CC BY
49
СТАТИСТИЧЕСКАЯ РАДИОФИЗИКА
УДК 532.517.4
К АНАЛИЗУ ВЗАИМНОГО ВЛИЯНИЯ ТУРБУЛЕНТНОЙ И МОЛЕКУЛЯРНОЙ ДИФФУЗИИ
© 2011 г. Е.З. Грибова, Д.В. Шкабенков
Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
gribova@rf.unn.ru
Поступила в редакцию 12.05.2011
Численным моделированием стохастических уравнений найден эффективный коэффициент турбулентной диффузии с учетом броуновского движения (молекулярной диффузии). Сформулированы условия, при которых наблюдается усиление диффузии, дано объяснение этого эффекта.
Ключевые слова: турбулентность, молекулярная диффузия, коэффициент диффузии, время корре-
ляции, радиус корреляции.
Задача о распространении пассивной примеси в случайном поле скоростей является важной проблемой статистической гидродинамики и имеет большое значение для решения экологических проблем диффузии примеси в атмосфере Земли и океанах [1-4].
К настоящему времени получены различные уравнения, описывающие статистические свойства плотности частиц примеси. Вывод и анализ подобных уравнений для разных моделей случайных параметров в различных приближенных схемах продолжается и поныне. Однако необходимо заметить, что описание движения частиц пассивной примеси, подверженной молекулярным столкновениям, в случайном поле скорости чрезвычайно сложно. Аналитически удается рассмотреть влияние турбулентной и молекулярной диффузии лишь «по отдельности».
Известно [5], что на начальных этапах развития диффузии действие молекулярной диффузии пренебрежимо мало. С учетом этого в работах [6, 7] выведены и проанализированы уравнения для средней плотности и концентрации пассивной примеси. Из результатов этих работ следует, что гладкое вначале распределение примеси становится с течением времени все более пространственно изрезанным. Возникает динамика на все меньших и меньших масштабах, и пространственные градиенты плотности обостряются при наличии флуктуаций поля скоростей. При этом возможна локализация пассивной примеси, то есть образование квазирегулярных сгустков с
плотностью, многократно превышающей среднюю плотность примеси [8-11]. Локализация возникает как следствие хаотических сжатий среды. Однако данный результат был получен в рамках модели Крейчнана [12], согласно которой поле скоростей примеси дель-та-коррелировано во времени.
В реальных условиях такие процессы сглаживаются за счет действия молекулярной диффузии. Поэтому динамика поведения примеси, описанная в [6, 7], справедлива лишь на ограниченном интервале времени.
При учете молекулярной диффузии уже не удается получить замкнутого уравнения для одноточечной плотности вероятностей координат частиц примеси. В этом случае приходится прибегать к различным приближенным методам или к численному моделированию. По-видимому, одна из первых попыток численного моделирования влияния молекулярной диффузии на тонкую структуру поля примеси в потенциальных полях скорости предпринята в [13]. Кроме того, в [14] указывалось на возможность взаимного усиления молекулярной и турбулентной диффузии, однако не было проведено исследования, при каких соотношениях между параметрами задачи эффект может иметь место.
Цель настоящей работы - подробнее выяснить, как влияет молекулярная диффузия на коэффициент турбулентной диффузии. При этом учтем конечность времени корреляции гидродинамической составляющей скорости, т.е. откажемся от модели Крейчнана.
Постановка задачи
Рассмотрим безынерционную частицу плавучей пассивной примеси, переносимой потоком со случайной скоростью . Координа-
та х(7) = |х1 (¿),х2 (V)]- такой частицы подчиняется уравнению Ланжевена
(1)
где w[t) - случайный гауссов процесс, который отвечает за молекулярную диффузию. Считаем его дельта-коррелированным с коэффициентом диффузии D0:
{wa (f)wß (f + x)) = 2Do8aß8W (2)
(здесь 5aß - символ Кронекера).
Дисперсия координаты с учетом влияния молекулярной диффузии имеет вид
((x(f)- x(o))a(x(f)- х(о))^ = 2Deafp(Do )f.
Если поле скорости изотропно, то, как известно из [14], тензор эффективного коэффициента диффузии упрощается:
Dfp(Do ) = Def (Do Kß.
