Научная статья на тему 'Изменение геострофического ветра влажной атмосферы с высотой в геоидальной системе координат'

Изменение геострофического ветра влажной атмосферы с высотой в геоидальной системе координат Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
155
42
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Ларченко И. Н., Закинян Р. Г.

При описании динамики атмосферы форма Земли принимается сферической и уравнения движения записываются в сферической системе координат. Однако, как известно, в этом случае проекция силы тяжести (векторной суммы силы тяготения и центробежной силы инерции) на горизонтальную плоскость будет существенной [2].

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Ларченко И. Н., Закинян Р. Г.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Изменение геострофического ветра влажной атмосферы с высотой в геоидальной системе координат»

5. Боголюбов Н.Н. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.Н. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М.: Наука, 1974. - 504 с.

6. Найфэ А. Методы возмущений./ А. Найфэ. - М.: Мир, 1976. - 456 с.

7. Найфэ А. Введение в методы возмущений / А. Найфэ - М.: Мир, 1984.

- 535 с.

8. Basios V. GITA: a REDUCE program for the normalization of polynomial Hamiltonians / V. Basios, N.A. Chekanov, B.L. Markovski, VA. Rostov-tsev, S.I. Vinitsky // Comp. Phys. Commun. - 1995. - V. 90. - P. 355-368.

9. Березин И.С. Методы вычислений / И.С. Березин, Н.П. Жидков. -М.: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962. - Т. 2. - 640 с.

10. Форсайт Дж. Машинные методы математических вычислений / Дж. Форсайт, М. Мальколм, К. Моулер. - М.: Мир, 1980. - 277 с.

11. Уилкинсон Дж. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра / Дж. Уилкинсон, К. Райнш. - М.: Машиностроение, 1976. -392 с.

12. Дьяконов В.П. Maple 8 в математике, физике и образовании / В.П. Дьяконов - М.: СОЛОН-Пресс, 2003. - 656 с.

13. Heam A.C. REDUCE User’s Manual / A.C. Heam - Santa Monica, CA, USA, 2004 - 215 p.

14. Акритас А. Основы компьютерной алгебры с приложениями / А. Ак-ритас - М.: Мир, 1994 - 544 с.

15. Gustavson F.G. On construction formal integral of a Hamiltonian system near an equilibrium point. / F.G. Gustavson // Astronom. J. - 1966. - V.71.

- No.8. - P. 670-686.

ИЗМЕНЕНИЕ ГЕОСТРОФИЧЕСКОГО ВЕТРА ВЛАЖНОЙ АТМОСФЕРЫ С ВЫСОТОЙ В ГЕОИДАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ © Ларченко И.Н.*, Закинян Р.Г.Ф

Ставропольский государственный университет, г. Ставрополь

При описании динамики атмосферы форма Земли принимается сферической и уравнения движения записываются в сферической системе координат. Однако, как известно, в этом случае проекция силы тяжести (векторной суммы силы тяготения и центробежной силы инерции) на горизонтальную плоскость будет существенной [2]. Согласно А. Гиллу «Так как в уравнениях движения сила тяжести является доминирующей, то требуется боль-

* Аспирант кафедры Теоретической физики.

* Профессор кафедры Теоретической физики, доктор физико-математических наук.

шая осторожность в выборе подходящей системы координат. Если бы, например, были использованы сферические координаты, то получилось бы, что важным членом в уравнениях для крупномасштабного движения, касательных к сферической поверхности, была бы составляющая силы тяжести, направленная вдоль этих поверхностей. Поэтому предпочтительнее использовать для координатной системы геопотенциальные поверхности, чем сферические» [2, 6]. Несмотря на это при решении многих метеорологических задач используют сферические координаты, но при этом в проекции уравнения движения на горизонтальную плоскость (на меридиан) проекцию центробежной силы инерции не записывают [5, 7-9]. Правомерность этого требует каждый раз отдельного исследования при рассмотрении конкретных задач.

Собственно, форма геоида определяется равенством касательных проекций на поверхность Земли силы тяготения и центробежной силы инерции. Еще раз напомним, что когда мы говорим о силах инерции, то это значит, что движение описывается в неинерциальной системе отсчета, связанной с вращающейся Землей. Тот факт, что центробежная сила инерции, будучи фиктивной силой, «сплющивает» Землю, не должен нас смущать. В действительности мы понимаем, что фиктивные силы не могут ни сплющивать, ни делать что-то другое, потому, что они фиктивные. Для правильного понимания необходимо перейти к инерциальной системе отсчета, например связанной с центром Земли и не вращающейся вместе с Землей. Тогда растяжение Земли объясняется упругими свойствами Земли. Чем больше скорость вращения, а она больше на экваторе, тем больше растяжение. Растяжение Земли это реальная сила, но, находясь на поверхности Земли, мы должны, согласно принципу Даламбера, ввести фиктивную силу, «компенсирующую» эту реальную силу, чтобы объяснить отсутствие ускорения при наличии силы.

