CC BY
1164
ИСТОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ТЕХНОЛОГИИ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА
КОРЕШКОВА И.А.
Рассмотрена история моделирования и вычислительного эксперимента. Преимущество моделей заключается в возможности проверки той или иной гипотезы, выделении малых (больших) параметров, оценки характеристик, выполнении ответственной задачи содержательных выводов из полученных результатов.
The author considers history of modelling and computing experiment. Advantage of models consists in possibility of check of this or that hypothesis, allocation of small (big) parametres, estimations of characteristics, performance of a responsible problem of substantial conclusions from the received results.
Во многих областях исследований натурный эксперимент невозможен, потому что он либо запрещен, либо опасен, либо просто неосуществим.
Вычислительный эксперимент позволяет исследовать определенный круг вопросов, накапливать результаты, а затем гибко применять их к решению задач в различных сферах деятельности.
Модели являются одним из основных инструментов познания человеком явлений окружающего мира. Под математическими моделями понимают основные закономерности и связи, присущие изучаемому явлению. Это могут быть формулы или уравнения, наборы правил или соглашений, выраженные в математической форме. Испокон веков в математике, механике, физике и других точных науках естествознания для описания изучаемых ими явлений использовались математические модели. Так, законы Ньютона полностью определяют закономерности движения планет вокруг Солнца. Используя основные законы механики, относительно нетрудно составить уравнения, описывающие движение космического аппарата, например, от Земли к Луне. Однако получить их решение в виде простых формул не представляется возможным. Для расчета траекторий космических аппаратов служат компьютеры.
Любая модель представляет собой только приближение. Усложняя модель, включая в нее все больше и больше связей исходного объекта с другими объектами, можно достигать всё более и более высокой точности. Но на поведение объекта обычно влияет много факторов. Кроме того, чем сложнее модель, тем труднее с ней работать. Поэтому абсолютная точность исследования поведения объектов остается недостижимой.
Применение компьютеров для математического моделирования изменило само понятие «решить задачу». До этого исследователь удовлетворялся написанием математической модели. А если ему еще удавалось доказать, что решение (алгоритм) в принципе существует, то этого было достаточно, если априори полагать, что модель адекватно описывает изучаемое явление. Поскольку, как правило, нет простых формул, описывающих поведение модели, следовательно, и объекта, который описывается моделью, то единственный путь - свести дело к вычислениям, применению численных методов решения задач. В таком случае необходим ДППуДППуДПИЮДПоритм, указывающий последовательность вычислительных и логических операций, которые должны быть произведены для получения численного решения.
С алгоритмами связана вся история математики. Само слово «алгоритм» является производным от имени средневекового узбекского ученого Аль-Хорезми. Еще древнегреческим
ученым был известен алгоритм нахождения числа «пи» с высокой точностью. Ньютон предложил эффективный численный метод (алгоритм) решения алгебраических уравнений, а Эйлер -численный метод решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, модифицированные методы Ньютона и Эйлера до сих пор занимают почетное место в арсенале вычислительной математики. Ее предметом являются выбор расчетной области и расчетных точек, в которых вычисляются характеристики моделируемого объекта, правильная замена исходной математической модели ее аналогом, пригодным для расчета, т. е. некоторой дискретной моделью. Поскольку модели должны представлять изучаемые явления в необходимой полноте, понятно, что они становятся весьма сложными.
Модель - это упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, другими словами некий новый упрощенный объект, отражающий особенности реального объекта, процесса или явления.
Моделирование - исследование объектов познания на их моделях; построение моделей реально существующих предметов, явлений или процессов.
Моделирование как форма научного познания не является изобретением XIX или XX века. Достаточно указать на представления Демокрита и Эпикура об атомах, их форме, и способах соединения, об атомных вихрях и ливнях, объяснения физических свойств различных веществ с помощью представления о круглых и гладких или крючковатых частицах, сцепленных между собой. Эти представления являются прообразами современных моделей, отражающих ядерно-электронное строение атома вещества.
Моделирование выполняется на основе выбранных целей:
- познание окружающего мира,
- создание объекта с заданными свойствами,
- определение последствий взаимодействия на объект и принятие правильного решения,
- эффективность управления объектом.
