$K$-ФУНКЦИОНАЛЫ И ТОЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ $n$-ПОПЕРЕЧНИКОВ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ИЗ $L_{2}((1-x^2)^{-1/2};[-1,1])$ Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 1. Ч.1. С. 83-97

= Математика

УДК 517.5

К-функционалы и точные значения п-поперечников некоторых классов из ^2((1 — х2)-1/2; [-1,1])

М. Ш. Шабозов, К. Тухлиев

Аннотация. В пространстве —2((1 — х2)~1/2;[-1,1]) получены точные неравенства типа Джексона - Стечкина, связывающие величину Еп-!(/) наилучшего приближения функции / алгебраическими полиномами степени не выше п — 1, с введенным В.А. Абиловым и Ф.В. Абиловой обобщенным модулем непрерывности т-го порядка Пт(Р/, £), где V — некоторый дифференциальный оператор второго порядка. Для определенных при помощи К-функционала КЯ(Р/, £) и заданной мажоранты Ф(£) классов функций Ш(г) (Кя, Ф) (г, в € М), удовлетворяющих при любом £ € (0,1) ограничению КЯ(Р/, £) ^ Ф(£), вычислены точные значения различных п-поперечников в пространстве —2((1 — х2)-1/2; [—1,1]).

Ключевые слова: наилучшее приближение, полиномы Чебышева, обобщенный модуль непрерывности т-го порядка, коэффициенты Фурье-Чебышева, п-поперечники, К-функционал Петре.

1. Введение

Экстремальная задача отыскания точных констант в неравенстве типа Джексона для суммируемых 2п-периодических функций / в пространстве —2 := —2[0, 2п] с конечной нормой

рассматривалась во многих работах (см., например, [1-9] и приведенную там литературу). В последнее время появился ряд работ, в которых аналогичные задачи рассматриваются на конечном отрезке. А.Г.Бабенко [10] получил точное неравенство типа Джексона в случае приближения на отрезке [0, п] действительных измеримых четных 2п-периодических функций вида / (х) =

= ^(cos ж) подпространством косинус-полиномов

í n-1 ]

Fn-1 := < F : F(ж) = ^ ak cos kx, ak € R >

l k=0 J

в пространстве L^e[0, n] (a > —1, в > -1) с конечной нормой

. i/2

f 1к,в = j / |f(Ж)|2 (SÍn f) + (COS f) ^ dX

0

В дальнейшем указанная задача в общем случае при a = в ^ —1/2 рассмотрена Д.В.Чертовой [11], а при любых a > в ^ —1/2 - Во Тхи Кук [12]. Для функции многих переменных в ¿2(Rd) со степенным весом точные неравенства Джексона доказаны в работах А.В.Иванова и В.И.Иванова [13-15].

Отметим также работу С.Б.Вакарчука [16], где доказано точное неравенство типа Джексона для приближения действительных измеримых на отрезке [—1,1] функций f подпространством Pn-1 - алгебраических полиномов степени ^ n — 1 в пространстве L2 [—1; 1] с нормой

1/2

2

II/II Lg [— 1,1] = / I/ (Х)|

dx І < то.

В данной работе продолжим исследования в этом направлении и докажем точное неравенство типа Джексона для наилучшего приближения действительных измеримых на отрезке [-1,1] функций /(ж) с весом ^(ж) = (л/1 — ж2)-1 элементами подпространства Рп-1 в гильбертовом пространстве

2Л-1/2

ж2'

W-l, 1] := (1 - ж2) 1/2 ; [-1,1])

с нормой

1 \ 1/2 л/1 — •

2,м := W/ WivA—1;1] = / dx <

4-і

Следуя работе [17], в пространстве ¿2,^[-1,1] рассмотрим оператор 1

2

который будем называть оператором обобщённого сдвига, и введём специальный модуль непрерывности т-го порядка следующим образом:

