Изгиб и колебания пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

Изгиб и колебания пластин

д.ф.-м.н. Кийко И.А.

Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова

8(495)939-55-39. elast@mail.ru

Аннотация. Предложен вариант линейной теории тонких пластин, основанный на предположении о том, что интегральные уравнения динамического равновесия могут быть записаны для произвольного объема в недеформированном состоянии. Точным исследованием этих уравнений после введения понятий кинематически эквивалентных перемещений являются разделенные начально-краевые задачи растяжения-сжатия и изгиба. Основное внимание уделено задаче изгиба. Доказана теорема о единственности решения; приведены примеры тестовых задач об изгибе, собственных колебаниях и панельном флаттере, обнаружена существенная зависимость от коэффициента Пуссона.

Ключевые слова: кинематически эквивалентные перемещения, задача в перемещениях, общее решение, единственность решения, тестовые задачи изгиба, колебаний, флаттера, влияние коэффициента Пуассона.

Предисловие

Несколько лет тому назад Александр Порфирьевич Шмаков обратился ко мне с предложением обсудить идею о том, чтобы построить теорию деформаций пластин без привлечения дополнительных гипотез, а опираясь только на соотношения классической теории упругости. Я согласился, поскольку давно знал Александра Порфирьевича как первоклассного специалиста, глубоко понимающего теорию и методы классической упругости. Спустя некоторое время мы обсудили вариант первой части работы, я занялся ее редактированием; А.П. готовил вариант второй части, будучи в не лучшем физическом состоянии. К сожалению, судьба распорядилась так, что вскоре после того, как я получил черновой вариант второй части работы, Александра Порфирьевича не стало. Я посчитал своим долгом работу завершить: заново отредактировал первую часть, дополнил вторую, стараясь по возможности сохранить стиль изложения А.П.; насколько это получилось, пусть судит читатель.

Работа состоит из двух частей. Первая часть содержит математическую модель деформации пластин, которая включает в себя задачи растяжения-сжатия и изгиба. Основой для рассмотрения служат уравнения динамического равновесия, записанные для выделенной области упругого тела в недеформированном состоянии. Вводится понятие кинематически эквивалентных перемещений, два тензора и вектор деформаций. Из закона Гука, записанного в форме Ламе, выводятся тензор и вектор напряжений, а также тензор моментов. Из теоремы об изменении кинетической энергии, записанной для выделенной области, выводятся граничные условия и смысл введенных векторов и тензоров как обобщенных перемещений и сил, соответственно. Формулируется математическая модель деформации пластин, содержащая уравнения движения, определяющие соотношения и граничные условия; задачи растяжения-сжатия и изгиба оказываются, естественно, разделенными. В дальнейшем изложении внимание уделяется задаче изгиба; доказано, что если решение уравнений математической модели изгиба существует, то оно единственно.

Во второй части приведены некоторые приложения развитой теории, примеры и задачи динамики. Из уравнений совместности (аналог тождествам Сен-Венана) с привлечением уравнений равновесия получена полная система уравнений статического изгиба пластины; в случае, когда пластина изгибается только воздействиями по контуру, построено общее решение этой задачи. Приведено также общее решение задачи в перемещениях. Приведены

примеры задач изгиба круговой пластины (осесимметричная задача), полосы (цилиндрический изгиб), прямоугольной пластины. Дано сравнение с результатами классической теории. Показано, что прогибы и касательные напряжения в предложенной теории обнаруживают существенную зависимость от коэффициента Пуассона; наоборот, нормальные напряжения различаются незначительно. В тестовых динамических задачах (собственные колебания полосы и прямоугольной пластины, флаттер полосы при продольном и поперечном обтекании) обнаружен один и тот же результат: частоты собственных колебаний и критические параметры флаттера (частота и скорость потока) в большей степени зависят от коэффициента Пуассона, нежели в классической теории.

Предложенный вариант математической модели изгиба пластин нуждается в более широком сравнении с уже имеющимися; разумеется, лучшая проверка - это сравнение с решениями классов задач по трехмерной упругости, при современном развитии вычислительной техники это вполне возможно. Пожелания и отзывы, в том числе критические, будут с благодарностью приняты.

Часть I. Математическая модель

1. Интегральная форма уравнений движения

В классической теории упругости (малые деформации и перемещения) отсчетная и актуальная конфигурации считаются неразличимыми, поэтому уравнения движения однородной среды принимают вид:

да, д2и,

а,, =р# • (11)

они дополняются условиями симметрии:

= °- • 0-2)

и соотношениями:

Т = *-п, • 0.3)

которые выражают компоненты вектора напряжений Т на площадке с нормалью п .

Выделим в теле произвольную область Уо с границей Яо и проинтегрируем по этой области уравнения (1.1):

д2

С учетом равенства:

будем иметь:

| —-йУ + р|¥гйУ = р— |п^У .

У дх- Уо д у

= Га1пЛЪ = Г ТйЯ,

2 д, ¡ч- J г

Уо иЛ1 £о Ео

+ = (1.4)

^0 Уо

Запишем это уравнение в векторном виде:

Г ТйЯ + рГ £ОУ = о; { = Б - а, а = — . (1.5)

«о

Домножим теперь уравнения (1.1) на хк и проделаем элементарные преобразования, получим:

д {&-хк-°-х,) + Р(/хк -/кх1) =

д х,

Проинтегрировав по ¥0 с использованием формулы Гаусса-Остроградского, будем иметь:

|(7Х -ТЛ)йТ + /гхк -/х)йУ, = 0.

Эти уравнения эквивалентны одному векторному:

|(Тх х) й£ + ^ х х) йУ0 = 0. (1.6)

*) Vо

Таким образом, из уравнений движения (1.1) при условиях (1.2) и (1.3) следуют интегральные соотношения (1.5) и (1.6) - необходимые условия динамического равновесия, дополненные условиями (1.3). Можно показать, что из этих условий следуют уравнения (1.1) и условия (1.2) во всех внутренних точках тела.

2. Уравнения движения пластины в дифференциальной форме

В декартовой системе координат х1 х2 х3 с трехгранником (е1, е2, е3) тонкая упругая пластина занимает область, ограниченную плоскостями |х3| = к и боковой цилиндрической поверхностью £' с направляющей Г, лежащей в срединной плоскости х3 = 0; контур Г ограничивает область £. Лицевые поверхности |х3| = к обозначим, соответственно, Е+ и .

Очевидно, область £ становится произвольной.

В дальнейшем будут использованы соотношения (Н, Р - некоторые функции от х1, х2):

Z_ S

хx(е х<

5 ^"а

Компонентами вектора A=T х x (ej х ек )TjXk будут: Д = Aef (ej х ек ) = TjXk ° ejkTjxk, здесь: sijk = et (ej х ек ) - полностью антисимметричный объект (символ Леви-Чивита);

e123 = 1, поэтому определены и все остальные. Запишем уравнения (1.5), (1.6) в проекциях на оси координат:

\sjHjds + pj fdV = 0,

So Vo

j ejksjßnßxkds+p\erjkfjxkdV =0; ß =1,2 , (2-1)

So Vo

здесь: StUS_US' - вся поверхность выделенной в пластине области V0.

При вычислении интегралов (2.1) учтем соотношения S+ : n1 = n2 = 0, n3 = 1; S_ : n1 = n2 = 0; n3 = _1;S': n3 = 0, na = na(x1,x2). Из первого уравнения (2.1) имеем:

п

jfdv=j jfd

S L-h

dS,

jsjjnjd S = js+ n+ dS+ + js_j n_ d S_ + jslJ nj dS' = j dS+ - j si3 d S_ + jsßß nß dS' = j(s+-si3) dS +

s

dn

S' S+

S+i—

J - x

SUXß

h

¡Sß dx3 dS = j

l-h _ S

Г ]_-h J S

Теперь первое уравнение из (2.1) принимает вид:

- x

-- x

3 1 3 3

- п п

j — ¡Sß dx3 + S3-S~3 +pj fd

vß -h

ß - h

dS = 0.

dS.

+

0

S'

S

S

S

S

+

n

P

h

+

+

Это уравнение должно выполняться для любой произвольной области Я в пластине, значит подынтегральное выражение должно обращаться в ноль при всех х1, х2:

~ к к д

\агр йхз +<3-а" +рГ/йхз = ^ (/ =1,2,3) . д хь-к '

(2.2)

- к

Рассмотрим теперь второе уравнение из (2.1):

¡е <-рпрхкй ^+р\е-к/-хкйУ =о.

Х Уо

Выделяя в подынтегральных выражениях слагаемые с х3, получаем:

е с п х, =е а п х + ес п х.,

-к -р р к -а ]Р р а г- 3 ]Р р 3 ' 8-к /- хк = 8-а /- ха + 8- 3 /- х3 .

Г е-а а-р прха й 2+ Г е-3 С-р прх3 й Х + РГ - / ха йУо + рГ е-3 /- х3 йУо = о . (2.3)

Значит, ~ с

'-а -р ' "р "а

Х Х Уо Уо

Здесь присутствуют четыре интеграла, вычислением которых и займемся.

^ = Г е-а с-р прха й Х = Г е-а С+3 хай Я+ - Г хай Я- +

п

= е-аГС -а-3 ) Ха + е-аГдд- ха Г С-р

я д хр

г \_-к

к

VIр ОС ^ Л* —

ха I С

- к

= еиаЦС-3 ~С-3 ) хайЯ + е-аГ ха Г Я-р^ + Б-р Г Г с]рй

ха д

Я д хЬ - к

Я - к

йЯ =

= е-аГ +С-3 -С-3 хайЯ + -Г

гр^ х3

Я ^^р - к

Я - к

/(2) = Г е-3 с-р пр х3й Х = Г е-ъс-ъкйЯ+ + Г е-3с- 3кйЯ+

Хо Я-

Гь

+1 е^а^п^й $ = 81]Ък\(о-;з + о]ъ) с® + еуз ф \ а^х3сЬс:

У1р(18 =

* д х

к

Г С - рх3 й хъ = 3 Г

_-к _ Я

д х

► х3 й х3

Р - к

к к !\Ъ) =Ре-аГ Г/йх3 ха • =РГе-3/х3 йУо = Р е-3 Г Г /-х3 й х3

Я _-к

Я - к

Согласно (2.3) должно быть:

/Ш + I® + /(3) + /(4) = о,

д к к е-аГ дхР\С-Рйх3 +С-3 -<3 +рГ /-йх3

я - к

ха йЯ +

+е-3 Г ¡CJPхз йх3 + к (с-3 +с-3 ) + рГ /-х3 й

Я д хр - к

х3 й х3

к

+ е-рГ Га-рй

Я _-к

йЯ = о.

Подынтегральное выражение в квадратных скобках в первом слагаемом обращается в

Х

Я

Я

о

+

Я'

Я

к

к

Я

Я'

г

к

д

+

+

Я

о

к

к

к

к

ноль в силу первых трех уравнений движения (2.2), и потому:

д к к к е31 |^х3 йх3 + к (а+}3 +Г-3 ) + р\/х3 йх3 й£ йх3

£ ё^ хЬ - к к

£ ё-к

й£ = 0.

Первое слагаемое имеет вид А], где: Л}. - это интеграл. Но:

8у3 А] = 8ia3 Аа + 8i33 А3 = 8ia3 Аа , так как 8is33 = 0 .

йБ = 0, (/ = 1,2,3).

