CC BY
53
МАТЕМАТИКА
УДК 517.9: 534.1
К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
© 2010 г. Н.С. Красулина, А.Д. Морозов
Нижегородский госуниверсистет им. Н.И. Лобачевского
morozov@mm.unn.ru
Поступила в редакцию 20.05.2010
Рассматриваются квазилинейные системы с двумя степенями свободы общего вида в резонансном и нерезонансном случаях. Приводятся укороченные (усредненные) системы размерности 3 в резонансном случае и 2 в нерезонансном случае, которые с точностью до малых членов описывают поведение решений исходной четырехмерной системы. Рассмотрение иллюстрируется на примере двух слабосвязанных уравнений Ван дер Поля. В случае главного резонанса находится трехмерная усредненная система, которая зависит от двух параметров, и проводится ее исследование. На плоскости параметров находятся бифуркационные кривые, связанные: 1) с изменением числа состояний равновесия, 2) с рождением предельного цикла (бифуркация Андронова-Хопфа), 3) с рождением предельного цикла второго рода. В случаях резонансов высших порядков, а также в нерезонансных случаях в четырехмерном пространстве исходной системы существует двумерный устойчивый инвариантный тор.
Ключевые слова: резонансы, предельные циклы, состояния равновесия, бифуркации, усреднение.
1. Введение. Постановка задачи
Исследованию квазилинейных систем с двумя степенями свободы посвящено большое число работ (см., например, [1, 2]). В основном в этих работах исследуются резонансы. Побудительным мотивом заняться этой задачей явилась работа [3], в которой рассматривается система трех осцилляторов Ван дер Поля, описывающая суточные ритмы в химии глаза. Два осциллятора идентичны и связаны друг с другом не непосредственно, а через третий осциллятор. В случае совпадающей по фазе моды (совпадение двух осцилляторов) задача сводится к системе двух осцилляторов Ван дер Поля
у
х + х = е[(1 - л: )х +ц(м'-х)], м> + со^ = б(1 - н>2)й' + 2ц(х - и')].
Здесь а>2, Ц - параметры, е - малый положительный параметр. При этом авторы работы
[3] используют результаты экспериментов над перепелками и проводят исследование системы (1) в случае главного резонанса в основном численно. Мы также рассмотрим систему (1) и установим для нее в случае главного резонанса новые результаты, связанные с исследованием усредненной трехмерной системы.
Кроме этого будут рассмотрены и другие резонансы, а также нерезонансный случай. Показано, что во всех таких резонансных, а также в нерезонансных случаях в исходной системе существует двумерный инвариантный устойчивый тор (с квазипериодической обмоткой в нерезонансных и с периодической обмоткой в резонансных случаях). В случае главного резонанса существует нетривиальное устойчивое периодическое решение.
Исследование системы (1) предваряется исследованием произвольных квазилинейных систем с двумя степенями свободы
*1 + СО?*! = £gl(xl,x2,xl,x2),
2
х2 + (й2х2 = еg2 (*1 ,х2,хъх2),
где gi,g2~ достаточно гладкие функции своих
аргументов в некоторой области DtzR4, 8 -малый положительный параметр.
Вводя в (2) фазовые переменные (*!,>>! = х1,х2,у2 =х2) и переходя к канониче-ским переменным действие—угол
*1 = — Sin 01, *2 = j— sm02,
V “1 V ю2 (3)
У\ = V2/1®1 COS0!.^ = л!212Ю2 cos 02>
получим систему
21,
А - е£п(^1>^2>®1>®2)-|/—~ СОБ 0^ :
V “1
= ^(/і,/2,61,62),
/2 _ є^22(^1’^2’6і,62)1|------С03б2 =
С02
; ^2(/і,/2,Єі,02),
2/2
6] — с£»і — є^-1і(7'і,^2,6і,62)
віпбі
л/2/і“і
(4)
В системе (6) три медленные переменные /1,/2,ф и одна быстрая 62. Правые части системы (6) периодические по 02 с наименьшим периодом 2пр. Усредняя систему (6) по быстрой переменной 02, получаем
йт = е/’ето (щ,и2,ф),т = 1,2,
Ф = аР’зоСи^иг.Ф),
где
2щ>
(7)
= ®і + £/з(/і>/2>6і,02),
62 = ю2 ~~ Е822 (/і > /2 > 6], 62 )
= ю2 +е/’4(/і,/2,61,62),
віп 62
л] 21 2® 2
рт0=1.---- |^(М1,М2,Ф,62)СЮ2^ = 152,
2пр
1 2 пр
^30=— |[/’зО--/’4(-)]^2-2яр ^ р
(8)
где /15/2 - переменные действия, 6,,62 - угловые координаты,
^Л*(^1>/2>01>®2) — Я*
2/1 • О
----- БШ 0],
®1
—- вш 62, ^2сое 61, д/2/2ю2 сое 62
р V ю2 * = 1,2.
