CC BY
181
Примечания
1. Епишева О. Б. Деятельностный подход как теоретическая основа проектирования методической системы обучения математике: автореф. дис. ... д-ра пед. наук: 13.00.02; Тобол. гос. пед. ин-т им. Д. И. Менделеева. М., 1999.
2. Гусев В. А. Методические основы дифференцированного обучения математике в средней школе: дис. ... д-ра пед. наук. М.: 1990; Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утвержден приказом Министерства образования и науки Российской Федерации от «17» декабря 2010 г. № 1897); Тестов В. А. Переход к новой образовательной парадигме в условиях сетевого пространства // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2012. № 4(1). С. 5056; Мартиросян А. П. Теоретико-методические основы информатизации математического образования: автореф. дис. ... д-ра пед. наук. М., 2010; Указ Президента РФ В. В. Путина «О мерах по реализации государственной политики в области образования и науки» от 7 мая 2012 г.; Аевченко И. В. Предпосылки и особенности фундаментализации образования на современном этапе. иИЬ: http://www.mgpu.ru/ download.php?id=17051 [дата обращения: 09.02.2013]; Берулава Н. М. Гуманизация образования: направления и проблемы // Педагогика. 1996. № 4. С. 32-34; Миракова Т. Н. Гуманитаризация школьного математического образования (методология, теория и практика). М.: ИОСО РАО, 2000.
3. Российская педагогическая энциклопедия. М.: Научное общество, 1993. Т. 1. С. 359.
4. Унт И. Э. Индивидуализация и дифференциация обучения. М.: Педагогика, 1990.
5. Сластенин В. А., Исаев И. Ф., Шиянов Е. Н. Педагогика / учеб. пособие для студ. высш. пед. учеб. завед.; под ред. В. А. Сластенина. М.: Изд. центр «Академия», 2002.
6. иИЬ: http://www.rg.ru/2011/09/20/
obrazovanie.html
7. Козлова Е. В. Подготовка учащихся основной школы к итоговой аттестации по математике в современных условиях // Физико-математическое образование в школе и вузе: проблемы и перспективы: сб. ст. по материалам Всерос. науч.-практ. конф. преподавателей, аспирантов, магистрантов и учителей / под ред. Е. Н. Перевощиковой. Н. Новгород: НГПУ им. К. Минина, 2013. С. 149-153.
8. Кондаурова И. К. Избранные главы теории и методики обучения математике: дополнительное математическое образование школьников: учеб.-метод. пособие. Саратов: ИЦ «Наука», 2010.
9. Бим-Бад Б. М. Педагогический энциклопедический словарь. М., 2002. С. 125.
УДК 51
В. И. Варанкина, Е. М. Вечтомов
ИЗУЧЕНИЕ ТЕОРИИ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
В статье представлены исходные понятия, центральные результаты, методика изучения метрических пространств. Изложение сопровождается примерами и упражнениями.
Initial concepts, the main results, technique of studying of metric spaces are presented in the article. The statement is accompanied by examples and exercises.
Ключевые слова: расстояние, метрика, метрическое пространство, изометрия, непрерывная функция, топология, методика изучения.
Keywords: distance, metric, metric space, isometry, continuous function, topology, methods of study.
1. Историко-методологическое введение
В конце XIX — начале XX в. произошла коренная перестройка оснований математики — в сторону строгого понятийного аппарата и безупречной логики рассуждений. К этому периоду был накоплен огромный математический материал, связанный с классическим анализом и геометрией, с теорией чисел и линейной алгеброй. Стремительно обогащалось само математическое знание: рождались новые подходы, теории и методы. Немецкие математики Карл Вейерштрасс (1815-1897), Георг Кантор (1848-1918) и Рихард Дедекинд (1831-1916) заложили современные основы математического анализа: обосновали теорию действительных чисел, построили строгую теорию предельного перехода на «языке £ — * ». На этой почве возникла и стала активно развиваться теория функций действительного переменного, главным образом, усилиями французских математиков Эмиля Бореля (1871-1956), Рене Бэра (1874-1935), Анри Лебега (1875-1941). Теория функций включала и исследование различных множеств (пространств) функций.
В конце XIX в. осуществлена арифметизация математики - построение всей классической математики на числовой основе. Было окончательно осознано, что математика - точная дедуктивная наука, в которой одни теоремы и понятия выводятся и определяются из других (теорем, аксиом) и через другие (первичные понятия) соответственно. В этом заключается аксиоматический метод. Арифметизация должна начинаться с аксиоматизации натуральных чисел, что было сделано итальянским математиком Джузеппе
© Варанкина В. И., Вечтомов Е. М., 2013
Пеано (1858-1932) в 1889 г. (см. [1]). Необходимость аксиоматизации основ математики проявилась на рубеже Х1Х-ХХ вв. в связи с возникшими парадоксами (противоречиями) в логике и теории множеств, вызванными неконтролируемым употреблением общих понятий. Немецкий математик и логик Давид Гильберт (1862-1943) завершил аксиоматизацию евклидовой геометрии в своих знаменитых «Основаниях геометрии» 1899 г., классической моделью которой служит система троек действительных чисел.