Значит, предыдущее равенство имеет вид:

к к

\°ар х3 йх3 + к (<3 + ^а3 ) + р\ /а х3 й х3 й£ + 8р] йх

£ ^ хр -к -к J £ ё-к

Далее: 8р = 8аар °ар + 8г3р °3р = 8аар °ар + 8i3a ^3а = 8аар °ар - 8а3 *3а , и п°т°му

предыдущее равенство принимает вид:

д хр

д

д хр

к к к | °ар х3 йх3 - | °3ай х3 + И (<3 + '°~аЪ ) + р\ /а х3й х3

к

£ -к

й£ = 0. (2.4)

р -к -к - к При i = у (у = 1,2) второе слагаемое в (2.4) обращается в ноль и мы получаем:

д к к к 8уа31 д- | °ар х3й х3 - | °Ъай х3 + И (^3 +') + р\ /а х3й х3

£ ёд хр -к

й£ = 0.

-к -к Обозначим интеграл через Аа , тогда: еуа3 Аа = 0, 8у13 А1 + еу23 А2 = 0 . Полагая у = 1 и у = 2, получаем А2 = 0, А1 = 0, т.е. Аа = 0. Вследствие произвольности £ отсюда следует:

д

| &ар х3й х3 - | °3ай х3 + И (<3 +'°~аЪ ) + р\ /а х3й х3 = 0 .

хр -к -к -к

При i = 3 первое слагаемое в (2.4) обращается в ноль и потому:

д хг

(2.5)

'Эар

к

£ -к

й£ = 0.

С учетом равенства 83ар&ар = &12 -&21 из последнего выражения получаем:

к

| ¡(*п ) й

£ -к

й£ = 0.

Следовательно, при всех х1, х2 имеем:

к

\(ап-а2]) йх3 = 0 .

(2.6)

Непосредственно отсюда равенство ст12 - <х21 = 0 не следует, к нему мы вернемся позже. Окончательно из (2.2) и (2.5) получаем:

д

\°арйх3 +°+а3 -^а3 +Р\¥айх3 = Рдл | иа й

2 к

д х д

р - к к

3 =Р"д^2 I иа йх3

д х

| °3рй

<2 к

а3„а х3 + ст33 - сг33 + р

'{ ¥3йх3 1и33

р - к

д t1

и й х^

(2.7)

д

2 к

д хр

| °арх3й х3 - | °3айх3 + ^^ (<3 + ^а3 ) + р\ ^3^3 = | .

^^ "3 ) 3 1 "Д а3 1 J * ал3^3

хр -к -к - к -к

Эти уравнения, дополненные начальными и краевыми условиями, составляют математическую модель движения пластины. Подчеркнем, что они получены строго математически

I

£

к

к

к

к

к

к

к

к

к

к

из принципа динамического равновесия без привлечения дополнительных гипотез типа обобщенного напряженного состояния или кинематических. Система (2.7) - это еще не теория пластин, в том смысле, что она не содержит соотношений для определения полного напряженно-деформированного состояния пластины. Как видно, в систему (2.7) не входят напряжения с13 при |х3| < к; они входят в нее только как дополнительные массовые силы и

моменты через свои значения на границах |х3| = к; по этой причине соотношения упругости

с13 = Ю8ХЪ + 2те3 при |х3| < к для исследования системы (2.7) использовать нет необходимости, оставшиеся соотношения из закона Гука запишем в виде:

а- =ЯвЯ- + 2те- ^ в = екк ^ Ы < к ^ Сар=1в5ар+ 2теар ^ а3р= 2те3р ^ (Сар=Сра) ^

@ = £аа + 833 , 8ар = 2

'диа + дПь дх„ дха

1

р2

/5м1 + дирЛ дхр дх-.

£33 =дп3 . (2.8)

дх3

V а 0 ^у^р ^3

В таком виде они приемлемы, так как относятся к внутренним напряжениям, действующим в пластине; тем самым условие симметрии с12 = с21 выполнено.

3. Перемещения и напряжения в точках пластины

Введем обозначения интегралов, входящих в уравнения движения (2.7):

к

Г иа йх3 = 2куа (х1,х2, *) ,

- к к

Г и3 йх3 = 2кw(х1,х2,*), (3.1)

- к

к 2

Г и а хъ й хъ — к ®а (х , х2 , ^) .

- к

Таким образом, каждому полю перемещений и = и (х1, х2, х3, *) соответствуют единственные значения уа, w и ва. Наоборот, если заданы уа, w и ва, то полностью восстановить вектор перемещения нельзя. Действительно, общее решение уравнений (3.1) имеет вид:

иа = Уа+х36а+и (х1 ,х2 ,х3 д) , щ — >у(х1 ,х2 + (х1 ,х2 ,х3 д) , (3.2) где: й - вектор, удовлетворяющий условиям:

И о И о

|г7^х3=0, ^иах3с!х3 = 0. (3.3)

- к - к

Векторы и и и *, определенные при |х3| < к, будем называть кинематически эквивалентными, если они удовлетворяют условиям:

к к к к

Г

х3 =

Ги * й

х3 , ! иа х3 йх3 = ! иа х3 й х3 .

- к - к - к - к

Значит, вектор й будет кинематически эквивалентен нулевому вектору. Сохранение

слагаемого й в выражении для й никак не отразится в последующих вычислениях в силу условий (3.3). Поэтому в выражении для и это слагаемое опускаем:

иа = ^ + х3 ва ^ и3 = W (^ х2^ *) ^ (3.4)

помня при этом, что фактически это вектор только кинематически эквивалентен истинному вектору перемещения.

Значит, закон движения для пластины имеет вид:

Уа = Ха + ^ (Х2 , *) + Х3 ва (Х1 , Х2 , *)

у3 = х3 + ^ (х1, х2, *), причем уа = 0, w = 0 и ва = 0 при * = и можно выяснить механический

смысл вектора в = ва еа и его компонент ва.

Подставим выражения для интегралов из (3.1) в уравнения движения (2.7):

к + - к ^2

1 ^ п + - п

- А f saßdx3 + ^.Z^L + r\FadX, = р ^ 2h 5xßJh aß 3 2h 2h -h a 3 д t2

+ - h

+ ^33^ + р f F3dx3

1 Л h + - h ^2

1 д r y s33 -s33 р r _ y dw

I s3ßdx3 +-33-33+ — I F3dx3 =р—- , (3.5)

3ß 3 3 3 2

2h д x--h 2h 2h -h д t

1 д h 1 h , О* + ^3 р L , h2 д2^a

--I saß x3--I s3adx3 + —--a + — I F x3d x3 = р--a .

2h д xßJh aß 3 2h -h a 3 2 2h a 3 3 3 д t2

Появились тензоры с компонентами:

1 с 1 f

Taß = ~Z7 J Saß dx3, Maß = 77 J Saß x3 d x3 , (3.6)

2h-h 2h-h

и вектор с компонентами:

h

. d x .

2h

1 t

Qß=^-Js3ß dx3. (3.7)

- к

С учетом этих обозначений уравнения движения принимают окончательный вид:

5Та( . <3 -0аз . Г Г Ж7 -52 Уа

- + Sa3-Sa3 +Г IFadx3 = р-

О h OU J a 3 ^

д xß 2h 2h --h 3 ' д t2 + s " h 7И -

3 d x3 — р 2

=р*£. (3.8)

д xß 2h 2h д t

дм±.q +SL+2-lIf dx =ph-te

д xß 2 -h 3 д t

Отметим, что величины va, w и ва являются основными неизвестными задачи. Все остальные величины, которые уже появились и которые появятся, должны выражаться через

4. Теорема об изменении кинетической энергии пластины

Пусть основания пластины являются свободными и массовых сил нет, тогда уравнения движения становятся однородными:

T р^ , ^ = , ^ß-Q-^р'^ ^ Taß= ß Mßf= М- . (4.1)

дхр 5*2 дхр 5*2 дхр а 3

Предположение сделано для краткости при проведении выкладок, это не повлияет на выводы, которые будут сделаны.

Первое уравнение свернем с Уа , второе домножим на м? , третье - свернем с ва и результаты сложим; получим:

dxß dxß dxß 2 dt

• • • • h2 па

v ^ J

Здесь точкой обозначено дифференцирование по *. Выделим в левой части этого равенства дивергентную составляющую. Так как Тар = Т(^а ,Ыар = , то будем иметь:

д V

Т _а = т у

Тард хР Тар а

и потому:

д '

д х

Уар = 2

. \

д V д V

- + -

р

д хр д ха

V

д О

, мр-а = МрОа

д х

Тар уа + Ор W + Ма0Оа ТаВ

р

ар а ар ар ^р

д w д хр

+ Ор

р

- Мар°ар = РР £

Ор = 2

дОа дО +

р

д хр д ха V 0

к2

Уа V + WW+-ОаО

а 3 ас

. (4.2)

' д w

Обозначим 8п =-+ Ов , тогда получим:

д х

р

д

д хр

' ' ' I ( ' ' ' \ р д

Тар Уа + бр W+ МрОа - Тар Vр + °р£р + MaрОaр\— ^ —

V

/ V

к2

Уа + WW+ у ОаОа

Пусть У - объем всей пластины и Х - площадь срединной плоскости, отсекаемая боковой поверхностью. Через Г обозначим плоский контур, ограничивающий Х, через п -внешнюю нормаль к Г и через « - длину на Г .

Интегрируя предыдущее равенство по Х и используя формулу преобразования инте-

дР

гралов [-йХ = получим:

* дх 1

Г (Тар пр) уа+(°р пр) Мар пр)Оа -Д Тар Уар + Орер + МарОар

й Х =

г ( ' ' ' ' к2 ' '

Н уа + ww+ — ОсОс 2 д*{V а а 3 а а

р д

х V

р П . . . . Ь2 А А

й Х.

В этом равенстве К = — П уа\>а+мп# +—ва6с

йЯ - кинетическая энергия пластины,

Я = ГI Тар Уар+ Ор ер + Мар Оар IйХ- мощность внутренних напряжений в пластине;

А = § (ТарПр)Уа + ^рПр)™+(МарПр)ба

Г >-

й« - работа (в единицу времени) обобщенных сил

на контуре.

Значит, обобщенными силами, действующими на контуре Г и совершающими работу, являются выражения:

Та=Тарпр, <2 = <2рпр, Ма=Марпр. (4.3)

Величины Тар и Ма/3 являются компонентами двух симметричных тензоров Т и М второго ранга на плоскости (х1,х2) ; согласно тензорному исчислению, их свертки:

Та=Тарпр ъМа=Марпр,

с вектором {пр} на плоском контуре Г образуют векторы Т и М, лежащие в плоскости (хп х2): Т = Та ёа= Т ёх + Т ё2, М = Ма ёа.

Нормальная составляющая вектора момента Мп: Мп = М' па= Марпр па, называется скручивающим моментом, а касательная составляющая М :

М = М '* = М-а * а = Мар пр*а ,

1

Г

Х

Я

Х

где: а = , ха = ха(з) - натуральное уравнение Г, называется изгибающим моментом. йз

Величина О = Ор пр на Г называется перерезывающей (или поперечной) силой. Тензор Т = будем называть тензором напряжений, а тензор М = - тензором моментов

напряжений в пластине.

Если в трехмерной задаче на боковой поверхности пластины задан вектор напряжения, то граничные условия имеют вид:

=Та(Х3>*)> =T3(X3,S).

(4.4)

ем:

Интегрируя эти соотношения по толщине и учитывая, что пр не зависят от х3 , получа-

1 Г 1 Г ° 1 Г 1 Г °

^ } °3Р 'Пр = — ] Т3 (х, й,Х3 .

