничными условиями.

Уравнение теплопроводности, учитывающее наличия постоянной интенсивности тепловых источников и перенос тепла за счет теплопроводности и конвекции, теплообмен с окружающей средой слоя имеет вид:

Э 2T

dT у T T q dT

"c1V----(Т - 70) + - = —

д x c c д t

С =-

.......^ . (1)

д х2 д х с с д t С

Здесь Т - температура, х - координата, t - время, а и с - температуропроводность и объемная теплоемкость среды, с, V - объемная теплоемкость и скорость движения флюида, у - коэффициент теплообмена с окружающей средой, q - плотность объемных тепловых источников. Уравнение (1) в общем виде описывает теплоперенос при фильтрации жидкости в пористой среде, находящейся в зоне электромагнитного излучения. В случае движения жидкости в свободном пространстве с,=с и

с 1=1.

В случае первой задачи краевые условия следующие:

Т(0,0 = ТА , Т(х,0) = То. (2)

Вторая задача соответствует условию теплоизоляции поверхности х=0:

* автор, ответственный за переписку

382

ФИЗИКА

дт (0, г)

д х

= 0, т (х,0) = т0

(3)

В случае третьей задачи на поверхности х=0 задается условие конвективного теплообмена с окружающей средой:

Л

д0(0, г) д х

= а[тА -т(0,г)],

(4)

здесь а- коэффициент конвективного теплообмена, ТГ - температура окружающей среды.

Отметим, что условия (2) и (3) являются частными случаями (4), соответственно при и ач0). Выбор того или иного граничного условия определяется конкретной физической постановкой задачи. В общем случае уравнение (1) с соответствующими краевыми условиями описывает распределение температуры внутри материала, который сплошным образом заполняет пространство между обкладками плоского высокочастотного конденсатора. При этом нагреваемая среда может быть неподвижной или движущейся (движущаяся лента, перемещение сыпучих материалов и твердых тел на транспортерах, проточные среды в замкнутых камерах и т.д.)

Плотность тепловых источников определяется напряженностью и частотой электрического поля Е и со, диэлектрическими параметрами нагреваемой среды е и г#£[1]:

1 2

q = —с]е0егgS■ Е ,

здесь е0 - электродинамическая постоянная.

Решение рассматриваемых задач получено методом преобразований Лапласа. Поскольку исходное уравнение является линейным, решение уравнения в изображениях не представляет труда. При переходе от изображений к оригиналам приходится использовать теорему о свертке, при этом возникает необходимость вычисления сложных интегралов. Вычисленные в ходе решения задачи интегралы не содержатся в известных справочных пособиях, но они представляют интерес при решении аналогичных задач теории тепломассопереноса, поэтому эти интегралы приведены ниже.

}еаТеф{^= - ^¡Т^Т = -еагеф{^ - е^ -

2 ~ _ 2 Здесь ег/с$ = —¡= | е и йи .

Решение задачи (1)-(2) полученное методом преобразований Лапласа имеет вид:

т = т + -

тА _т--

ег/с

24 аг

+ л У2аг I +

+ е "-1 2 ег/с\ —¡^ у2аг 2 аг

е с -1

(5)

+ е с 2/

Здесь

еухег/с

2 аг

+ ^л/ аг I +

+ е ~"1хег/с

2 аг

- аг

с, у

Л

2 7

2а Л с

2 £ - 2

ег/с$ = 1 - ег/$, ег/$ = ^= | е и йи ,

4я 0

Для неподвижной среды из (5) осуществляя предельный переход при имеем:

т = т0 +

т__т -

Лх ( е1 Л ег/с

-Л

+ е 'Л ег/с

+ е с ег/с У

(6)

е с -1

)

Из (5) следуют следующие асимптотические выражения:

/

т (х г) = т0 +-

\

1 - е с

V У

(7)

2а 1

2а

1 --

]с2 - а

"С^ ]еф{Ь + ] -

1 + -

с2 - а

2Ъ| с-л! с -а ] \ Ъ е ^ ^е"

-лЦс2 - а)г

] е^ег/с

1 А , = е ег/с п

± с-]Т йТ =

Ъ , г! 1 +2Ъс Ъ , -г± с4г I -^т е ег/с-¡= ± .