Созданная Кантором теория множеств прекрасно подходила в качестве универсального языка для выделения, определения и изучения абстрактных математических структур. Теория множеств аксиоматизирована немецким математиком Эрнстом Цермело (1871-1953) в 1904-1908 гг. В 1922 г. она была усовершенствована немецким (впоследствии израильским) математиком Абрахамом Френкелем (1891-1965). В настоящее время основополагающая аксиоматика Цермело -Френкеля теории множеств (система 7Б) является наиболее распространенной в математике (см.
[2]). В 20-е гг. XX в. исследования по логическому обоснованию математики выполнил Гильберт, они отражены в фундаментальном труде «Основания математики» 1934 г. [3]
В этот же период происходит становление абстрактной алгебры, берущей начало, в частности, в работах Гильберта (теоремы Гильберта о базисе и о нулях), даются современные определения группы, полугруппы, кольца, поля, решетки и т. д., доказываются первые теоремы о строении алгебраических структур. Общеалгебраические исследования подытожены в монографии голландского математика Ван дер Вардена (1903-1996) «Современная алгебра» 1931 г. (см. [4]).
В 1937 г. создается группа молодых французских математиков, работающих под псевдонимом Никола Бурбаки. С 1939 г. ими издано около 40 томов «Элементов математики», в которых на основе теории множеств строго и последовательно аксиоматически излагаются абстрактная алгебра, общая топология, топологические векторные пространства, общая теория меры и интеграла и т. д. Бурбаки предприняли грандиозную попытку (отчасти осуществленную) обозреть все основные математические теории с единых методологических позиций - с точки зрения формального аксиоматического подхода. По Бурбаки, «математика есть доказательство». Они выделили три типа абстрактных математических структур: алгебраический, порядковый и топологический. Эти моноструктуры, взаимодействуя и переплетаясь между собой, отражают и порождают все многоцве-тие математических объектов. Философско-математические взгляды Бурбаки сформулированы в
их программной статье «Архитектура математики» 1948 г. (см. [5, с. 245-259]).
Термины число и пространство широко употребительны. В математической деятельности обычно понятие числа носит арифметико-алгебраический характер, а понятие пространства имеет геометро-топологический оттенок. В различных метрических геометриях (скажем, в евклидовой геометрии) эти категории тесно взаимодействуют. В философском смысле под пространством понимается некое вместилище каких-либо вещей, связанных определенными структурными отношениями. Сами пространства многолики: векторное, евклидово, аффинное, проективное, Лобачевского, риманово, гильбертово, банахово, метрическое, топологическое, пространство событий и т. д. В математике к сонму пространств относятся также различные многообразия: алгебраические, топологические, дифференциальные и т. п.
Метрическое пространство - это разновидность пространства: абстрактная структура, представляющая собой множество с заданной на нем метрикой. Понятие метрики обобщает и аксиоматизирует понятие расстояния между точками обычного трехмерного пространства. Понятие метрического пространства и сопутствующий термин полуметрика были введены французским математиком Морисом Фреше (1878-1973) в 1906 г. [6] Сами термины метрика и метрическое пространство впервые появились в книге немецкого математика Феликса Хаусдорфа (1868— 1942) «Основы теории множеств» в 1914 г. [7] Хаусдорф ввел в рассмотрение понятие отделимого топологического пространства, получившего в дальнейшем название хаусдорфова пространства. Тем самым было положено начало новой математической науке - общей топологии. Метрическая структура является предшественницей топологической структуры и важнейшей ее классической составляющей.
Подробности исторического характера можно найти у Бурбаки [8].
Введем исходные понятия.
Определение 1. Метрическим пространством называется произвольная пара {X, р), состоящая из непустого множества X и отображения р: ХхХ 6 И+, сопоставляющего каждой упорядоченной паре (х, у) элементов множества X неотрицательное действительное число р(х, у) так, что выполняются следующие три аксиомы (Ух, у, 2 е X):
1) р(х, у) = 0 ] х = у - аксиома тождества;
2) р(х, у) = р(у, х) - сим-м-етричность;
3) р(х, £) < р(х, у) + р(у, 2) - неравенство треугольника.
В теории метрических пространств успешно используется геометрическая терминология, хорошо согласующаяся с нашими наглядными пред-
ставлениями и ассоциациями. Для метрического пространства {X, р) элементы х е X называются точками этого пространства, отображение р -метрикой пространства, а число р(х, у) - расстоянием между его точками х и у. В понятии метрического пространства соединяются и сочетаются обобщенные геометрические образы с идеей их численного измерения. Метрические свойства (инварианты) суть те свойства метрических пространств, которые сохраняются при изометриях.
Определение 2. Изом.етрией метрических пространств {X, р) и {У, о) называется любая биекция / множества X на множество У, сохраняющая расстояния между точками:
Ух, у е X о(/(х), /(у)) = р(х, у).
Два метрических пространства называются изометричными, если между ними существует изометрия.
Легко видеть, что на классе всевозможных метрических пространств отношение изометрич-ности служит отношением эквивалентности. Изо-метричные метрические пространства имеют одни и те же абстрактные метрические свойства. В геометрии преобразования произвольного евклидова пространства, являющиеся изометриями, называют движениями. Группа всех движений трехмерного евклидова пространства характеризует евклидову геометрию - в духе Эрланген-ской программы немецкого математика и педагога Феликса Клейна (1849-1925).
