CC BY
47
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
5. Richtmyer R.D., Lazarus R.B. Singularity Fitting in Hydrodynamical Calculations II. Los Alamos Sc. Lab. Report LA-6108-MS, 1975. 19 p.
УДК 539.3
ИЗГИБ СОСТАВНОЙ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛИТЫ НОРМАЛЬНОЙ НАГРУЗКОЙ
В.И. Копнина, Е.Ю. Крылова*
Саратовский государственный университет, кафедра математической теории упругости и биомеханики; "Саратовский государственный технический университет, кафедра математика и моделирование E-mail: kat.krylova@bk.ru
В статье методом комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого исследуется напряженно-деформированное состояние тонкой плиты при изгибе. Плита составлена из двух эллиптических колец, вложенных друг в друга без натяга. Материал колец анизотропный и разный.
Ключевые слова: тонкая эллиптическая плита, анизотропный, изгиб, комплексный потенциал Лехницкого.
6. Lazarus R.B. Self-Similar Solutions for Converging Shocks and Collapsing Cavities // SIAM J. Numer. Anal. 1981. V. 18, iss. 2. P. 316-371.
Bend of Composite Anisotropic Slab Under Normal Loading V.I. Kopnina, E.Yu. Krylova*
Saratov State University,
Chair of Mathematical Theory of Elasticity and Biomechanics; * Saratov State Technical University, Chair of Mathematics and Modelling E-mail: kat.krylova@bk.ru
In this contribution, deflected mode of a thin slab under bending is investigated by the Lehnicky method of complex potential. The slab is composed of two elliptical rings; they are embedded in each other without tension. Material of the rings is anisotropic and different.
Key words: elliptical thin slab,, anisotropic, bend, complex potential by Lehnicky.
Рассмотрим упругое равновесие анизотропной эллиптической плиты, ослабленной эллиптическим отверстием, которое подкреплено кольцом из другого анизотропного материала. Толщина кольца равна толщине плиты Ь , ширина достаточная, чтобы к кольцу можно было применить теорию изгиба плит.
Плита изгибается поперечной нагрузкой интенсивности у). Будем считать, что внешний контур плиты и внутренний контур кольца жёстко защемлены, причем внешний контур плиты имеет возможность под действием изгибающей нагрузки опускаться.
Обозначим внешний контур плиты [кольца] [¿О^ ], внутренний контур плиты [кольца] —
¿10) [I]; полуоси контурных эллипсов — аП^, ЬП) (п = V = 0.1). Здесь и далее величины, характеризующие упругое состояние плиты, имеют индекс (0) сверху, а кольца — (1).
Задачу об изгибе такой плиты можно привести [2] к определению комплексных потенциалов С.Г. Лехницкого ) (^¿^) (здесь и далее ] = 1, 2) из граничных и контактных условий [3]:
2Re ± j(j>) = -
j = l
2 dW (v)
2Re£ j W(v)' (tjv)) = - ^W^ на 4(0)(v = 0), l(v = 1); (1)
2
2Re£ [d^wf' (j) - jwf' (*<»)]= ft (k = 14) на L<0) [4«] , (2)
¿ = 1
где л(у) = 1 ¿(V) = = р^ .(V) = (V); . = + дшО11 . = + дшО11
где ¿1 = ^ = ^ , ¿¿3 = -7Р) , ¿4 = % ; Л = — + , /2 = д— + ,
/3 = — Сх + С1, /4 = 1 q (х, у) ^0) — v21)) х + Су + С2. Здесь í¿v) — аффиксы точек на контурах соответствующих эллипсов, расположенных в областях изменения ^^ которые получаются из области, занятой срединной плоскостью составной плиты, при помощи известных афинных преобразований [2];
© В.И. Копнина, Е.Ю. Крылова, 2010
В.П. Попита, ЕЮ. Крылова. Изгиб составной анизотропной плиты нормальной нагрузкой__
= aj ^ + ij ^ — комплексные параметры изгиба, характеризующие степень анизотропии материала плиты и кольца; — коэффициенты Пуассона; qjv) — постоянные, зависящие от упругих свойств материалов пластинки и кольца [3]; Ci, C2 — постоянные, не влияющие на распределение напряжений в составной плите.
Положим интенсивность нормальной нагрузки q(x, y) = q = const и выберем функции WqV^ в виде
W(0) -
24D
(V)' 11
где D 1 1 — жесткость материалов составной плиты. Функции W(vУ (Z(v)) будем
искать в виде [3]:
W
з
О S _k
(V) (Z^)- M^j ln zjv) + £ [Ci j)]" + C^pW (z(v))
i. —1 Q V
k = 1,3,...
В рассматриваемом случае главные моменты усилий, приложенных к контурам отверстий плиты и кольца, равны нулю. Главные векторы усилий, приложенных к контуру отверстия плиты [кольца] £(0) [I], определяются из соотношений
Pz 1 = -qn(a0O)60O) - 40)b(0)), Pxi = -qn(a0O)^ - a(1 )b(1 )).