Ал(/; ж) = ^/(ж) - / (ж) = - Е)/(ж),

Fh/(ж) = 1 / ^ж cos h + л/1 — ж2 sin hj + / ^ж cos h — л/1 — ж2 sin hj , (1

m , ч

Am(f; X) = Д„(лт-1(/; •); x) = (F„ - E)mf(x) = £(-i)m"k F,kf (x),

k=0 ' '

где F0f(x) = f(x), Fkf(x) = Fh(Fhk-1f(x)), k = 17^; m € N и E -

единичный оператор в пространстве ¿2-

Определим модуль непрерывности m-го порядка равенством

^m(f;i) = sup{||Am(f; •)У2;М : |h| < i}. (2)

Пусть далее

i [2

T0(x) = , Tk(x) = \ — cos(karccosx), k = 1,2,... (3)

л/п V п

- ортонормированная система многочленов Чебышева первого рода в пространстве ¿2,^[-1, 1]. Тогда, как хорошо известно [18],

ГО

/(х) = ^ Ск(/)Тк(х) (4)

к=0

есть ряд Фурье-Чебышева функции / € £2)М[-1,1], а

1

ck(f) = ^ xs Tk(x)dx (5)

X

-1

- коэффициенты Фурье-Чебышева. Равенство в (4) нужно понимать в смысле сходимости в пространстве ¿2,^[-1,1].

^2 ^

Пусть теперь V = (1 — х2)^^ — X— - дифференциальный оператор

ах2 ах

второго порядка. Операторы высших порядков определим рекуррентным путем: V/ = V(Vr-1/), (г = 2,3,...). Заметим, что многочлены (3) удовлетворяют дифференциальному уравнению [18, с.47]

(1 — х2)Тк(х) — хТк (х) + к2 Тк (х) = 0, (6)

а потому из (1.6) вытекают равенства

VTk(х) = — к2Тк(х),..., VТк(х) = (—1)гк2гТк(х). (7)

В [17] доказано, что для произвольной функции / € ¿2;^[—1,1], имеющей

обобщенные производные в смысле Леви [19, с.172], коэффициенты Фурье-Чебышева (5) ряда (4) удовлетворяют соотношениям

Ск (/) = (—1)г к-2г Ск (V/), к = 1, 2,..., (8)

Ск (Е/ )=ес>8 кЛ ■ Ск (/), к = 1,2,..., (9)

где функция Е/ определена равенством (1).

Через [—1,1] (r € Z+,l2°)[—1,1] = L2,^[—1,1]) обозначим множество

функций f € ¿2,^[—1,1], У которых производная Drf принадлежит пространству ¿2,^[—1,1]- Пользуясь равенством Парсеваля и соотношениями (7) - (9), для произвольной функции f € ¿2^[—1,1] получаем

ГО

II ДПх>7 )И2,„ = Е*1 — cos kh)2mfc4r ck (f). (io)

k=l

Учитывая равенство (10), согласно определению модуля непрерывности (2) запишем

Qm(Drf; i) = supj k4rck(f)(1 — cos kh)2m : |h| ^ t j . (11)

Пусть

En-l(f)2,M = infj If — Pn-l||2,M : Pn-l € Pn-l}

- наилучшее приближение функции f € ¿2,^[—1,1] элементами

подпространства Pn-l.

Известно [18], что

/го \ l/2

En-l(f)2,M = |f — Sn-l(f)|2,M = X) ck(f) , (12)

Vk=0 /

где

n-1

Sn-l(f,x) = ^ Ck (f )Tk (x) k=0

- частичная сумма n-го порядка ряда (4). Нам в дальнейшем понадобится следующая

Лемма 1.1. Для произвольной f € [—1,1] имеет место точное

неравенство

En-l(f) < n-2rEn-l(Df). (13)

Доказательство. В самом деле, учитывая (12), из равенства (8) получаем

E2-i(f) = £ck(/) = £k-4r(Dr/) « n-4^ck(Df) = n-4r£„-1(D?).

