Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. 2. Методика и результаты расчета Текст научной статьи по специальности «Физика»

Овчинников Илья Игоревич

Ovchinnikov Ilya Igorevich

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А.

410054, Саратов, ул Политехническая, 77

Доцент/docent 05.23.17 Строительная механика E-Mail: bridgeart@mail.ru

Овчинников Игорь Г еоргиевич

Ovchinnikov Igor Georgievich

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

614600, Пермь, ул. Королева 19.

Профессор/professor E-Mail: bridgesar@mail.ru

Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. 2. Методика и результаты расчета

Investigation of influence of the liquid metal environment on the behavior of the thick-walled pipe. 2. The methodology and the results of analysis

Аннотация: Проведен анализ основных соотношений модели деформирования толстостенной трубы в жидком металле. Разработана методика и алгоритм расчета. Численно исследовано поведение толстостенной трубы при действии нагрузки и жидкометаллической среды.

The Abstract: The analysis of the basic equations of deformation models of thick-walled tubes in a liquid metal is given. The technique and algorithm of calculation are considered. Numerically analysis of the behavior of a thick-walled pipe with the action of load and the liquid metal environment are made.

Ключевые слова: Жидкие металлы, долговечность, толстостенная труба, обезуглероживание в натрии

Keywords: Liquid metals, durability, thick-walled pipe, decarburization in sodium

***

Введение. В статье [8] приведены основные соотношения, описывающие поведение конструкций в условиях сложного напряженного состояния и воздействия жидкометаллической среды, а также приведены разрешающие уравнения описывающие поведение толстостенного трубопровода, контактирующего с жидким натрием. Ниже рассмотрим методику решения полученных уравнений и результаты численного моделирования поведения трубопровод, обезуглероживающегося в жидкометаллической среде.

1. Анализ основных соотношений и обоснование методик расчета

Рассмотрим методику расчета напряженно-деформированного состояния и долговечности толстостенного трубопровода в жидкометаллической среде. Считаем, что трубопровод предварительно прогрет до определенной температуры T, затем к нему прикладываются соответствующие нагрузки, а после этого он помещается в жидкометаллическую среду.

На этапе силового нагружения для определения напряженно-деформированного состояния трубы необходимо решить двухточечную краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

решается на каждом шаге по времени при определении напряженно-деформированного состояния на этапе погружения в жидкометаллическую среду (деформирования во времени).

Расчет напряженно-деформированного состояния и долговечности толстостенной трубы, обезуглероживающейся в жидком металле, предполагает использование экономичного, с точки зрения вычислительных затрат, и достаточно точного метода решения краевой двухточечной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Теория решения таких уравнений хорошо разработана [9,10]. Подробное изложение методов, иллюстрированное численными примерами, дается в монографии Ц.На [10].

Так как в ходе определения напряженно-деформированного состояния трубы кроме решения краевой задачи, требуется найти и его производную, эффективно использование метода, позволяющего одновременно с решением получать производную. Однако, вследствие того, что этот метод требует обеспечения непрерывности коэффициентов и правой части уравнения по переменной интегрирования, которые известны в конечном числе точек дискретизации, необходимо проводить дополнительную процедуру интерполирования. Это означает, что суммарные вычислительные затраты могут быть достаточно велики.

Более экономичным представляется метод конечных разностей, ибо получающаяся при этом система линейных алгебраических уравнений имеет трехдиагональную матрицу коэффициентов, что позволяет применить для ее решения весьма эффективную процедуру факторизации [9,10].

Для унификации алгоритма расчета следует использовать единую методику нахождения производных решения уравнений (1) и (3), а также производных, входящих в выражения для коэффициентов Р(г), 0(г), Б(г) краевой задачи.

В данной работе мы используем методику численного дифференцирования, основанную на простых формулах первого порядка точности [9].

Протекание процесса обезуглероживания на этапе деформирования во времени подчиняется диффузионному закону:

2

(1)

с краевыми условиями

Г = Яа =~1а; Г = Яь ,аг =-дь.