(3)
Используя условия однозначности прогиба, его первых и вторых производных для плиты и кольца, а также условия (3), найдём:
а(°) Ь(°) ^)2 + о(V)2 . ) _ а0 ь0 + в ) - (V)
MY' - -q-
-ß)
Следовательно, поставленная задача свелась к отысканию комплексных коэффициентов а]С.^ из граничных и контактных условий (1), (2).
Поступая аналогично тому, как это сделано в работе [3] , получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения постоянных а] к и С^:
g(°) Гл(°)* + m(°)feC(0) + M(0)в(on + g(0) Гл(о)* + m(0)kC(0) + M(0)e(0)1 +
g1s A1k + m10 C1k + M1 e10k + g2s A2k + m20 C2k + M2 e20k +
+« + C<k> - <W, (s = 1,2);
d- |A1k> + m11>'C1k>- + M10)e11k 1 + 40? №0? + m'fcf* + Mfeb +
.jmc(0)- + mC(0)- _d(1) r,(1)' + m(1)kC(1) + M(1)в(1П _
' 1s w1k ^ 2 s 2k 1s 1k 10 1k 1 10k -
-d2i> № + m<!>'C<k» + mM - <Si>C<k> - <J2S)c2k) - (. - м);
2k
(4)
gi1s) [A11k) + m11 C(kr + M1(1) вЯк] + g2S) [л21к) + m2i C2kr + M2(1) e21k] + 1) cff* + c2k)- = ¿sik (s = i, 2).
Здесь
g(v) - 1 gj1 - 1
(V) = (V) gj2 - ßj ,
j -1.
dj2 — ßj ,
P (V)
d(v) =
dj3 =
ß
(V)
d(V) = q(V)-
A(V)* = V- a(V) A(V) jk / j jkm jm'
m=1,3,...
C(V)* = Cjk =
E
m=k,k+2,...
a(v)' c(v)
jkm jm :
(V)
jkm
— — lim
dk
k! «о-0 dc0v)k
Z(V )(Z7(V))
(V)' = m (v) ajkm ^ ajmk'
4
oo
_m
Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. 2010. Т. 10. Сер. Математика. Механика. Информатика, вып. 1
3?
■¡(V) 3?
вй-1 = 4? 4?, 3 = 442(1 + 3), = 4Д<?)(-т<?))^(к2 - 1)-1,
Зш
3 ? 3 ?
З
3?к
3 = 0, 5(а(г/) - ¿^), т^ = ( 1 + З 11 - ¿3 ^
З
З
(V)
-1
3 (V)
а ?
¿101 =
(0)3 да0
16Я
(0) ' 11
¿103 =
(0)3 да0
48Я
(0) 11
¿10к = 0 (к > 5), ¿111 = -
3 (V) а ?
(0)3 да!
16
Я
(0) 11
Я
¿113 = -
(0)3 48
Я
(0) 11
Я
, ¿11к = 0 (к > 5), ¿20к = ¿21к = ¿21к = 0, ¿311 = -0, 5Са10),
(0)3 (0)3 ¿31к =0 (к > 3), ¿411 = -^ (40) - +0, 5СЬ10)¿, ¿413 = -^ (40) - V«) ,
¿41к = 0 (к > 5), ¿111 = -
(1)3
16^1^' 48Я11
¿113 = -
(1)3
(1)
¿11к =0 (к > 5).
После определения функций У (3) можно найти прогиб, моменты и перерезывающие силы по известным формулам [2].
Численное исследование НДС составной плиты было проведено для случая, когда круглая плита ослаблена круговым отверстием. При приближённом решении задачи бесконечная система (4) урезалась, что можно сделать в силу её квазирегулярности [3]. При этом в системе удерживались уравнения, когда к < 9, что соответствует системе 40-го порядка. В качестве материала пластинки и подкрепляющего кольца выбирались трёхслойная авиационная фанера (материал с сильной анизотропией) [2] , СВАМ (слабо анизотропный материал) [1] и материалы с жёсткостями, пропорциональными соответствующим жёсткостям а) фанеры; б) СВАМа; рассматривались различные случаи их сочетания. Наряду с этим, в широких пределах варьировались расстояния между контурами плиты и кольца.
Незначительная часть результатов приведена в табл. 1, 2, где в долях д даны значения для " = "* ■ 105 ■ уз и изгибающих моментов. Левые части таблиц даны для случая, когда а00) = 5, а10) = 1, а11) = 0, 5 , а правые, когда а00) = 5, а10) = 3 , а11) = 1, причём верхние части таблиц соответствуют контуру ¿00) , средние — контуру спая ¿10) и нижние — контуру I.