Большой и интересный материал по толкованию и применению терминологии теории метрических пространств (расстояние, мера, метрика и близкие к ним) систематизирован в «Энциклопедическом словаре расстояний» 2008 г. [9]
В данной работе мы продолжаем тему изучения фундаментальных математических структур, начатую в [10]. Предварительно методика изучения метрических пространств затрагивалась нами в [11]. Предлагается естественная методика изложения материала, неоднократно апробированная авторами. Методика включает в себя: отбор основных понятий, примеров и фактов; последовательность развертывания содержания; систему учебных упражнений. Изучение теории метрических пространств предшествует изучению топологических пространств, служит пропедевтикой освоения и овладения топологической структурой.
2. О методике изучения
Раздел «Метрические пространства» входит в программу обучения студентов всех специальностей, направлений подготовки и профилей, так или иначе связанных с профессией математика. Они образуют один из важнейших классов абстрактных пространств, изучаемых в вузе. В частности, элементы теории метрических пространств
изучаются студентами-математиками в курсе теории функций действительного переменного.
Теория метрических пространств (наряду с теорией векторных пространств, теорией групп и др.) служит образцом теорий, являющихся результатом обобщения, абстрагирования и формализации. Понятие метрического пространства возникло в результате вычленения и обобщения известных топологических свойств числовой прямой И. Поэтому и в процессе преподавания этого раздела необходимо опираться на представления студентов о расстоянии, почерпнутые ими из элементарной математики. Но поскольку общее математическое понятие расстояния значительно шире этих представлений, то интуиция не всегда дает верные результаты. Именно здесь очень отчетливо проявляется воспитывающий эффект математики, демонстрирующий необходимость строгих доказательств. Важно показать студентам, что не все факты при таком обобщении переносятся с И или И2 на произвольное метрическое пространство. С этой точки зрения полезным примером является метрическое пространство {X, р), где X - произвольное непустое неодноэлементное множество, а метрика р тривиальна:
Го, если х = у,
РОк.дОЧ ,
[1, если ХФу
Это пространство является источником многих метрических задач, которые наглядны и несложны для восприятия. Например, от студентов приходится слышать: если множество замкнуто (открыто), то оно не открыто (не замкнуто). Действительно, на числовой прямой любое непустое собственное подмножество обладает таким свойством (И связно). Но в метрическом пространстве с тривиальной метрикой любое множество является одновременно открытым и замкнутым. Также неверным оказывается такое интуитивное убеждение студентов, что метрика принимает все неотрицательные значения. Тривиальная метрика принимает всего два числовых значения: 0 и 1. В пространстве И2 замыкание Е-окре-стности точки равно замкнутому шару с теми же центром и радиусом. В произвольном метрическом пространстве всегда верно лишь включение замыкания е-окрестности точки в замкнутый шар: соответствующим примером опять служит метрическое пространство с тривиальной метрикой. Кроме того, всякая сходящаяся последовательность в нем является стационарной (с некоторого места). Метрические пространства с тривиальной метрикой являются полными и несвязными (дискретными); для них компактность равносильна конечности и т. д.
Методика изучения метрической структуры включает в себя следующие этапы:
1. Пропедевтика на элементарном геометрическом материале.
2. Историко-методологические аспекты.
3. Исходные определения и терминология.
4. Разнообразные примеры.
5. Доказательство простейших свойств.
6. Логико-математический анализ понятия метрического пространства (независимость аксиом, понятия псевдометрики и ультраметрики, конечные пространства).
7. Элементы общей теории (изометрия, сходимость, непрерывность, ограниченность, полнота и др.).
8. Топологические свойства.
9. Применения (в математическом анализе, многомерной геометрии, функциональном анализе, дискретной математике, в приложениях математики).
10. Система учебных и развивающих упражнений.
11. НИРС по теории метрических пространств.
Для изучения теории метрических пространств
можно использовать литературу [12], а для первоначального знакомства [13].
3. Изложение теории метрических пространств
3.1. Исходные понятия. Пусть {X, р) - произвольное метрическое пространство. Множество Ц,(х0) = {х е X: р(х, х0)< г}, г > 0, называется открытым шаром в X с центром в точке х0 и радиусом г. Если в определении открытого шара строгое неравенство заменить нестрогим, то получим определение замкнутого шара У,(х0). Подмножество метрического пространства называется открытым, если оно является объединением некоторого семейства открытых шаров. Дополнения до открытых множеств называются замкнутыми множествами. Ясно, что одноточечные множества замкнуты (почему?).
Важнейшую роль в теории метрических пространств играют различные отображения метрических пространств, сохраняющие расстояние между точками или непрерывные, в том числе изометрии и гомеоморфизмы.
Определения 3. Отображение /: {X, р) 6 {X, о) метрических пространств называется непрерывным в точке х0 е X, если для любого е > 0 существует такое б > 0, что р(х, х0)< б влечет о(/(х), /(х0))< е для любых х е X. Если отображение / непрерывно во всех точках пространства X, то его называют просто непрерывным отображением. Отображение /: {X, р) 6 {X, о) называется равномерно непрерывным, если для любого е > 0 найдется такое б > 0, что р(х, у)< б влечет о(/(х), /(у))< Е для всех х, у е X.
Упражнение 1. Докажите, что равномерно непрерывные отображения метрических пространств непрерывны. Покажите на примере, что обратное неверно.
Упражнение 2. Докажите, что непрерывность отображения /: X 6 У метрических пространств равносильна тому, что прообраз /-1(Ц) любого открытого (замкнутого) множества и с У открыт (соответственно, замкнут) в X.
