CC BY
81
УДК 624.072.326.011.1:674.028.9+624.072.326.011.1.046
Г.Г. Кашеварова, А.Ю. Зобачева, И.Н. Фаизов
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ КЛЕЕНЫХ ДЕРЕВЯННЫХ БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ АРОК
Приведены результаты экспериментального и численного исследования пространственной устойчивости большепролетных клееных деревянных арок, фактической работы конструкций под нагрузкой, исследовано влияние различных факторов (свойств материала, подкрепления, жесткости связей) на расчет устойчивости арок.
Клееные деревянные арки находят широкое применение при строительстве различного рода зданий и сооружений. Особенно эффективны такие конструкции для большепролетных зданий общественного и спортивного назначения и складов калийных солей с агрессивной эксплуатационной средой. Одной из наиболее рациональных форм клееных деревянных конструкций, широко применяемых при возведении большепролетных сооружений, являются арки кругового и стрельчатого очертания, имеющие сплошное прямоугольное сечение. Чем больше отношение высоты И к ширине Ь сечения арки, тем значительнее экономия материала. Однако при отношении к = И/Ь > 5 сжатая неподкрепленная кромка полуарки начинает деформироваться из плоскости действия нагрузки. Возникает опасность потери устойчивости плоской формы деформирования, и в таких случаях необходимо учитывать жесткости связевых блоков и дискретных подкреплений кромок распорками, т.е. пространственную работу всего сооружения в целом.
В настоящее время проверка устойчивости плоской формы деформирования криволинейных сжато-изгибаемых элементов производится в соответствии с рекомендациями СНиП 11-25-80 «Деревянные конструкции». Расчетные формулы получены исходя из предпосылки о линейной работе древесины под нагрузкой без учета анизотропии материала и связей, обеспечивающих пространственную жесткость сооружения. Современные программные комплексы позволяют решать проблему устойчивости, рассматривая более точные пространственные модели, основанные на нелинейной постановке задачи. Однако в большинстве специализированных программ этот вопрос проработан недостаточно и решается, в основном, в линейной постановке. В данной работе для численного анализа использовался метод конечных элементов
и программный комплекс ЛК8У8, который дает возможность пользователю работать не только в интерактивном режиме, но и создавать собственные макросы на языке параметрического проектирования ЛРБЬ, в том числе для решения задач устойчивости в нелинейной постановке.
Цель данной работы - создание научно обоснованных расчетных моделей, адекватно отражающих работу большепролетных арочных сооружений, и анализ влияния различных факторов на устойчивость таких сооружений.
Натурные эксперименты моделей арки. Для верификации результатов численного моделирования приняты данные и результаты натурных экспериментов моделей клееных деревянных стрельчатых арок с увеличенным отношением размеров к = 5, 7, 9, 12, проведенных в Пермском государственном техническом университете [1]. Общий вид модели арки и основные геометрические параметры конструкции показаны на рис. 1, 2. Все модели арок испытывались при шарнирном решении конькового и опорных узлов, что позволило получить наилучшее соответствие фактической и теоретической расчетных схем трехшарнирной стрельчатой арки на действие симметричной (от подвесной конвейерной галереи) и односторонней (снеговой, ветровой) нагрузок.
Рис. 1. Общий вид модели арки на испытательном стенде
На практике устойчивость арочного сооружения в продольном направлении обеспечивается системой связей, выполненных из деревянных или стальных стержней. Поэтому все модели испытывались при разных вариантах закрепления арки из плоскости. Такая методика проведения испытаний позволила выявить возможные формы потери устойчивости и установить степень влияния соединительных элементов на устойчивость всей конструкции.