2 h h ар 3 р 2 h_n Эти условия принимают вид:

- h

2h

-h

(4.5)

1 Г ° I 1 г °

ТаР Пр\т =^й\Та ХЗ ' = ^ ПР\Т = 2~й\Тъ ^ '

- к - к

Умножая первые два условия из (4.4) на х3 и интегрируя по толщине, получаем:

1 Г 1 г ° I 1 Г °

-\оархъ<1хъ-пр= — \Та (х3 ,*)х3 й х3, Ма/3 пр\г = — \Та(х3,э )х3 <1 х3. (4.6)

2 h

2 h

- к - к - к В этом случае условия (4.5) и (4.6) и будут граничными условиями на контуре пластины (их пять).

Если же на боковой поверхности задан вектор перемещения:

Ua\S, =Ua(X

■U,

(х3

(не путать с (3.2),(3.3), то граничные условия на контуре пластины будут такими (их также пять):

! и о з и 0

=^т\иЛХ3^)С1Х3> Нг = — \щ{Х3^)ЛХ3> ва\т =—^\иа{Х3^)ХзЛХ3-2к-к 2к-к 2к - к

Мы рассмотрели два типа краевых условий, однако возможны и другие, смешанные. Из выражения для мощности внутренних напряжений Я в пластине следует, что вели-

чины:

VaJJ — 2

. \

д va д vb

a + vb д xb д xa

_ д w п • 1

SJ-~-+ qjj , ваВ—~

j

д x

j

2

.

два двя + -

д xb д xa

(4.7)

определяют скорости деформации пластины. Интегрируя эти соотношения и учитывая, что при t —t0 vaj3 — 0, Sj — 0, вар — 0, получим деформации пластины.

Таким образом, деформация пластины определяется двумя симметричными тензорами второго ранга (vaj),(ваЬ) и вектором S с компонентами sb .

Примечание: Рассмотрим малые пространственные перемещения тела как абсолютно твёрдого U — wxx + b , w — const, b — const или в компонентах:

U —w2 x3 - w3 x2 + b1, u2 — w3 x1 - w1 x3 + b2, u3 — w1 x2 - w2 x1 + b3.

В этом случае:

U

1

1 ( 5 и 5 и, ^

е 2

5 х, 5 х

V 1 1

= 0.

Для пластины по формулам (3.1) находим:

у = -щ х2 + Ь1, у2 = щ х + Ь2, = щх2 -щ хх + Ъ3, вх = щ, в2 = -щ,

и поэтому

1 (5 и 5 у а

Уа( 2

V5 х( 5 ха0

=0, в-=2

г

5ва+5в

Л

v5 хр 5 х.

р

а 0

-л

= 0, *р=-^ + в( = 0.

5 хр

Итак, для пластины введены обобщённые перемещения Уа , w ,ва и обобщенные напряжения Та(, Ор и Ма(, которые должны удовлетворять уравнениям движения; введены величины уа( ,вр и ва(, определяющие деформированное состояние, поставлены также краевые условия. Для замыкания системы уравнений не хватает соотношений:

Та(= Тар(УГ5 ,Еу в), Ма(= Мар(УГ5 ,£Г в?), Ор = Ор(У5 ,£Г , в5 ) ,

определяющих упругое поведение пластины.

5. Определяющие соотношения; замкнутая система уравнений

Так как перемещения определяются по формулам (3.4):

иа = Уа + х3ва-

и3 = W (Х1, х2 , *), Уа = Уа^^ Х2 , *), ва = ва (Х1, х2 , *) , (51)

то деформации будут равны:

= 1

е = 2

(5 и + 5 и,л 5 х, 5 х.

V 1 10

еа( = Уа( + х3вар-

е3а

5 и3 + 5 иа

V5ха 5х3 0

2

5 w

V5 ха

+ ва

2

5 и3 5 х„

=0.(5.2)

Соотношения (2.8) теперь уточняются:

= 1в5ар + 2Меар , = 2М^3а , в = £аа ,

и принимают вид:

°ар=(1уп5ар + 2МУ() + х3 (1вп5ар+ 2М ва( ) , = Мер ■

Значит,

(5.3)

-к

-к

-к

2

| °ара х3 = 2Г (1у„ 5ар + 2МУар), | <3р Лх3 = 2Г тер , | <ар х3 Л х3 = ^ Г (1вуу 5ар + 2Мвар) ■

Отсюда получаем определяющие соотношения:

Г2

Тар = 1у„ 5ар + 2тУар , Мар = у (1в„ 5ар + 2Мвар), Ор = М е р

(5.4)

Итак, замкнутая система уравнений имеет вид:

5 Тар + <+3 -<а3 + Р

Г 5 2У

| ^ йх3 = р—а, (а = 1,2),

5 х

р

2к

2к а 3 5 *

-к

5 О

5 хр

р + а33 а

2к

33 + р

р Г Ъ а

2Г1

3М.Л3

х3 =р

5 ^

5 Мар п ,<3 +<„3

5 хр

- Оа+-

+

2р Г Ра х3 Лх3 =Р

5 г2

к2 52ва

3 512

Мар = ^ (в 5ар + 2М вар ), Уар = ^^

2 а 3 3

р 2 2к -к

Тар =1Ууу 5ар + 2МУар , У?Г = Уар 5ар , Ор =Мeр, вп = ваВ 5с

2 1 (5 у„ 5 У А

ар ар

■ + ■

р

V5 хр 5 ха0

в = 1

вар = 2

5ва 5 в +

р

V5 хр 5 ха 0

(5.5)

5 W +в

еа =

1

1

1

2

к

к

к

г

г

Исключая из первых двух уравнений движения Т,, получаем:

7 - ^

3

(л + т)д^ уп + тА + <а3-1а,г3 + 271 -р

д ха

27

дЧ г

77 д '

д г

2

А-д! + (5.5)'

д х1 д х2

~ - ~ "7

Исключая из оставшихся трех уравнений движения (5.5) величины МаВ и Qв, получа-

ем:

т

д

(

д х.

д w

Л

кд хР0

+ ■

3

\д0 д2ва

д ха

д г2

т

27

д w

+

Р [ Ъ а

чи л 3

27

хз -Р

д2 w

д г2

д ха

+в

<а3 + <а3

Р

+ аз_аз +

2

27

7

| ¥а х3 ах3 - 0. (5.5)"

Как видим, система уравнений разбивается на две подсистемы (5.5)' и (5.5)'', причем это же происходит и с граничными условиями. В дальнейшем сосредоточим внимание на задаче изгиба пластин.

6. Математическая модель изгиба

Рассмотрим задачу о статическом изгибе пластины под действием нормальной нагрузки р - - <х33) и при сг-3 - <+3 - 0,¥а - 0 . Система уравнений примет вид:

дМа

дх

- Qa;

Р .

к2

Р

дх 27 ' МаР - 7 (ШаР + 2 та) ; ^ - те а .

е ^ + в . в-два . П - 1

а а 2

два дв

\

Удхр дХа 0

Запишем ее в перемещениях:

7!

3

(1 + т) ^в + тАва

дха

д

(

дха

дw

Л

+ ва

- т р

дw

V дХа

+ ва

- 0,

дха " 2р7 им

(1 + 2т)Ав-

(6.1)

(6.2)

а V а

Исключив из этих уравнений w , получим первое из основных соотношений:

3р

273'

второе основное соотношение - это уравнение (6.2):

Аw + в— Р

2^7

Отсюда следует А2w + Ав - Ар/(2р7); после этого из (6.3) находим:

А^ --

3р

■ +

Ар

(6.3)

(6.4)

(6.5)

2(1 + 2т)73 2т7

Это уравнение существенно отличается от основного уравнения классической теории изгиба пластин: в нем есть второе слагаемое и нет привычной всем цилиндрической жесткости. Если условно в (6.5) изгибной жесткостью Б1 Б1 посчитать обратную величину коэффициента при р , то получим отношение:

Д -1 + 2т

(1 - у2) -

(1 - V)2

-1 +

V

Б Е 4 ' 1 - 2у 1 - 2У Это отношение может заметно превышать единицу.

Недостающие уравнения для определения вектора в,в2) получаются из системы (6.1):

7

+

<33 <33

7

. _ з з ^ л + т дв

Ь.оа--2ва -----

к к дха т дха

(6.6)

Система (6.5), (6.6), дополненная граничными условиями, которые известным образом выражаются через w и ва, составляют математическую модель статического изгиба пластин. Чтобы завершить теорию изгиба, необходимо определить полное напряженно-деформированное состояние пластины. Для этого следует воспользоваться выражениями (3.2) для полного вектора перемещений (при \а = 0 ) и составить уравнения равновесия в

форме Ламе; решение этой неоднородной системы относительно функций и°а(х1,х2,х3) и и0(х1, х2, х3) следует подчинить реальным граничным условиям на поверхности пластины и условиям (3.3) кинематической эквивалентности нулю.

Замечание. Этой задачей мы заниматься не будем; отметим лишь, что аналогично тому, как это делается в классической теории, могут быть получены выражения для касательных напряжений ст13,ст23:

3П

^13 = 2 °

г

1 --

4 х.

2 Л

к'

Зп

, ^23 = 2 О

(

1-

4х

2

к2

Через Qa обозначены перерезывающие усилия, отнесенные к толщине пластины.

7. Краевая задача, единственность решения

Состояние статического изгиба пластины определяется уравнениями

дМ

а/3

дхг_

Qa Ра ;

дха

= -*3;

(7.1)

р = °"а3 °"а3

+

Г к ^ Рах3^х3; Р3

°33 °33

2к

-к к2

2к

+

Г Г ;

33

2к

Ма/ = у(лв$ар + 2твз); О = т^а;

(7.2)

е =дW + в • й=бва • в = 1

8а = — + ва; в = --; ва/ = ~

дха дха 2

два дв

■ + ■

3

V

дх3 дха

Параметры ва введены соотношениями:

в„ =

2к

к

| иах3^3

-к

в которых иа( х1, х2, х3, ^) - вектор перемещений. Система (7.1), (7.2) дополняется краевыми условиями на контуре Г; в зависимости от вида условий могут быть сформулированы следующие задачи:

1. задача в перемещениях - на Г заданы w,вa;

1. задача в напряжениях - на Г заданы М и О, при этом Ма = М/П/, О = ОрПр;

2. первая смешанная задача - на Г заданы М, w;

3. вторая смешанная задача - на Г заданы ва, О; на разных частях Г могут быть заданы различные из перечисленных выше условий.

Допустим, что имеется два решения какой-либо из краевых задач 1 - 4; разности этих решений удовлетворяют соотношениям (7.2) однородным уравнениям равновесия:

дМ3 дО

-а3- О = 0;

дхр дх

3

=0

(7.3)

3

к

к

2

к

и однородным граничным условиям.

