Изотермическое свободное деформирование узкой прямоугольной мембраны из анизотропного листового материала при кратковременной ползучести Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 539.374:621.983

С.Н. Ларин, канд. техн. наук, доц., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ),

А.В. Бессмертный, асп., (4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru (Россия, Тула, ТулГУ)

ИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ СВОБОДНОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ УЗКОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ МЕМБРАНЫ ИЗ АНИЗОТРОПНОГО ЛИСТОВОГО МАТЕРИАЛА ПРИ КРАТКОВРЕМЕННОЙ ПОЛЗУЧЕСТИ

Приведена математическая модель процесса изотермического свободного деформирования узкой прямоугольной мембраны из анизотропного листового материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости. Показано влияние анизотропии механических свойств материала, геометрических размеров заготовки и накопления повреждаемости на напряженное и деформированное состояние заготовки, силовые режимы и предельные возможности формообразования.

Ключевые слова: анизотропный материал, деформирование, пневмоформовка, кратковременная ползучесть, давление, температура, эквивалентное напряжение, толщина, мембрана.

Анализируется процесс изотермического свободного формоизменения длинной прямоугольной оболочки (мембраны), закрепленной вдоль большей стороны (рис. 1). Листовой материал принимается ортотропным с коэффициентами анизотропии Ях и Яу. Главные оси напряжений совпадают с главными осями анизотропии х, у, г.

Рис. 1. Расчетная схема деформирования

Допускается, что поведение материала подчиняется энергетической теории ползучести и повреждаемости, свойства которого при величине эквивалентного напряжения ае меньше некоторой величины аео, разде-

ляющей вязкое и вязкопластическое течение материала (ае <аео), вязкое течение материала описывается уравнениями [1, 2]

где В , п, т - константы материала, зависящие от температуры испытаний; Л^р - удельная работа разрушения при вязком течении материала; ю А - повреждаемость материала при вязкой деформации по энергетиче-

лы ориентации первой главной оси напряжений а относительно главных осей анизотропии х, у и г соответственно.

Величину ае , разделяющую вязкое и вязкопластическое течение,

назначают в зависимости от механических свойств материала при заданной температуре деформирования, чувствительности материала к деформационному упрочнению при соответствующей скорости деформации £,ео .

Примем, что направление длинных сторон заготовки совпадает с направлением прокатки (главной осью анизотропии х). Мембрана шириной 2а, толщиной И о нагружается давлением р, изменяющимся во вре-

п

мени по некоторому закону (рис. 1): р = ро + ар ? р , ро, ар , Пр - константы закона нагружения. Поскольку длина мембраны значительно превосходит ее ширину, то допускается, что процесс реализуется в условиях плоской деформации, т.е. £, х = о.

Вырезая из мембраны элемент и принимая напряжения равномерно распределенными по толщине, из условия равенства нулю суммы проекций сил, приложенных к элементу на нормаль г и касательную, получим

где о у - окружное напряжение; р - радиус кривизны срединной поверхности; И - толщина мембраны.

Из второго уравнения системы (2) имеем

Из соотношений (2) и (3) следует, что в случае равномерного давления (р = const) радиус кривизны срединной поверхности во всех ее точках один и тот же, т.е. срединная поверхность мембраны при ее деформи-

(1)

ской модели разрушения; АПр = D' (Ь0 + b{ cos а + b2 cos в + b3 cos у); D', b0, b1, b2, - экспериментальные константы материала; а, в, у - уг-

(2)

оyh = const.

(3)

ровании является частью поверхности кругового цилиндра с некоторым углом раствора 2а.

Радиальное напряжение, совпадающее по направлению с нормалью к срединной поверхности, для тонкой мембраны может быть приближенно принято равным нулю - о2 = Ор « 0, т.е. предполагаем, что реализуется

плоское напряженное состояние. Осевое напряжение в направлении длины мембраны определяем из условия £, x = 0, при этом а у = ,

а x = 1 (л и \

Щ + ^)

Эквивалентное напряжение

h ’ ' 1 + Rx\

3Rx

Ry + (1 + Rx )2 + RyRx

2(Rx + RxRy + Ry )

(5)

Скорость деформации ^ф определяем по формуле

>ф

Í ■ \ sin ф

- ctg а

(X . (6)

ЧФ sin а

Здесь ф - текущий угол между вертикальной осью симметрии заготовки и радиусом-вектором, определяющим положение точки на срединной поверхности оболочки в данный момент.

При деформации оболочки принимается, что на каждом этапе деформирования имеет место радиальное перемещение точки срединной поверхности относительно нового центра срединной поверхности в момент t + dt, т. е. в направлении ф + dф.