В уравнениях (1) и (2):

1 др'

" - Р (1)

2айр$шф ду’

1 дР_

2ю0р$тф дХ

заменим плотность по уравнению состояния влажного воздуха:

р' = - р(аАГ + р&)

Здесь следует заметить, что фактическое возмущение давления, приводящее к сложной барической топографии, отличается от возмущения по полученному выше уравнению. В общем случае для возмущения давления можно записать:

Р’ = Ро + Ры

где первое слагаемое определяет возмущение давления, вызванное динамическими причинами, а второе слагаемое определяет возмущение давления, вызванное возмущением температуры и влажности.

Отсюда для проекций геострофического ветра получим выражения:

u - RT дР - RdT ídPo +ЁЕж

g 2®0p sinp dy' 2®0p sin <p\ dy' dy'

v - RT dp' - RdT (ф7 + P g 2ю0psinp dx 2a0psinpidx:' dx

Эти выражения можно представить в виде суммы геострофического ветра, обусловленного динамическими факторами, термического и влажного ветра:

Ug - ug0 + ut + u

Vg - Vgo + Vt + Vv

RdT dp0 RdT dp0

где Ugo ------—------7, Vgo --—ph--------7 - проекции геострофи-

2ю0p sinp dy 2a0p sinp dx

ческого ветра, обусловленного динамическими факторами, назовем его динамическим ветром;

RmT dAT R JT dAs

ut =—d------------—, uv =—d------------ - соответственно, проекции

2ю0 sin p dy 2a0 sin p dy

на параллель термического и влажного ветра;

R, ccT dAT R JT dAs

Vt -----d-------- , Vv ------d----------— соответственно, проек-

2ю0 sinp dx 2a0 sinp dx

ции на меридиан термического и влажного ветра.

Здесь мы учли, что p’ << р. Разделим полученные уравнения на T, продифференцируем их по Z и с учетом уравнения статики атмосферы dln p/dZ - -g/RdT получим:

d ( ug ) d ( ug0 ) Rd ( d2AT „ d2As

, , , , ■ , «-----+ J-----1 (3)

dz' í T ) dz' i T ) 2rn0 sinp i dz'dy’ dz'dy’ 1

Аналогично:

—í h)-±( Vgo^—Rd—Ld!AT+^_d!A^| (4)

dz’ i T I dz’ i T I 2ю0 sinp I dz’dx’ dz’dx’ 1 V)

Проинтегрируем уравнение (3) и (4) по 2, в пределах от до ^и получим:

, (г' ) = » (г,') ^ " »,0(г')- »„(г;) +

+ \а

2ю0 БІпр I

'дАТ дАТ Л + Р дА? дА? Л

Vдy г дУ г';) 1ду' , дУ г;)

(5)

Аналогично:

(г) = Vg (г,) ^ + ^0(г’) - И Щ)}

КТ (г') /

2®0 БІИр

'дАТ дАТ Л + Р дА? дА? Л

дХ V г, дХ г ) дХ V г, дХ г;)

(6)

Формулы (5) и (6) показывают, что на произвольной высоте 2У геостро-фический ветер можно представить в виде суммы составленной из геостро-фического ветра на высоте 2\ и суммы разностей динамического, термического и влажного ветров на верхнем и нижнем уровнях. Второе слагаемое определяет изменение скорости динамического ветра. Третье слагаемое определяет изменение термического ветра, компоненты которого имеют вид:

ЯГ(г')

А» =—а 4 ' а 2т0 бій р

*Т (г’)

"дАТ дАТ Л

г дУ 2\)

А* =-

2т0 БІпр

а

Ґ дАТ дАТ л

дХ V г, дХ а)

(7)

(8)

Кроме того, как видно из формул (5) и (6), в выражении проекции гео-строфического ветра присутствует четвертое слагаемое, которое зависит от разности горизонтальных градиентов массовой доли водяного пара на этих уровнях. Это слагаемое определяет изменение скорости влажного ветра, компоненты которого имеют вид:

а», =-5Й1 р

2ю0 БІпр

А*, =-«Ш р

2т0 БІпр

дА? дА? л

Vдy г дУ' г|)

дА? дА? Л

2, дХ г;)

(9)

(10)

и

Рассмотрим случай, когда на некоторой высоте изотермы и изоплеты массовой доли водяного пара (изограммы) направлены вдоль параллели,

то есть вектора горизонтальных градиентов температуры и массовой доли

дАТ дАъ

водяного пара направлены по меридиану (---------= 0, ----= 0). То есть тер-

дх' дх'

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

мический ветер направлен вдоль изотерм, а влажный ветер - вдоль изо-плет и их направления совпадают на данной высоте. Однако, в зависимости от значения горизонтального градиента температуры и его изменения с высотой, термический ветер может иметь разные направления [3]. То же самое относится и к влажному ветру. Если будем рассматривать случай, что температура и массовая доля водяного пара вдоль меридиана умень-

дАТ дА _

шается от экватора к полюсу —- < 0, --------< 0, что в среднем наблюдает-

ду ду’

ся в атмосфере, то:

1. если

дАТ < дАТ

дУ г' ду' г;

горизонтальные контрасты температур у

земли больше чем на высоте то и > 0 (то есть, направлен с запада на восток) в северном полушарии и иг < 0 (то есть, направлен с востока на запад) в южном полушарии. Аналогично, для влаж-

ного ветра. Если

дА? < дА?