Упражнение 3. Покажите, что в определении 2 отображение / можно считать сюръективным (отображением «на»). Обратное отображение /-1 также будет изометрией. Почему?
Определения 4. Последовательность (хп) точек хп метрического пространства {X, р) называется сходящейся к точке х0 е X, если г(хп, х0) 6 0 при п 6 4. При этом точка х0 называется пределом последовательности (хп), что обозначается обычным образом: х0 = Пт х . Последовательность (хп) называется фундаментальной, если г(х , х ) 6 0 при т, п 6 4.
\ т п' 17
Упражнение 4. Может ли последовательность точек метрического пространства иметь более одного предела?
Упражнение 5. Докажите, что любая сходящаяся последовательность в метрическом пространстве будет фундаментальной. Верно ли обратное?
Упражнение 6. Покажите, что отображение /: X 6 У метрических пространств непрерывно в точке х0 е X ] /(х0) = Пт /(хп) в У, если х0 = Пт х в X.
п
Упражнение 7. Докажите, что для замкнутости подмножества А метрического пространства X необходимо и достаточно, чтобы предел всякой сходящейся последовательности точек хп е А также принадлежал А.
3.2. Основные примеры
1. {И, р), где р(х, у) = |х-у|.
2. {Ип, р), где р(х, у) = ((х1-у1)2+(х2-у2)2+...+(хп-уп)2)1/2 для любых числовых п-ок х = (хр х2,..., хп) и у = (у1, у2,-.., уп) (евклидова метрика).
3. На числовой прямой И определим другую метрику по формуле: р(х, у) = | х - у|/(1 + | х -у|). Выясните, какие значения она принимает?
4. {С, р), где С - множество всех непрерывных действительнозначных функций, определен-
1
ных на единичном отрезке [0, 1], и р(/, £) =
о
при любых /, £ е С.
5. На множестве С важную роль играет метрика равномерной сходимости: р(/, £) = sup{[/(x) -£(х)|: х е [0, 1]} для всех /, £ е С.
6. Метрические пространства{X, р) с тривиальной метрикой р.
7. Пусть X - множество всех слов в непустом алфавите А. Расстоянием р(и, V) между словами
и, V е X называется число мест, на которых в словах и и V стоят разные буквы из А. Например, если А = {а, Ь, с}, и = ЬЬасеаЬ, V = аЬсса, то р(и, V) = 5. Получаем метрическое пространство {X, р), метрика которого называется расстояни-
ем Хэмминга - по имени американского математика Ричарда Хэмминга (1915-1998). Это понятие играет существенную роль в теории кодирования.
8. Расстояние на графах «с весами». Возьмем любой конечный неориентированный граф X без петель, каждому ребру которого присвоено положительное число - его вес. Рассмотрим две его вершины х, у. Каждый путь из вершины х в вершину у имеет вес - сумму весов составляющих его ребер. Положим: р(х, у) - это наименьший вес путей графа из х в у и р(х, х) = 0 для любых х, у е X. В результате получаем важный пример метрического пространства.
Упражнение 8. Проверьте, что в приведенных примерах рассматриваемая функция р удовлетворяет аксиомам метрики.
3.3. Логико-математический анализ понятия метрики
Покажем, что аксиомы метрического пространства 1)-3) независимы друг от друга. Для этого достаточно построить три соответствующие модели {X, р), в каждой из которых выполняются ровно две аксиомы из трех.
Модель 1. Пусть X = {а, Ь, с}, р(а, Ь) = 1, р(а, с) = 2, р(Ь, с) = 4, остальные расстояния между точками удовлетворяют аксиомам 1) и 2) определения 1. Тогда не выполняется только аксиома треугольника.
Модель 2. Если X = {а, Ь}, р(а, Ь) = 2, р(Ь, а) =
3, р(а, а) = р(Ь, Ь) = 0, то не выполняется только аксиома 2) определения 1.
Модель 3. Если же X = {а} и р(а, а) = 1, то не выполняется лишь аксиома 1) определения метрического пространства.
Упражнение 9. Приведите свои примеры-модели для обоснования независимости аксиом метрического пространства.
Упражнение 10. Если аксиому 1) определения
1 расписать как две: р(х, х) = 0; р(х, у) = 0 ^ х = у (Ух, у е X), то получим четыре аксиомы. Докажите их независимость.
Упражнение 11. Докажите, что в любом метрическом пространстве {X, р) справедливо неравенство | р (а, Ь) - р(Ь, с)| < р(а, с) при любых а, Ь, с е X.
Если в определении 1 аксиому тождества заменить более слабым условием р(х, х) = 0, то получим понятие псевдометрического пространства. При этом терминология остается прежней.
Упражнение 12. Докажите, что на псевдомет-рическом пространстве {X, р) отношение «близости» ~ между его точками х и у, означающее р(х, у) = 0, является эквивалентностью на X, причем фактор-множество X/- естественным образом наделяется структурой метрического пространства. Соответствующее каноническое отображение в: X 6 X/-, переводящее каждую точ-
ку х е X в ее класс эквивалентности [х]~, будет сюръекцией, сохраняющей расстояния.
Рассмотрим теперь иную аксиоматику метрических пространств [14].
Будем считать, что для пары {X, р), где р: X х X 6 И, наряду с аксиомой 1) выполняется модифицированное неравенство треугольника
4) р (у, 2) < р (х, у) + р (х, 2).