Предварительно выведем интегральное равенство, которое следует из (7.3) и одного из однородных граничных условий. Первое из уравнений (7.3) свернем с 6а, второе домножим

на w и результаты сложим, получим:

дыаВ

р слх ь

Выделим в этом уравнении дивергентную часть и учтем, что вследствие симметрии моментов Мар = Мра будет Мар(д6а/дхр) = Мар6ар ; из (7.4) получим:

д

МаЛр + = (М«А + ^) * дХр

Проинтегрируем это равенство по области 5, занятой пластиной, будем иметь: \(мар0а1}+д1}еру8 = §(ма1}п1}еа+дрп1}м>у*. (7.5)

5 г

В любой из краевых задач, отмеченных выше, выражение под знаком интеграла справа равно нулю, поэтому из (7.5) последует необходимое интегральное равенство:

\(Мареар + аргр)й8 = 0. (7.6)

5

С учетом соотношений (7.2) выражение под интегралом в (7.6) примет вид:

к2

А = М«Яр + (6 + 2^аЛ) Т + теер. (7*7)

3

Обозначим 01°,02° - инварианты тензора 6ар, тогда 6 = 6,0 + 620,6ар6ар = 0,° +0° , поэтому (7.7) примет вид:

а=к-

3

2 Г 2 / \"|

1(6° +02°) + 2т(б,°2 +02°2) +т(е +е22).

Следовательно, А - квадратичная форма с положительными коэффициентами, т.е. А -положительно определенная квадратичная форма: А > 0 . Равенство (7.7):

| Ай5 = 0,

возможно поэтому лишь при условии, что в каждой точке пластины А = 0 . Это влечет за собой равенства 6,0 = 020 = е, = е2 = 0, откуда следует, что 6рр = 0, ер = 0, Мар = 0,Qр= 0. Доказано, таким образом, что решения начально-краевых задач 1 - 4 определяются единственным образом, если они существуют.

Замечание. В работе [2] предложен вариант теории пластин, основанный на известных гипотезах (автор называет их физическими): первая относится к перемещениям иа и по существу совпадает с аппроксимацией Генки иа = х36а ; вторая устанавливает малость напряжения <г33 по сравнению с напряжениями &аа. Далее, как отмечает автор, уравнения равновесия пластины стандартными преобразованиями приводятся к трем уравнениям относительно трех функций: ^ и 6а . Эту систему (вместе с граничными условиями) следовало бы, по нашему мнению, выписать и проанализировать. Вместо этого предлагается привести систему к виду, аналогичному уравнениям Рейсснера. Исключение Qa из уравнений равновесия приводят к соотношению (аналог (6.3)):

ВА6 + р = 0.

Далее цитируем: «Структура этого уравнения показывает, что введением потенциальной функции ф(х, у) такой, что 6Х = -дф/ дх, 6 = -дф/ ду, его можно привести к следующей

форме: ВА2ф = р"». Это утверждение ошибочно, поскольку противоречит известной из анализа теореме: векторное поле тогда и только тогда имеет потенциал, когда оно безвихревое. Но при произвольной нагрузке р(х, у) и граничных условиях будет, вообще говоря, выполняться неравенство двх /ду — дву /дх ф 0, а это означает, что векторное поле (вх,ву ) не может

быть потенциальным. Хорошо известно, однако, что любое векторное поле может быть представлено суммой потенциального и соленоидального; в нашем случае двухмерного вектора в,в2) имеем:

дф ду

в дф ду

в1 =--1--.

дх1 дх2

в =

дх0 дх

(7.8)

Из уравнений (7.1) последует: '(Л + 2р)И2

А

3т

Аф—w— ф

3

Откуда получаем соотношения: (1 + 2т)к2

= 0, А1 Ау — — у 1 = 0.

3

Аф — w — ф = фо(хх,х2), Ау — у = Уо(х1,х2),

3т и

в которых ф0,у0 - произвольные гармонические функции. В аналогичных уравнениях работы [2], вследствие некорректных математических построений, вместо функций ф0,у0 стоят постоянные, которые затем полагаются равными нулю. Вопрос об определении функций ф0,у0 в каждом конкретном случае должен решаться отдельно; полагать их заранее равными

нулю нам представляется необоснованным, более того, они могут оказаться необходимыми при определении полного вектора перемещений. В свете высказанных соображений заявление автора [2] о том, что его работа «...посвящена обоснованию теории, которую предлагается считать современной формой классической теории пластин», оказывается преждевременным.

Часть II. Некоторые методы исследования; примеры

Выведены уравнения совместности (тождества, их два) деформаций в задаче об изгибе пластин (по аналогии с тождествами Сен-Венана в линейной теории упругости). Получена полная система уравнений статического изгиба; для случая, когда пластина изгибается только воздействиями по контуру, сформулирована задача в напряжениях. Представлено общее решение задачи в перемещениях. Приведены примеры статического изгиба пластин, выяснено влияние коэффициента Пуассона; выявлены параметры подобия и условия моделирования. Рассмотрены некоторые задачи свободных колебаний, а также панельного сверхзвукового флаттера в рамках поршневой теории

1. Условия совместности; задача в напряжениях

Запишем основные соотношения теории изгиба пластин :

еа =

^ в в = дв

дха

Отсюда имеем:

дха

®ар =

(

два дв,

\

дхр дха

Р

и2,

; йа=е Мар= — (в

ар

+

2твар).

дw дха

= еа—ва; Аеа =

дха

Аw + Ава

поэтому

Аw = £ — в,

Из двух последних соотношений получаем:

е = ■

д£а дха

д

Ава=Ава+— (е — в).

дха

Далее имеем:

2вар =

два двр Ав = 2 в дв

дхр дха

дхр дхс

Из последних трех соотношений окончательно получаем:

де

Аеа=д- + 2 да

^ дв ар двЛ

Удхр дха0

(11)

Таким образом, получено два уравнения совместности (тождества) деформаций в задаче об изгибе пластины. Выразим деформации еа и вар через моменты Мар и перерезывающие силы Qa . Из выражений для моментов имеем:

3

2твар= -Г Мар—Шар .

Отсюда следует: в = 3М / ((1 + т)И2) ,2М + М11 + М12, поэтому окончательно получим:

3 3

2твар= И2Мар— ^Шар '

Примем во внимание очевидные равенства:

3

тв = (1 — 2v)—М; тер = Qр; те =

о

дхр

и подставим все в соотношение (1.1). Получим:

АОа =

д

Гяп Л

дха

до

Кдхр0

+ -

3

и

(

дМа>+ 2(, — ,) дМ

Л

V дхр

дха

(12)

Теперь это два уравнения, связывающие между собой вектор 0а и тензор Мар.

_ <Х33 — От, р

Введем обозначения -33-33 +--

2И 2И

аа3 +аа3 2

+

2И | ^3^3 = Р¥с

2И

тогда

система уравнений изгиба примет при этом вид:

до дМр

а +р^3 = 0; — Оа+РРа= 0.

дх

дхр

С учетом этих соотношений уравнения (1.2) преобразуются:

3 „ 6(1 — V) дМ

АОа — И2 0 +—1^ ■— = —Р

и2

дха

(д¥ъ 3 ^ —3 +--¥

V дха И2 а 0

(1.3)

(14)

Таким образом, получена полная система уравнений статического изгиба пластины. Рассмотрим случай, когда пластина изгибается воздействиями по контуру; система (1.3), (1.4) запишется в виде:

дМр д0

ар — 0а= 0; = 0,

дх

р

дха

Положим:

3 _ 6(1 — V) дМ

А0а— И2 ^ — М- 0'

о =—■ О =- — ■ ¥ = др1 I

дх2' сЬ^' сЬ^ дх2

(1.5) (16)

(161)

и

и

и

и

дК

дК

Ми=2^;М77=---; Ми = —---М

11 ^ у 22 у 12

С/х 2 С/Х1 Сух 2 С/Х1 СУХ 2 С/Л1

Введенные функции Г, Га считаем пока произвольными. Непосредственной проверкой

нетрудно убедиться, что уравнения (1.5) при этом обращаются в тождества; оставшиеся уравнения (1.6) принимают вид:

дх

1 V

3

АГ - -- Г И2

= +

6(1 - V) дМ д

Введем обозначения:

И2

3

дх0 дх<

2 V

3

АГ - 4 Г И2

р = АГ--уГ; у = -

И2

6(1 - V)

И2

М.

6(1 - V) дМ

И2 дх1

(1.7)

Из предыдущих уравнений следует, что функции р и у удовлетворяют условиям Ко-ши-Римана:

др ду др ду

дх1 дх2 дх2

дхл

следовательно, они являются сопряженными гармоническими функциями:

р + ¡у = Ф* (г), г = х1 + ¡х2 .

Таким образом, для определения ¥а и М имеем систему уравнений:

_ 3 ^ д^ дК2 _ д^ дк2 Ъ/Г 6(1-у)_. А/7—тР = ср; —- + —- = Т7 ; —---- = М; у = , М.

И2

дх1 дх2

дх2 дх1

И2

(1.8)

Функция Б удовлетворяет неоднородному уравнению Гамильтона; поскольку р - гармоническая функция, его частным решением будет = -(И2 / 3)р; общее решение, следовательно, имеет вид:

И2 3

Г =--р + Н, АН--тН = 0.

3 И2

В результате система (1.8) примет окончательную форму:

8Е2 И2 а . /г2 . . —1 + —- = Н--ср\ А^ = 0;—1--- = Н--(р\ А^ = 0;

дхх дх2

3

5 Х0

з

Эх, Зх,

= М; АМ = 0 (1.81)

3

АН--- Н = 0.

И2

Эту систему удобно записать в комплексном виде.

Домножим второе уравнение из (1.81) на г и вычтем из первого. После известных преобразований получим:

= —ср-гМ, 4--^-Н = 0,

дгУ 3 && /г2

выразим из второго уравнения Н и подставим в первое, будем иметь:

Г 2 л2 >2 Л

2 — (^ ) =---

& 3

'и2 М

— р + гМ 3

(1.811)

На основании уравнений (1.8) можем написать:

И2 И2

—(р + ¡у) = —р + 2(1 - V) ¡М,

тогда произвольную аналитическую функцию (И2 / 3)(р + ¡у) можно записать в виде:

И2

у р + 2г (1 - V) М = -8(1 - V )Ф'( г).

Из последних двух равенств следует:

и2

— ф = —4(1 — V) [ф"(г) + Ф"(г)] ; 1М =

—2

Ф"( г) — Ф1( г)

и окончательно:

и2

3

ф + 1М = —2

(3 — 2v)Ф"(г) + (1 — 2v) Ф'(г)

Подставим это выражение в (1.811), получим: д . 2И2 д2И

дг 3 дгдг

+ (3 — 2v)Ф(г) + (1 — 2v) Ф'(г)

После интегрирования отсюда последует:

2И2 ди

к + /р =

+ (3 — 2v )Ф( г) + (1 — 2v) гФ"( г) + Т"( г),

3 &

здесь: ¥( г) - произвольная аналитическая функция.

Из первой формулы (1.81) и формулы (1.9) нетрудно получить:

эр эр

~ + = Н + 4(1-у)

(1.10)

дх1

Ф"( г ) + Ф"( г )

(1.11)

Эта формула будет использована при формулировке граничных условий, которые имеют вид:

ОрПр |Г = 0°(з); МррПр |г = М°в(з), [па,Пр} = п\ здесь: 0°( з), М°( з) - известные на контуре функции от длины дуги. Подставим сюда выражения 0р и Мр через ¥р , получим:

д¥ 0

д¥ д¥ ,

дхо

дхх

„ дР {дР дР 2—г-пх +

дх„

кдх2

дх

п2 = Мх,

1 0

'дР дР^

у дх2 дхх

дР

пх- 2—2-п2 =М°2. дх

дР дР

Подставим в (в) вместо дР1 / дх2 выражение —- = Р -

дх„

дх1

(а) (в) (с)

аналогично в (с) дРх!дхх

заменим на выражение —1 = Р

дхх

дх.

, в результате граничные условия (а), (в), (с) примут

вид:

д¥ д¥

дх.