Функции ^т0(м1,м2,Ф) - периодические по Ф с периодом 2п и достаточно гладкие по своим аргументам в некоторой области О0хБ1, где Д0сЛ2.
2.1. О связи усреднённой и исходной систем. Метод усреднения связан с некоторой заменой.
Разложим функции Рт,т = 1,2, /3 - —/4 в
ряды:
Определение 1.1. Говорят, что в системе (4) имеет место резонанс, если
ю, =—ю2, (5)
Р
где риц- взаимно простые целые числа.
2. Усреднение в резонансном случае
Предположим, что условие (5) выполнено. Приведем систему (4) к виду, для которого мы сможем применить метод усреднения.
Делая в (4) замену 0!=ф + — 02, придем к
р
Мг
ад,/2,Ф,02) = Ф)е р
системе
/і=Е/і(/і,/2,ф + ^02,02),
Р
¡2 = є/2(/і>/2>Ф + ~62,02), Р
Ф = е[/з(/ъ/2>Ф + ~02’02)_ Р
-^^(/і,/2,ф + ^02,02)],
02 -Щ +Є^4(/і>/2»Ф"1------62,02).
Р
М2
а +со 1
^(■)--^40=1^3*(/1./2.Ф)е * , Р
и сделаем в системе (6) замену переменных:
М2
г _ £1 у %(/1»/2>Ф) 1 Р
Ч - Щ-----2і,------------;-е
<°2 к*о к
,кв2
І2=и2_^р2кіІЬІ2Л)еР ю2 к*0 *
М2
Щ_Ф Фу%(у2.Ф); л
ю2 ¿Ы0 *
В результате получим систему
йт = гРт0(щ,и2,Ф) + 0(г2),т = 1,2,
(9)
(6)
Ф - е/зо(м1>м2>Ф) + ^(е ),
02 =Ю2-Ее(М1,М2,Ф,02) + О(Е2),
2
где члены порядка 8 зависят как от щ,и2,Ф , так и от 02 . Предполагаем, что эти члены ограничены в области £> х 51 х 51.
Если в этой системе пренебречь членами 2
0(8 ), то получим систему
= ьРто(цьи2,Ф),т = \, 2,
Ф = ^30(м1,и2,Ф), (Ю)
02 =ю2-£С(м1>м2>ф>02)>
в которой первые три уравнения не зависят от 02 . Следовательно, фазовое пространство системы (10) является прямым произведением фазового пространства усредненной системы (7) на ^ . Тогда нетривиальному простому состоянию равновесия усредненной системы соответствует периодическое по 02 решение системы (10), а периодическому решению — двухчастотный режим. Более точно, применима теорема Боголюбова [4] (см. стр. 400, а также примеры на стр. 401-406 о приведении системы к стандартной форме).
2.2. Усреднение в нерезонансном случае. В случае когда число «>! / ю2 плохо в известном смысле приближаемо рациональными числами, приходим к усредненной системе
^k=EFko(ubu2)>k = h 2,
где
•і 2тг 2 ти
F/cO = 2 Í р;*(ы1>м2>®1>®2)с;®1й®2 ■ (12)
0 0
Система (11) получается из системы (4) после замены
Ik=uk-si £ Fkmj{Ibh)
(И)
(13)
п2+]2мтщ+]щ * = 1,2,
и отбрасывания членов 0(г2). В (13) Рщ -
коэффициенты разложения в двойной ряд Фурье функций РкШ,/2,01 >92) ■ При указанном условии на число 0)2 / ю2 РВД в (13) сходится.