\/г ] с2 л¡г

г Ъ2

± 2л/г +2Ъс-т- 2Ъ +2Ъс , Ъ

±^= е ' т--е ег/с

4ж с лг

т(х,г = т0 + ^ +

та - тс -

- л

qo |е^лХ, (8)

У

т (х г = т0 +-

У

(9)

Отсюда следует, что температура со временем стремится к асимптотическому значению, определяемому по (9). Это значение температуры соответствует установлению равновесия между тепловыделением и теплоотводом в окружающую среду

^ (т) = ^(т - т0) = 0

с с

еух х

7

х

х

е

7

7

х

г

ух—г

X

х

7

х

+

-Л

7

7

с

7

с

Ъ

0

Следствием асимптотического теплового равновесия является то, что за бесконечное время реализуется нагрев на конечную величину. При отсутствии теплообмена с окружающей средой за бесконечное время реализуется бесконечный нагрев, это следует из (7), согласно которому при

у^ о Т = Т0 + ^ t.

с

Из (6) также следует, что распределение температуры по координате х зависит от знака величи-

ны Тд -

То +-

. Если Тд < Т0 +--градиент

7) 7

температуры в области х>0 положительный и температура увеличивается от значения Тг при х=0 до

значения Т0 +

при х—В случае, когда

При с1=1 выражение (10) совпадает с решением соответствующей задачи, рассмотренной в [2].

При V — 0 из (10) следует решение задачи об объемном нагреве неподвижной среды источником тепла постоянной мощности при отсутствии теплообмена с окружающей средой, которое при с1=1 получено в [3]:

Т = То +{ТА - То )erfc

+

2л! at) c

ffo 2c1c

— + 2c1t \erfc\ * v ac1 \ ^ 2V at

.MV 40t

(11)

Вторая задача (1), (3) имеет тривиальное решение:

Т = То + -

7

1 - e

(12)

Тх > Т + -

Y

с увеличением х температуры моно-

тонно уменьшается от значения Тг при х=0 до зна-

q0

чения Т0 + ^ при х—^.

Y

Если Тд = Т0 + -

, то из (7) следует

Т = То + -

Y

1 - erf—1=e 2л at

Из анализа этого выражения нетрудно заметить, что с увеличением х температура монотонно

уменьшается от значения Тд = Т0 + — до значения

Y

/

То +

Y

\

1 - е с , в фиксированной точке х с уве-

V /

личением времени происходит рост температуры от

начального значения То до значения Тх = То +

Y

Осуществляя в (5) предельный переход при у — 0 можно получить решение для случая отсутствия теплообмена с окружающей средой:

Т = Т0 + М + 2(Тд - Т0 )х

с 2

e2v1xerfc\ —+ vWat I + 2л/ at

+ erfc\ —j=— VjV at I \ 2л1 at )

(1о)

--e2v1x ( t + x)erfc\+ vr,fat |

2ctcv ^ 2V at )

—^—(cjvt - x)erfc\—^— VjVat |. 2ctcv ^ 2л! at

Таким образом температура не зависит от координаты х, то есть имеет место безградиентный (равномерный по х) нагрев. С увеличением времени нагрева температура стремится к асимптотическо-

ГТ гт , qо

му значению Т = Т0 + .

Y

Решение третьей краевой задачи (1), (4) при начальном условии Т(х,0)=Т0 получено для частно -го случая, когда нагреваемая среда является неподвижной ^=0) и теплообмен с окружающей средой отсутствует (?=0) [3]. Поэтому решение этой задачи в полной постановке, т.е. для уравнения (1) представляется актуальным.