(2)

Аналогичная, но уже неоднородная краевая задача [8]

(3)

с граничными условиями

Г = Яа, Ааг = 0; г = Яь, Ааг = 0

(4)

(5)

где г - текущий радиус.

Здесь Б - коэффициент диффузии углерода, учитывающий влияние уровня повреж-денности материала на кинетику перемещения углерода следующим образом:

где Бо - коэффициент диффузии углерода в неповрежденном материале, а, в - коэффициенты, учитывающие влияние поврежденности П на процесс диффузии.

Для учета воздействия жидкого металла, находящегося с внешней поверхности трубы, граничные и начальное условие запишутся так:

В случае, если имеет место осесимметричное температурное воздействие, распределение температуры по толщине трубы может описываться уравнением теплопроводности, которое по своему виду аналогично уравнению диффузии.

Для подобных уравнений разработаны различные методы интегрирования, основанные на использовании аналитических, конечно-разностных, конечно-элементных способах получения решения [11, 12, 13].

Аналитическое решение уравнений диффузии и теплопроводности может быть получено методами разделения переменных, мгновенных источников, либо с помощью функций Грина [14]. Возможно также использование операционных методов [11, 12]. Но получение аналитического решения задачи не всегда возможно, особенно в нашем случае, когда коэффициент диффузии зависит от уровня поврежденности. Поэтому довольно часто эффективными способами решения являются конечно-разностные аппроксимации уравнения, при этом могут использоваться как явные, так и неявные схемы [9, 15].

Широкое применение в настоящее время находят также метод конечных элементов [11] и вариационные методы [12].

Особенности пошагового алгоритма решения задачи анализа напряженно-деформированного состояния и долговечности толстостенной трубы и его итерационный характер, диктуют использование достаточно точного и экономичного по вычислительным затратам метода решения уравнения диффузии.

Б (П) = В0 (1 + аПв) ,

(6)

(7)

(8)

Если среда действует изнутри, то граничные и начальное условие запишутся в виде:

(9)

(10)

В настоящей работе предпочтение отдается численному методу решения уравнения диффузии, основанному на конечно-разностной его аппроксимации с применением явной схемы [9].

Этот метод прост в реализации, позволяет получать решение задачи с использованием

переменного шага, он предельно экономичен. Но явная схема обладает лишь условной устой-

чивостью, что требует введения ограничения на величину шага по времени:

Аг2

А < (—) (11)

С целью обеспечения более надежной реализации данного метода, был использован более жесткий критерий:

Аг2

А. < (-------------------------------------------) (12)

4 • В ()

Результаты расчета стержня, полученные в статье [2] позволили сделать вывод о том, что шаг по времени, определяемый из условия устойчивости явной схемы решения задачи диффузии (12 4.9), значительно превышает величину шага, требующуюся для интегрирования уравнений ползучести и накопления повреждений.

Для интегрирования уравнений ползучести

• р :а(

і-п

йриІйі = А • рЩа^О^)к,р(0) = 0, (і3)

и накопления повреждений

шп/л = в •ы,!(і- п)п+8,п(0) = о,п(/) = і.

(14)

была использована методика, которая позволила успешно решить такую задачу при расчете стержня в статье [2].

Для случая сложного напряженного состояния используются формулы:

О —

Р = (К>+1) • (—'п-)" ь Г1 - 1 -п і-і

(15)

1

П= ((1 - Пг_1)—1 - В-1 • (п + 5 +1) • аящ-1 • А.) п+5+1. (16)

Методика выбора шага по времени была такой, же, как и в случае расчета стержня [2]. Однако, в качестве дополнительных параметров, характеризующих напряженно-деформированное состояние трубы, оказалось не достаточно наблюдения за изменением

только максимального напряжения или изменением эквивалентного напряжения (?и , принятого в уравнениях ползучести и накопления повреждений при обобщении модели на случай сложного напряженного состояния.