Вошедший сюда эффективный коэффициент диффузии в пространстве размерности d равен
<3)
Интегрируя (1) с начальным условием х(г = 0) = х(0), из(3) получаем
.. ад
=і №(х(і ^1 )+ ^))х ,лл
Л 0 (4)
х (г’(х(0),0) + й(о))^ Лі
В работе [15] на основании формулы (4) был сделан вывод, что молекулярная диффузия ослабляет действие турбулентной. Аргументация при этом такова: оценить эффективный коэффициент диффузии по порядку величины можно как
Б4 V2)х,
где т - время корреляции скорости. Поскольку молекулярная диффузия стремится «раскидать» частицы, тем самым уменьшая время т, то она уменьшает и коэффициент диффузии. Мы же будем судить об ослаблении или усилении диффузии по знаку разности
Бт (Бо) - (0) - (Бо) - Бо - (0) .
Поскольку при учете взаимного влияния молекулярной и турбулентной компонент аналитически провести усреднение в (4) не удается, в данной работе эффективный коэффициент
диффузии найден численным моделированием стохастических уравнений Ланжевена (1).
Алгоритм моделирования случайного поля скорости
Для учета конечного времени корреляции рассмотрим поле скорости с корреляционной функцией
(va (Х, fК (х', t')} = C(f - f'’|Kß(Х - Х0 >
где временной множитель С(?) выберем в виде C(t ) = e- f 1 т cos(rai). (5)
Для моделирования двумерного поля скорости с заданной корреляционной функцией используем функцию тока
Y(x, f) = Vo [^(f)coSko х)+ 4(f )sin(koх)] где ^(f) и ^(t) - независимые случайные гауссовы процессы с корреляционной функцией, равной C(t), k0 - волновой вектор с постоянным модулем и равномерно распределенным по углу случайным направлением. Корреляционная функция для у равна
(^(Х, t )v(o,o) = vCf )Jo (kor ), где J0 - функция Бесселя нулевого порядка,
r = yjx2 + x2 . Молекулярную составляющую поля скорости возьмем в виде винеровского процесса без сноса. Для моделирования поля скорости необходимо построить случайную функцию
£(f ) = ^(»At )^n, где n - целое число (разумеется, тот же алгоритм применяется и для моделирования процесса ^(f)). Будем считать процесс ^(f) гауссовым с корреляционной функцией, заданной выражением (5).
Пусть на интервале корреляции помещается p узлов сетки разбиения, тогда в качестве функции ^(nAf) будем рассматривать величину
р+И-1 г
5, =°51 '}12,
(6)
где задаются численно выборкой из последовательности псевдослучайных независимых чисел с гауссовым распределением, С¡? ^ характеризует дискретные значения коэффициента корреляции процесса £(/), который задан формулой (5), ст^ - множитель, обеспечивающий нужное значение дисперсии процесса ).
I = П
Рис. 1. Функция корреляции одной из проекций скорости. Безразмерное время корреляции, выраженное в долях длины реализации М\ р=М15 (а); р=М110 (Ь); р=М1100 (с)
Рис. 2. Зависимость коэффициента турбулентной диффузии ВТ(Д0) = Ое(Д0) - Д0 от числа реализаций для коэффициента молекулярной диффузии (сверху вниз) Д0 = 0; 2.2*10'2; 4.4*10'2; 6.6*10'2; 8.8*10'2. Параметр ют = 0, к0 = 1
В [16, 17] отмечено, что такая функция является статистически однородной, причем ее корреляционная функция есть С(?). При этом корреляционная функция каждой конкретной реализации не обязательно совпадает с требуемым видом С(?), но усреднение по множеству реализаций всегда будет идентично С((). Сказанное подтверждает функция корреляции скорости, приведенная на рис. 1 для одной из проекций при трех значениях безразмерного времени корреляции р.
Результаты численного моделирования
Прежде всего, проверим предложенный выше алгоритм моделирования на тестовой задаче, решение которой известно, т.е. найдем коэффициент турбулентной диффузии ДТ в случае дельта-коррелированного поля скорости среды. Соответствующие результаты приведены на рис. 2: молекулярная диффузия с ростом коэффициента Д0 приводит к ослаблению диффузии, как это и должно быть в соответствии с выводами [9-11, 15]. Кроме того, данная задача дает полезную информацию относительно выбора числа реализаций, достаточного для усреднения
в формуле (4): из рис. 2 видно, что результат можно считать достоверным при числе реализаций, не меньшем 103.