Полученные решения позволяют проводить анализ режимов нагрева диэлектрических сред электромагнитным излучением с учетом характерных особенностей, обусловленных движением нагреваемой среды, теплообменом с окружающей средой и различием граничных условий.

ЛИТЕРАТУРА

1. Диденко А. Н. СВЧ-энергетика: Теория и практика. М.:Наука, 2003. 446 с.

2. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел. М.: Наука, 1964. 487 с.

3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 600 с.

4. Хабибуллин И. Л. Электромагнитная термогидромеханика поляризующихся сред. Уфа: Изд-во. Башкир. ун-та. 2000. 246 с.

5. Хабибуллин И. Л. Нелинейные эффекты при нагреве сред электромагнитным излучением. // ИФЖ. 2000. Т. 73, №4. С. 832-838.

6. Хабибуллин И. Л., Назмутдинов Ф. Ф., Габзалилов А. Ф. Автоволновой режим нагрева диэлектрических сред электромагнитным излучением // Теплофизика и аэромеханика. 2010. Т. 17. №2. С. 229-236.

-Y

c

Y

Y

х

Поступила в редакцию 25.11.2013 г. После доработки - 02.06.2014 г.

384

ФИЗИКА

ABOUT THE THEORY OF HEAT BY ELECTROMAGNETIC RADIATION ENVIRONMENTS

© I. L. Khabibullin, F. F. Nazmutdinov*

Bashkir State University 32 Zaki Validi st., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 229 96 43.

E-mail: mmx_@mail.ru

The heating of different environments in the electromagnetic field is characterized by the presence in the environments being heated by volume distributed heat sources. Distributed in terms of the nature of heat sources increases the heating rate and improves the heat (more uniform heating). In this work, solutions of heat conduction equation, which describe temperature distribution in the environment heated by electromagnetic radiation in case of fixed density of heat sources, are received. Density of heat sources defines by electric field intensity and frequency and dielectric parameters of the heated environments. The case of penetration depth great exceeds linear dimensions in heating area is considered. For plane one-dimension geometry, boundary problems of first, second and third types are considered, which correspond different boundary conditions on a surface: isothermality (temperature is fixed), adiabaticity (lack of heat flow) and presence of heat convective flux. Unlike well-known cases, in this one a more general condition is concerned, movement of the heated environment and heat transfer with surrounding environment in thermally skim approximation are taken into account. Consideration of these factors allows you to simulate the heat transfer in process plants conveyor microwave heating. Also in this work, integrals of the special functions were obtained and showed. These integrals are of interest in the solving problems of heat-and-mass transfer described by parabolic equations. Obtained solutions allow analyzing heating modes of the dielectric environments by electromagnetic radiation with a glance to characteristic features due to movement of the heated environment, heat transfer with surrounding environment and the boundary condition difference.

Keywords: electromagnetic field, heating, heat equation, convection, heat transfer with surrounding environment, temperature distribution.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Didenko A. N. SVCh-energetika: Teoriya i praktika [Microwave Energetics: Theory and Practice]. Moscow:Nauka, 2003.

2. Karslou G, Eger D. Teploprovodnost' tverdykh tel [Conduction of Heat in Solids]. Moscow: Nauka, 1964.

3. Lykov A.V. Teoriya teploprovodnosti [Theory of Heat Conduction]. Moscow: Vysshaya shkola, 1967.

4. Khabibullin I. L. Elektromagnitnaya termogidrome-khanika polyarizuyushchikhsya sred [Electromagnetic Thermo-Hydromechanics of Polarizable Media]. Ufa: Izd-vo. Bashkir. un-ta. 2000.

5. Khabibullin I. L. IFZh. 2000. Vol. 73, No. 4. Pp. 832-838.

6. Khabibullin I. L., Nazmutdinov F. F., Gabzalilov A. F. Teplofizika i aeromekhanika. 2010. Vol. 17. No. 2. Pp. 229-236.

Received 25.11.2013. Revised 02.06.2014.