Моделировать можно объекты, явления и процессы, среди них:
1. объектами считаются живые организмы, солнечная система, строительные конструкции, архитектурные сооружения, инженерные конструкции, художественные произведения и т.д.;
2. явлениями - землетрясение, магнитное поле, электрические силы, наводнение, грозовой разряд, затмения, и т.д.;
3. процессами - экономические, развития вселенной, физические, химические, экологические, геологические и т. д.
Понятие «компьютерное моделирование» введено для того, чтобы отразить использование в этом процессе мощного современного средства обработки информации - компьютера.
Методология математического моделирования в кратком виде выражена знаменитой триадой «модель - алгоритм - программа», сформулированной академиком А.А. Самарским [5], основоположником отечественного математического моделирования. Эта методология получила свое развитие в виде технологии «вычислительного эксперимента», разработанной школой А.А. Самарского, - одной из информационных технологий, предназначенной для изучения явлений окружающего мира, когда натурный эксперимент оказывается слишком дорогим и сложным.
Для того чтобы ориентироваться в многообразии объектов моделирования и соответственно моделей, необходимо их определенным образом систематизировать.
Таблица 1. Классификация моделей по фактору времени:
Тип моделей Определение Пример
Динамические Отражают изменения состояния объекта во времени Учет противодействия движению грунтовых вод, ветрам и сейсмическим колебаниям при строительстве здания
Статистические Отражают информацию по объекту с учетом его состояния на данный момент времени Расчет прочности и устойчивости к постоянной нагрузке на фундамент, стены и балки при строительстве здания
Предметные (физические, материальные) Воспроизводят геометрические и физические свойства и имеют реальное воплощение Муляжи, макеты, карты, игрушки и т.д.
Информационные Построены на основе информации, не материальны Описание объекта на одном из разговорных или формальных языков
Предметная (физическая) модель [2] отображает внешние, наглядные свойства объекта в реальном, материальном объекте-копии. Предметные модели обеспечивают наибольшую наглядность по сравнению с информационными моделями. Их ещё называют натурными, так как они реализуют физическое подобие объекта: муляж, макет, собственно модель. Эти модели часто используют на занятиях в учебных учреждениях, при проведении опытов и исследований в специализированных лабораториях в институтах. Например, глобус - учебная модель для изучения Земли. Опытная модель самолета - для испытаний в аэродинамической трубе и т.д.
Таблица 2. Виды информационных моделей
Информационные модели Определение Пример
Знаковые Информационная модель, вы- Схемы, рисунки, тексты, диа-
раженная средствами формального языка граммы и т.д.
Вербальные Информационная модель в мысленной или разговорной форме Мысленный образ объекта
Таблица 3. Виды знаковых моделей
Знаковые модели Определение Пример
Компьютерные Модель, созданная программными средствами Компьютерные программы, электронные варианты чертежей, рисунков, текстов, звуков, формул - их создание, редактирование с помощью программного обеспечения
Некомпьютерные Модель, созданная с помощью традиционных инструментов инженера, писателя, художника и др. Чертежи, рисунки, тексты, созданные вручную
Под информационной моделью мы понимаем совокупность информации, характеризующая свойства и состояния объекта, процесса, явления, а также взаимосвязь с внешним миром, отражает знания человека о моделируемом объекте[2]. Информационные модели могут быть представлены как:
- геометрические модели - графические формы и объемные конструкции;
- словесные модели (описательные) - устные и письменные описания предметов, процессов, явлений;
- математические модели - математические формулы, отображающие связь различных параметров объекта или процесса;
- структурные модели - схемы, графики, таблицы и т.п.;
- логические модели - модели, в которых представлены различные варианты выбора действий на основе умозаключений и анализа условий;
- специальные модели - ноты, химические формулы и т.п.;
- компьютерные модели - компьютерная программа, результат исполнения компьютерной программы, в которую заложена возможность изменения параметров моделируемого объекта.
Моделирование - творческий процесс и заключить его в жесткие рамки практически невозможно. Но можно выделить основные этапы моделирования.