дх

п2 = о0, 2

эк

\дх2

дх.

-П-,

= м,° - р , 2

ар;

vдx2

дх1

-п.

= М2 +Р пх.

Обозначим ^0 =[^1, ¿2} - единичный вектор касательной, повернутый по отношению к п0 против часовой стрелки; а - угол, образуемый вектором п0 с осью х1. Тогда:

П = cosр = /2; п2 = $>шр = — . Пусть х1 = х1(^), х2 = х2(з) - натуральные уравнения контура, тогда будем иметь:

йх.

= йх1; = йх2 11~ г ; 12~ г ,

аз аз

поэтому:

тг -

п

дГ дх-,

дГ

дГ

дГ

Эх, Эх, Эх,

5хп

¿¿у

Граничные условия теперь можно переписать в интегрируемой форме:

<iF

да да ж

Эти уравнения можно преобразовать на основании соотношений:

(%х>л б/

Р Ч = Г-Г = -(Рхх)- х1 — = — (^х,) - , да да Ш' да

^ =4 = 7^-^7 = Т^Ь •

да да да да

В результате имеем:

да да да

Интегрируя эти равенства по замкнутому контуру Г, придем к необходимым условиям равновесия:

здесь: х = {х1,х2}.

Теперь, зная на контуре Г значения функций и^, можно сформулировать гра-

ничные условия для функций Н,Ф(г) и ¥(г). Из (1.10) и (1.11) получим:

И2 (дН

3

vдx1

- + г-

дН

дх,

+ (3 - 2v)Ф(г) + (1 - 2v)гФ\г) + ¥(г) = ^ + ¡К .

2 0

Таким образом, сформулирована краевая задача для однородной системы (1.5), (1.6). Запишем выражения для функций в действительной форме и положим:

др1 . др2

Ф(г) = р + ¡р2;) = ^ + ¡^2; Ф'(г) = + г

Из формул (1.10) тогда получим: И2 дН

^ =

3 дхх

к2 дн

3 дх.

+ (3 - 2v )р1 + (1 - 2v) + (3 - 2v )р2 + (1 - 2v)

Г дрл др2 Л х —^ + х 2

"Т" х2

1 дх1 2 дх1 дрх ^ р

дх1 дх1

дх1 дх1

2.

Учтем соотношения:

др1 = др2 др1 = др2 дх¥1 = ^ &¥х = 2

дх1

5х2 5Х2

5х1 дх 5Х2 дх2

дх1

и введем функцию у , положив у = у2 = - ду , А у = 0.

дх 5х2

После этого из формул (1.12) окончательно получим:

И2

—Н + (1 - 2v)(х1р1 + х2р2) + ¥

К2=2<р2+^~

дх.

И2

—Н (1 - 2v)(х1р1 + х2р2) + ¥

3

, Ау = 0, АН —зН = 0, (1.13)

п

2

dF dF F=^ + ^=H + 4(1-v)

dxi дх.

г дсрх | дср^ дх.

= # + 8(l-v)

д<Рг дхх

дх

их 1 у

2. Определение перемещений w,вр

По формулам (1.61) и (1.13) предыдущего параграфа вычислим Ор,Мрр и М. Подставив сюда предыдущие выражения, получим:

а2

= (V - 4)(1 - 2v) j + 2

Sx1 dx1 dx1dx2

h2

—H + (1 - 2v )(x1 j + x2 j2) + Y

2m— _ 4(1 - 2v)j - 2

а2

dx.

dx.

dx1dx2

h2

—H + (1 - 2v )(x1 j + x2j2) + Y

После интегрирования из первых двух уравнений найдем (с точностью до поворотов пластины как жесткого целого):

а

m—1 =-2(1 - 2v )j + —

Sx2

а

m— _ 2(1 - 2v m- —

Sx1

h2

—H + (1 - 2v )(x1 j + x2 j2) + Y h2

—H + (1 - 2v )(x1 j + x2 j2) + Y

Третье уравнение, как нетрудно убедиться, выполняется тождественно. Далее имеем:

д^ ^ 3 дw ^ 3

т— = 0 — тут^; т— = ° — 77т#2.

дх1 п дх2 п

Подставив сюда выражения (2.1) и (2.2), после очевидных преобразований получим:

3 дЧ

dw ч а2 j „ _ ч з а , ч

m— _ 8(1 - v )——+(1 - 2v ^77—(x1 j- x2 j1) ■ Sx1 dx1dx2 h аx1

h Sx0

aw ча2 j „ „ ч з а , ч з аY m— _8(1 - V +(1 - 2v ^тт—(j- j )

ax.

аx2

h Sx,

2 2 2 Введем функцию Y*, сопряженную с Y, так что :

ау_ау sy = SY*

Sx Sx, Sx,

h Sx1

^х2 ^х2 дх1

тогда последние уравнения могут быть представлены в форме: £уай (mw — □( х1, х2)) = 0; следовательно, с точностью до перемещений пластины, как жесткого целого, можем принять:

дф1 „ ^ ч 3 , 3

mw _ 8(1 - v )

dx~

■ + (1 - 2v^77(x1 j - x2 j1) + 77 Y*. h h

3. Некоторые примеры

В качестве первого примера рассмотрим задачу об изгибе круглой пластины под действием равномерной нагрузки.

(2 2 \1/2

xt + x2) , она нагружена перепадом давлений - s- _ -p _ const > 0; о граничных условиях сказано ниже.

Задачу будем решать в перемещениях, для чего воспользуемся уравнениями (6.3),(6.4) из части I, при этом полную толщину пластины обозначим h. Уравнения имеют вид:

Ав _ ■

12 p

(л+2m)h

, Aw _-в + Р; в_ава / Sxa.

/dh

В полярной системе координат при осевой симметрии оператор Лапласа имеет вид: А/ = (г/')' / г, где штрих обозначает производную по г, поэтому предыдущая система запишется в виде:

(гв')' = 12рГ = Аг, (=-вг + Р- °-вг + Дг . (1 + 2/)к /к

Последовательно проинтегрируем каждое из этих уравнений, получим в результате:

в = Л г2 + сЛп г + с,, w = -—г4 - с 4 1 2 64 1

С г2 г2 1 >

—1п г---+ — 1п г

V 4 8 8 ^

- — г2 + — г2 + Ь 1п г + Ь2. 4 4 1 2

Решение должно быть ограничено в начале координат г = 0, поэтому полагаем с1 = Ь1 = 0 ; окончательно для в и w получим выражения:

1 2

в = 4Л0 г2 + С2, (3.1)

w = -—Л0г4 -1 с2г2 +1 Аг2 + Ь2. (3.2)

64 4 2 4 1 2

Для формулировки граничных условий понадобится вектор ва; примем для него представление ва = и(г)ха и составим уравнение два /дха = в : с учетом выражения (3.1) получим для и(г) уравнение:

ги' + 2и = 1 Л0г2 + с2.

Ограничение при г = 0 решение этого уравнение имеет вид:

и = Л г2 +1 с2. (3.3)

16 2 2

Итак, прогиб w и вектор ва определены с точностью до двух постоянных Ь2 и с2, которые находятся из граничных условий. Рассмотрим два случая: заделка, шарнирная опора.

а. Край г = а жестко закреплен: w(a) = 0, ва(а) = 0.

Последнее условие будет выполнено, если и(а) = 0; из выражения (3.3) находим с2 = -Л0а2/8. Подставим это в (3.2) и выполним условие w(a) = 0; определим Ь2:

Ь2 = —— Ла4 - - Л,а2.

2 64 4 1

Окончательно для прогиба w(r) будем иметь:

w = -—А (а2 - г2)2 -1 Л, (а2 - г2).

64 4

Подставим сюда значения параметров Л0 и Л1, выразив предварительно константы Ламе 1 и / через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V, получим:

,2\„ 1 о,. /--.2 2\2 /1 , „2 „2

^ 12(1 - V ) р 1 - 2v (а - г2)2 (1 + V) ра2 - г2

(3.4)

к 64Е (1 - V)2 к4 4Е к2

Заметим, что второе слагаемое имеет порядок к2 /а2 по отношению к первому и в случае достаточно тонких пластин им можно пренебречь. Для сравнения запишем формулу «классической» теории:

м^ = 12(1 - V2)р (а2 - г2)2 к 64Е к4 ' Отношение wшl/w по главному слагаемому в (3.4) будет равно:

w„

w

(1 - V)2

= 1+-

1 - 2v 1 - 2v

Как видно, оно существенно зависит от коэффициента Пуассона V . б. На границе г = а выполнено условие шарнирной опоры. Это первая смешанная краевая задача, на границе Г(г = а) заданы нулевые значения вектора М = {М„М2} и перемещения w ; при этом Ма = МарПр,пр,пр - компоненты вектора внешней нормали к контуру, в нашем случае п1 = х1 /а, п2 = х2 /а . Выпишем тензор Мар:

^ к Ми = — 11 3

2 (

в

дх1

Л к2 С двл двл 1 + -

1в + 2/л—1 ; М12 = —/

3

V дХ2

дх1

к

М22 = у

2

1в + 2/

дв

дх

2 0

Граничные условия теперь запишутся следующим образом:

w(a)=0,

(3.5)

Зв

дх1

10 + 2/

V

С10 + 2Л302

дх

х

0 г=а

V

а

х

дв дв —1 + —2

V дХ2 дХ1

х

0 г=а

^ = 0. а

(

2 0г

а

30о дв, - + -

дх1 дх

х

2 0г

а

1 = 0. (3.6)

Образуем выражения два/дхр, пользуясь выражением (3.3) и формулами ва= иха; подставив все в (3.6), легко убедимся в том, что оба равенства сведутся к одному, из которого определится постоянная интегрирования с2 :

1 . 221+3/

с2 — ~~ Ла .

8 1 + /

Подставим это значение с2 в формулу (3.2) и выполним условие w(a) = 0. Определим отсюда Ь2 :

7 Л 31 + 5л 4 Л 2

Ь2 = —--— а--1 а .

2 64 1 + / 4

Подставим в выражение (3.2) значения параметров Л0 и Л1 и найденных констант с2, Ь2

; получим окончательно:

w = 12 р к "

2 2 { а - г

64(1 + 2/) к4 V 1 + /

31 + 5/ 2 2 а - г

(а2 - г2)

4/

к2

(3.7)

Как и в первом случае обнаруживаем, что второе слагаемое имеет порядок и2 /а2 по сравнению с первым. Для сравнения приведем формулу «классической» теории:

к

12р(1 - V2) а2 - г2 (5 + V 2 - 2

64Е

к4

1 + V

Предварительно выразив в (3.7) 1 и / через Е и V

31 + 5/ 1 (5 - 4v)(1 + v)(1 - 2v)

(1 + 2/)(1 + /) Е

1 - V

получим (по первому слагаемому в (3.7)):

5 + V

кМ @_

w(0) (5 - 4v)(1 + V)

1 + ■

V

2 Л

1 - 2v

0

1 - V2

1-

V

2 \

5 - 4v

0

1 + ■

V

2 Л

1 - 2v

0

Здесь принято: w = w(x), в1 = в1(х), р = р(х), в(х) = дв1 / дх.

Из второго уравнения (3.9) определим д^ / дх2 и подставим в первое. В результате по-

2

V

1

лучим:

52в _ 12p(x)

dx2 (i + 2m)h ' Дважды интегрируя, будем иметь:

-J dx J p( x)dx + cv

в = _в =.

dx (1 + 2mW

+ cx + c2.