Если в системе (11) существует простое нетривиальное состояние равновесия, то в исходной системе (2) ему соответствует двумерный инвариантный тор (устойчивый или неустойчивый в зависимости от того, устойчиво или неустойчиво состояние равновесия).
3. Рассмотрение примера
3.1. Случай главного резонанса. Усреднённая система. В качестве примера рассмотрим систему (1). Предположим, что имеет место главный резонанс: ю2 = 1. Естественно рассмотреть не только точный резонанс, а также слу-
чай, близкий к резонансу: ю2 = 1 + еД. Здесь параметр А определяет уклонение от точного резонанса. Тогда, используя (7), (8), получаем усредненную систему
í/м, и,2 i---- . _
---- = Щ-----— + (J, JMjM2 Sin Ф ,
di 2
^- = м2 -^--2^щи2 sin®, (14) ах 1
í/Ф . ц ц и, - 2щ _
---= А + — + -----— eos Ф,
dx 2 2 ^mjm2
где т = 81 — медленное время.
Исследование двухпараметрического семейства системы (14) достаточно сложно. Например, затруднительно в аналитическом виде без использования компьютера построить на плоскости параметров области с разным числом состояний равновесия. Поэтому будем применять компьютерную программу Maple. При построении фазовых кривых системы (14) будем использовать программу WInSet [6].
В работе [3] были построены численно бифуркационные кривые на плоскости параметров (A, (i), разделяющие области с разным числом состояний равновесия, а также некоторые другие кривые. При этом усредненная система имела другой вид, связанный с использованием не переменных действие-угол, а полярных координат. В работе [3] не были построены фазовые портреты усредненной системы, а также не был решен вопрос о судьбе предельного цикла, родившегося из состояния равновесия типа седло-фокус в результате бифуркации Андронова-Хопфа. Все это представлено в данной работе.
Установим число состояний равновесия системы (14) и определим их тип при различных значениях параметров.
3.1.1. Состояния равновесия. Система для нахождения состояний равновесия системы (14) имеет вид
щ - + 11у]щи2 sin Ф = 0,
и2 - ~y - 2цл/м1и2 sin Ф = 0, (15)
. ц ц и2 - 2м.
А + — + — , eos Ф = 0.
2 2 уMjií2
Исключая из уравнений (15) и2 и Ф (с использованием Maple), получаем
9и6 - 78и5 + (-32А2 - 8ц2 - 32Ац + 268)и4 +
+ (-456 - 72ц2)мЗ + (384 + 448ц2 +
+ 448Ац + 448А2 + 896А2ц2 + 432ц4 +
+ 512А3ц + 640ц3 А + 256А4)и2 + (-1024А3ц- (16)
-1 664ц3 А - 640Л2 - 21 76А2ц2 -1152ц4 --128 - 640Лц- 512А4 - 672ц2)и1 +
+ 256ц3Л + 256ц2 + 576ц4 + 256ц2 А2 = 0.
