CC BY
18
УДК 532.5:519.6
ИТЕРАЦИОННЫЙ МЕТОД ДЛЯ СТАЦИОНАРНЫХ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА В ЗАДАЧЕ ОБТЕКАНИЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНКИ
© 2014 г. Я.А. Бердник
Бердник Янина Александровна - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидроаэродинамики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: yaninaberdnik@mail.ru.
Berdnik Yanina Alexandrovna - Post-Graduate Student, Department of Theoretical and Computer Hydroaerodynamics, Mathematic, Mechanics and Computer Sciences Faculty, Southern Federal University, Milchakov St., 8 a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: yani-naberdnik@mail. ru.
Решения данной задачи в рамках теории пограничного слоя рассматривались и ранее в многочисленных работах. В отличие от остальных решений в качестве исходных уравнений нами берутся точные уравнения Навье-Стокса. Также предлагается новый подход, использующий специальный итерационный процесс. Возмущения на каждом последующем шаге итерационного процесса предполагаются малыми по сравнению с предыдущими приближениями, и по ним производится линеаризация. В качестве начального приближения берётся невозмущённый набегающий поток. На каждом шаге решается интегральное уравнение относительно функции вязкого трения на пластинке.
Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, интегральные уравнения, вязкая жидкость, итерационный метод, плоская пластинка, сила трения, функция вязкого трения, преобразование Фурье.
The solution of this problem has been considered in frames of boundary layer theory in many published works. In the contrast to the known solutions, we operate with exact Navier-Stokes equations. The present paper provides a new approach, which is based on a special iterative method. The perturbations are assumed to be small when compared to the previous step that implies a certain linearization. The initial approximation is chosen as the unperturbed oncoming stream. At each iterative step there is solved an integral equation regarding function of viscous friction force over the plate.
Keywords: Navier-Stokes equations, integral equations, viscous fluid, iterative method, linear plate, frictional force, function of viscous friction, Fourier transform.
Постановка задачи и основные гипотезы
Решения данной задачи в рамках теории пограничного слоя рассматривались в работах [1, 2]. Здесь изучается обтекание бесконечно тонкой плоской пластинки безграничным однородным потоком несжимаемой вязкой жидкости. Длину пластинки обозначим /. Скорость набегающего на неё потока и0 постоянна, и её значение известно. В ходе решения задачи требуется определить полную силу трения, действующую на пластинку, и найти распределения скоростей потока.
Ось Оу направим по нормали к поверхности пластинки, ось Оу - вдоль её поверхности (рис. 1); начало координат расположим в точке с координатами (//2,6).
диг диv
- + -
дх ду öd
= 0
х дх ди.
■ + d
ди х . ,1 др „
х -VAD +—4- = 0
(1)
-х-х+и у-
у ду ди
р дх
у-VAD„+ I дР = 0
2) вне пластинки (при y = 0, | x |> a):
ди
d у=0 '-дх=0;
3) на бесконечности (при y , x ):
0 , их ^ U0 .
Построение алгоритма решения задачи и основные математические соотношения
Задача решается с помощью метода последовательных приближений. В связи с отсутствием в свободном доступе экспериментальных данных полученное на каждом шаге решение сравнивается с классическим решением Блазиуса [3, 4].
Представим продольную и поперечную компоненты скорости в виде суммы скорости некоторого основного потока и скорости малых на его фоне искомых возмущений со штрихами, т.е.
N X (х у)=и ( х у)+ъ'х (X, у)
^ у ( x, У)=У (x, у)+и у ( X у).
Введём функцию тока у = у(х, у) соотношениями
ду ду
функции тока аналогично представлению скоростей: у(х, у) = Т(х, у) + У(х, у). Выразим функции скоростей основного потока и(х, у), V(х, у) следующим
(2)
Представим выражение для
Рис. 1. Схема обтекания тонкой пластинки потоком вязкой жидкости
При решении в силу симметрии рассматриваем только верхнюю полуплоскость. Течение жидкости полагается стационарным и описывается уравнением неразрывности и уравнениями Навье-Стокса
да д¥
образом: и = —, V =--. Исключаем давление из
су дх
системы (1) и с учётом приведённых выше представлений (2) линеаризуем получившееся уравнение по малым возмущениям у'(х, у). Получаем линейное дифференциальное уравнение в частных производных, вид которого одинаков для всех итераций
- UAV+и дAу-AV су+VAU+V дАу'
дх
ду
ду
(3)
ду у р ду
где р - плотность; V - коэффициент кинематической вязкости; р - гидродинамическое давление.