150ь 150ь
й1 Ц> А-А
Рис. 2. Схема модели стрельчатой арки
В процессе испытаний производились замеры перемещений в плоскости и из плоскости действия нагрузки. Оценка напряженного состояния производилась по результатам замеров деформаций волокон древесины в различных сечениях. Конструкции арок загружались до потери несущей способности. В результате проведенных натурных экспериментов получены зависимости между нагрузками и перемещениями в плоскости и из плоскости арок, формы потери устойчивости и значения критических нагрузок, выявлен характер и причины разрушения конструкций.
Вычислительные эксперименты. Для создания научно обоснованных расчетных моделей большепролетных арочных сооружений использовались результаты натурных экспериментов арок с увеличенным соотношением размеров сечения к = 7 и к = 9 при действии симметричной нагрузки. При этом рассматривались два варианта закрепления граней из плоскости:
1) модели с раскреплением от смещения из плоскости на опорах, в коньке и в 5 точках верхних граней обеих полуарок (имитация раскрепления прогонами);
2) в дополнение к первому варианту в серединах длин дуг полуарок закреплялись от смещения из плоскости нижние грани.
В соответствии с натурными экспериментами, в программном комплексе ЛК8У8 создана конечно-элементная расчетная модель пространственной трехшарнирной арки стрельчатого очертания, имеющая сплошное прямоугольное сечение.
Физико-механические свойства древесины (сосна, ель) приняты по результатам испытаний образцов, которые вырезались из моделей, прошедших испытания: модули упругости в направлении волокон - (1,276±0,204)*1010 Па;
поперек волокон - 4*108 Па; модуль сдвига - (5,5±0,5)*108 Па; коэффициенты Пуассона \ху = 0,499, \ух = 0,02.
В процессе исследования:
оценивалось влияние конечно-элементной дискретизации на результаты расчета;
рассматривались расчетные модели пространственной конструкции арки с разными соотношениями высоты к ширине сечения к = 7 и к = 9;
выполнялись и сравнивались результаты линейного и нелинейного расчетов потери устойчивости арок;
исследовались влияние анизотропии материала;
оценивалось влияние на пространственную арочную конструкцию жесткости связей в продольном направлении.
Расчетные модели пространственной конструкции арки создавались балочными и оболочечными конечными элементами (КЭ). Значения критических нагрузок в балочных моделях существенно отличались от экспериментальных значений. Кроме того, для такой модели арки нельзя было раскрепить нижнюю сжатую грань. Поэтому дальнейший анализ проводился на моделях, создаваемых оболочечными КЭ (рис. 3).
Рис. 3. Конечно-элементная расчетная модель арки
Закрепления в коньковом узле моделировалось линейными связями, перпендикулярными плоскости нагрузки и угловой связью, препятствующей угловому перемещению арки вокруг оси х, параллельной пролету. Раскрепления верхних и закрепления нижних граней полуарок имитировалось наложением линейных связей перпендикулярно плоскости действия нагрузки (места на рис. 3 отмечены).
Для определения критической нагрузки и форм потери устойчивости применялись два подхода: линейный, связанный с вычислением собственных значений с применением блочного метода Ланцоша [2], и нелинейный статический расчет.
Разрешающее уравнение для линейного подхода можно записать в виде
([К ]-Ч5 ])!"! = °>
где [К] - матрица жесткости конструкции; [5] - матрица эффективной жесткости; X - собственное значение (масштабный фактор); {и} - собственный вектор, определяющий форму выпучивания.
С точки зрения линейного подхода выпучивание определяется эффектом изменения жесткости упругой системы с ростом напряжений, когда рост сжимающих напряжений приводит к снижению способности конструкции противостоять нагрузкам, действующим в поперечном направлении. При некотором уровне нагрузки этот нейтрализующий эффект превосходит влияние собственной линейной жесткости системы, приводя к выпучиванию.
На рис. 4, 5 показаны результаты расчета форм деформированной оси в плоскости и характер перемещений нижних граней арок из плоскости действия нагрузки, которые качественно соответствуют результатам натурных экспериментов.