Расчет толстостенной трубы показал, что наиболее чувствительными параметрами напряженно-деформированного состояния на всех этапах деформирования являются окружные

Оо и продольные напряжения О'2 , которые подвергаются наибольшему перераспределению вследствие протекающих процессов ползучести и обезуглероживания.

Для обеспечения сходимости решения задачи деформирования толстостенной трубы можно менять требования к величинам относительных изменений, определяющих параметров за один шаг по времени.

2. Методика и алгоритм расчета толстостенной трубы, подвергающейся обезуглероживанию в жидком натрии

Для расчета толстостенной трубы была разработана специальная методика, включающая этап силового нагружения и этап деформирования во времени, включающий пошаговую процедуру установления граничных условий для уравнения диффузии углерода.

Дискретизация задачи расчета напряженно-деформированного состояния трубы производилась по радиальной координате путем аппроксимации ее толщины сеткой равноотстоящих узлов,

На первом этапе поведение толстостенной трубы описывается основным разрешающим уравнением (1) с граничными условиями (2),

В начальный момент времени происходит «мгновенное» погружение трубы в жидкий металл, однако в силу определенной инерционности процесс обезуглероживания начинает сказываться по истечении некоторого интервала времени и достижение разновесной концентрации в поверхностных слоях происходит не мгновенно. Поэтому оказалось необходимым ввести этап пошагового возмущения граничной концентрации углерода, разновесная концентрация которого достигается за несколько шагов по концентрации в течении конечного отрезка времени.

На протяжении всего второго этапа деформирования во времени для расчета напряженно-деформированного состояния толстостенной трубы использовался метод последовательных возмущений параметров [16]. При этом, как и в задаче о расчете стержня [2], задавались предельные величины возмущений определяющих параметров, а также напряжений О0

и О . По двум первым параметрам с учетом ограничения на шаг по времени, определяемого требованием устойчивости разностной схемы для решения уравнений диффузии и теплопроводности, находился шаг по времени и определялось напряженно-деформированное состояние трубы с контролем величин изменения напряжений О0 и Ог за этот шаг.

Описанную выше методику расчета можно представить в форме следующего алгоритма:

Этап 1

1. Из решения краевой задачи (1), (2) определяется массив напряжений Ог .

2. С использованием формул численного дифференцирования находится массив производных йОг / йг.

йо

3. По формуле О0 = Ог +----- находится массив окружных напряжений, а по формуле

йг

О2 = П • (О0 + Ог) массив продольных напряжений О2 , Массив интенсивностей напряжений находится из выражения:

= 7^ • V (о'е ~аг )2 + (аг -а, )2 + (ав - а,):

(17)

4. С использованием выражений

е = Е.а -У.(ае +а))+«• т (18)

ее = Е • (а>-п (а+а))+«•т (19)

находятся массивы радиальных и окружных деформаций ет и ее .

5. Проверяется точность решения краевой части задачи с помощью уравнения равно-

весия

к.

ь

|ае • й = Яа • Яа - Яь •

(20) Яа

Этап 2

1. Задается начальный шаг по времени &, шаги возмущения граничной концентрации АС и возмущения граничного уровня температуры АТ .

2. Решаются уравнения диффузии и теплопроводности, находятся массивы распределения концентрации углерода и температуры по объему трубы.

3. Рассчитываются коэффициенты А и В, модели (13) и (14).

4. Решаются уравнения ползучести (13) и накопления повреждений (14) с использованием формул (15) и (16) после чего, по формулам:

АРи = р - Р.,-,, АП = П, - П,

находятся массивы приращений интенсивностей деформаций ползучести и приращений поврежденностей.

5. Производится проверка в каждой из точек разбиения выполнения условий:

АП £АПтах, (21)

АРи £ АРи тах (22)

В случае их невыполнения шаг уменьшается и происходит возврат к шагу 2.

6. Определяются массивы, являющиеся функциями С и Т, находятся приращения АЕ, Аа.