k=n k=n k=n

Равенство в (13) реализует функция

f2

/о(ж) := Tn(x) = у — cos(n arccos ж),

ГО

ГО

ГО

принадлежащая [—1,1], для которой

Еп-1(/о) = 1, £„-1^/Ь)= п2г, откуда следует утверждение леммы 1.1. Из доказанной леммы вытекает Следствие 1.1. Для любых п € М, г € Z+ справедливы равенства

™р( /га-11/), : / € ЬЦ [—1,1]1 = 4".

Р\£П-1(^/) ' 2>^ ’ Ч п

2. Основные результаты

Теорема 2.1. Пусть т € М, г € ^+, / € Ь^[—1,1] и 0 < Л ^ п/(2п). Тогда при любом п € N справедливо неравенство

т / 71 \ т

Е“-1</> <{пт^Ы ^ (Л/• (14)

Неравенство (14) обращается в равенство для функции /0(х) = Тп(х) €

€ 4][—1,1].

Доказательство. В [17] для произвольной / € ¿2г)[—1,1] доказано неравенство

1 1/(2 )

ЕП-1(/) « (г,2-1(/)) " п-2'/тид;“(ру;->п4/7г + £ск(/)«*кг. (15)

к=п

Проинтегрировав обе части неравенства (15) по аргументу г в пределах от г = 0 до г = Л (0 < Л ^ п/п) и затем поделив обе части полученного неравенства на Л, с учетом определении модуля непрерывности (2), получаем

h ^

5-i(7) í (EU/ИI-1/(2m)n-2r/4 1 /n,‘,ím(Dy;t)dt) + V ckr sinkt

0

(16)

Воспользовавшись тем фактом, что при 0 < nt í п/2 справедливо равенство [2]

( sin x I sin nt

sup < ----- : nt í x > =

x nt

из неравенства (16) получаем

E"-1</К1 - !inr) í (E"-i(/))1-1/(2m)(h f fii/m(D7; í)d¡

откуда

Неравенство (14) доказано. Тот факт, что функция /0(х) = Тп(х) в (14) реализует знак равенства, проверяется непосредственным вычислением. Теорема 2.1 доказана.

В последнее время при решении экстремальных задач теории приближений интенсивно используется К-функционал Петре [20]. Так, С.Б.Вакарчук [21], используя К-функционал Петре, решил ряд задач полиномиальной аппроксимации функций / € ¿2[0, 2п]. В принятых нами обозначениях К-функционал Петре пары пространств Ь2;М[-1,1] и Ы[—1,1] имеет следующий вид:

м/;г) := М/;г, ¿2^—1, 1],ь^[-1,1]) =

= 1^{ ||/-^N2,^ + г11^£||2)(и : 9 € ¿21[-1,1]}, г> 0,5 € М (17)

Используя схему рассуждений работы [22], легко доказать, что для любой функции / € ¿2,^[-1,1] и произвольной Л € (0, п/п] имеют место неравенства

аА(/, Л) ^ К/ Л5) ^ ЛА(/, Л), (18)

где а5, - положительные постоянные, зависящие только от 5. Следующая

теорема в определенном смысле является распространением результата С.Б.Вакарчука [16], полученного для величины наилучшего приближений

функций / € ¿2г)[-1,1] частными суммами порядка п — 1 ряда Лежандра на

М

случай наилучшего приближения дифференцируемых функций / € ¿2^ [— —1,1] частными суммами ряда Фурье-Чебышева.

Теорема 2.2. Для произвольной функции / € ¿2’"^[—1,1],г € при любом п € N имеет место неравенство

Еп-1(/) < п-2г£*(£//, п-2в), 5 € М, (19)

которое является точным в том смысле, что существует элемент /0 €

€ ¿2^ [—1,1], реализующий в (19) знак равенства.