Граничные условия задачи:
1) прилипание жидкости на поверхности пластинки (при у = 0, | х |< а): их =иу = 0;
- AU ^ - vA2Т - vA2y' = 0. дх
Реализуем первое приближение к решению задачи. На нулевом шаге делаем следующие предположения: U(х,y) = U0 = const, V(x, y) = 0. Таким образом, в первом приближении рассматриваются скорости малых возмущений (обозначенные одним штрихом) на фоне постоянной скорости U 0 .
Дифференциальное уравнение (3) перепишем с учётом принятых предположений и применим к получившемуся уравнению преобразование Фурье по переменной x . Получим обыкновенное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, решаемое аналитически:
и
d 4v~'(a, y) iT „ 2W2vi/(a, y) --4 ~ (ü0ia+2va 2 )-T 2 -
■(v '
dy4 . dy2
+ (уа 4 +и °1а3 '(а, у) = 0, где ~(а,у) - трансформанта Фурье функции у'(х,у); а - параметр преобразования Фурье.
Введём функцию вязкого трения на пластинке
формулой т(х) = и5"* I . Используя исходные гра-
Х ' ду 1у=°
ничные условия для скоростей потока и вид функции вязкого трения на пластинке т(х), получаем граничное интегральное уравнение относительно функции т© вида
Ж
a +-
iaün
2ia(^- x)da = -ün
-У- НО^У
2к1ии° _а а
^ а. (4)
В явном виде определяем компоненты продольной и поперечной скоростей потока:
" X (Х у ) = и 0 _ \ X
¿три °
0
a +ад
X J
-a -ад
2 iaü0
, iaüo -f | , -|a|У
a +--e ' v -|a|e 1 1
ia(^-i) da
Формула Блазиуса, определяющая силу трения на одной стороне пластинки, имеет вид
2ау
W,
2
аеад
0,664dpü2
U
С учётом этого при получе-
0
нии нами полной силы трения ш, действующей на пластинку, рассматриваем следующую величину: 5 = 0,664Ш / . Таким образом, значение безразмерного коэффициента трения 8 по Блазиусу будет равно постоянной величине 0,664 при любых значениях параметров а, р, у, й, и° . Решение Блазиуса получено в приближении тонкого пограничного слоя и справедливо в предельном случае больших чисел Рейнольдса. Будем сравнивать решение, полученное нами, с решением Блазиуса при средних и больших
значениях чисел Рейнольдса (Яе = —) с помощью
у
параметра 8. На рис. 3 представлен график зависимости безразмерного коэффициента трения 8 от чисел Рейнольдса Яе. Кривая графика 8(Яе) выходит при больших значениях чисел Рейнольдса на асимптотическое значение, равное примерно 1,19, вместо 0,664, что даёт погрешность около 79 %. Графики распределения продольной и поперечной скоростей в середине пластинки представлены на рис. 4 при различных числах Рейнольдса.
и y (x, y) =--1-x
2ra'pü -
(5)
(
a +ад
x J?©^ J
-a -ад
1 iaü ^
e-a У -e T + -ü°y
4
,ia(\-x)
-x) da
Интегральное уравнение (4) решается с использованием численных методов. С помощью метода кол-локации оно приводится к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно функции т , решаемой методом Гаусса. Результатом численного расчёта является график распределения силы трения, действующей на пластинку, полученный для Яе=1 (рис. 2). Значения продольной и поперечной скоростей (5) также находятся с помощью численных методов.
г
••
• 1
VJ 1 J дг
Рис. 2. Зависимость силы трения от x
Рис. 3. Зависимость коэффициента 8 от Яе
Необходимо отметить, что на первой итерации гипотеза о малости возмущений на фоне основного потока не является справедливой вблизи пластинки. Но уже на первом шаге выполняются условия прилипания для функций (х, у) и "у (х, у), и картины распределения силы трения (рис. 2) и скоростей (рис. 4) соответствуют физическому смыслу задачи. Следовательно, данный подход к решению задачи корректен.
Таким образом, с учётом заключений, приведённых выше, построенное на первой итерации решение не даёт хорошей точности при вычислении полной силы трения по сравнению с решением Блазиуса при больших значениях чисел Рейнольдса. В силу этого необходимо реализовать построение следующего приближения.
a
a
Рис. 4. Зависимость ux (y) (а) и иy(y) (б) при различных числах Рейнольдса
Переходим ко второй итерации. Искомые функции малых возмущений (обозначенные двумя штрихами) рассматриваем на фоне функций, найденных на предыдущем шаге итерации:
и х (х, у)=и 0 +и х (х, у)+и х (х, у)=и (х, у)+и х ( х, у) и у ( х, у) = и у (х, у) + и у (х, у) = V (х, у) + и у (х, у).