7. Численным дифференцированием находятся массивы

йАЕ dАPu йАТ йАа йт ’ йт ’ йт ’ йт

8. Находятся значения коэффициентов и правой части дифференциального уравнения

(3).

9. Методом конечных разностей решается краевая задача (3), (4) - находится массив

Аа .

10. Численным дифференцированием находится а

йт

11. Вычисляются Аае и Аа, и находятся массивы напряжений:

ат. = ат(-| + Аат , ае, = аен + Аае,- + Аа, (23)

12. Проверяется устойчивость решения задачи определения напряженно-деформированного состояния по формулам

I ае , - ае(-1 |£ А Кр • I ае (-1 I, (24)

а -а ,|£А кр •1 а-1|, (25)

-1

где АКр - назначенная величина относительного приращения напряжений за один шаг по времени.

13. Вычисляются приращения деформаций Ает и Аее и определяются полные деформации:

А£Г1 = £Г-1 + Аег , Аее( = ее(-1 + Аее . (26)

14. Проверяются некоторые условия завершения программы и производится обработка прерываний. Делается подготовка к следующему шагу по времени и выбирается его величина по определенным условиям.

15. Производится проверка установления граничных условий для уравнений диффузии и теплопроводности в случае достижения равновесных значений и дальнейшие вычисления выполняются с шага 2, иначе делается очередное возмущение граничных условий на величины АС и АТ.

3. Исследование кинетики взаимодействия толстостенной трубы с жидким натрием

С целью анализа сходимости решения задачи определения напряженно-деформированного состояния и долговечности толстостенной трубы были проведены численные расчеты по некоторым программам нагружения с использованием различных схем учета процессов ползучести и накопления повреждений.

Программный комплекс, созданный для выполнения расчетов, состоит из управляющей процедуры и отдельных модулей - процедур для решения частных задач алгоритма. Модульная структура программного комплекса позволила выбрать наиболее экономичные схемы решения краевой части задачи, задачи Коши для уравнений ползучести и накопления повреждений и решения уравнения диффузии и теплопроводности.

С целью оптимизации времени выполнения расчетов был проведен анализ влияния назначаемых параметров задачи (число слоев по толщине трубы, величины ограничений на воз-

мущения определяющих параметров) на время выполнения расчета и его точность, Оказалось достаточным разбить толщину трубы на 20 слоев, при этом погрешность решения краевой задачи (3), (4) не превышала 1-2%.

Для оценки точности численного решения краевой задачи с использованием метода конечных разностей проводилось сравнение с аналитическим ее решением (задача Ламе), что показало совпадение результатов до четырех значащих цифр.

Рассмотрим результаты расчета напряженно-деформированного состояния и долговечности толстостенной трубы при отсутствии воздействия жидкого натрия при исходных данных, приведенных выше для оценки достоверности методики. Рис. 1. иллюстрирует кинетику изменения напряженно-деформированного состояния трубы с течением времени. Видно, что

наибольшее перераспределение характерно для окружных ае и продольных а, напряжений.

При этом для продольных напряжений а2 эпюра становится нелинейной, и у внутренней поверхности трубы даже происходит смена знака напряжения. Эпюра окружных напряжений изменяет свою кривизну и максимальные напряжения ае в момент разрушения расположены уже у наружной поверхности трубы. Вследствие перераспределения отмечается тенденция уменьшения кривизны эпюры радиальных напряжений От. Происходит также значительное выравнивание эпюры интенсивности напряжений Ои . На рис. 2. показаны эпюры интенсивности деформаций ползучести Ри и поврежденности П для различных моментов

времени. Анализ этих эпюр позволяет сделать вывод, что разрушение толстостенной трубы в данном случае нагружения происходит с внутренней поверхности, при этом уровень повреж-денности у наружной поверхности останется сравнительно небольшим. Это можно объяснить особенностью стадии лавинообразного разрушения при ползучести, когда в наиболее «поврежденной» части сечения происходит быстрый рост параметра поврежденности, Этим же можно объяснить и ускоренный рост деформаций ползучести в наиболее «поврежденной» точке, что согласуется с экспериментально наблюдаемой картиной разрушения трубчатых образцов, нагруженных внутренним давлением.