Для сложного состояния равновесия уравнение (16) должно иметь кратный корень. Продифференцируем уравнение (16) по и1. Из уравнения (16) и получившегося уравнения исключаем переменную и1. В результате получим условие на параметры (А, ц), при которых существует сложное состояние равновесия: 231647232 ц9Л3 +105827328 ц10 А2 +231360 Л4ц 2 + +919879680 Л6ц6 +81358848 Л7ц3+221709312 ц13А + +51904512 цА11 +45349632 ц14 +6033408 А10 + +2745761792 А8ц6-12636 ц6 +9027936 ц12 + +912162816 Л7ц5 -38032128 Л5ц5 +
+701669376 А8ц4 -15105708 ц9Л +38320128 цпА + +392167424 Апц3 -4323051 ц10 +8650752 А12 --334912 Л5ц3 +539217 ц8 +16 Ац +40007424 Л6ц4 + +16 А2 +2640 ц3 А +7749632 А7ц +1759248384 А9ц5 --81 ц4 +1937408 А8 +20304 ц2 А2 +
+453522432 А4ц8 +1492475904 цпА3 +
+7929600 А6ц2 +65590272 А8ц2 -80637888 А4ц6 + +17664 А4 +296448 А6 +8802064 ц6А2 +
+3420995584 А5ц9 +930873344 А10ц4 --63304320 А3ц7-1019520 А3ц3 +35328 А3ц --183192 Ац5 +3036832 ц7Л +410910720 А9ц3 + +3541827584 Л7ц7 +29360128 цА13 + (17)
+128974848 А12ц2 +2529857536 Л4ц10 +69050+ +8800 ц12А2 -35909484 ц8А2 +4194304 А14 --3381904 А4ц4+177340416 Л10ц2 +7835616 А3ц5 + +721944576 Л5ц7 -841176 А2ц4 +889344 А5ц + +30167040 А9 ц +3827613696 А6ц8 =0.
Кривые (17) разделяют плоскость (А, ц) на области с разным числом состояний равновесия. Эти области показаны на рис. 1. Отметим, что здесь речь идет о состояниях равновесия в области и] > 0, и2 > 0,0 < Ф < 2п.
Тип состояний равновесия определяют корни характеристического уравнения
А3 + с2(ц, А)А2 + с1(ц, А) А + с0(ц, А) = 0, (18) где коэффициенты сК выражаются известным
образом через элементы матрицы Якоби, вычисленные в состоянии равновесия. Варианты расположения корней Ак = ак + гЪк, к = 1,2,3 , на комплексной плоскости для простых состояний равновесия показаны на рис. 2.
3.1.2. Бифуркация Андронова-Хопфа. Найдём аналитические выражения кривых на плоскости параметров (А, ц), соответствующих бифуркации Андронова-Хопфа [7].
Для бифуркации Андронова-Хопфа мы требуем, чтобы существовала пара чисто мнимых корней характеристического уравнения: А23 = ±/'Р . Обозначим А! = у . Тогда характеристический многочлен имеет вид
А3 - уА2 +р2А-р2у = 0. (19)
Сравнивая уравнения (18) и (19), мы видим, что необходимое условие для бифуркации Анд-ронова-Хопфа:
с0 = с1с2 . (20)
Из соотношений (16), (20) находим уравнение бифуркационной линии на плоскости (А, ц):
206046997776 ц16 +128246239872 Ац15 --1055299653504 А2ц14 +151716144096 ц14 --4792910330880 А3ц13 -959470912224 Ац13 --10067384941056 А4ц12 -4022175416544 А2ц12 --76183604811 ц12-13620666378240 А5цп -
-0 4 _П “> ПО О *> 0 4
Рис. 1. График неявной функции (17). Цифры указывают на количество состояний равновесия системы (14) в соответствующих областях
ІЇ
і
Седло Устс<УгеыЯуз5П УлшЯчиш.Фужимшж)«: Седло-фокус
Рис. 2. Варианты расположения корней характеристического уравнения
\
\
а)
\
і
і
/
... х
Мгп <._! І..І
|>І
Ц
\ I
V
у
Ь)
-*Ы -111
Рис. 3. (а) График неявной функции (21) и (Ь) бифуркационные кривые системы (14)
Рис. 4. Фазовые портреты усреднённой системы
-8422624949760 ДУ1 -1162076374872 Дц11 --11038023456768 ДУ°-9771098692608 ДУ° -2453769115848 А2|а10-53727633963 ц10 --1633265565696 Д7ц9 -5111334563328 Д5ц9 --2698414682336 Д3ц9 -368730619308 Дц,9 + +10450239639552 Д8ц8 +4596633773568 Д6ц8 --930295796592 Д4ц8 -500042378940 Д2ц8 --10567871928 |і8 +18955313086464 ДУ + +14654584700928 ДУ +2928072365568 Д5ц7 --65251243872 Д3ц7 -43666800936 Дц7 +