Ясно, что условие 4) вытекает из определения 1. Покажем, что из условий 1) и 4) следует неотрицательность и симметричность отображения р. При у = 2 из 4) и 1) следует 2р(х, у) > р(у, у) = 0, т. е. всегда р(х, у) > 0. А при х = 2 из 4) и 1) получаем р(у, х) < р(х, у) для любых х, у е X, что дает аксиому 2).
В некоторых разделах современной математики (теория чисел, р-адический анализ) важную роль играют ультраметрические пространства.
Определение 5. Метрическое пространство {X, р) называется ультрам,етрическим, если в определении 1 неравенство треугольника заменено более сильным условием
5) р(х, 2) < тах(р(х, у), р(у, 2)).
Метрика р на множестве X, удовлетворяющая аксиоме 5), называется ультрам,етрикой.
Пример 9. Пусть р - фиксированное простое число и метрика р на Q определена следующим образом. Каждое рациональное число а можно однозначно записать в виде а = р*Ь, где к - целое число, числитель и знаменатель несократимой дроби Ь не делятся на р. Для числа а определяется р-адическая норма п(а) = 1/рк. Тогда на Q получаем соответствующую р-адическую м.етри-ку р(х, у) = п(х-у). В ней, например, Пт рР = 0 при к 6 4. О р-адических числах читайте в [15].
Упражнение 13. Убедитесь, что р-адическая метрика на Q является ультраметрикой.
Ультраметрические пространства обладают многими необычными геометрическими свойствами.
Теорема 1. Для произвольного метрического пространства {X, р) эквивалентны следующие утверждения:
(1) р - ультрам-етрика;
(2) любой треугольник в X является равнобедренным - по большей стороне;
(3) если два шара в X пересекаются, то один из них содержится в другом,.
Доказательство. (1) ^ (2). Пусть {X, р) - уль-траметрическое пространство. Треугольником называется любое семейство из трех точек х, у, 2 пространства X. Точки могут и совпадать, тогда треугольник будет вырожденным. Рассмотрим расстояния между этими точками: р(х, у), р(х, 2) и р(у, 2). Можно предположить для определенности, что число р(х, 2) не меньше каждого из остальных двух чисел. Тогда из неравенства 5) следует, что одно из расстояний р(х, у) или р(у,
2) равно р(х, 2). Значит, две большие «стороны»
данного треугольника равны между собой «по длине».
(2) ^ (3). Пусть выполнено условие и шары Ц.(х0) и и (у0), г < s, имеют общую точку 2. Покажем, что Ц.(х0) с и(у0). Имеем р(х0, 2)< р и (у0, 2) < 5, откуда р(х0, у0)< 5 в силу 2) и 5). Предположим от противного, что нашлась точка х е и (х0)\и (у0). Это значит, что р(х, х0)< р, но р(х, у0) > 5 > г. Тогда в треугольнике, образованном точками х0, у0 и х, длина р(х, у0) больше длин других его сторон, что противоречит утверждению (2).
(3) ^ (1). Пусть верно утверждение (3), но для некоторых точек х, у, 2 е X не выполняется неравенство 5). Это означает, что р(х, 2) > р(х, у) и р(х, 2) > р(у, 2). Положим р(х, 2) = г. Шары Ц.(х) и и(2) имеют общую точку у, поэтому один из них содержится в другом. Но тогда р(х, 2) < г, что невозможно.
Упражнение 14. В утверждении (3) теоремы 1 мы рассматривали открытые шары. Докажите, что в этом утверждении можно брать любые шары: оба замкнутых; один открытый, а другой замкнутый.
Заметим, что относительно р-адической нормы кольцо целых р-адических чисел компактно, а поле всех р-адических чисел локально компактно. В них сходимость числового ряда равносильна стремлению общего члена ряда к нулю. См. [16].
Упражнение 15. Когда набор из п(п-1)/2 (п е Ы) действительных чисел (натуральных чисел) является семейством расстояний между различными точками некоторого п-элементного метрического пространства?
Упражнение 16. Решите предыдущую задачу для ультраметрических пространств.
Упражнение 17. Докажите, что число к значений ультраметрики на п-элементном множестве удовлетворяет неравенствам 2 < к < п. Может ли к равняться любому натуральному числу от 2 до п?
Последние три упражнения можно отнести к учебно-исследовательским задачам.
3.4. Общая теория
Основы теории метрических пространств изложены в великолепном университетском учебнике [17]. В нем приведены критерии полноты и компактности для метрических пространств, принцип сжимающих отображений и т. д. Соответствующие примеры и контрпримеры можно найти в главе 12 книги [18].
Рассмотрим некоторые основные факты общей теории метрических пространств.
Определение 6. Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его точек является сходящейся.
Критерий полноты (теорема о вложенных шарах). Метрическое пространство будет пол-
ным тогда и только тогда, когда в нем каждая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к 0, им-еет непустое пересечение.
Упражнение 18. Докажите, что в предыдущем утверждении пересечение последовательности замкнутых шаров одноточечное.
Упражнение 19. Останется ли верной теорема о вложенных шарах, если в ее формулировке: вместо замкнутых шаров взять непустые замкнутые множества со стремящимися к нулю диаметрами - рассматривать произвольные последовательности вложенных друг в друга замкнутых шаров?