Отсюда находим в1(x):

q( x) = ■

12

■J dx J dx J p( x)dx + 1 cv

+ — cx + c0x + c . 2 1 23

(1 + 2m)hh

Из второго уравнения (3.9) определим dw/dx и проинтегрируем, найдем:

(1 + 2m)h2

w = -

Jq—( x)dx

+ ■

12m

q( x)+c4.

Произвольные постоянные ск находятся из граничных условий, которые могут быть произвольными.

В третьем примере рассмотрим изгиб прямоугольной пластины, шарнирно опертой по краям. В плоскости х1,х2 пластина занимает область Г: [0 < х1 < 1;0 < х2 < I / р}, толщину

пластины обозначим и . Условия шарнирной опоры - это первая смешанная задача. Уравнения изгиба и граничные условия имеют вид:

(1 + 2т)Ьв =123P; Aw + в = Р, h mh

Ава -12ва=4 -1+mde; в=_в ;в„й=1

h2

h2 dxa

m dxa

dxa '

'ap

2

ydxp dxa

(3.10)

; Mpp = h2 (iedap + 2твар);

х1гx2 еГ: w = 0; Mapnp=

(3.11)

В дальнейшем изложении будем использовать безразмерные координаты, отнесенные к l, прогиб, отнесенный к h, и параметр в, отнесенный к 1/l; оставим за ним прежние обозначения.

Примем, что нагрузка распределена по закону p = p° sinox1 sin ppx2, а кинематические параметры представлены формулами:

w = w° sin o sin pox2; в1 = a1 cos o sin pox2, в2 = a2 sin o cos pox2; в = в° sin o sin pox2, тогда граничные условия (3.11) при этом удовлетворяются, а из (3.10) определяются ^^ a2:

w = ■

12p°l4

f

o (1 + p2)2(1 + 2m)h4

h2 1 + 2тЛ 12 p°l4(1 + v)(1 - 2v)

1 +

(

l2 12m 0 o (1 + p )2hE(1 - v) l l2 6(1 + v)(1 - 2v)

i h2

1+ T

1 - v2

Л

(3.12)

в =

12p°l3

o (1 + p2)(1 + 2m)h

; a2 = pal,

a =

12p°l3

■ + ■

1 + m

p°l

(3.13)

(3.14)

ж3(1 + р2)2(1 + 2т)и3 т(1 + 2т) р(1 + р2)и'

Определим напряженное состояние аар; из соотношений Ламе, пользуясь выражениями (3.12)-(3.14) с сохранением в них главных слагаемых, получим:

Si = A

S22 = A

2Л

1 +

vb

1 - v

sin sin bpx2

1 - v

+ p2 Isinpx1sinPnx2

(3.15)

. 1 - 2v

s12 = s21 = Ab-cosp cos j3px2,

1 - v

здесь обозначено A = 12p0l2x3/(p2(1 + b2)2h2) .

Для сравнения приведем соответствующие выражения для wk и акар, которые следуют из классической теории:

12p0l 4(1 - v2)

w* =

„ , , „ sinpx, sin Вжх2, p4(1 + В )2Eh4 1 2

= A(1 + b2v) sin px1 sin bnx2 ,

S = A(p2 + v) sin px1 sin Pnx2,

s1*2 = Ap cos px1 cos Pnx2.

Из сравнения (3.16) и (3.12) по главному слагаемому получаем:

(3.16)

(3.17)

w

w0 sinpx1 sin Ppx2 Из сравнения (3.17) и (3.15) следует:

= 1 -■

(1 - v)2

1 - v 1 - 2v

o£ = (1 + P2v)(\ - v); = (b2 + v)(l - v); s Sjj 1 - v + P2v ' s22 P2(1 - v) + v 's

В частности в прямоугольной пластине (P = 1) имеем:

sk к

а11 =° 22 = i - v2

S11 S22

Как видно из примеров, прогибы и касательные напряжения пластины, определяемые по развитой теории, существенно зависят от коэффициентов Пуассона и больше, чем доставляемые классической теорией. Нормальные напряжения слабо зависят от v и мало отличаются от таковых в теории Киргоффа-Лява.

Замечание. Приведенное решение очевидным образом обобщается на случай нагрузки, представляемой рядом: p(x,y) = p0amu sinmpx1 sinpppx2.

4. Колебания и флаттер

Запишем уравнения свободных колебаний пластины (h обозначает полную толщину):

3

^ 3w

a \3xa h2

dx

Л

+ ва

p 32 w

m 3t2

12

ч 30 32e„

(i + m)— + mD0a - p-

3xa

3t2

m

3w

K3xa

+ 0a

Из первого уравнения, выполнив дифференцирование, получим:

. . p 32w Aw + 0 = —

(4.1)

= 0.

(4.2)

т Зг2 '

Второе из уравнений (4.1) продифференцируем по х1, третье - по х2 и сложим, будем иметь:

v

2

v

12 д в (1 + 2т)Дв - р — (Дм + в) = р— .

На основании (4.2) это уравнение может быть представлено в виде:

д2в 12 д2м

(1 + 2т)Д6 = р— + — р 2 д/ Н д/

(4.3)

(4.4)

Обозначим с = ((1 + 2т)/ р) , с2 = (т / Р)12 и положим в = в0 (х1, х2) ехр(гМ), м = м0(х1? х2)ехр(М/); из (4.2) и (4.4) получим:

ДМ +в0 +— М =

'2

с

л

л

,п М 12м

Два+ — в + М = 0. с1 Н с1

(4.5)

(4.6)

Примем ва = в0а( х1, х2)ехр( гМ) и подставим во второе уравнение (4.1), будем иметь:

Н2

12

дв

(я + т)-А + тДв0а + рм2в дх„

0а

дм0 дха

+ в

0а

- 0 .

(4.7)

Если общее решение системы (4.5), (4.6) относительно м0,в0 найдено, то уравнения

(4.7) служат для определения в0а. При однородных граничных условиях получаем, таким

образом, задачу о собственных значениях.

Систему (4.5) - (4.7) можно привести к другому виду. Как и в первой части работы, положим:

=_д% в =М. дУ

= д д ' в02 = д д ' С/Л^ Ох 2 их 2 С/Л^

здесь: (р0у0 - функции координат х1,х2. Будем иметь:

в в Д Зв01 дв02 Д в=—— = Д^0; —01--02 = Ду0.

дх„

дх2 дх1

Подставив первое из этих уравнений в (4.5), получим:

ДМ +Д^0 +— М =

С2

Аналогично предыдущему из (4.7) будем иметь:

Д^0 + Т ^0

12т

(1 + 2т)Н

7( М0 + = Н1( хl, х2).

(4.8)

(4.9)

(4.10)

Здесь Н1(х1,х2) - произвольная гармоническая функция. Первое из уравнений (4.7) продифференцируем по х2, второе - по х1 и вычтем одно из другого, придем к уравнению:

л 12 м

ДУ -Т2У +— У = Н2(хl,х2), Н с2

(4.11)

здесь: Н2( х1, х2) - также произвольная гармоническая функция.

Окончательно, таким образом, имеем три уравнения (4.9) - (4.11) относительно трех функций м0,^0,у0; заметим, что уравнение (4.11) относительно у0 выделяется. Уравнения (4.10), (4.11) могут быть упрощены, если принять во внимание следующие оценки. В реально используемых металлических пластинках /г — 10~3м, при этом со ~ (102 ~ 103) с-1, с, ~103 м • с

поэтому имеем т/(1 + 2т) = с\/с2) :

с

w02 1 + 2m h2 = w2h2

12m

12c:

10"7 «1.

Уравнения (4.10), (4.11) можно поэтому в первом приближении записать в виде:

Af° -

12m

-(w° + jo) =

АУ° - 77y° = H2.

(4.12)

(4.13)

(1 + 2т)и2 12 и

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Колебания полосы при цилиндрическом изгибе.

Полоса занимает область 0 < х1 < /, |х2| < да; w = w(х1, г), в1 = в1(х1, г), в2 = 0 . Уравнения

движения примут вид ( x1 = x) :

d2w + _в1 = р d2w dx2 dx m _t2

(4.14)

h. 12

(1 + 2m)

ё2в

р-

d2a

mí fx+в11 =

дх2 дг 2

Отнесем координату х к I, оставив за ней прежнее значение, примем w = w0(x)exp(/wí), в1в01(х)ехр(/'®г); после подстановки в (4.14) получим:

д2ж I дв

■ + —■

dx2 h dx

■ + W2w = 0,

(4.15)

d2^ - 1JK w - Hid в +cL W2^=0

dx2 hc1 dx h2c1 cf

здесь приняты обозначения c12 =

1 + 2 m 2 m

lw

, c2 = ^; W = —.

р р cc

На краях полосы x = 0, x = 1 примем условия шарнирной опоры:

dв

x = 0, x = 1, w0 = 0, —01 = 0 (M11 = 0) .

dx

Решение системы (4.15) при этом может быть принято в виде:

w0 = a1 sin nox, в01 = a2 cos nox . Подставив это в (4.15), получим:

, _ 2 2 2 \ l r\ 12lc^y

(W - n o )a1 — noa2 = 0, —: 2 h hc

2 noa1 +

í 12l 2c2 c2 1

2 2 12i c2 c2 /^2

n2o2 +—T-T 2 W2

2 2 2

V h c1 c1 0

a2 = 0.

Определитель этой системы, приравненный к нулю, доставляет характеристическое уравнение:

О4 —(N2 + п2р2(1 + 5п2 )о2 + пРб2 = 0, (4.16)

здесь обозначено N2 = 12/2 /к2, б2 = с12 /с^. Запишем дискриминант уравнений (4.16):

А = NА

Гл 2n2o2(1 + d2) nV(1 -d2)21

1 +-Ч-- + -

(4.17)

N N

При обычных значениях 1/к~( 102 ч-103) и вплоть до п — 10 будем иметь (п2ж2 /Л^2) ~ 10~2 ч-10 4, что позволяет разложить л/А в быстро сходящийся ряд:

c

4а@ N2

' n V(1 + S2) п ApAS2 nV(1 + S2)3 Л 1 +-^--- 2-:----— +...

N2

N4

N6

(4.18)

Уравнение (4.16) имеет решением выражение:

О2

= 1 (N2 + пV(1 + ё2) ±Л/А) .

Физическому смыслу задачи отвечает знак минус перед корнем. С учетом (4.18) окончательно получим:

„4 4

п по

о2 @

N2

1 +

2 2 с2\3Л

п p S )

22

4 N ё

(4.19)

Видно, что поправка (второе слагаемое в скобках) к основному выражению для частоты может сказаться при вычислении высоких частот сравнительно толстой полосы. Выпишем выражение для квадрата частоты по классической теории пластин:

о! =

4 4 2

п p c0

N 2(1 - v 2)c22

, c02 = E1P.

Удерживая в (4.19) основное слагаемое, получим для отношения О2 /О2 выражение:

о2

(1 - v )2

= 1 + -

(4.20)

□¡2, 1 - 2у " 1 - 2У Прослеживается заметная зависимость этого отношения от коэффициента Пуассона (ср. п. 6, ч. i ).