Доказательство. Пусть / - произвольная функция, принадлежащая ¿2^ [—1,1]. Тогда согласно леммы 1.1 имеем

£„-1(/) < п-2гЕ„-1(Р?) < п-2г||Р/ — £„_1Ы||2)М, (20)

где £га-1(^>) - частная сумма порядка п — 1 ряда Фурье-Чебышева произвольной функции <р € ¿2^[—1,1]. Так как, согласно (12) и лемме 1.1

£га_1(^>) = ||<£ — 5п_1(^)|2,^ < п-2,£га-1(Р>)

то, используя неравенство треугольника для нормы, с учетом (20) для величины наилучшего приближения / € ь2í'J)) [—1,1] получаем

Еп-1(/) < п-2Г{ ||Р? — + ||<£ — 5п-1(^)|2,^ <

< п-2^ ||Р/ — Икм + п-25 ¿„-^Р5^)} < п-2^ ||Р/ — ^|2,М + п-28|^8^|2,^.

, (21)

Перейдя в правой части (21) к точной нижней грани по <р € [—1,1],

с учетом определения К-функционала (17) получаем неравенство (19). Заметим, что если в правой части (17) положить д = 0 и / = рп € Рп, то для произвольного полинома рп € Рп получим оценку сверху

К,(р„,Л) < ||Рп||2,^. (22)

Если же в правой части равенства (17) положить / = 9 = рп € Рп, то будем иметь

К,(Рп,Л) < ЛрХН^. (23)

Пусть /о(х) = Тп(х). Тогда из (22) и (19), учитывая (6), получим 1 = Е„-1(/о) < п-2гК,(Р/о,п-2.) < п-2гНР/оН^ = 1, откуда и следует утверждение теоремы 2.2.

Следствие 2.2. Для любого п € N имеет место равенство

81|р{К,Т-.) : / € ^ 1]} = п2". (24)

Доказательство. Действительно, для произвольной / € ¿2^[—1,1] из (19) имеем

Еп-1(/)____ < (25)

К,(Р/; п-2,) " п2’ ' у }

Рассмотрим в ¿2’"^ [—1,1] функцию /о(х) = Тп(х). Учитывая, что Еп-1(/о) = 1 и

К,(Р/о;п-25) < ||Р/о|2,м < п2г||/о|2,^ = п2г,

будем иметь

" gn-l(/p) > ±_

Ks(Dfo; n-2s) > n2r '

Отсюда в связи с неравенством (25) получаем равенство (24).

3. Значения n-поперечников некоторых классов функций

в L2,p[ —1 1]

Нам для изложения дальнейших результатов понадобятся определения новых аппроксимативных характеристик. Пусть B - единичный шар в L2>jU[-1,1]; Ln С L2>jU[-1,1] - n-мерное подпространство;

Ln С L2)M[-1,1] - подпространство коразмерности n; Л : L2)M[-1,1] ^ Ln

- непрерывный линейный оператор проектирования; M - выпуклое центрально-симметричное множество из L2;jU[- 1,1]' Величины

bn(M; L2,m[-1, 1]) = sup{sup{e > 0 : eBn Ln+i С M} : Ln+i С ^[-1, 1]},

(M; W-1, 1]) =

= inf{sup{inf{||/ - ^У2,м : € Ln} : / € M} : L„ С ^[-1, 1]},

dn(M; L^M, 1]) = inf{sup{||/1|2,^ : / € Mn Ln} : L„ С L2)/i[-1, 1]},

¿n(M; L2,m[-1, 1]) =

= inf {inf {sup{||/ - Л/||2,M : / € M} : ЛL2,м[-1, 1] С L„} : L„ С L2)M[-1, 1]},

n„(M; L2,^[-1, 1]) =

= inf {inf {sup{|| / - Лх/||2,M : / € M} : Л^2)М[-1,1] С L„} : L„ С L2)M[-1,1]},

называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, гельфандовским, линейным, проекционным n-поперечниками. Указанные n-поперечники монотонны по n ив гильбертовом пространстве L2,^[-1,1] между ними выполняются соотношения (см., например, [23, 24]):

bn (M; L2,m [-1, 1]) < dn (M; L^ [-1, 1]) < d„ (M; L^ [-1, 1]) =

= ¿n (M; L2,^ [-1 1]) = nn (M; L2,jU [-1 1]) ' (26)