Рис. 4. Расчетные (----------------------------------) и экспериментальные (-) формы деформированной
оси в плоскости (а) и перемещения нижних граней арок из плоскости (б) действия
симметричной нагрузки, мм
■2,0 ---------------------------------------------------------------------------------
¿5, М
Рис. 5. Расчетные (----) и экспериментальные (-----) формы деформированной
оси в плоскости (а) и перемещения нижних граней арок из плоскости (б) действия симметричной нагрузки с закрепленными нижними гранями, мм
Линейный подход не может учесть нелинейности любого рода и несовершенства системы, имеющиеся в реальных конструкциях, приводящих к снижению критических нагрузок, полученных в линейном случае. Но данный подход полезно использовать для изучения общего поведения конструкции перед выполнением нелинейного анализа устойчивости.
Древесина - анизотропный материал, и в данной работе исследовалось влияние анизотропии и разброса жесткостных характеристик материала на величину критической нагрузки
Нелинейный анализ устойчивости - это, в сущности, исследование влияния больших перемещений. Статический нелинейный анализ осуществляется посредством замены всей нагрузки серией ее небольших приращений и выполнением на каждом таком шаге по нагрузке последовательности линейных приближений до получения состояния равновесия. Каждое линейное приближение требует выполнения равновесной итерации. С точки зрения вычислительного процесса расчет продолжается до точки, в которой обнаруживается предельная или максимально допустимая нагрузка и поведение модели становится нестабильным.
При нелинейном анализе матрица жесткости системы и вектор нагрузок могут зависеть от результатов решения и, следовательно, неизвестны. Для преодоления этого затруднения используется итеративная процедура на основе метода Ньютона-Рафсона, которая состоит в том, что выполняется серия линейных приближений, обеспечивающих сходимость процесса к истинному решению. В методе Ньютона-Рафсона матрица жесткости и/или вектор нагрузок модифицируются на каждой итерации. Используются соотношения
[К 1-,-м,={^}-^" Ь
где [К], - матрица коэффициентов тангенциальной жесткости для дефор-
мированной геометрии на (,-1)-й итерации; {Ли}. - вектор, компонентами
которого являются приращения перемещений двух последовательных итераций: {Ли}, = {и},-{и}, ,; {и}. - вектор перемещений, относящийся к текущей
итерации; {^А} - вектор приложенных к системе сил; {,рж }. - вектор нагрузок в методе Ньютона-Рафсона, соответствующих перемещениям для итерации с номером (, - 1).
Процесс итераций продолжается до тех пор, пока не достигается сходимость решения. Для управления процессом сходимости на каждом шаге решения используется метод ограничивающих дуг. Проверка сходимости при переходе
к следующему шагу производится по невязке усилий } -{Гт}. |.
Для проведения вычислительных экспериментов нами разработаны программы-макросы на языке АРБЬ. На рис. 6 показаны сравнительные результаты линейного и нелинейного расчета перемещений нижних граней арок из плоскости для к = 7 с незакрепленными и закрепленными нижними гранями с учетом ортотропии свойств древесины.
Рис. 6. Расчетные и экспериментальные значения перемещений нижних граней арок из плоскости действия симметричной нагрузки: а - с незакрепленными нижними гранями; б - с закрепленными нижними гранями
Основные результаты линейного и нелинейного расчетов критической нагрузки для расчетных моделей с отношениями высоты к ширине сечения к = 7 и к = 9 с учетом разброса свойств материала, а также осредненные результаты экспериментов сведены в таблицу.
Расчетные и экспериментальные значения критической нагрузки
к = ЫЪ £х104, МПа Изотропный материал (лин. расчет) Є, МПа Ортотропный материал Эксперимент
без за- крепл. ниж. грани с за-крепл. ниж. грани без закрепл. ниж. грани с закрепл. ниж. грани без за-крепл. ниж. грани с закрепл. ниж. грани
лин. нелин. лин. нелин.