Пример 2. Колебания прямоугольной шарнирно опертой пластины. В привычных обозначениях х^ / х, Х2 / ~У,

к ^ к /2 пластина занимает в плоскости ху область £: {0 £ х £ 1,0 £ у £ I/ /3}. Уравнения колебаний (4.1) распишем в координатном виде

д2 w д2 w 80, 802 1 d2w Л

—г +—г +—1 +—2 -~г = —г = о,

8x 8y 8x 8y c 8t

-\2 /

y

(4.21)

2

c12 8201 8 01 l + m 8 02

c2 8x2

2 ^2

8y2

____1_8Щ_ - 12

m 8x8y c2 8t2 к2

' 8w+0l=о,

8x J

< 820 8 02 l + m 8201 1 8202

—+

c2

+

c2 8y 8x m 8x8y c2 8t

12

k2

^ + q2 . 8y 2

= 0.

Введем безразмерные координаты, отнеся их к £ и оставив прежние обозначения, положим w = w0 (x, y) exp(z^t), 0 = 0о (x, y) exp(z^t), 02 = 002 (x, y) exp(z^t) . Граничные условия

будут удовлетворены, если для w0,010,020 принять выражения:

w0 = b0 sinnpx • sinbmpy; 010 = b1 cosnpx • sin fimpy; 020 = b2 sinnpx • cos fimpy, (4.22) подставив это в уравнения (4.21), получим систему однородных уравнений:

b11b0 + b12b1 + b13b2 = ^

b21b0 + b22b1 + b23b2 = 0, (4.23)

b31b0 + b32b1 + b33b2 = 0,

матрица {bb} имеет своими элементами выражения:

bn

: Р

2 (и2+/?2m2)-Q2; Z>12 = ■^^■я'и; bn=—nf5m; v 7 h h

Ъ21=—лп- b22=n2(S2n2 + р2т2)+1-^!--П2-,

h

h2

2

v

2 2 2 / 2 2 2 2\ ^^ 2

Ъ23 = Д/?я" яш; 631 =-/?32 = Рфл тп\ Ь33 = л (¿> /3 т +п н---—Q .

¡/i \ '

Г' / 32 / 1# -'33 \ / / 72

Н 4 7 Н

Здесь обозначено Д = ^ + т; ¿>2 = ст = ^ + 2т = Д +1 > 1.

¡и с2 т

Введем еще обозначения О2 = г, Ъп = а.. - г, тогда характеристическое уравнение системы (4.23) запишется в виде кубического уравнения:

г3 - В2г2 + В1г + В0 = 0, (4.24)

в котором В2 = а11 + а22 + а33 > 0, знаки остальных коэффициентов зависят от чисел п, т и

других параметров пластины. По правилу Декарта можно, следовательно, утверждать, что, по крайней мере, один положительный корень уравнение (4.24) имеет.

Приведем другое (частное) решение задачи, основанное на системе (4.2), (4.3) для функций м и в, вопрос о полноте решения (т.е. об определении в1 и в2) рассмотрим даль-

Из формул (4.21) с учетом (4.22) для в( х, у) в безразмерных координатах получим:

0{х,у) = -

Í

ГЩо + .^20 Л

= ~ ~ (Ьхш + b2m¡}n) sin плх • sin ¡Зтлу = b* sin плх • sin ¡Зтлу;

v дх ду ;

для w0 примем первое из выражений (4.22). Из (4.2) и (4.3) последует:

Ь0 (а0-С14)-Ьц — = 0, а0 = л2{п + /?2т2), v ; h

-J3^a0b0 + b¡ (a0S2 + В - Q2) = 0, В = \2£2 /к2.

Определитель этой системы, приравненный к нулю, доставляет характеристическое уравнение:

W4 -(B + a0(1 + S2))W2 + aló2 = 0,

и его решение:

О2 = 1 {в + а0(1 + 82) ± [(В + а0(1 + 82)) - 4а02£2]1/2}. (4.25)

Простыми оценками нетрудно показать, что для реальных размеров пластины и для невысоких частот (п, т < 10) отношение а0(1 + д2)/ В - малый параметр, учтем еще, что физическому смыслу задачи отвечает знак минус перед корнем; в первом приближении из (4.25) получим:

a0S

4B

Г1 ao(1 + S2)Л

v

2 B

Сравним этот результат с тем, который дает классическая теория:

С, ^(l-v2)

В главном приближении по малому параметру получаем:

W , ^ = Сц/Г7=- 1 -v

' М с0 у11 - 2у '

Это соотношение совпадает с выражением (4.20) из первого примера. Определение функций в1 и в2 сводится, как это следует из соотношений (4.22), к вычислению коэффициентов Ъ1 и Ъ2. Первое соотношение между Ъ1 и Ъ2 получим из опреде-

ления в, поскольку оно определено через множитель Ъ0*; в безразмерных величинах получим:

пЬх + РтЪ2 - .

п

Второе соотношение получим как следствие уравнений (4.1): первое продифференцируем по х2, второе - по х1 и вычтем одно из другого. В безразмерных величинах будем иметь:

РтЪх - пЬ2 = 0; а0 + В-О2 = 0. Второе равенство невозможно, поэтому окончательно имеем:

ъ=-

п£Ь*

ь2 = -

/ЗтЩ

тг(п2+В2т2у 2 л(п2+р2т2)'

Пример 4. Флаттер полосы при продольном обтекании. Флаттер бесконечно длинной полосы, которая обтекается потоком, направленным вдоль ее кромок, - это одна из тестовых задач, которая в классической постановке (теория пластин Кирхгофа-Лява и формула поршневой теории для избыточного давления) имеет точное формульное решение. Представляется естественным привести решение этой задачи в рамках предложенной теории. Полоса занимает (в привычных обозначениях х1 х2,х2 => у) область £: ||х| < оо90 < у < £}. Края

у = 0,у = £ примем шарнирно опертыми, в бесконечности прогиб и «повороты» 0Х,02 ограничены. Эти условия будут удовлетворены, если принять (в безразмерных координат х,у, отнесенных к £):

^ = с0(")£шпуе-ах; в = сх(г)$>тлуе-ах; в2 = с2(")со$>луе-ах (4.26) тогда выражение для в = (двх / дх + дв2 / ду)/£ примет вид:

1

в = -{-1асх ътлу - лс2 ътлу)е шх = съ{г)^тлуе

£

(4.27)

Запишем (в безразмерном виде) систему (4.2), (4.3), приняв для избыточного давления формулу поршневой теории, в результате получим:

7Р/

к д^ /ик

°2 ^ к

£„ £2 д2м; урп£( £ дм;

--+ М—

У а0 д" дх

= 0.

0

/л к2

I

-Ам> + 0

г д2<9

= о.

Примем с0 = а1 ехр( Ю), с3 = а2 ехр(Ю) и подставим это вместе с (4.26), (4.27) в последнюю систему, в результате получим:

а,

л2 + а2 - О2 - га1' (О - аМ0)

■а2 — = 0, ах =—-—^ И /иа0Ь

(4.28)

ах\2—{л2 +а2)-а2 И

£2

8 (л ) + 12—Г--П

к2

= 0.

Здесь, как и раньше, обозначено О = ¡ю/ с2, 82 = (1 + 2т)/ т и положено М0 = Ма0 / с2. Определитель системы (4.28) запишем в виде: Д = Д1 + ¡А2, поэтому характеристическое уравнение распадается на два: Д1 = 0, Д2 = 0, где обозначено:

А 2 = а1 (О- аМ0)

е

8 (л +а ) + 12—-О к

А, = (

2 2 л + а

□2)

Г

8\л2 + а2) +12—-С1

к2

-12-^(л-2+а2).

к

Из уравнения Д2 =0 следует О.-аМ0 = 0, либо 8 (л + а ) + 12 / //г =0 ;из второго уравнения для О получаем нереально высокие частоты, поэтому принимаем □ = а0 М0, что вполне аналогично классическому результату. Из уравнения А, = 0 получаем квадратное уравнение для г = О2:

г2 - [(1 + О2)а02 + Б]г + О2а04 = 0.

Здесь обозначено а0 = л2 + а2, Б = 1212 / к2. Запишем решение последнего уравнения:

1

г = — 2

(1 + О2)а02 + Б ±

((1 + О2а02) + Б) - 48

2а4

1/2 Л

В силу соображений, высказанных выше, и вследствие очевидной оценки (1 + О2)а<2 /Б << 1 для О = 4г получим представление с точностью до слагаемых второго порядка малости:

8 а 2

4Б

1 -

(1+о2) а2 Л

2 Б

(4.29)

Заметим, что второе слагаемое в скобках дает поправку не более процента. С учетом соотношений О = аМ0 и М0 = Ма0 / с2 из выражения (4.29) имеем для М в главном приближении:

^ л2 + а2 с к М =- 1

а

а

£

Аналогичное выражение в классической теории имеет вид:

2 2 М =п_+а_ с.

к

а

а.

2>/э(Ь

■V2) £

Для отношения М/ Мт получим:

М

(1+2т)(1 - у2) т

N1/2

, с\-Е!р.

1-у

л/1 - 2у '

В таком же отношении будут находиться и критические скорости флаттера. Пример 4. Флаттер полосы при поперечном обтекании (цилиндрический изгиб). Полоса занимает область 0 < х < ¿, | у\ < со; края х = 0, х = £ шарнирно оперты, w = w(х, t), 01 =в1(х, t), в2 = 0. Принимаем, что избыточное давление определено формулой поршневой теории, тогда уравнения колебаний полосы примут вид:

д w дв1 1 ^ ур0 ■ +-1 - —г--:т + -

дх дх

дt2

О2 д2в1 12 ( дw

дх2 к

так

\

дw дw

дt

х

= 0,

— + 91 х 1

- =0.

с2 дt

(4.30)

Положим w = Ж(х)exp(/wt), вх =ql0exp(/wt) и запишем систему (4.30) в безразмерных координатах и параметрах:

д2Ж £ дв10 _2__ .

■+--—+о^ж+^

дх к дх

Ю0Ж + М0

дЖ

х

= 0.

(4.31)

Здесь обозначено А^ = ур0с2И{/иа0И), остальные обозначения - те же, что и в предыду-

с

щем параграфе.

Построим решение в двухчленном приближении по Бубнову-Галеркину. Граничные

условия будут удовлетворены, если принять Ж = а^тжх + а2$>\П2жх, в10 = Ь-роъжх + Ь2соб2жх .

Из второго уравнения (4.31) найдем:

А ь 2 А1 к

—; Ь2 =-а2—1; А = жВ —

В 22 К 1 I

Ь = -ах —; Ь2 = -а2^; А1 = жВ-; В1 = В + 82ж2 -П2; В2 = В + 48 V -0. (4.32)

"Ч 2

Из первого уравнения (4.31) после известной проекционной процедуры придем к си стеме из двух однородных уравнений относительно параметров а1 ,а2:

(

а.

ж2 -

ж2В В

\

8

- /А0О0 -02 + а2- А0М0 = 0

8

а13 АМ0 + а2

4ж -

4ж2 В В2

3

- /4,00 -0

= 0.

Выделим в характеристическом уравнении этой системы мнимую и действительную части, в результате получим два уравнения относительно О0 и М0:

5ж2 - 202 - ж2В

3 АМ0

г <

ж2 -

ж2 В В

— + —

V В1 В2 0 V л_2

-О

4ж -

= 0, 4ж2В

(4.33)

Л

В

-о2

- 4202 = 0.