Следуя [25, c.25], назовем неубывающую на положительной полуоси [0, то) функцию Ф(£) k-мажорантой, если функция t-kФ(^ не возрастает на [0, то) и Ф^) ^ 0 при t ^ 0, причем Ф(0) = 0. При k = 1 функцию Ф^) называют просто мажорантой.

Пусть Ф(t) есть некоторая мажоранта. Через W(r)(Ks, Ф) (r, s € N) обозначим класс функций / € l2?"^[-1,1], которые удовлетворяют условию Ks(D// t) ^ Ф(t) для любого 0 < t ^ 1. В связи с неравенством (18) можно сделать вывод, что введенный класс функций является вполне естественным, поскольку K-функционал, используемый для его определения, фактически играет роль модуля непрерывности Qs(D// t).

Обозначим через W^(D; h), r € Z+,m € N класс функций f € [—

—1,1], у которых при любом h € (0, п/(2п)] производные Df удовлетворяют условию

h

\j nm/m (Df,¡) « i.

0

Теорема 3.1. Пусть Ф - некоторая мажоранта, определяющая класс функций W(r)(Ks, Ф) (r, s € N). Тогда для произвольного натурального числа n имеет место равенство

Ага (W(r)(Ks, Ф); ¿2,^ [—1, 1]) = n-2rФ(п-2*), (27)

где Ага(-) - любой из перечисленных выше п-поперечников.

Доказательство. Используя определение класса W(r)(Ks, Ф), соотношения (26) между n-поперечниками и неравенством (19), получаем оценки сверху

Ап (W«(К*, Ф); ¿2,^ [—1, 1]) < dn (W(r)(Ks, Ф); ¿2,м [—1, 1]) <

< E„ (V(r)(Ks, Ф)) < n-2rФ(п-2*). (28)

Для нахождения оценок снизу введем в подпространстве Pn шар

Bn+i := {pn € Pn : ||РпУ2)М ^ n-2rФ(п-2*)}

и докажем, что он содержится в классе W(r)(Ks, Ф). С этой целью вначале покажем, что в пространстве ¿2,^[—1,1] имеет место аналог неравенства С.Н.Бернштейна для алгебраических полиномов. Пусть pn € Pn

— произвольный полином степени п, имеющий следующее разложение в ряд по многочленам Чебышева:

n

Pn(x) = ^ cfc(pn)Tk(ж). (29)

fc=0

Учитывая равенства (7), а также линейность оператора Dr из равенства (29), имеем

n

DrPn(x) = ^ (—1)rk2rcfc(pn)Tfc(ж). (30)

fc=i

Применяя равенство Парсеваля, из равенства (30) получаем

n 'j i/2

C2(Pn^ ^ п2Г |Pn|2,M • (31)

fc=i J

|Drpn (ж)^ =

Из определения мажоранты Ф следует, что для произвольных 0 < ¿1 <

< ¿2 < го выполняется неравенство

ФМ ^ ¿1, (32)

Ф(^2) ¿2

пользуясь которым докажем включение Вп+1 С Ш(г)(К,, Ф). Для этого убедимся в том, что для произвольного полинома рп € Вп+1 выполняется неравенство

К, (РГэга, ¿) < Ф(£), 0 < £ < го. (33)

Рассмотрим два случая: 0 < £ < п-25 и п-25 < £ < го.

