CC BY
92
Математическое моделирование. Оптимальное управление Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2012, № 5 (2), с. 90-92
УДК 532.685
К ОЦЕНКЕ ПЕРИОДА ВЫТЕКАНИЯ КАПЕЛЬ ЖИДКОСТИ ИЗ КАПИЛЛЯРНОГО ОТВЕРСТИЯ
1 2
© 2012 г. Ю.М. Заславский , В.Ю. Заславский
1 Институт прикладной физики РАН, Нижний Новгород
2
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского zaslav@hydro.appl.sci.nnov.ru
Поступила в редакцию 10.09.2012
Изложены результаты теоретического анализа вытекания капель жидкости сквозь капиллярное отверстие в стенке резервуара в наружную область, установлены факторы, влияющие на периодичность возникновения капель в потоке жидкости, текущей по капиллярному каналу. Получена приближенная формула и выполнены оценки периода цикличности на примере вытекания капель воды из капилляра. Выводы работы могут найти применение при построении теории действия капельного таймера-метронома, а также использоваться для экспресс-оценки величины утечки нефтепродуктов и масел из трещин-капилляров, из неплотно закрытых вентилей и т.д.
Ключевые слова: капли жидкости, капиллярный канал, период вытекания капель.
В последнее время интерес к количественному описанию процесса вытекания капель из неплотно закрытых вентилей трубопроводов, или из трещин-капилляров в стенках емкостей и труб, возникающих по причинам их коррозийной изношенности, достаточно высок. Неконтролируемая утечка жидких материалов может представлять определенную опасность в современной технике, она непосредственно влияет на сохранение экологической чистоты окружающей среды, на экономию ресурсов жидких углеводородов и т.д. На практике учет и контроль потерь на неконтролируемое вытекание хорошо освоен, но вместе с тем, очевидно, что периодическое образование капель при вытекании жидкости из капиллярного отверстия представляет собой своеобразный автоколебательный процесс (процесс релаксационных автоколебаний), который требует дальнейшего изучения с целью реализации его рационального применения в ряде отраслей. Одним из важных параметров, представляющих интерес в настоящей работе, является период этого процесса, оценке которого посвящен излагаемый анализ.
В статье представлен расчет, на основе которого возможна оценка продолжительности одного периода вытекания капли жидкости из капиллярного отверстия в стенке емкости - циклически повторяющегося процесса. Обсуждается идеальный случай: капиллярный канал насквозь пронизывает стенку резервуара, имеет строго цилиндрическую форму, идеально гладкие стенки и ориентирован вертикально (вниз) -
параллельно вектору силы тяжести. Течение в канале после нескольких первых (начальных) циклов предполагается установившимся, имеющим характер, близкий к пуазейлевскому, при этом скорость стационарного течения подчиняется закону Дарси. Имеет место смачивание твердых стенок жидкостью (контактный угол близок к нулю).
На рис. 1о-д даются качественные картины условно представляющие последовательность этапов вытекания жидкости из емкости наружу через капилляр, с последующим образованием капли и ее отрывом.
Р0
_ЛФ_' _1 г ^ Ратм и_ _| н 1 1
а) б) в)
Т!~ -ф
г) д) е)
Рис.1. Условные этапы протекания жидкости по капилляру в стенке емкости
На рис. 2 представлена схема, демонстрирующая этапы просачивания капли (при сухих стенках капиллярного канала). За счет перепада давления Ар = рп - р.ЛЛна длине / в капилляре имеет место поток жидкости П = где 5 -просвет капилляра (площадь сечения), V - сред-
Ро
??*=<=
Ра
V = -
(2)
В предположении постоянства во времени потока жидкости, втекающей по капилляру в каплю при установившемся режиме, с учетом (2) и путем комбинации с (1) нетрудно определить продолжительность периода циклически возобновляемого процесса формирования капель, заканчивающегося их срывом и падением:
Оц/
Т = О = П_ = П
Рис. 2. Схема и параметры системы капля-капилляр перед срывом капли
средняя по сечению скорость.
Капля, образующаяся в каждом цикле у выходного отверстия, растет в объеме до определенного размера, после чего отрывается от смачиваемой внешней поверхности и падает вниз под действием силы тяжести. В устье сразу же начинает формироваться новая капля, зацепляясь мениском за образовавшуюся на внешней поверхности пленку (см. рис. 1г, д). Предполагается, что при выходе жидкости наружу и ее растекании по наружной поверхности резервуара движение мениска вскоре прекращается [1]. При этом поверхность, смачиваемая жидкостью, растекшейся в виде пленки, занимает площадь круга с радиусом г1, который в зависимости от вида смачиваемой поверхности может составлять от десятка до почти сотни радиусов отверстия г. Перед срывом капля продолжает увеличиваться в размерах за счет втекающего потока. Условие отрыва капли может быть представлено равенством силы тяжести О полной силе поверхностного натяжения Е, например, в выходном сечении капилляра, проведенном по наружной поверхности резервуара. Оно имеет вид:
О = Ор£ = Е = 2пстг1, (1)
где О - объем капли, р - плотность жидкости, g
- ускорение свободного падения, ст - коэффициент поверхностного натяжения, г - радиус капилляра, г1 = кг, где к = 10^100, причем этот интервал отражает вышеуказанный разброс значений г1 для разных видов контактных условий на границе трех фаз: твердая поверхность-жидкость-газ (атмосфера) [1, 2].