0

'1 0 V 2

Как видим, уравнения разделились: из первого определяется 00, после этого из второго - М0. Для определения 02, если учесть выражения для В1 и В2, имеем полное кубическое уравнение, решение которого в радикалах практически не поддается аналитическому исследованию. Найдем приближенное решение разложением по малому параметру В'1 = И2 /(12/2), который при обычном отношении С/И~ 102 имеет порядок В 1 ~ Ю-5. Запишем В1 и В2 в виде:

(

В1 = В

з2ж2 а

2Л

1 + _—

В

В

г

В 2 = В

452ж 0

2

1 +

В

В

Подставим это в первое из уравнений (4.33) и оставим в коэффициентах слагаемые

первого порядка малости в сравнении с основными; получим в результате (0 = 2) :

1

2

¥(2) ° — 23 --

В

В

2\Л

1 +

5ж (1 + 282) 4В

22 +

2

1+

5ж (3 + 282) 2В

17 82жА (

2 -

2 В

2 8

2Л

1 +--

17 В

= 0. (4.34)

Простой анализ показывает, что при г < 0, Б(2) < 0, но ¥(2) > 0, 2 = 17с^ ж4 /(2В) , следовательно, вблизи точки 2 слева от нее имеется корень ¥(20) = 0. Его приближенно, но с высокой точностью, можно найти, если в (4.34) пренебречь первым слагаемым; получим квадратное уравнение, которое запишем в виде (обозначения и порядки величин ек очевид-

I (1+е) 22 -(1+е) 2+^ (1+е ) = 0.

Решение этого уравнения, имеющее механический смысл, запишем в виде:

178 ж

2_4 (

2 = ■

2В

2

1 +

28 5ж (3 + 28 )

17В

2В

° 20(1 + е),

(4.35)

причем поправка е, как показывает оценка, составляет не более процента, и ее можно не

учитывать.

Подставим выражение для г0 = О? из (4.35) во вторую из формул (4.33); в главном

приближении получим:

М2 =

з

8 у

■2_4

1782л 2 Б

- +

/1582л4 Л

2 БЛ^

(4.36)

Сравним найденные результаты с теми, которые получаются с использованием классической теории пластин. Уравнение колебаний в безразмерных координатах и параметрах имеет вид:

Ж17 - Б(1 - у2 )О2Ж + Б0 (Ю1Ж + МЖ') = 0.

Приближенное решение в двухчленном приближении после простых вычислений приобретает форму:

=

17л4

2Б(1 - у2)

М2 = — 1 67

17л4

2Б(1 - у2)

- +

15л

,\2'

здесь обозначено =

£2о)2

; Д> =

Г2(1 -У2)ГР0С0£

2 Б0 0

ап

(4.37)

Еа0къ

Как видно, структура выражений (4.35), (4.36), (4.37) тождественна и, следовательно, качественно картина явления обеими теориями описывается одинаково; различие состоит в том, что параметры в формулах (4.35), (4.36) обнаруживают более заметную зависимость от коэффициента Пуассона.

5. Параметры подобия и моделирование а. Статический изгиб.

Обозначим £ - характерный размер пластины, тогда безразмерные координаты будут ха' = ха I £; прогиб отнесем к толщине, которую обозначим через к= м?/ к, параметр в отнесем к £ -в! £\ параметры ва - безразмерные. Запишем систему (4.3), (4.4), (4.6) в безразмерном виде, отбросив штрихи у безразмерных координат и параметров:

Ад =

12£3 р0р р

к3

£

р А + 2р

РоР ?

Ад

Ам? + —в =

к р к

\2£2 Л £ дм; А + р дв —=--+---

к к дха р дха

(5.1)

(5.2)

(5.3)

здесь: р0 - характеристическое значение действующего на пластину давления, так что Р ^ Р0Р.

Введем обозначения для безразмерных коэффициентов, опустив числовой множитель:

А =

£3РоР

V А -I. А -РоР±. А А -Л+^-Л I 1

(5.4)

гЗ П 2 7 > у 2 4 7 2

к р 1 + 2р к р к к р р

Рассмотрим два процесса нагружения - условно натурный и модельный, каждый из которых описывается системой (5.1) - (5.3). Дополним эту систему однородными граничными условиями - для примера: закрепленный контур (задача в перемещениях):

*|Г = 0, да |г = 0, (5.5)

или шарнирно опертый (первая смешанная задача):

с

с

0

0

w 1Г = 0 Mabnb Iг = Н (5-6)

Легко видеть, что в граничных условиях (5.5), (5.6) не возникает новых параметров по сравнению с (5.4).

Если положить в обоих процессах коэффициенты из (5.4) равными ASH = ASM, то математические модели станут тождественными, следовательно, все безразмерные параметры в соответствующих точках натурного и модельного процессов совпадут. Такие процессы называются подобными, следствия из равенств AHs = ASM - правилами (или условиями) моделирования.

Прежде всего, необходимо положить pн (xx, x2) = pм (xx, x2). После этого из (5.4) становится очевидным, что независимыми условиями моделирования будут равенства:

f п\н Г п\м (

(5.7)

V h 0

V h 0

Ро

f \м Ро

м

vM;

Обозначим ГIIм = к,к" IИ" =т - масштабное моделирование; из первого равенства (5.7) следует к = т, т.е. полное геометрическое подобие. Из последнего равенства (5.7) получаем (V /(1 - 2п)) = V / (1 - 2у )'", откуда следует:

= V.

С учетом этого равенства из второго условия (5.7) получаем:

Vм

Рм E ;

\н

Ро

E 0

(5.8) (5.9)

Из (5.8), (5.9) имеем две возможности:

а) Eм = Eн, pM = p0H - полное физическое моделирование (достаточные условия выполнения равенств ASM = ASH);

б) материал модельного процесса подобран так, что равенство (5.7) выполняется приближенно, но с допустимой точностью; модули Юнга при этом могут различаться заметно; тогда условием моделирования будет:

E м

Рм = рН . (5.10)

Замечание. В классической теории изгиба пластин прослеживается слабая зависимость решения от коэффициента Пуассона, поэтому во многих случаях можно ограничиться условием (5.10).

а. Собственные колебания

Систему уравнений (5.1) запишем в виде:

1 + м дв

. п р d2w _ A w + 0 ~ — —- = 0, ju dt

м dt h V dxa

М дха

Введем, так же, как и в предыдущем пункте, безразмерные координаты и параметры, исключим время множителем ехр( ^), оставим за функциями прежние обозначения. Система запишется в форме:

£

Aw + —0-Qrw = 0; Q = Ссо!с2, с\ = ju/р, h

Ав

М dxa h

h dw

+ в

(5.11)

(5.12)

дополним ее однородными граничными условиями (5.6).

Как видно, в уравнениях (5.11), (5.12) содержится три независимых параметра:

Ах — * А2 — О; Аъ — . к р

(5.13)

Равенства ЛМ = ЛН, ^ = 1;2;3 определяют условия подобия натурного и модельного процессов колебаний и правила моделирования.

' еХ £л"

Лм = Л^:

/г у

к

, к = т.

к 0

„м ^м

Ю с

ЛММ = Ж:Ом = ОН,— = с2-к,

Ю

(5.14)

Лм = Лн :

Л3 — Л3 :

/ \ н

\р0

, ум = ун .

Отсюда следуют две возможности:

а) пластины в натурном и модельном процессах геометрически подобны, материалы одинаковы; пересчет частот колебаний с модели на натуру проводится по второй из формул

(3.14) при с2и = с2Н:

юн = Юм /к;

М

(5.15)

б) пластины геометрически подобны; последнее из условий выполняется приближенно с достаточной точностью, по скорости с2 различны; тогда пересчет частот колебаний проводится по второй формуле (5.14):

1 с н к сМ

(5.16)

Ь. Панельный флаттер

Система уравнений имеет вид:

. р р д2лк

А м? + 6 ~ — ~ — —- = 0,

рк р

1 + р дд р д2ва 12

^ - + Ада- —--а-—7

а р дt2 к2

— + да

а

дх.

р дх

здесь р - избыточное давление, которое примем равным р = -

= 0, УР0

/дw дwЛ

а

10 К

+ у-дt дх

Аналогично тому, как это сделано выше, и с учетом выражения для р , запишем основную систему в безразмерном виде:

к рк рк дх с2

(5.17)

. Л +/л дв Ш2(к дм

Ава-^г О2ва +

а 2 а ^

с2 р дх

к2

£ дх а

= 0,

здесь, однако, обозначено С1 = £а>/а(). Система (5.17) содержит безразмерные параметры:

£

_ ГР0 ¿гл. А - ГРо * А

к

и к

и к

1+- р р

Как и раньше, однородные граничные условия (5.6) не добавляют новых параметров. Запишем равенства ЛМ' = Л" , ^ = 1;2;3;4;5 ; дополнительно примем, что ум = ун. После-

с

с

довательно будем иметь:

Л = Л,н:

Г ¡¿\м Г /Л"

/

; к = /77,

Лм = Лн :

Л-2 — Л-2 :

А О

V п 0

м

Лм = Лн:

Л3 - Л3 :

V

м

vm 0

Аз о

V

vm у

Г V

р м

vМ у

/

Лм = Лн :

Л4 Л4 :

ан о

V С2 0

м

/

V

ан о

С2 0

Л = Л5н:

1 1

; V = V .

Следствия из выписанных равенств при 5 = 1 и 5 = 5 уже отмечены; положив дополнительно Мм = /Мн, из остальных получим:

. V

А

Лз 0

. \н

Л

А3 0

^Ом = /Он,

(5.18)

Л2И = Л2н или А3м = А ^ /

V { лн Ро I = I Р

1^0

ам = а ^

/ \ а

V С2 0

0

/ \н

/ =

а

V С2 0

С м ам

с2 = ан_ /

н н ' С 2

Воспользуемся известным из газовой динамики соотношением:

Г рм\1

Го

V Го 0

, 1 =

7-1 27

Подставив это в последнее из равенств (5.18), получим:

н ~

рлЛ1

ЕР

рН 0

Из второго равенства (5.18) имеем:

. .м Лм

Мн Ро .

Исключим из последних двух уравнений р0м / рН, получим:

(5.19)

М = /

мн

/ \1/1 / \1/1

м

1 с

V

__2

/ сН

= /

-1/е

2 0

сн

V 2 0

, е =

7-1

7 +1

После возведения обеих частей равенства в степень е будет окончательно:

/

кМ 0

_2_

С н

V С2 0

е/1 =

27

7 +1

(5.20)

Для воздуха 7 = 1,4, поэтому е = 1/6, е/1 = 7/6 .

Возможности моделирования, как и в предыдущих случаях, ограничены равенством Vм = Vн; его точное выполнение практически влечет за собой равенство М = М; из (5.20) следует / = 1. Из (5.19) следует равенство параметров потока, из (5.18) - Ом = Он, а из (5.16)

и

м

2

Серия «Естественные науки»

при с2М = c% получаем правило пересчета частот колебаний.

Если же материалы натуры и модели таковы, что vм @ vн, но модули разнятся заметно, то возможно нетривиальное моделирование: выбирая материал модели, из (5.20) определяется ß , а из (5.19) - параметры р0, а0. По формуле (5.16) проводится пересчет частот колебаний, определяется скорость потока: vм = ßa^vн /а0Н .

Замечание. Во всех случаях, когда выполняется приближенное равенство vм @ vH, модуль сдвига может быть заменена на модуль Юнга, а сдвиговая скорость с2 - на стержневую

скорость с0 = (E / r)12.

Литература

1. Hencky H. Uber die Berucksichugung der Schubverzeirung in Platten// Jng. Arch. 1947. Bd. 16. H. 1. S. 72—76.

2. Васильев В.В. Классическая теория пластин - история и современный анализ// Изв. РАН МТТ. 1998. № 3. С. 46-58.