Упражнение 20. Покажите, что полнота подпространства полного метрического равносильна его замкнутости.
Определение 7. Отображение / метрического пространства {X, р) в себя называется сжим.аю-щим, если найдется такое положительное число с < 1, что р(/(х), /(у)) < ср(х, у) для всех точек х, у е X.
Упражнение 21. Обязано ли сжимающее отображение быть непрерывным? Равномерно непрерывным?
Принцип сжимающих (сжатых) отображений.
Каждое сжимающее отображение / любого полного м-етрического пространства {X, р) в себя им-еет единственную неподвижную точку, т. е. существует и единственна точка х0 е X, для которой /(х0) = х0.
Схема доказательства. Неподвижная точка х0 получается следующим образом. Берется произвольная точка х е X, и рассматриваются ее итерации: х! = /(xo), х2 = ..., хп+1 = /(х), ... .
Существует Пт хп в X, который и является неподвижной точкой сжимающего отображения /. Для доказательства единственности неподвижной точки достаточно заметить, что никакое отображение / метрического пространства {X, р) в себя, удовлетворяющее условию: р(/(х), /(у)) < р(х, у) для любых различных х, у е X, не может иметь более одной неподвижной точки. Почему?
Иллюстрация. Возьмем географическую карту любого региона России. Предположим, что ее уменьшенный экземпляр размещен на самой карте. Тогда эти карты совпадут точно в одной географической точке. В чем здесь дело?
Упражнение 22. Постройте сжимающее отображение метрического пространства [0, 1) с обычной метрикой в себя, не имеющее неподвижных точек.
Упражнение 23. Сформулируйте утверждение, обратное принципу сжимающих отображений. Будет ли оно теоремой?
Принцип сжимающих отображений, который открыл польский математик Стефан Банах (1892-1945) в 1920 г., имеет многочисленные при-
менения, в частности, в задачах на доказательство существования и единственности решения различных уравнений вида х = /(х). См. [19]. Заметим, что этот принцип принадлежит классу замечательных теорем о неподвижных точках [20].
Упражнение 24. Докажите, что всякое непрерывное или изотонное отображение произвольного числового отрезка [а, Ь] в себя имеет хотя бы одну неподвижную точку.
Определение 8. Метрическое пространство называется компактным (счетно-компактным), если в любом его покрытии (счетном покрытии) открытыми множества содержится конечное покрытие. Напомним, что семейство множеств называется покрытием множества X, если X содержится в объединении множеств данного семейства.
Утверждение о компактности числового отрезка [а, Ь] известно в математической литературе как лемма Гейне - Бореля. Отрезок [а, Ь] служит примером связного метрического пространства, т. е. он непредставим в виде объединения двух непустых открытых множеств с пустым пересечением.
Упражнение 25. Постарайтесь доказать компактность и связность произвольного числового отрезка. Укажем, что это можно сделать методом половинного деления.
Упражнение 26. Покажите, что в теореме о сжимающих отображениях сжимаемость /нельзя заменить более слабым условием: р(/(х), /(у)) < р(х, у) для любых х * у из X.
Упражнение 27. Если {X, р) - компактное метрическое пространство, то каждое отображение /: X 6 X с условием из предыдущего упражнения имеет ровно одно неподвижную точку.
Определения 9. Пусть {X, р) произвольное метрическое пространство. Его диам.етром называется d(X) = sup{р(x, у): х, у е X}. Если с^) -число, то пространство X называется ограниченным; если С^) = 4, то X называется неограниченным. Пространство X называется вполне ограниченным, если для любого положительного числа е существует конечное множество точек А с X, удовлетворяющее свойству: Ух е X >а е А р(х, а)< е.
Критерии компактности. Для любого м.етри-ческого пространства X эквивалентны следующие условия:
1) X компактно;
2) X счетно компактно;
3) X полное и вполне ограниченное.
Введем фундаментальное понятие пополнения
метрических пространств. Если метрическое пространство не является полным, то его некоторым каноническим образом можно вложить в полное метрическое пространство.
Определение 10. Полное метрическое пространство {X*, р*) называется пополнением метрического пространства {X, р), если X изомет-рично и плотно вложено в него.
Теорема о пополнении. Любое м.етрическое пространство {X, р) им-еет пополнение, единственное с точностью до изом-етрии над X.
Поясним последние определение и теорему. При соответствующем отождествлении можно считать, что X является подпространством в X*, т. е. X с X* и р* = р для точек из X (на X х X). При этом X плотно в X*, т. е. каждая точка из X* служит пределом некоторой последовательности точек из X. Если {У, о) еще одно пополнение {X, р), то существует изометрия X* на У, тождественная на исходном пространстве X.
Ясно, что метрическое пространство полно тогда и только тогда, когда оно совпадает со своим пополнением. Пополнением пространства Q всех рациональных чисел с обычной метрикой служит числовая прямая И, пополнением числового промежутка с концами а < Ь будет отрезок [а, Ь], а пополнением Q (2) с р-адичес-кой метрикой будет метрическое пространство всех р-адических чисел (всех целых р-адических чисел).