+20325924864000 Д10ц6 +19734795325440 Д8ц6 + +6459457683968 ДУ +646749530928 ДУ --25863482760 ДУ 842897393 ц6 + +15864307384320 Д‘У +18526299439104 ДУ + +7894980157440 Д7ц5 +1385895931968 Д>5 + +75604570176 Д3ц5 1221626868 Лц5 + +9417278619648 Д'У +12970012852224 Д’У + +6670762715136 А8ц4 +1563045302976 Дб|/ + +151762831008 ДУ +2639537484 ДУ --16895076 ц4+4277139406848 ДУ +
Рис. 5. Рождение предельного цикла второго рода
а)
\ I * V
/
ч /
/
.■!_ -Г|3 I ■ г ■? НА
с)
I. I
I
ас 125 «с ж :-11'
Рис. 6. (а) Бифуркационные кривые системы (14) и (Ь, с) решение исходной системы
+6902205382656 Д‘У +4225522688000 Д9ц3 + +1243790340096 Д7ц3+175856646912 Д5ц3 + +9882465920 Д3ц3 +104063568 Дц3 + +1433187385344 Д‘У +2690954035200 Д‘У + +1939282108416 Д‘У +685956946944 Д8ц.2 + +123792201984 ДУ +10341576000 Д4ц2 + +273469584 Д2ц2 +1086528 ц2 +
+328866988032 Д15ц+711039909888 Д13|д + +596824129536 Дпц +250006241280 Д9ц + +55862845440 Л7ц +6480411648 Д5ц + +338812032 Д3ц +5262144 Дц+41108373504 Д1б + +101577129984 Д14 +99470688256 Д12 + +50001248256 Д10+13965711360 А8 + +2160137216 А6 +169406016 А4+5262144 А2 + +43264=0. (21)
Заметим, что при малых ц и Д в полученной формуле преобладают члены с небольшими степенями.
Объединяя рис. 1 и рис. За, получим рис. ЗЬ.
Части графика функции (17), находящиеся в треугольных областях, можно не рисовать. В этих областях число р2, упомянутое в уравнении (19), отрицательное и собственные значения X = ±г'Р - действительные. Следовательно, бифуркация Андронова-Хопфа не встречается.
Теперь мы можем сказать о типе состояний равновесия в каждой из полученных областей.
Области I и II: два состояния равновесия седло-фокус.
Область III: одно состояние равновесия устойчивый узел-фокус, одно - седло-фокус, два седла.
Область IV: одно состояние равновесия устойчивый узел-фокус, одно - седло-фокус.
Область V: два состояния равновесия устойчивый узел-фокус, два седла.
Область VI: два состояния равновесия устойчивый узел-фокус.
3.1.3. Глобальные перестройки фазового портрета усреднённой системы. Как мы установили, в системе (14) при переходе параметров через полученную выше бифуркационную ли-
нию может родиться предельный цикл. Такой цикл мы будем называть циклом первого рода. Какие глобальные бифуркации могут происходить с предельным циклом? Для ответа на этот вопрос фиксируем А и изменяем параметр (х. Например, положим А = 0.3. Обозначим через ц*(А) бифуркационное значение ( ц*« 0.4465). При ц > ц* существуют два состояния равновесия: О, — устойчивый узел-фокус и Ог — седло-фокус с устойчивым одномерным многообразием (рис. 4). При переходе через бифуркационную кривую на рис. 3 сверху вниз из узла-фокуса родится устойчивый предельный цикл первого рода, лежащий на двумерном сепарат-рисном многообразии. При этом состояние равновесия О] становится неустойчивым «седло-фокусом» (рис. 4Ь).
С уменьшением параметра р. предельный цикл растет по величине, приближаясь к плоскости и2= 0. На этой плоскости сущест-
состояния равновесия
вуют
(
А
V
Два
2,0,|Л
,В
седловых
V z.
При ц = ц**(А) » 0.372
ществует устоичивыи предельный цикл первого рода, то решение x(t), w(t) двухчастотное.
3.2. Случай высших резонансов. При
усредненная система принимает вид: и1 _ и2
(22)
предельный цикл влипает в контур, составленный из сёдел А, В и их одномерных сепаратрис
Г1 и Г2 (рис. 5а).