I этап. Постановка задачи
описание задачи
изучение объекта
Ж
III этап. Вычислительный
эксперимент
IV этап. Анализ
полученных результатов
Результаты
соответствуют
цели
II этап. Разработка модели
информационная модель
знаковая модель
Результаты не соответствуют цели
На этапе постановки задачи определяется проблема, которую надо решить. Начинается подробное изучение объекта с выявлением основных свойств и характеристик. Окружающий нас мир состоит из множества объектов, и при этом объекты взаимодействуют друг с другом. Практически каждый объект состоит из других элементов-объектов, представляя собой систему. Например, атомы ^ химические элементы ^ планеты ^ Солнечная система. Системный анализ позволяет исследовать трудно наблюдаемые свойства и отношения в объектах, а также описывать элементы системы с указанием их взаимосвязей. Связи между элементами системы могут иметь строго организованный или произвольный характер, что существенно усложняет восприятие и изучение системы как стадию моделирования (рис.2).
Структура определяет пространственное взаиморасположение элементов системы, их вложенность и подчиненность (рис.3).
Сетевые информационные модели
Применяются для отражения систем со сложной структурой, в которых связи между элементами имеют произвольный характер.
Иерархические информационные модели
Все объекты разделяются на классы, в которых объекты обладают общими свойствами. Внутри класса выделяются подклассы со своими свойствами.
Рис.3
Для подготовки задачи к решению на компьютере ее представляют в формальном виде. Формализация неотъемлемая часть моделирования. Основной тезис формализации - это возможность разделения объекта и его имени (имя - это отражение объекта в сознании человека).
Проиллюстрировать его можно очень простым примером. Если мы напишем, например, слово «корова», то это вовсе не одно и то же, что и известное всем животное. Можно стереть у этого слова букву «а», и это вовсе не означает, что самой корове отрезается, например, хвост.
Сегодня эта мысль кажется почти очевидной. Однако чтобы прийти к ней, потребовались столетия. Появление самой идеи автоматизации, компьютера стало возможным только после того, как было полностью осознано значение основного тезиса формализации. Ещё совсем недавно люди считали, что имя неразделимо с обозначаемым объектом.
Формальное описание задачи средствами математики называют математической моделью. Такая модель позволяет получить решение исходной задачи с заданной степенью точности. Многие математические модели имеют очень широкую область применения. Например, существует математическая модель гармонических колебаний. Она применима к описанию движения маятника, изменению тока и напряжения в электрическом контуре и многим другим не только физическим, но и экологическим, географическим, экономическим моделям.
На определенном этапе модель преобразуется в компьютерную форму. Тип компьютерной модели для проведения вычислительного эксперимента зависит от решаемой задачи. Модель может быть представлена как данные, предназначенные для обработки какой-либо программой. Другой вариант компьютерной модели - программа для проведения расчетов.
Большие компьютерные проекты (демографические, климатические, генетические) требуют огромных усилий по идентификации, унификации, проверке и перепроверке массы параметров. Весьма опасна иллюзия повышения точности исследований за счет учета многих параметров, определить которые невозможно. В реальности абсолютная точность исследований на основе моделирования недостижима.
На основании изучения поведения модели либо делается вывод о возможности ее применения для практических задач, либо принимается решение о проведении дополнительной серии экспериментов и корректировки модели, и тогда весь цикл исследований приходится повторять.
Академик А.А. Самарский, создатель ведущей школы в области математического моделирования в нашей стране, понимал под вычислительным экспериментом такую организацию исследований, при которой на основе математических моделей изучаются свойства объектов и явлений, проигрывается их поведение в различных условиях и на основе этого выбирается оптимальный режим.
Впервые вычислительный эксперимент начал использоваться для изучения таких процессов, экспериментальное исследование которых невозможно или затруднено. Например, в 4050 годы XX столетия академик М.В. Келдыш разрабатывает математическое описание космических полетов.
Пора «младенчества» вычислительного эксперимента приходится на 60-70-е годы XX века. Дата появления первых серьезных результатов вычислительного эксперимента в СССР зафиксирована вполне официально - 1968 год, когда Госкомитет СССР по делам открытий и изобретений засвидетельствовал открытие явления, которого на самом деле никто не наблюдал. Это было открытие, так называемого, эффекта Т-слоя (температурного токового слоя в плазме). В данном случае вычислительный эксперимент предшествовал натурному.