Для преобладающей части периода течения в капиллярном канале действует закон Дарси [3-5]:
£[(Ро - Ра^ + pg/]
^ £ [(Ро - Ра1ш) + Pg/ М
г1/ц2%ст £2[(Ро - Раш) + Рё^
(3)
Если учесть значительное превышение первого слагаемого в знаменателе над вторым (Ро - Ратм) >> Pg/, и подставляя £ = пг2, то для периода Т получается приближенная формула: 2к оц/
Т = •
пг3(Ро - Райп^
(4)
которая допускает запись этого выражения в терминах просветного сечения:
2л/п цко /
Т =
Pg (Ро - Рatш^VS?
(5)
где ц - коэффициент вязкости жидкости.
являющегося более универсальным параметром.
Постоянство скорости течения жидкости по капилляру сохраняется почти на всем периоде, за исключением короткого промежутка времени
- сразу после срыва капли, на котором скорость несколько замедляется. В течение указанного промежутка (измеряемого миллисекундами) происходит выход мениска на исходную позицию, после чего процесс вытекания повторяется во всех деталях. Отсутствие полного постоянства скорости течения по капилляру во времени не позволяет считать строгими формулы (4), (5), которые, тем не менее, могут использоваться для оценок с достаточной точностью. Кроме того, полученные выражения допускают коррекцию по данным эксперимента за счет введения множителя-коэффициента, позволяющего увеличить точность в определении связи экспериментально измеряемого периода Т с количественными значениями параметров, входящих в формулу для периода.
Оценки, выполненные для простейшего случая по формулам (4), (5) (вода - ц = 1о-3 Нс/м2, ст = о.о73 Н/м) и при следующих значениях параметров, характерных для водопроводной техники Ро = (3-4)-1о5 Н/м2 - давление в водопроводной трубе, Раш = 1о5 Н/м2, г = 1о-5 м, г1 = = к-г, / = 1о-2 м, показывают удовлетворительное согласие с экспериментально наблюдаемыми данными. Из формул (4), (5) видно, что при
г1 = Юг значение периода T = 1.5 с, а при г1 = = 1оог и при остальных неизменных параметрах, его значение также возрастает на порядок. В табл. 1 представлены расчетные данные о периоде капельного течения T (в секундах) при дискретном нарастании радиуса пятна растекания г1 = (1о, 2о, ..., 1оо)г - в верхней строке, а в нижней - аналогичные данные при уменьшении величины радиуса капилляра с шагом о.25г от значения г = 3.25-Ю-5 м до г = 1о-5 м (при г1 = = 1оог), типичных для вентилей, эксплуатируемых в водопроводной технике.
Таблица 1
T, c 1.6 3.1 4.65 6.2 7.75
T, c 0.45 0.57 0.75 0.99 1.36
T, c 9.3 10.84 12.4 14 15.5
T, c 1.94 2.9 4.6 7.9 15.5
Выведенные формулы могут оказаться полезными для оценки эффективных значений длины, просветного сечения (радиуса) трещины или капиллярного зазора в запорных вентилях с использованием измеренных значений периода вытекания капель применительно к контролю утечки жидкостей (масла, нефтепродукты и другие жидкости) на предприятиях потребительских продуктов или на фармакологических производствах. В настоящее время для этой цели там используются экспериментальные данные, полученные из обобщения лабораторных измерений и представленные эмпирическими таблицами. Возможно использование выведенных формул по «обратному» назначению, т.е. для оценок физических параметров жидкости в емкости при ее контролируемом вытекании из калиброванного капиллярного отверстия.
Как упомянуто ранее, представляется также интересной возможность применения полученных результатов для построения теории «ка-
пельного таймера-метронома» с периодом, регулируемым в широких пределах. В этой связи еще раз обратим внимание на упомянутую выше аналогию между цикличностью капельного течения (если образующиеся капли считать полностью идентичными друг другу) и релаксационными автоколебаниями в механических колебательных системах. Последние обусловлены присутствием «падающего участка» на плоскости «сила сопротивления-скорость», который соответствует участку «отрицательного» сопротивления. Такой участок, по-видимому, реализуется и в рассматриваемой капиллярной системе во время очередного срыва капли, после которого в течение короткого временного промежутка (по сравнению с периодом) капиллярное давление меняет знак на противоположный. Родственные случаи рассмотрены в теории релаксационных автоколебаний и описаны, например, в [6]. Более детальный анализ задачи возможен с использованием как качественных, так и численных методов расчета капельного вытекания жидкости.
Список литературы
1. Де Жен П.Ж. (Эе Оеппе8 Р.О.) Смачивание: Статика и динамика // Успехи физических наук. 1987. Т. 151. Вып.4. С. 619-681.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 852 с.
3. Лыков А.В. Тепломассообмен (Справочник). М.: Энергия, 1978. 477 с.
4. Николаевский В.Н. Геомеханика и флюидоди-намика с приложениями к проблемам нефтяных и газовых пластов. М.: Недра, 1996. 365 с.
5. Гиматудинов Ш.Г., Ширковский А.И. Физика нефтяного и газового пласта. М.: Альянс, 2СЮ5. 3о9 с. (Учебник для вузов изд. 4-е перепеч. с 3-го 1982.)
6. Сборник задач по теории колебаний / Под ред. Л.В. Постникова, В.И. Королева. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1978. С. 3о, 128.
ON ESTIMATION OF THE LEAK RATE OF A LIQUID DROP FLOW THROUGH A CAPILLARY HOLE
Yu.M. Zaslavsky, V.Yu. Zaslavsky
The results of the theoretical analysis are presented of the flow of liquid drops through a capillary hole in the tank wall. The factors have been established that influence the drop rate of a liquid flow through a capillary channel. An approximate formula for the water leak rate through a capillary hole has been obtained. The results obtained can be applied to the theoretical analysis of the drip-timer metronome, as well as to the express evaluation of oil and oil product leakage through capillary cracks, from leaking valves, etc.
Keywords: liquid drops, capillary channel, drop leak rate.