Предположим, что числа Рейнольдса велики. С учётом этого, используя (3) для второй итерации, получим дифференциальное уравнение относительно функции у' ' (х, у):
U (x, y)
83y''(x, y) 83y''( x, y )
cX3
8x8y
8y''(x,y) 82U(x,y) 8x 8y2
8 4y"(x, y)+284VXx1y)+8 4y''(x, y)
8y28x2
8y 4
(6)
+ -1 (a 4v 2 +ia 3 vU (y)+iavU v
(11)( y))~' ' = -U/(111)(a, y),
(7)
8y
y'' (a, y\
y^+ro
^ 0;
8y" (a, y) |
8у
y^+ro
^ 0,
(9)
Данная краевая задача решается для случая малых и средних значений параметра а методом стрельбы на основе метода Рунге-Кутта четвёртого порядка с постоянным шагом. Для больших значений параметра а (|а|> 10) используется асимптотический метод.
Дифференциальное уравнение (7) в последнем случае преобразовывается к обыкновенному линейному неоднородному дифференциальному уравнению (10) с постоянными коэффициентами и решается аналитически с учётом поставленных граничных условий (8) и условий затухания функции у"(а, 2) на бесконечности (9):
дх 4
V
^,д3и (х, у) ду3 '
Применим принцип «замораживания» функции и(х, у) по переменной х в левой части уравнения (6). Затем преобразование Фурье по х. В результате получим неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение четвёртого порядка с переменными коэффициентами
у " (^) -2 Га каи(у) V " (") +
где у'' (а, у), ¿/(а, у) - трансформанты Фурье функций у' ' (х, у) и и (х, у).
Поставим краевую задачу для дифференциального уравнения (7) со следующими краевыми условиями:
д2~\а,у}Ц = —; у' ' (а,у) = ^о; ае (-»,+»); (8)
В (8) х ' (х) - возмущенная функция вязкого трения на фоне основной функции, построенной в первом приближении; (а) - трансформанта Фурье функции х ' (х).
а4 й4у'' (а,2) - 2а4 й2у''(а,+ а4у „ (а,2) = _и - (а,2),
dz4 й22
2 = |а| у. (10)
После сращивания численного и аналитического методов получаем следующее граничное интегральное уравнение относительно функции х'',
Уа е (-»,+«): 1 а
У2(х,0)+1 / х-(£)Р2(х-^,0)й^=0 ; х е[-а,а],
^ -а
где функции у2 (х,0) и ф2(х-£,,0) находятся при решении краевых задач для дифференциальных уравнений (7) и (10) и последующем сращивании этих решений.
Заключение
Полностью проведена работа по нахождению искомых величин при первом приближении. Несмотря на то, что первое решение не дало хорошей точности для силы трения, действующей на пластинку, оно дало хорошие результаты для распределения скоростей, что можно отметить, посмотрев на графики скоростей (рис. 4). Получено, что основная скорость потока в продольном направлении U(x,y), удовлетворяя граничным условиям прилипания, при у ^ +» выходит
на постоянную величину и 0 . Основная скорость потока в поперечном направлении V(x,y) незначи-
б
а
v
У
— v
Ц
тельно возрастает по сравнению с величиной и и затем, удовлетворяя условиям прилипания, становится бесконечно малой. Можно отметить, что с точки зрения физики график распределения сил трения также правдоподобен (рис. 2), так как сила трения в средней части пластинки практически постоянная величина, а влияние концов пластинки способствует её «возмущению» и резкому возрастанию.
Произведены расчёты для силы трения пластинки на второй итерации. По сравнению с первой значительное улучшение наблюдается на промежутке Re = [1, 10]. Погрешность по сравнению с решением Блазиуса падает, начиная с 85 (Re = 1) до 30 % (Re = 10), затем же опять начинает возрастать при больших числах Рей-нольдса. Это может быть связано с погрешностью предложенного метода для больших Re, который необходимо модифицировать. Результаты, полученные на первом шаге, логично построенный второй шаг и
Поступила в редакцию_
корректность подхода к решению задачи в целом позволяют убедиться в перспективности метода решения при его дальнейшем развитии.
Автор выражает благодарность своему научному руководителю профессору мехмата Южного федерального университета М.А. Сумбатяну за постановку задачи и постоянное внимание к работе.
Литература
1. Qussai J. Abdul-Ghafour. A general velocity profile for a
laminar boundary layer over flat plate with zero incidence // J. of Engineering. 2011. Vol. 17. P. 1614-1622.
2. Massey B.S. Mechanics of fluids. L; N.Y., 2006. 696 p.
1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя / пер. с нем.; под ред. Л. Г. Лойцянского М., 1974. 711 с.
3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М., 1973.
848 с.
28 октября 2013 г.