В СССР в 70-80-х годах прошлого века для математического моделирования и вычислительного эксперимента [3] использовались, главным образом, универсальные цифровые вычислительные машины, доступные коллективам исследователей. Это были БЭСМ-6 (Большая Электронная Счетная Машина), «Эльбрус» и модели ЕС ЭВМ (Единая Серия), для которых разрабатывались библиотеки и пакеты прикладных программ вычислительной математики. С по-
явлением персональных компьютеров стало возможно дальнейшее развитие информационной технологии вычислительного эксперимента, которая предусматривает поддержку пользовательского интерфейса и поиска нужных алгоритмов и программ с помощью персональных компьютеров, а проведение расчетов на математических моделях - с помощью высокопроизводительных компьютеров или супер-ЭВМ.
Начало глобальному моделированию положил труд. Форрестера - «Мировая динамика». В 1971 году американский специалист по теории управления. Дж. Форрестер опубликовал первую из глобальных моделей. Компьютерные игры, проведенные Форрестером с глобальной моделью, показали, что в середине XXI века человечество ждет серьезный кризис, связанный, прежде всего, с истощением природных ресурсов, падением численности населения и производства продуктов, ростом загрязнения окружающей среды. На основании анализа этих результатов делается вывод о необходимости стабилизации промышленного роста и материального потребления.
Известны результаты глобального моделирования явления «ядерной зимы», выполненные в вычислительном центре Академии Наук СССР В.В. Александровым и Г.Л. Стенчиковым под руководством академика Н.Н. Моисеева. Эти результаты дали человечеству, в том числе политикам, неопровержимые аргументы против ядерной войны, даже так называемой «ограниченной ядерной войны».
Для решения задач моделирования климата и окружающей среды в 1995 г. в Институте вычислительной математики РАН в рамках специального проекта проводились расчеты изменений климата со «скоростью» 10 лет модельного времени за сутки реального времени.
Результаты расчетов показали, что потепление в конце XXII столетия, по сравнению с концом XX века, превысит 3 градуса. Повышение температуры продолжится и после 2100 года вследствие термической инерции океана.
Географическое распределение изменения температуры во второй половине XXII столетия, по сравнению со второй половиной XX века, показало, что максимальное потепление -на 10 градусов - произойдет в Арктике. Спустя менее, чем 200 лет вблизи Северного полюса Земли практически исчезнут многолетние льды - они будут образовываться там только зимой и полностью таять летом. Значительно повысится температура в умеренных широтах континентов северного полушария (на 4...6 градусов); меньше всего воздух потеплеет над океанами в южном полушарии (на 2...3 градуса).
Данная математическая модель общей циркуляции атмосферы и глубокого океана, созданная в нашей стране в ИВМ РАН, является уникальной.
Вычислительный эксперимент основан на построении математической модели для описания изучаемых процессов или явлений и использовании компьютера [4]. Суть вычислительного эксперимента состоит в том, что на основе различных вариантов математических моделей с помощью компьютера проводятся исследования свойств объекта, процесса или системы, находятся их оптимальные параметры и режимы работы, уточняется математическая модель.
Во многих важных областях исследований натурный эксперимент невозможен, потому что он либо запрещен (например, при изучении здоровья человека), либо слишком опасен (например, при изучении экологических явлений), либо просто неосуществим (например, при изучении астрофизических явлений).
Вычислительный эксперимент в отличие от натурных экспериментальных установок позволяет накапливать результаты, полученные при исследовании какого-либо круга задач, а затем быстро и гибко применять их к решению задач в совершенно других областях. Этим свойством обладают используемые универсальные математические модели. Например, уравнение нелинейной теплопроводности пригодно для описания не только тепловых процессов, но и диффузии вещества, движения грунтовых вод, фильтрации газа в пористых средах. Изменяется только физический смысл величин, входящих в это уравнение.
Проведение вычислительного эксперимента можно условно разделить на два этапа. После первого этапа вычислительного эксперимента, если надо, модель уточняется как в направлении ее усложнения (учет дополнительных эффектов и связей в изучаемом явлении), так и упрощения (выяснение, какими закономерностями и связями в изучаемом явлении можно пренебречь). На последующих этапах цикл вычислительного эксперимента повторяется до тех пор, пока исследователь не убеждается, что модель соответствует тому объекту, для которого она составлена.
Мир компьютерных моделей - мир новой реальности. Сегодня компьютерное моделирование помогает совершать новые открытия.
Группа ученых из Национальной лаборатории в Лос-Аламосе под руководством астрофизика Фалка Эрвига создали компьютерную модель, которая описывает процессы рождения и жизни звезд. С помощью модели было сделано несколько открытий в области физики звезд, а также ряд предсказаний космических явлений. Впоследствии эти предсказания были подтверждены результатами исследований с помощью радиотелескопа в Соккоро, Нью-Мексико.