Пополнение {X*, р*) произвольного метрического пространства {X, р) строится методом фундаментальных последовательностей. В качестве X* берется множество всех классов [(хп)] эквивалентных фундаментальных последовательностей (хп) пополняемого пространства X. Напомним, что две фундаментальные последовательности (хп) и (уп) в X называются эквивалентными, если р(хп, уп) 6 0 при п 6 4. Эквивалентность
(хп) и (уп) равносильна равенству классов [(хп)] = [(уп)]. Если Нт хп = х0 е X, то [(хп)] отождествляется с самой точкой х0. Полагая р*([(хп)], [(уп)]) = Пт р(хп, уп) при п 6 4, получим искомое пополнение.
Конструкция пополнения метрических пространств является важнейшим инструментом исследования метрических пространств.
Упражнение 28. Докажите единственность пополнения метрического пространства.
3.5. Топологические свойства
Введем топологию на произвольном метрическом пространстве.
Определение 11. Множество всех открытых множеств метрического пространства {X, р), включая пустое множество 0, называется топологией на X. Обозначим ее т = О^).
Упражнение 29. Убедитесь, что объединение любого семейства открытых множеств и пересечение всякого конечного семейства открытых множеств метрического пространства открыты. Верны ли аналогичные утверждения для замкнутых множеств?
Определение 12. Топологическим пространством называется пара {X, т), где т - множество подмножеств множества X (топология), удовлетворяющее следующим условиям:
(1) 0, X е т;
(2) объединение любого непустого семейства множеств из т принадлежит т;
(3) пересечение любых двух множеств из т принадлежит т.
Мы отметили (упражнение 29), что произвольное метрическое пространство {X, р) будет и топологическим пространством {X, О^)).
Заметим, что разные метрики на множестве X могут порождать одну и ту же топологию. Такие метрики называются эквивалентными. Самый простой пример эквивалентных метрик на И: рг(х, у) = |х-у| и р2(х, у) = 2|х-у|.
Определение 13. Гомеоморфизмом метрических пространств {X, р) и {X, о) называется всякая биекция /: X 6 У, сохраняющая открытые множества в обе стороны, т. е.
А е О^) ] /(А) е О(У) для любого А с X.
Два метрических пространства называются гомеоморфными (говорят еще: эквивалентными), если между ними может быть установлен гомеоморфизм.
Упражнение 30. Проверьте, что биекция /: X 6 У метрических пространств является гомеоморфизмом ] отображения / и Д1 непрерывны.
Упражнение 31. Докажите, что метрическое пространство всех рациональных чисел из отрезка [0, 1], рассматриваемое с обычной метрикой, не гомеоморфно никакому полному метрическому пространству.
Свойства метрических пространств, инвариантные относительно гомеоморфизмов, называются их топологическими свойствами. Ясно, что изометрии любых двух метрических пространств будут и их гомеоморфизмами. Поэтому изометричные метрические пространства гомеоморфны. Значит топологические свойства метрических пространств являются их метрическими свойствами, но не наоборот.
Упражнение 32. Докажите, что непрерывные сюръективные отображения метрических пространств сохраняют такие их топологические свойства, как компактность и связность.
Если О^) совпадает с множеством всех подмножеств метрического пространства X, то пространство X называют дискретным. Свойство дискретности является топологическим свойством.
Упражнение 33. Любое конечное метрическое пространство дискретно. Убедитесь в этом. Значит, всякое п-элементное метрическое пространство гомеоморфно п-элементному метрическому пространству с тривиальной метрикой.
Упражнение 34. Покажите, что свойство полноты метрического пространства не является топологическим свойством.
Упражнение 35. Если для метрического пространства {X, р) положить о(х, у) = тт(р(х, у), 1) при любых х, у е X, то получим ограниченное метрическое пространство {X, о), открытые множества которого будут совпадать с открытыми множествами исходного пространства {X, р). Докажите это. Тем самым метрические пространства {X, р) и {X, о) гомеоморфны, но, вообще говоря, не изометричны. Когда они изометрич-ны?
И мы видим, что такие метрические свойства метрических пространств, как полнота, ограниченность и полная ограниченность, не являются топологическими свойствами: они сохраняются изометриями, но не гомеоморфизмами.
Топология О^) метрического пространства X относительно отношения включения открытых множеств служит важным примером полной дистрибутивной решетки. Любое непрерывное отображение /: X 6 У метрических пространств индуцирует полный гомоморфизм а(/) = /_1: О (У) ^ О^) решеток, т. е. отображение полных решеток, сохраняющее все точные верхние и нижние грани. См. [21].
Упражнение 36. Всякий полный гомоморфизм а: О(У) 6 О^) порождается некоторым однозначно определенным непрерывным отображением /: X 6 У метрических пространств, т. е. а = а(/). В частности, произвольный решеточный изоморфизм О(У) 6 О^) порождается гомеоморфизмом X 6 У. Докажите эти утверждения.
Пусть дана непрерывная функция /: {X, р) 6 И абстрактного метрического пространства X в И с обычной метрикой. Множество Z(/) = {х X: /(х) = 0} называется нуль-множеством функции /. Нуль-множеством на X называется нуль-множество любой непрерывной действительнозначной функции, определенной на метрическом пространстве X. Дополнения до нуль-множеств называются конуль-множествами. Очевидно, нульмножества на X являются замкнутыми множествами. Оказывается, что для метрических пространств верно и обратное.
Теорема 2. Любое замкнутое множество произвольного метрического пространства {X, р) является нуль-множеством на X.