Изучим теперь влияние времени корреляции
т, для чего построим зависимость От (ют| ю = 1) при значениях Д0 = 0 и Д0 = 8.8^10"3 . Как следует из рис. 3, при значении ют = 2 качественно меняется характер диффузии: коэффициент
турбулентной диффузии становится больше, чем в отсутствие молекулярной составляющей. Кроме того, с ростом времени корреляции турбулентная диффузия усиливается. Исходя из этого, в дальнейшем исследуем взаимовлияние молекулярной и турбулентной диффузии именно при ют = 2.
На рис. 4 показана зависимость коэффициента турбулентной диффузии ДТ(Д0) = Де(Д0) - Д0 от числа реализаций при волновом векторе к0 = 1 и параметре р = Ы/10 (напомним, что в соответствии с (6) р отвечает за безразмерный временной масштаб корреляции). Видно, что результат противоположен приведенному на рис. 2: при ненулевом времени корреляции происходит нарастание коэффициента диффузии с ростом Д0. Влияние времени корреляции в широком
0.12
Рис. 3. Зависимость коэффициента турбулентной диффузии Д(ют) при значениях Д0 = 0 (а) и Д0 = 8.810 3 (Ь) . Параметр ю=1, к0=1
0.04
-0.02 -
-0 04 _____•_______I______I_____I______I_____|_______I_____I______I______I
0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
число реализаций
Рис. 4. Зависимость коэффициента турбулентной диффузии ДТ(Д0) = Де(Д0) — Д0 от числа реализаций для коэффициента молекулярной диффузии (снизу вверх) Д0 = 0; 2.2*10'2; 4.4*10'2; 6.6*10'2; 8.8*10'2. Параметр ют = 2, безразмерное время корреляции р = М10, к0 = 1
диапазоне значений О0 можно проследить и на рис. 5, который построен для вдвое большего, чем на рис. 2, значения параметра р.
Наконец, исследуем влияние пространственного радиуса корреляции поля скорости, для чего проведем моделирование при значении к0 = 2. Соответствующие результаты представлены на рис. 6. Из сопоставления рис. 4 и 6 видно, что с увеличением к0 (следовательно, с уменьшением пространственного радиуса корреляции поля скорости) коэффициент турбулентной диффузии заметно увеличивается, что можно объяснить появлением менее протяженных «медленных» участков траекторий.
Обсуждение результатов
Итак, результаты численного моделирования показали, что молекулярная диффузия может не
только ослаблять, но и усиливать турбулентную. Для того чтобы эффект усиления диффузии проявился, необходимо, чтобы скорость не была дельта-коррелированной, и, кроме того, надо, чтобы функция корреляции скорости была осциллирующей. Это дает участки антикорреляции, которые замедляют диффузию (уменьшают коэффициент диффузии). Но молекулярная диффузия действует «как обычно»: она выталкивает частицы из таких областей, тем самым ослабляя захватывающее действие «медленных» участков траекторий.
При малых временах корреляции и в пренебрежении взаимовлиянием молекулярной и турбулентной диффузии (т.е. отбрасывая слагаемые вида ), результат можно объяснить аналитически. Для этого разложим в ряд правую часть формулы (4), тогда с учетом (2) получим:
Рис. 5. То же, что на рис. 4, прир = N/5
число реализации
Рис. 6. То же, что на рис. 4, при к0 = 2
- В0 * I
а
| (у(х, t)у(о, t)а -
(7)
Наибольший интерес для нас представляет именно второе слагаемое. Его знак определяется знаком интеграла
и при нашем выборе функции С(?) может стать отрицательным. В этом случае из (7) следует возможность усиления турбулентной диффузии. В качестве примера на рис. 7 показана зависимость 1(т) при ю = 1, из которой видно, что эффект усиления возможен начиная с ют = 1 и должен достигать максимума при ют = 2. С ростом параметра к0 эффект проявляется сильнее,
так как в этом случае области антикорреляции становятся менее протяженными и молекулярной диффузии «проще вытолкнуть» частицы из них. Однако с ростом т равенство (7) становится всё менее точным, в этом случае возможно лишь численное решение задачи. Проведенное в работе численное моделирование показало, что увеличение т приводит к усилению взаимного влияния, то есть росту Д .