Еще одна область использования вычислительного эксперимента - это «вычислительная технология» - применение математического моделирования с помощью компьютеров для разработки технологических процессов в промышленности. Для тех случаев, когда технологические процессы описываются хорошо известными математическими моделями, для расчета которых предложены эффективные вычислительные алгоритмы, разработаны пакеты прикладных программ, технология вычислительного эксперимента позволяет создавать новые программы и совершенствовать средства общения человека с компьютером. У технологов есть потребность в изучении новых промышленных технологий, например лазерноплазменной обработки материалов (плазменной термохимии).
Получение необходимых для создания вычислительной техники кристаллов и плёнок для решения проблем в области элементной базы невозможно без математического моделирования. Моделирование теплового режима конструктивных узлов перспективных ЭВМ, процессов лазерной плазмы, технологии создания материалов с заданными свойствами - это сегодня основные задачи технологии.
Сегодня компьютер стал основным инструментом исследователя. При построении компьютерной модели необходимо правильно выбрать программную среду. Компьютер выступает как вспомогательное средство для реализации целей моделирования, может стать интеллектуальным помощником. Для моделирования можно использовать такое прикладное программное обеспечение как текстовые, графические редакторы, среду баз данных, электронных таблиц и языки программирования.
Информационные технологии, поддерживающие вычислительный эксперимент, включают в себя методы построения математических моделей силами конечных пользователей инфор-
мационных систем (специалистов в своей предметной области), информационную поддержку их деятельности для поиска и выбора алгоритмов и программ численного решения задач, методы и средства контроля точности производимых вычислений и правильности работы применяемых программ [3]. При проведении вычислительного эксперимента исследователь может с помощью пользовательского интерфейса «играть» на модели, ставя интересующие его вопросы и получая ответы. Таким образом, исследователь получает мощный инструмент для анализа и прогноза поведения сложных многопараметрических объектов и явлений, изучение которых традиционными методами затруднено или вообще невозможно.
Разработка программного обеспечения для вычислительного эксперимента в конкретной области деятельности приводит к созданию крупного программного комплекса. Он состоит из связанных между собой прикладных программ и системных средств, включающих средства, предоставляемые пользователю для управления ходом вычислительного эксперимента, обработки и представления его результатов. Такой комплекс программ иногда называют проблемноориентированным пакетом прикладных программ.
Пространственные модели для изучения прошлого получили в последние годы широкое распространение. Такие модели позволяют весьма доказательно ответить на вопросы об основных факторах заселения той или иной территории, закономерностях возникновения населенных пунктов в различные исторические эпохи, соотношениях географических, экономических, военных и прочих причин, обусловивших движение населения. Эти модели могут быть реализованы как на макро- (страны, континенты), так и на микроуровне, вплоть до совсем небольших регионов. И основным способом представления этих моделей, безусловно, является карта. Появление компьютерных технологий высокого уровня привело к формированию компьютерного картографирования, на возможности которого в последние годы исследователями обращается все большее внимание. Применение карт позволяет более наглядно представить исследуемые исторические процессы, а также выявить определенные закономерности и тенденции, получить новое историческое знание. Разработка исторических карт на компьютере является делом довольно сложным и дорогостоящим. Однако пришло понимание того, что компьютерное картографирование - вовсе не роскошь, а средство жизнеобеспечения исторической информатики. Недавно разработанная компьютерная модель «История Московского Кремля» показывает развитие архитектурного ансамбля от нескольких домиков и церквушек до современного состояния. Посетители могут этап за этапом проследить, как менялась, начиная с XII века, территория города-крепости на берегу Москвы-реки.