Пусть сначала 0 < £ < п-25. Учитывая неравенства (23), (31) и (32) с ¿1 = £ и ¿2 = п-25, для любого рп € Вп+1 будем иметь

К (Ррп, ¿) < £ Ц^+^пЦ^ < ¿п2(г+5) ||Рп||2)М < ín2.ф(n-2.) < Ф(£).

В случае п-25 < £ < го воспользуемся неравенствами (22), (31) и тем, что согласно определению, мажоранта Ф есть неубывающая функция, для произвольного полинома рп € £>п+1 получаем

К (Ррп, £) < ||Ррп||2)М < п2г ||рп||2)М < Ф(п-25) < Ф(£).

Таким образом, мы показали, что в обоих случаях неравенство (33) имеет место и выполняется включение Вп+1 С Ш(г)(К5, Ф). Согласно определению бернштейновского поперечника и соотношения (26), имеем оценку снизу:

Рп (ш(г)(К„ Ф); ¿2,м [—1, 1]) ^ Ьп (V(г)(К„ Ф); ¿2,м [—1, 1]) ^

^ Ьп (Вп+1; ¿2,м [—1, 1]) ^ п-2гФ(п-25). (34)

Сравнивая оценки сверху (28) с оценками снизу (34), получаем требуемое равенство (27). Теорема 3.1 доказана.

Вопросы отыскания значений точных верхних граней модулей коэффициентов на различных классах функций рассматривался во многих работах (см., например, [26], где приведено достаточно много литературы). Аналогичную задачу можно исследовать для рассматриваемых нами классов функций, причем решение мы получим как следствие теоремы 3.1.

Следствие 3.1. Для произвольного п € N имеет место равенство

зир{|сп(/)| : / € Ш«(£„ Ф)| = п-2гФ(п-25). (35)

Доказательство. В самом деле, учитывая формулу (5) и свойства ортогональности частной суммы 5п-1(/; х) и полинома Тп(х), запишем равенство

1

Сп(/) = ^ ^(хх2 [/(х) — ^п-^Л х)] ¿х- (36)

-1

Применив к правой части (36) неравенство Коши - Буняковского, с учетом (12) и (28) запишем

зир{|сп(/)| : / € Ш«(£„ Ф)} < 8ир{Еп-1(/): / € Ш(г»(К„ Ф)} =

= Еп-1 (Ш(г)(К„ Ф)) < п-2гФ(п-25). (37)

Остается заметить, что для функции

/2(х) = п-2гФ(п-25) Тп(х)

имеем

,-2г^/„-2«

2,м = п ГФ(п ^, ^п-1(/2,х) = 0, Еп-1(/2) = ||/2|2,^ ,

причем функция /2 € Вп+1, где Вп+1 - шар, рассмотренный нами при доказательстве теоремы 3.1, радиуса п-2гФ(п-25) и, следовательно, /2 € € Ш(r»(K,, Ф), а потому

зир{ |сп(/)| : / € Ш(Г»(К„ Ф)} ^

1

[ Тп(х) , , ^

У 71—^1 /2(х>Лх -1

= п-2г Ф^-25). (38)

Искомое равенство (35) получаем из сравнения оценки сверху (37) и оценки снизу (38). Следствие 3.1 доказано.

Теорема 3.2. Пусть т,п € N г € Ъ+ и выполнено условие 0 < Н ^ ^ п/(2п). Тогда имеет место равенство

( пН ^ т 1

Л„(^»тН),Ь2.„Ы,1]) = {пн—^тп^} ■ (39)

где Лп() - любой из перечисленных выше п-поперечников.