дУ г дУ г,

горизонтальные контрасты влаж-

ности у земли больше чем на высоте то иу > 0 (то есть влажный

ветер направлен с запада на восток) в северном полушарии и и < 0 (то есть влажный ветер направлен с востока на запад) в южном полушарии;

2. если

дАТ > дАТ

дУ г' дУ г,

горизонтальные контрасты температур на

высоте больше, чем у земли, то и1 < 0 (то есть, направлен с востока на запад) в северном полушарии и и1 > 0 (то есть, направлен с запада на восток) в южном полушарии. Аналогично для влажного

воздуха. Если

дА? > дА?

дУ г дУ г,

горизонтальные контрасты темпе-

ратур на высоте 2У больше, чем у земли, то и < 0 (то есть, влажный ветер направлен с востока на запад) в северном полушарии и иу > 0 (то есть, направлен с запада на восток) в южном полушарии [1].

Рассматривая случай, когда вектор градиент давления будет отклонен влево от вектора градиента температуры, то есть будет наблюдаться адвекция тепла - при иг > 0 и иу > 0 ветер будет поворачиваться вправо (рис. 1), при иг < 0 и иу < 0 - влево (рис. 2).

Рис. 1. Правый поворот Рис. 2. Левый поворот

геострофического ветра (щ > 0) геострофического ветра (щ < 0) при

при адвекции тепла в атмосфере адвекции тепла в атмосфере

Если в атмосфере будет------> 0, то есть вдоль меридиана (по направ-

ку'

лению к северу) температура будет возрастать, то в рассматриваемых выше случаях будет наблюдаться противоположный поворот ветра [4].

Выше мы рассмотрели случай, когда направления термического и влажного ветров совпадают. Если же направления термического и влажного ветров не совпадают и, в частности, противоположны, то мы получаем различные сценарии поведения геострофического ветра с высотой.

Список литературы:

1. Волочай М.А., Грицаева М.Н., Закинян Р.Г. Свободная конвекция влажного воздуха // Материалы 55-й научно-методической конфренции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ 2010. - С. 16-19.

2. Гилл А. Динамика атмосферы и океана. - М.: Мир, 1986.

3. Грицаева М.Н. Волочай М.А., Закинян Р.Г. Геострофическая модель атмосферы с учетом центробежной силы инерции // Вестник Ставропольского государственного университета. - 2009. - № 63.

4. Грицаева М.Н., Волочай М.А., Закинян Р.Г. Поворот геострофического ветра в тропосфере при учете центробежной силы инерции // Материалы 54-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: СГУ, 2009. - С. 80-81.

5. Динамическая метеорология. Теоретическая метеорология / Под ред. Д.Л. Лайхтмана. - Л.: Гидрометеоиздат, 1976. - 607 с.

6. Макоско А.А., Панин Б.Д. Динамика атмосферы в неоднородном поле силы тяжести. - СПб: РГГМУ, 2002. - 245 с.

7. Матвеев Л.Т Физика атмосферы. - СПб: Гидрометеоиздат, 2000. - 779 с.

8. Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. - Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 752 с.

9. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. - М.: Мир, 1984.

НОВЫЙ ПОДХОД К НАХОЖДЕНИЮ общего РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА НА КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ © Мустафаев А.П.*

Семипалатинский государственный университет им. Шакарима, Республика Казахстан, г. Семей

В данной работе впервые найдено общее решение системы уравнений Навье-Стокса на комплексной плоскости в аналитическом виде.

Базовыми уравнениями в математических моделях динамики вязкой жидкости являются уравнения Навье-Стокса. Существование и единственность решения этой системы доказаны лишь в простейших случаях. Особую сложность рассматриваемая проблема приобретает в случае нахождения решения уравнения Навье-Стокса в аналитическом виде.

Но, тем не менее, уже на протяжении полувека внимание специалистов в области вычислительной математики, в значительной степени, приковано к разработке эффективных методов численного интегрирования уравнения гидродинамики.

В этой работе впервые найдено общее решение системы уравнений Навье-Стокса на комплексной области в аналитическом виде с использованием правил дифференцирования комплексной функции.

В теории установившегося плоско-паралелльного движения несжимаемой жидкости принято, что компоненты U(x, у), V(x, у) вектора скорости и давления P(x, у) - удовлетворяют системе уравнений с частными производными Навье-Стокса.

'ттдП тви 1 дР лтт

U + V =--------------+ vAU

дх ду р дх

dV дV 1 дР

U —— + V— = --— + vAU (1)

дх ду р дх

дU дV „

---+----= 0

дх ду

* Заведующий кафедрой «Высшая математика», кандидат физико-математических наук, доцент.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.