Доказательство. Пусть дано непустое замкнутое подмножество А метрического пространства X. Зададим на X функцию расстояния й до множества А следующим образом: й(х) = тГ{р(х, а): а е А}. См. рисунок Докажем, что функция й: X 6 И равномерно непрерывна и А = Z(d).
Зафиксируем е > 0 и возьмем точки х, у е X, для которых р(х, у) < б = е. Рассмотрим неравенство 3) для произвольной точки 2 е X. Переходя в левой части неравенства к точной нижней грани по 2 е А, получим й(х) < р(х, у) + р(у, 2). А затем, переходя в правой части к точной ниж-
ней грани по 2 е А, получим й(х) < р(х, у)+й(у). Аналогично, с учетом симметричности метрики р получаем й(у) < р(х, у)+й(х). Следовательно, |й(х)-й(у)| < р(х, у)< е. Это доказывает равномерную непрерывность, а значит, и непрерывность функции й.
Наконец, проверим равенство А = Z(d). Ясно, что А с Z(d). Пусть й(х) = 0. Существует такая последовательность точек ап е А, что (ап, х) < 1/ 2п. Значит, (ап) ^ х при п ^ 4. Поскольку А замкнуто, то х е А на основании упражнения 7. Стало быть, и Z(d) с А.
Упражнение 37. Докажите, что для любых двух непересекающихся замкнутых множеств А и В произвольного метрического пространства X существует непрерывная функция /: X ^ [0, 1], для которой А = Z(f) и В = Z(1 - /). Такое неотъемлемое свойство метрических пространств называется совершенной нормальностью.
В общей теории топологических пространств условие совершенной нормальности выступает в качестве весьма сильной аксиомы отделимости.
Заметим, что многое из отмеченного выше верно и для псевдометрических пространств (см. [22, глава 4]).
Упражнение 38. Что именно верно, а что нет?
При изучении метрических пространств ма-гистрантами-математиками желательно познакомить их и с другими классическими фактами, к числу которых относятся: теорема Бэра, критерий сепарабельности, условия метризуемости топологического пространства и др.
Примечания
1. Вечтомов Е. М. Натуральный ряд // Математика в высшем образовании. 2012. № 10. С. 15-34.
2. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств / пер. с англ. М.: Мир, 1966.
3. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики / пер. с нем. М.: Наука, 1979. 558 с.; Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств / пер. с нем. М.: Наука, 1982.
4. Ван дер Варден Б. А. Алгебра / пер. с англ. М.: Наука, 1976.
5. Бурбаки Н. Очерки по истории математики / пер. с фр. М.: ИЛ, 1963.
6. Frnchet M. Sur quelques points de calcul fonctionnel // Rend. Circolo mat. V. 22. Palermo, 1906.
7. Хаусдорф Ф. Теория множеств / пер. с нем. М.: КомКнига, 2О06.
8. Бурбаки Н. Очерки по истории математики.
9. Деза Е. И., Деза М.-М. Энциклопедический словарь расстояний. М.: Наука, 2008.
10. Вечтомов Е. М. Основные структуры классической математики. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2007; Вечтомов Е. М. Изучение порядковой структуры // Вестник ВятГГУ. 2010. № 2(1). С. 111-120; Вечтомов Е. М., Чермных В. В. Изучение алгебраической структуры // Вестник ВятГГУ. 2012. № 1(3). С. 41-48.
11. Варанкина В. И. О методике преподавания теории метрических пространств // Материалы IV Все-рос. науч.-метод. конф. «Проблемы современного математического образования в вузах и школах России». Киров: Изд-во ВятГГУ, 2009. С. 76; Варанкина В. И., Вечтомов Е. М. К изучению метрических пространств // Материалы XXXI Всерос. семинара преподавателей математики ун-тов и пед. вузов. Тобольск: Изд-во ТГСПА, 2012. С. 64-66;
12. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977; Архангельский А. В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974; Бурбаки Н. Общая топология. Использование вещественных чисел в общей топологии. Функциональные пространства. Сводка результатов / пер. с фр. М.: Наука, 1975; Келли Дж. Общая топология / пер. с англ. М.: Наука, 1981; Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989; Куратовский К. Топология: в 2 т. / пер. с англ. М.: Мир, 1966. Т. 1; 1969. Т. 2; Энгелькинг Р. Общая топология / пер. с англ. М.: Мир, 1986.
13. Алимов Ш. А. Принцип сжатых отображений. М.: Знание, 1983; Антоновский М. Я., Архангельский А. В. Метрические пространства. М.: Знание, 1972; Метрика, Метрическое пространство, Пространство // Математическая энциклопедия. Т. 3. М.: Сов. эн-цикл., 1982. С. 658-659, 669-675; Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии / пер. с англ. М.: Мир, 1983; Стинрод Н, Чинн У. Указ. соч.
14. Коснёвски Ч. Начальный курс алгебраической топологии / пер. с англ. М.: Мир, 1983.
15. Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука, 1985.
16. Там же.
17. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.
18. Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе / пер. с англ. М.: Мир, 1967. 252 с.
19. Алимов Ш. А. Указ. соч.
20. Шашкин Ю. А. Неподвижные точки. М.: Наука, 1989.
21. Вечтомов Е. М. Вопросы определяемости топологических пространств алгебраическими системами непрерывных функций // Итоги науки и техн. ВИНИТИ. Алгебра. Топология. Геометрия. 1990. Т. 28. С. 3-46.
22. Келли Дж. Указ. соч.