Таблица 1
1
1
1
1
V0 W * Мг Мв W * Мг Мв
0 10.11 3.932 0.5101 11.53 6.070 0.7938
30 10.11 3.626 1.173 11.53 4.363 1.415
60 10.11 3.118 1.015 11.53 1.758 0.5698
90 10.11 3.030 0.3990 11.53 1.218 0.1562
0 1.095 -5.656 -18.32 7.867 6.137 -6.488
1.095 -5.682 -0.8506 7.867 6.139 -0.1404
30 1.268 -2.358 -11.91 8.720 3.364 -0.8575
1.268 -2.374 1.411 8.710 3.373 -0.8127
60 1.581 -0.4228 -9.208 10.05 1.000 -0.8054
1.581 -0.4151 2.833 10.04 1.005 0.6717
90 1.735 0.4739 -8.984 10.63 0.7157 0.7811
1.834 0.4834 -4.299 10.62 0.7240 0.5892
0 0.0000 -19.91 -0.5024 0.0000 -14.42 -0.3597
30 0.0000 -15.39 -4.753 0.0000 -11.79 -3.641
60 0.0000 -7.942 -4.003 0.0000 -7.193 -9.083
90 0.0000 -4.791 -1.549 0.0000 -5.136 -1.658
56
Научный отдел
В.И. Копнина, ЕЮ. Крылова. Изгиб составной анизотропной плиты нормальной нагрузкой
Если пластинка, изготовленная из СВАМа, подкреплена кольцом из фанеры, то прогиб достигает своего максимального значения в точках контура ¿°0); изгибающий момент достигает своего максимального значения в точках контура I. При увеличении площади кольца прогиб и момент Мгв точках контура ¿°0) возрастают; на контуре спая наблюдается резкое увеличение прогиба и уменьшение изгибающего момента Мо; на контуре I максимальное значение момента Мг — уменьшается, а максимальное значение Мо резко увеличивается (см. табл. 1).
Когда фанерная пластинка подкреплена кольцом из СВАМа, то наблюдается значительное увеличение прогиба и момента Мг на контуре ¿°0) и резкое увеличение момента Мг на контуре I. При увеличении площади кольца прогиб и моменты Мг на контуре ¿°0) резко уменьшаются, на контуре спая наблюдается резкое увеличение прогиба и значительное уменьшение моментов Мг и Мо (см. табл. 2).
Таблица 2
V0 W * Мг Мв W * Мг Мв
0 25.19 11.00 0.2776 6.860 3.660 0.0965
30 25.20 2.960 0.9106 6.860 2.129 0.6602
60 25.21 -0.5216 -0.6468 6.860 0.2264 0.2805
90 25.21 -0.4565 -0.1255 6.860 -0.0140 0.0218
0 0.7763 -13.23 -0.6729 3.540 0.0879 -0.0974
0.7763 -13.20 -10.22 3.540 0.1116 -2.827
30 0.7400 -11.68 -3.949 3.480 -0.4944 -0.2721
0.7400 -11.68 -8.879 3.692 -0.4907 -2.348
60 0.5900 -8.699 -12.72 3.330 -0.8275 -1.599
0.5939 -8.722 -9.039 3.791 -0.8477 -2.605
90 0.4800 -7.832 -7.079 3.250 -0.7360 -1.828
0.4802 -7.858 -10.41 3.740 -0.7660 -3.300
0 0.0000 -30.24 -3.931 0.0000 -15.20 -1.975
30 0.0002 -27.70 -8.961 0.0028 -14.77 -4.776
60 0.0004 -20.76 -6.750 0.0057 -13.80 -4.488
90 0.0004 -16.29 -2.136 0.0061 -13.28 -1.741
Анализируя полученные результаты в целом, можно сделать следующие выводы.
Наибольший прогиб на контуре ¿°0) получается в составной плите, внешнее кольцо которой изготовлено из фанеры, а внутреннее — из материала, жёсткости которого в два раза меньше соответствующих жёсткостей фанеры.
Наименьший прогиб на контуре £°0) возникает в плите, внешнее кольцо которой изготовлено из СВАМа, а внутреннее — из материала, жёсткости которого в два раза больше соответствующих жёсткостей СВАМа.
Максимальный изгибающий момент наблюдается в фанерной плите, подкреплённой кольцом из СВАМа.
Для составной плиты, изготовленной из СВАМа и материала, жёсткости которого пропорциональны соответствующим жёсткостям СВАМа, распределение напряжений получается более равномерным по сравнению с остальными случаями.
Концентрация напряжений во всех рассмотренных случаях получилась больше на внутреннем контуре кольца.
Библиографический список
1. Буров А.К., Андреевская Г.Ф. Стекловолокнистые анизотропные материалы и их техническое применение. М.: Изд-во АН СССР, 1956. 71 с.
2. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: Го-стехиздат, 1957. 463 с.
3. Меглинский В.В. Некоторые задачи изгиба тонких многосвязных анизотропных плит // Некоторые задачи теории упругости о концентрации напряжений и деформации упругих тел: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1967. Вып. 3. С. 97-127.