Затем от сепаратрисы Г2 рождается предельный цикл второго рода (периодический по Ф, рис. 5Ь).
Далее, для дискретного набора значений параметра А повторяя описанную процедуру нахождения бифуркационного значения параметра ^**(А) , мы получаем (в дополнение к ранее найденным) бифуркационные линии, представленные на рис. 6а. Для параметров ц и А из областей А, В, С, Б в системе (14) существует предельный цикл первого рода, а из областей I и II - цикл второго рода. В области IV цикл второго рода отсутствует. Аналогичные бифуркационные линии были построены в [3].
3.1.4. О поведении решений исходной системы. Согласно теореме об усреднении, простому нетривиальному состоянию равновесия усредненной системы (14) соответствует периодическое решение периода 2% в исходной системе (1), а грубому предельному циклу первого рода - двухчастотное решение (как правило, квазипериодическое). На рис. 6 (6Ь, с) показаны графики решения системы (1) при 8 = 0.1, А = 0.3, ц = 0.373. Так как при этих значениях параметров у усредненной системы су-
ат щ 2 7
а т 2 р аФ р2 - 2?2
Тт-^-Чр-
Первые два уравнения не зависят от Ф, и каждое имеет состояние равновесия: щ= 2 и
м2=—. Тогда на фазовой плоскости (щ,и2) Ч
существует нетривиальное устойчивое состояние равновесия, которому в исходной системе будет отвечать двумерный устойчивый инвариантный тор с периодической обмоткой.
3.3. Усредненная система в нерезонансном случае. Используя (11), (12), получаем
ащ щ
-----— U і---------
di 2
аи2
— Ко
и2
(23)
а% * 2ю2
На фазовой плоскости (щ,и2) существует нетривиальное устойчивое состояние равновесия, которому в исходной системе при иррациональном (в2 отвечает двумерный устойчивый инвариантный тор с квазипериодической обмоткой. Заметим, что ряд в замене (13) в данном случае содержит лишь конечное число ненулевых членов.
Работа поддержана ФЦП «Кадры», НК-13П-13.
Список литературы
1. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976.
2. Rand R.H. Lecture Notes on Nonlinear Vibrations. Internet-First University Press, Cornell Univ., 2003. URL: http://www.tani.comell.edu/randdocs.
3. Rompala K., Rand R., Howland H. Dynamics of three coupled Van der Pol oscillators with application to circadian rhythms // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2007.12. P. 794—803.
4. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Госиздат, физмат, литер., 1958.
5. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.; Л.: Гос-техиздат, 1947.
6. Драгунов Т.Н., Морозов А.Д. Визуализация и анализ инвариантных множеств динамических систем. М.-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. 304 с. (см. также учебное пособие тех же авто-
ров: Использование программы WInSet для визуализации динамических систем. Изд-во Нижегородского государственного университета, 2007).
7. Афраймович B.C., Гаврилов Н.К., Лукьянов В.И., Шильников Л.П. Основные бифуркации динамических систем: Учебное пособие. Горький: Изд. ГГУ, 1985.
ON INVESTIGATION OF QUASILINEAR SYSTEMS WITH TWO DEGREES OF FREEDOM
N.S. Krasulina, A.D. Morozov
Quasilinear systems with two degrees of freedom in resonant and nonresonant cases are considered. Shortened (averaged) systems (three-dimensional in a resonant case and two-dimensional in a nonresonant case) are given. These systems describe the behaviour of the initial four-dimensional system with accuracy up to small members. The consideration is illustrated by the example of two weakly coupled van der Pole equations. For the case of the main resonance, a three-dimensional averaged system is found which depends on two parameters, and the study of this system is carried out. Bifurcation curves found on the parameter plane are related to: 1) the change of number of equilibrium states, 2) the birth of a limit cycle (Andronov-Hopf bifurcation), 3) the birth of a limit cycle of the second kind. In case of higher-order resonances and also in nonresonant cases there exists a two-dimensional stable invariant torus in four-dimensional space of the initial system.
Keywords: resonances, limit cycles, equilibrium states, bifurcations, averaging.