а, МПа а, МПа а, МПа сг, МПа

Рис. 4. 1.

40 0.8

30 0.6

- 517 -ап / - 517 -ап/

20 0.4

п •сс 0 5

10 1 1 0.2 1 1

Рис. 4. 2.

Рис. 4. 3.

Выводы. Анализ приведенных результатов показывает, что под воздействием обезуглероживания в жидком натрии происходит сокращение времени жизни толстостенной трубы -примерно на 22 %; деформации ползучести при разрушении могут достигать 60% и более; в случае обезуглероживания происходит смещение зоны разрушения от внешней поверхности трубы в частично обезуглероженную зону сечения (1/4 от поверхности); максимальные напряжения в сечении могут служить критерием, определяющим долговечность толстостенной трубы, таким критерием может служить накопленная поврежденность, которая учитывает кинетику изменения напряженного состояния.

р ,, ,%

К

Р

К

К

л

л

0

Р

К

Р

Р

Р

Р

л

л

ЛИТЕРАТУРА

1. Овчинников И.И. Построение и идентификация модели деформирования и разрушения металлов, взаимодействующих с жидкометаллической средой // Интернет-журнал «Науковедение» 2012, № 3, с. 1- 11.

2. Овчинников И.И. Моделирование поведения стержневого элемента, взаимодействующего с жидкометаллической средой// Интернет-журнал «Науковедение» 2012, № 3, с. 1-

11.

3. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А.Биргера и Б.Ф.Шорра. - М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.

4. Писаренко Г.С, Лебедев А. А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. - Киев: Наукова думка, 1976. - 415 с.

5. Сдобырев В.П. Критерий длительной прочности для некоторых жаропрочных сплавов при сложном напряженном состоянии // Изв.

АН СССР. Механика и машиностроение. - 1959. - № 6. - с.93-99.

6. Кац Ш.Н. Исследование длительной прочности углеродистых труб// Теплоэнергетика. - 1955. - № 11. - с. 37-40. .

7. Стасенко И.В. Установившаяся ползучесть толстостенной трубы // Изв. вузов: Машиностроение. - 1974. - № 2. - с. 14-17.

8. Овчинников И.И., Овчинников И.Г. Исследование влияния жидкометаллической среды на поведение толстостенного трубопровода. 1. Основные соотношения// Интернет-журнал «Науковедение» 2012, № 4.

9. Калиткин Н.Н. Численные методы. - М.: Наука, 1978. - 512 с.

10. На Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач: Пер. с англ.

- М.: Мир, 1982. - 296 с.

11. Коздоба Л. А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. - М.: Наука, 1975. - 227 с.

12. Коренев В.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. - М.: Наука, 1980.

- 400 с.

13. Лыков Д.З. Теория теплопроводности. - М.: Высшая школа, 1967. - 595 с.

14. Коздоба Л.А., Круковский П.Г. Методы решения обратных задач

теплопереноса. - Киев: Наукова думка, 1982. - 360 с.

15. Степанов Р.Д., Шленский О.Ф. Расчет на прочность конструкций из пластмасс, работающих в жидких средах. - М.: Машиностроение, 1981. - 136 с.

16. Овчинников И.Г., Салихов А.Ю. Нелинейный анализ толстостенного цилиндра методом последовательных возмущений параметров // Строительная механика и расчет сооружений, 1992, № 1

17. Овчинников И.Г., Хвалько Т. А. Работоспособность конструкций в условиях высокотемпературной водородной коррозии. Изд-во СГТУ. Саратов, 2003. 176 с.

Данная работа выполнена в рамках работы над грантом РФФИ № 12-01-31130 Мол а «Нелинейные модели деформирования и методы определения долговечности элементов конструкций, взаимодействующих с агрессивными средами и полями».