7 1,072 16,6 19,5 50 10,23 8,852 15,3 12,414 13,4 16,08
60 11,5 9,88 16,99 13,629
1,276 19,75 23,2 50 10,9 9,8 16,5 14,53
60 12,2 10,88 18,22 15,87
1,48 22,9 26,95 50 11,56 10,099 17,7 14,524
60 12,86 11,195 19,42 15,832
9 1,072 16,32 19,09 50 10,54 10,15 16,859 14,252 15,58 19,3
60 11,82 11,307 18,432 15,522
1,276 19,42 22,72 50 12,32 11,83 18,82 17,66
60 13,58 12,95 20,42 19,03
1,48 22,53 25,35 50 12,07 11,590 20,002 16,922
60 13,32 12,813 21,614 18,256
На практике устойчивость арочного сооружения в продольном направлении обеспечивается системой связей, выполненных из деревянных или стальных стержней достаточно малой жесткости, по сравнению с жесткостью арки. Связевые элементы крепятся к полуаркам гибкими стальными соединительными деталями. Вся связевая система является достаточно податливой, что приводит к появлению перемещений вдоль оси сооружения при нагрузках, меньших критических. Поэтому для оценки влияния на пространственную арочную конструкцию жесткости связей в продольном направлении выполнялись расчеты для двух арок, связанных между собой связями разной жесткости (деревянными и стальными стержнями) (рис. 7).
Как видно из приведенного графика, перемещения нижних граней арок из плоскости действия симметричной нагрузки практически совпадают, но значения критической нагрузки при этом отличаются примерно на 30 % (для стальных стержней Ркр = 12,9 кН, для деревянных стержней Ркр = 8,9 кН).
Рис. 7. Исследование влияния жесткости связей на устойчивость арочной конструкции
Анализ результатов. Анализируя результаты экспериментальных и численных исследований, следует отметить следующие основные моменты:
1. Стрельчатые арки принятого очертания при отношении высоты сечения к ширине к = 5 деформируются, главным образом, в плоскости действия нагрузки, и потери устойчивости плоской формы деформирования не происходит. Для конструкций с отношением к > 5 характерна пространственная форма деформаций, связанная с потерей устойчивости плоской формы деформирования сжатой грани полуарки.
2. Симметричное загружение вызывает сжатие нижних не закрепленных граней обеих полуарок и под действием нагрузки происходит выпучивание этих граней из плоскости по одной полуволне, но величины перемещений левой и правой полуарок при этом отличаются.
3. На величину расчетной критической нагрузки и характер деформаций существенно влияет учет анизотропных свойств материала. Для изотропного материала значения критической нагрузки существенно превышают экспериментальные значения.
4. Введение дополнительных связей на нижних гранях полуарок, препятствующих боковым перемещениям, не оказывает существенного влияния на деформации моделей арок в плоскости наибольшей жесткости, но характер разрушения арок при этом различается. Арки без дополнительных связей теряют несущую способность при меньших нагрузках от потери устойчивости. Арки с дополнительными связями теряют несущую способность при больших нагрузках в результате разрыва волокон материала. Это подтверждают и вычислительные эксперименты, в которых для арок без дополни-
тельных связей более близкие к экспериментальным критические нагрузки дает линейный, а для арок с дополнительными связями - нелинейный расчет (см. таблицу и рис. 6).
5. При учете ортотропии наибольшее влияние на величину критической нагрузки оказывает модуль сдвига (при изменении С на 9 % Ркр меняется на 34 %, в то время как при изменении Е на 15 % Ркр меняется на 7 %).
Список литературы
1. Фаизов И.Н. Экспериментальное исследование напряженно-деформированного состояния деревянных стрельчатых арок // Строительные конструкции, здания и сооружения: труды ЦНИИЭПсельстроя. - М., 1977. -№ 17. - С. 64-72.
2. Басов К.А. ЛК8У8: Справочник пользователя. - М.: ДМК Пресс, 2005. - 640 с.
Получено 30.08.2010