Используя условие несжимаемости £,ф+£,р + £,x = 0 и выражение (6), можно получить формулу для определения толщины оболочки

а sin ф^а

h = h0^^ е ао ф8Ш а , (7)

sin а о

где ho и а о - начальная толщина и угол на каждом этапе деформирования; 7 7 sin ф da

ф = ф о + аф , аф =------------------------------------------------------1-; ф о - начальный угол, характеризующий по-

sin а

ложение точки на каждом этапе деформирования.

Толщину оболочки в центральной точке срединной поверхности оболочки при ф = о в дальнейшем определяем по выражению

h = ^ cos2 а, о 2

а толщину оболочки в месте ее закрепления при ф = а - по формуле

, sin а

h = ho-----.

а

Эквивалентная скорость деформации вычисляется по выражению

46

£ Є = С

БІЙ ф

Ф бій а

- сі% а

а

(8)

где

Сі =

2{Кх + КхКу + Ку \Ку + (і + Кх )2 + КхКу )

л/З/^у (/у + Ку +1)

(9)

Подставим в первое из уравнений состояния материала (1) входящие величины ае, £,е получим

/ • Л

СіО "0 (і-шА )%" (бій а)"

р"йґ

V

БІЙ ф Ф бій а

- сі% а

йа

ВБ1" а"

(10)

где И определяется по формуле (7).

Повреждаемость может быть вычислена путем решения уравнения

со

ДСі ра

б1й аИА

Р

^ БІЙ ф

ЧФбій а

а

а

(іі)

совместно с уравнением (10).

В данном случае давление р равномерно распределено по поверхности оболочки, поэтому для определения его величины во времени достаточно рассмотреть случай, когда ф = 0. Кроме того, именно в этом направлении идет более интенсивное утонение толщины оболочки и накопление повреждаемости. При ф ^ 0 уравнения (10) и (11) преобразуются как

р"Л =

Сі<0 (і -шСА У к" (бій а)"

і

б1й а

- сі% а

йа

В Б" а"

йшСА =

БіС ра

б1й аИ Ас

р

Б1й а

- сі% а

йа.

(і2)

(іЗ)

Система уравнений (12) и (13) решается совместно методом итера-

ций.

Решение этой системы при известном законе изменения давления р от времени позволяет найти угол а(?) и предельную высоту купола при деформировании оболочки, для чего нужно принять накопленную повреждаемость ю А = 1.

В случае, когда ае >аео, процесс формоизменения реализуется в условиях вязкопластического (ползуче пластическое) течения материала, для которого справедливо уравнение состояния вида

і

Л

ае = аео

,ф

8СР V е0

£

е0

(і-ОР)г;

со

ср

а е £ер

ЛсР лпр

(14)

Здесь &, Л, г - константы материала, зависящие от температуры испытаний; АПр - удельная работа разрушения при вязкопластическом течении

материала; ю ср - повреждаемость материала при вязкопластической деформации по энергетической модели разрушения.

Пусть формоизменение оболочки определяется давлением р{^). Подставив в уравнение состояния материала (14) входящие величины

а е , £ ^ и 8 ^ ^Л при ф = 0, получим

0

г / , ч-|Л/к

1/к ~ , 1

а

р1 к Л

е0

Сі 1п

2

(б1и а)

1/ к

Vсоб ау

(8е0 Ук £е0 £>1

ООБ

а

І

2/ к

к

1/к

х

х 1 - о

ср

!к г С1

1

бш а

ctg а

Ла.

(15)

В этом случае повреждаемость может быть найдена из уравнения

С\В\арйа

Лоср

Лі

2АПрко соб4 аЛі

(16)

Решение системы уравнений (15) и (16) определяет величины р и ©СР ,

а моменту времени t*, когда ю А = 1, соответствует разрушение оболочки.

Выявлено влияние анизотропии механических свойств исходного материала, закона нагружения, геометрических размеров заготовки и изделия на напряженное и деформированное состояния, геометрические размеры, кинематику течения материала и предельные возможности исследуемых процессов изотермического формоизменения в режиме кратковременной ползучести, связанные с накоплением микроповреждений и локальной потерей устойчивости заготовки [1, 2].

Рассмотрены возможные варианты формоизменения при известных законах изменения давления от времени, а также случаи формоизменения при постоянной скорости деформации и постоянном давлении.

Графические зависимости изменения относительных величин давления газа р = р/аео , толщины заготовки в куполе к = к/кд и половины

угла раствора дуги а от времени деформирования г для алюминиевого сплава АМг6, поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, при температуре обработки 450 °С представлены на рис. 2 (ро = 0 МПа).