Компания IBM и исследователи из Швейцарского политехнического института в Лозанне впервые предприняли попытку моделирования человеческого мозга. Для моделирования мозга будет использован суперкомпьютер Blue Brain, версия суперкомпьютера Blue Gene/L. Первоначальной миссией Blue Gene было решение сложнейшей вычислительной задачи по прогнозированию процесса синтеза сложных белков, таких как гемоглобин, в соответствии с программой, заложенной в ДНК. Blue Brain может стать первой в мире моделью, обладающей достаточной вычислительной мощностью (22,8 триллионов операций в секунду), чтобы работать в режиме реального времени. Blue Brain может оказать определенную помощь в выявлении «сбойных» участков мозга. Несмотря на всю важность «железной» составляющей Blue Brain, ключевой частью проекта станет самая полная в мире компьютерная модель неокор-текса («высшего» отдела головного мозга человека). Организаторы проекта намерены смоде-
лировать структуру «неокортексных колонок» — нейронных микросхем. В каждую из таких колонок входят до 70 тысяч нейронов. На основании полученных данных будет построена модель всего неокортекса и, в конце концов, — собственно мозга. Согласно предварительным расчетам, на построение полностью работоспособной модели человеческого мозга потребуется не менее десяти лет.
По опубликованным в январе 2008 года данным ученые Монреальского университета применили суперкомпьютер для создания детальной математической модели работы человеческого сердца. Исследователи имитировали активацию тканей сердца продолжительностью пять миллисекунд. При этом они учитывали свойства реального сердца, например то, что его мышечные волокна могут сокращаться в разных направлениях. Процесс занял два часа, а для имитации полного сердцебиения потребовалось бы две недели. Модель включала 3 млрд. элементов и была на три порядка более детальной, чем предыдущие. Моделирование было проведено на суперкомпьютере SGI Altix 4700 с 768 процессорами Intel Itanium 2 и 1,2 терабайт оперативной памяти. Как известно, сердечные заболевания представляют собой значительную проблему. Утверждается, что работа канадских ученых поможет понять механизмы нарушений и усовершенствовать диагностику.
Может возникнуть вопрос, почему бы не исследовать сам оригинал, зачем создавать его модель?
Модель не может заменить объект. Но при решении конкретной задачи модель оказывается подчас единственным инструментом исследования изучаемого объекта. В реальном времени оригинал может уже не существовать (прошлое) или его нет в действительности (будущее).
На основании известных фактов методом гипотез и аналогий можно построить модель событий или природных катаклизмов далекого прошлого. Так, к примеру, родились теории вымирания динозавров или гибели Атлантиды.
С помощью такого же метода можно заглянуть в будущее. Так, ученые-физики построили теоретическую модель «ядерной зимы», которая начнется на нашей планете в случае атомной войны. Такая модель - предостережение человечеству!
Основатель нобелевских премий Альфред Нобель, как известно, исключил математику из числа наук, за достижения в которых присуждается эта высшая научная награда. Вместе с тем, анализ математических моделей с помощью вычислительного эксперимента с каждым годом завоёвывает новые позиции. В последние годы ряд Нобелевских премий по химии, медицине, экономике, физике элементарных частиц были присуждены работам, методологическую основу которых составляло математическое моделирование. В 1979 г. Нобелевской премией по медицине была удостоена работа в области вычислительной томографии. В 1982 г. Нобелевская премия по физике была присуждена К. Вильсону, предложившему ряд фундаментальных моделей в теории элементарных частиц. В 1982 г. Нобелевской премией по химии отмечена работа, в которой методами вычислительной томографии восстанавливалась структура вируса по данным электронной микроскопии.
Вычислительный эксперимент не может полностью заменить натурный, и будущее - за их разумным сочетанием. Ясно одно: методы анализа реального мира вполне применимы и к миру компьютерных моделей. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент остаются ведущими методологиями изучения процессов и явлений на Земле.
Непредсказуемость в поведении нелинейных систем делает сложной попытку долгосрочных прогнозов климата или экономики. Иными словами, полностью рациональное постижение мира невозможно. Как отмечал Зигмунд Фрейд, «признаком научного мышления является способность довольствоваться лишь приближением к истине и продолжать творческую работу, несмотря на отсутствие окончательных подтверждений». Можно сказать, что в науке островки рациональных рассуждений соединены мостами иррациональных озарений.
Библиографический список
1. Павловский Ю. Н. Имитационные модели и системы. ФАЗИС, ВЦ РАН, 2000 - 144 с.
2. Петров А.А. Экономика. Модели. Вычислительный эксперимент. М.: Наука, 1996 - 251 с.
3. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Едито-риал УРСС, 2003 - 280 с.
4. Попов Ю. П., Самарский А. А. Вычислительный эксперимент. М.: Знание, 1983 - 64 с.
5. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002 -с.320.