Заключение
Подведем кратко основные итоги работы.
1. Экспериментально установлен эффект усиления турбулентной диффузии в присутствии молекулярной.
2. Для существования эффекта необходимо, чтобы функция корреляции поля скорости была осциллирующей в пространстве и не дельта-коррелированной во времени.
О
0
о
0
о
Рис. 7. Зависимость, иллюстрирующая возможность взаимного усиления диффузии: усиление проявляется, если I < 0
3. Эффект проявляется тем сильнее, чем меньше пространственный радиус корреляции поля скорости и чем больше время корреляции.
Работа выполнена при частичной поддержке гранта «Ведущие научные школы» НШ-3700.2010.2.
Список литературы
1. Csanady G.T. Turbulent diffusion in the environment. D. Reidel Publ. Comp., 1980. 250 p.
2. Okubo А. Diffusion and ecological problems: Mathematical models // Biomathematics. Vol. 10. Berlin: Springer-Verlag, 1990.
3. Кляцкин В.И. Статистическое описание диффузии пассивной примеси в случайном поле скоростей // УФН. 1994. Т. 164. № 5. С. 531-544.
4. Careta A., Sagues F., Ramirez-Piscina L., Sancho J.M. Effective diffusion in a stochastic velocity field // J. Stat. Phys.1993. Vol. 71. № 1/2. P. 235-242.
5. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения. Т. 2. М.: Физматлит, 2008. 342 с.
6. Кляцкин В.И., Woyczynski W.A. Флуктуации пассивной примеси с ненулевым средним градиента концентрации в случайном поле скоростей // ЖЭТФ. 1995. Т. 108. № 4. C. 1403-1410.
7. Кляцкин В.И. Кластеризация и диффузия частиц и плотности пассивной примеси в случайных гидродинамических потоках // УФН. 2003. Т. 173. № 7. C. 689-710.
8. Кляцкин В.И., Саичев А.И. К статистической теории плавучей примеси в случайном поле скоростей // ЖЭТФ. 1997. Т. 111. № 4. C. 1297-1313.
9. Saichev A.I., Zhukova I.S. The arising and evolution of the passive tracer clusters in compressible random media // Lecture Notes in Physics. Vol. 511. NY: Springer-Verlag, 1998. P. 353-371.
10. Грибова Е.З., Жукова И.С., Саичев А.И., Woyczynski W.A. Относительная молекулярная диффузия // Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т. 43. № 5. С. 456-467.
11. Жукова И.С., Саичев А.И. Свойства сгустков примеси в турбулентной среде // ПММ. 2004. Т. 68. Вып. 2. С. 339-347.
12. Kraichnan R.H. Anomalous scaling of a randomly advected passive scalar // Phys. Rev. Lett. 1994. V. 72. P. 1016-1019.
13. Кошель К.В., Александрова О.В. Некоторые результаты численного моделирования диффузии пассивной примеси в случайном поле скоростей // Изв. АН. Физ. атмосферы и океана. 1999. Т. 35. № 5. С. 638-648.
14. Mazzino A., Vergassola M. Interference between turbulent and molecular diffusion // Europhys. Lett. 1997. V. 37. № 8. P. 535-540.
15. Saffman P.G. On the effect of the molecular dif-fusivity in turbulent diffusion // J. Fluid Mech. 1960. V. 8. P. 273-283.
16. Непп Д.Л. Расчет временных характеристик стохастических волн методом фазовых экранов // ТИИЭР. 1983. Т. 71. № 6. С. 40-58.
17. Грибова Е.З., Саичев А.И. Расчет характеристик многолучевого распространения волн в случайной среде методом фазовых экранов // РЭ. 1994. Т. 39. № 2. С. 193-199.
ON THE ANALYSIS OF INTERFERENCE BETWEEN TURBULENT AND MOLECULAR DIFFUSION
E.Z. Gribova, D.V. Shkabenkov
The effective turbulent diffusion coefficient is obtained taking into account the Brownian motion (molecular diffusion) by numerical simulation of stochastic equations. The conditions of diffusion enhancement are formulated and an explanation of this effect is given.
Keywords: turbulence, molecular diffusion, diffusivity, correlation time, correlation radius.