і ------►

а

і —►

б

Рис. 2. Зависимости изменения угла раствора а и относительных величин Ни р от времени деформирования ґ для алюминиевого сплава АМг6:

п п

а - ар = 0,1 МПа / с р; пр = 0,5; б - ар = 0,02МПа / с р; пр = 0,8 (точками обозначены экспериментальные данные)

Из графических зависимостей видно, что с ростом времени деформирования ґ до определенного предела осуществляются плавное увеличение половины угла раствора дуги а и уменьшение относительной толщины Н в куполе заготовки. Дальнейшее увеличение времени деформирования ґ до его критической величины /*, приводит к резкому изменению величин а и Н . Это связано с интенсивным ростом накопления микроповреждений в заключительной стадии процесса. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных по относительной толщине в куполе и высоте заготовки указывает на удовлетворительное их согласование (до 10 %).

Оценено влияние параметров закона нагружения ар и Пр на предельные возможности формоизменения, связанные с разрушением заго-

товки при достижении уровня накопленных микроповреждений ЮА = 1 (или юе = 1) и с локальной потерей устойчивости заготовки.

Как показали предварительные расчеты и результаты экспериментальных исследований, разрушение заготовки при изотермическом свободном деформировании узкой прямоугольной мембраны, закрепленной вдоль длинной стороны, происходит в куполе детали в связи с максимальным ее утонением в этом месте. Установлено, что в большинстве случаев протекания процесса формоизменения при заданном законе нагружения проявляется локализация деформации, которая с последующим увеличением времени деформирования прекращается, по-видимому, в связи со скоростным упрочнением материала. Первое проявление локализации деформации происходит при времени деформирования, соответствующе 30 % от времени разрушения. Поэтому в дальнейшем оценка предельных возможностей формоизменения производилась в наиболее опасном участке мембраны по разработанным феноменологическим критериям разрушения [1, 2].

Графические зависимости изменения половины угла раствора дуги а* в момент разрушения, относительных величин толщины заготовки в

куполе И* = И*/Но и высоты куполообразной детали Н* = Н*/к0 для алюминиевого сплава АМг6 от эквивалентной скорости деформации £, е в куполе при фиксированных величинах геометрических размеров заготовки (а = 10 мм; Но = 1 мм) приведены на рис. 3.

ьге-►

Рис. 3. Зависимость изменения предельного угла а*, относительных величин Н * и И* в момент разрушения от постоянной скорости деформации Ъ,е

Анализ графических зависимостей и результатов расчетов показывает, что время разрушения t* (критическое время), половина угла раствора дуги в

момент разрушения а* и высота изделия Н* уменьшаются, а угол раствора дуги в момент разрушения а* и толщина И* возрастают с увеличением параметров ар и пр, а также величины постоянной эквивалентной скорости де-

формации при формоизменении материалов, поведение которых описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости.

Предельные возможности формоизменения при изотермическом деформировании анизотропных материалов, поведение которых описывается кинетической теорией ползучести и повреждаемости, не зависят от параметров закона нагружения ( ар и nр ) или величины постоянной эквивалентной скорости деформации £,е1.

Установлено, что с ростом коэффициента нормальной анизотропии

R предельные возможности исследованных процессов формоизменения возрастают, а неточность определения критического времени разрушения может достигать более 30 % по сравнению с их реальными величинами.

Выполнено сопоставление результатов расчетов при анализе изотермического свободного деформирования узкой прямоугольной мембраны в предположении переменной и постоянной толщин стенки вдоль дуги окружности. С ростом времени деформирования разница в полученных результатах существенно увеличивается и может составлять по h до 40 %, а по ае =<зе / аео до 20 %. Показано, что с ростом времени деформирования существенно увеличивается разница относительной толщины h заготовки в куполе и в точке ее закрепления, которая может составлять более 30 %.

Предложенная математическая модель процесса изотермического свободного деформирования узкой прямоугольной мембраны из анизотропного листового материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости, может быть использована для оценки технологических параметров процесса изотермической пневмоформовки.

Работа выполнена по ведомственной целевой программе «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 годы)».

Список литературы

1. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.П. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427с.

2. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.П. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.

S. Larin, A. Bessmertniy

The free isothermal deforming of the narrow orthogonal тетЪгапе from the anisotropic sheet material in the mode of short-durated creeping conditions

The mathematical model of the free isothermal deforming of the narrow orthogonal membrane from the anisotropic sheet material possessing energetical theory of creeping and damaging is presented. The influence of material’s mechanical properties anisotropy, piece’s geometrical sizes and damage accumulation on the stressed and deformed states, power circumstances and extreme deformation levels is shown.

Key words: anisotropic material, deformation, pneumatic forming, short-term creep, pressure, temperature, equivalent stress, thickness, membrane.

Получено 12.01.10