Доказательство. Используя определение класса Што»(^; Н), а также соотношения (26), из неравенства (14) для всех перечисленных выше п-поперечников получаем оценку сверху

пН 1т 1

пН — ЭШ пН I п

,2г

(40)

Для нахождения оценок снизу п-поперечников рассмотрим во множестве Рп П ¿2,^[—1,1] шар полиномов

пН 1т 1

$п+1 — ^ рп € Рп : ||рп|2,^ ^

пН — 8Ш пН I п

т2г

Используя формулу (10) и определение модуля непрерывности m-го порядка (11), для произвольного полинома pn € Sn+1 при 0 < t ^ n/(2n) и

1 ^ k ^ n имеем:

{П

^(1 - cos кт) k=i

n

^ n4r (1 — cos nt)2^ ck(pn) = n4r (1 — cos nt)2m||pn||2;iU, k=1

откуда

^m(Drpn,t) ^ n2r(1 — cosnt)m|pn12,^, 0 < nt ^ n/2. (41)

Из (41) для произвольного pn € Sn+1 будем иметь

Последнее неравенство означает, что шар £п+1 С Што»(^; Н). Поэтому согласно определению бернштейновского п-поперечника имеем

Лп(ш!г»(Р; Н),£2,м[—1,1]) ^ 6п(Ш&»(Х>; Н),!^[—1,1]) ^

( пН '\т 1

> пн—зпп*} (42)

Сравнивая оценки сверху (41) и оценки снизу (42), получаем равенство (39), чем и завершаем доказательство теоремы 3.2.

Следствие 3.2. В условиях теоремы 3.2 имеет место равенство Л„(И<-«0Р; п/(2п)); Ь2,^[ — 1,1]) = ()”“ ¿т.

\ П — 2 / п

Следствие 3.3. Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Тогда для любого п € N имеет место равенство

г ( Н ^ т 1

8ир{М/>1 : / € <Р; „А — 1 п4 П2Г ■

Доказательство следствия 3.3 не приводится, поскольку оно в общих чертах совпадает с ходом доказательства следствия 3.1.

2m 7„ 4r „ 2

k4r ck (Pn) : |т | < t <

Список литературы

1. Черных Н.И. О наилучшем приближении периодических функций тригонометрическими полиномами в ¿2 // Матем. заметки. 1967. Т. 2. № 5. С. 513-522.

2. Тайков Л.В. Неравенства, содержащие наилучшие приближения и модуль непрерывности функций из Ь2 // Матем. заметки. 1976. Т. 20. № 3. С. 433-438.

3. Иванов В.И., Смирнов О.И. Константы Джексона и константы Юнга в пространствах Ьр. Тула: ТулГУ, 1995. 192 с.

4. Лигун А.А. Точные неравенства типа Джексона для периодических функций в пространстве Ь2 // Матем. заметки. 1988. Т. 43. № 6. С. 757-769.

5. Бабенко А.Г. О точной константе в неравенстве Джексона в Ь2 // Матем. заметки. 1986. Т. 39. №5. С. 651-664.

6. Вакарчук С.Б., Забутная В.И. Неравенства типа Джексона-Стечкина для специальных модулей непрерывности и поперечники функциональных классов в пространстве Ь2 // Матем. заметки. 2012. Т. 92. № 4. С. 497-514.

7. Шабозов М.Ш. Поперечники некоторых классов периодических дифференцируемых функций в пространстве Ь2[0, 2п] // Матем. заметки. 2010. Т. 87. № 4. С. 616-623.

8. Шабозов М.Ш., Юсупов Г.А. Наилучшие полиномиальные приближения в ¿2 некоторых классов 2п-периодических функций и точные значения их поперечников // Матем. заметки. 2011. Т. 90. № 5. С. 764-775.

9. Шабозов М.Ш., Тухлиев К. Наилучшие полиномиальные приближения и поперечники некоторых функциональных классов в ¿2 // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 6. С. 905-914.

10. Бабенко А.Г. Точное неравенство Джексона - Стечкина в пространстве Ь2-приближений на отрезке с весом Якоби и проективных пространствах // Изв. РАН. Сер. Матем. 1998. Т. 62. № 6. С. 27-52.

11. Чертова Д.В. Теоремы Джексона в пространствах Ьр, 1 ^ р ^ 2 с периодическим весом Якоби // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 5-27.

12. Во Тхи Кук Операторы обобщенного сдвига в пространствах Ьр на торе с весом Якоби и их применение // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 17-43.

13. Иванов А.В., Иванов В.И. Теорема Джексона в пространстве Ь2(М^) со степенным весом // Матем. заметки. 2010. Т. 88. № 1. С. 148-151.

14. Иванов А.В., Иванов В.И. Теория Данкля и теорема Джексона в пространстве Ь2(М^) со степенным весом // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16. № 4. С. 180-192.

15. Иванов А.В., Иванов В.И. Оптимальные аргументы в неравенстве Джексона в пространстве £2(М^) со степенным весом // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 338-348.

16. Вакарчук С.Б. О неравенствах типа Джексона в ^[—1,1] и точных значениях п-поперечников функциональных классов // Укр. мат. в1сник. 2006. Т. 3. № 1. С. 116-133.

17. Абилов В.А., Абилова Ф.В. Об одной квадратурной формуле // Журнал выч. матем. и мат. физ. 2002. Т. 42. № 4. С. 451-458.

18. Сеге Г. Ортогональные многочлены. М.: Физматгиз, 1962. 500 с.

19. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969.

20. Peetre J. On the connection between the theory of interpolation spaces and approximation theory // Colloqium on Constructive Function Theory. Budapest, 1969.

21. Вакарчук С.Б. K-функционалы и точные значения n-поперечников некоторых классов из L2 // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 4. С. 494-499.

22. Butzer P.L. Legendre transform methods in the solution of basic problems in algebraic approximation // Coloquia Mathematica Societatis Janos Bolyai. Budapesht (Functious, Series, Operators). 1980. V. 30. P. 277-301.

23. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. М.: МГУ, 1976. 325 с.

24. Pinkus A. n-Widths in Approximation Theory. Berlin, New York, Tokyo: Springer-Verlag, Heidelberg, 1985. 252 p.

25. Шевчук А.И. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций. Киев: Наукова думка, 1992.

26. Степанец А.И. Равномерные приближения тригонометрическими полиномами. Киев: Наукова думка, 1981.

Шабозов Мирганд Шабозович (shabozov@mail.ru), д.ф.-м.н., академик АН Республики Таджикистан, отдел теории функций и функционального анализа, Институт математики АН Республики Таджикистан.

Тухлиев Камаридин (kamaridin.t54@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра информатики и вычислительной математики, Худжандский государственный университет им. Б.Г. Гафурова, Республика Таджикистан.

K-functional and exact values of n-widths of certain classes of functions in L2 space

M. Sh. Shabozov, K. Tukhliev

Abstract. In the Hilbert space L2((1 — x2)-1/2; [—1,1]) the exact inequalities of Jackson-Stechkin were obtained and connecting En-1(f) - the best approximation of f by algebraic polynomials of degree ^ n — 1 were added due to V.A. Abilov and F.V. Abilov which are the generalized modulus of continuity mth order Qm(Df, t), where D is some second order differential operator. For defined by means of the K-functional Ks(Df, t) and a given majorant Ф(^ classes of functions W(r)(Ks, Ф) (r, s € N), satisfying the condition Ks(Df, t) ^ Ф^)

for any t € (0,1), and the exact values of different n-widths in the space L2^(Vl — x2)-1; [—1,1]j are calculated.

Keywords: the best approximation, Chebyshev polynomials, generalized modulus of continuity, mth order, Chebyshev-Fourier coefficients, n-widths, K-functional Peetre.

Shabozov Mirgand (shabozov@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, academician of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, department of theory of functions and functional analysis, Institute of Mathematics.

Tukhliev Kamaridin (kamaridin.t54@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of informatics and calculus mathematics, Gafurov Khugand State University, Tajikistan.

Поступила 12.01.2014