CC BY
23
УДК 621.396.679.4
ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ ДВУХКОЛЬЦЕВОГО ЦИФРОВОГО АВТОМАТИЧЕСКОГО УСТРОЙСТВА
СОГЛАСОВАНИЯ АНТЕНН В ПЕРЕХОДНОМ РЕЖИМЕ
В.М. Жуков
ОАО «ТЗ “Октябрь ”», г. Тамбов Представлена членом редколлегии профессором Ю.Л. Муромцевым
Ключевые слова и фразы: алгоритм вычислительного типа; измерители фазы и модуля; устройство согласования антенн; цифровые автоматические устройства.
Аннотация: Получены математические выражения для определения корреляционной функции и дисперсии погрешности цифрового автоматического устройства согласования антенн в переходном режиме. Настройка устройства согласования осуществляется алгоритмом вычислительного типа.
В работе [1] показано, что время автоматической настройки согласующего устройства существенно уменьшается при использовании в качестве датчиков автонастройки измерителей фазы и модуля коэффициента отражения и применения алгоритма вычислительного типа. В качестве устройства согласования антенн (УСА) выбрано звено, состоящее из переменного конденсатора и линии переменной длины. Такое звено является оптимальным с точки зрения совпадения зоны согласования с областью значений входных сопротивлений антенн, заданной величиной минимального коэффициента бегущей волны в антенном фидере. В данной работе поставлена задача исследования качественных характеристик цифрового автоматического устройства согласования антенн (АУСА) в переходном режиме (рис. 1, 2).
Рис. 1. Электрическая схема УСА:
ДЛ - дискретная линия переменной длины с волновым сопротивлением р; С - конденсатор переменной емкости
Рис. 2. Структурная схема цифровой системы:
ПНД - преобразователь непрерывной величины в дискретную; ЦВМ - цифровая вычислительная машина
Процесс регулирования в данной системе в общем случае описывается уравнением с четырьмя случайными взаимозависимыми переменными
I(Рд , Фд, КС , Ki ) = 1, (1)
где рд и фд - квантованные величины модуля и фазы коэффициента отражения
на входе УСА, а К^ и Кс - относительные погрешности исполнения величин разрядов длинной линии и конденсатора соответственно.
Функция задана в области 0 < рд < 1; 0 < фд < 2 я; 0 <Кс < 1; 0 < К^ < 1. В результате квантования информации в ПНД появляется ошибка квантования
£д (0 = Хд (О - х(0. (2)
При случайных воздействиях на входе системы ошибку £д (?) удобно рас-
сматривать как случайную помеху. В работе [2] показано, что М {ед } = 0, т.е.
M{xq } = M {x}:
2 2 M {eq } = Dqx = 1V- m H } =M P}+q
(3)
(4)
дх I I J 12
где М {...} - математическое ожидание соответствующей величины. Из (3) следует, что шум квантования не коррелирован с входным сигналом и представляет собой некоррелированный случайный процесс.
Оценим степень влияния погрешностей на выходе ЦВМ и погрешностей разрядов органов настройки УСА на статистические характеристики погрешностей всей цифровой системы. В АУСА, рассматриваемом в работе [1], измерение фазы коэффициента отражения производится на частоте 3 кГц. Тактовая частота измерителя 1 МГц, следовательно, порог квантования по фазе дф = 0,003, а погреш-
дф
ность измерителя фазы коэффициента отражения = 0,0015. Это обеспечивает-
ся при десятиразрядной сетке измерителя фазы. Девятиразрядная сетка измерителя модуля коэффициента отражения обеспечивает максимальный порог квантования модуля коэффициента отражения, равный qp = -1 = 0,001953 и погрешность
29
квантования — = 0,000976.
2
В свою очередь, относительные погрешности выполнения дискретных органов настройки и кс реальных УСА достигают величины 0,2...0,3. Следовательно, эти случайные величины помех и будут определять качественные характеристики автоматической цифровой системы регулирования. В таком случае процесс регулирования в системе автонастройки в отличие от (1) описывается уравнением с двумя независимыми случайными переменными
f (%, ^) = 1. (5)
Исследование функции (5) и статистических характеристик данной цифровой системы целесообразнее всего проводить методом двумерного г-преобразования. Для
функции (5) двумерное преобразование по Лапласу равно -1; импульсная пере-
5^1
Ні
ходная функция равна 1, двумерное г-преобразование равно
(2 -1)(21 - 1)
Структурная схема регулирования емкости С и индуктивности Ь в исследуемом УСА представлена на рис. 3.
Примем обозначения: хс ь (/) - стационарная случайная функция изменения величин С и Ь во времени; И^) - передаточная функция непрерывной (желаемой)
*
системы; й(/) - соответствующая ей импульсная переходная функция; О (2, у) -общая передаточная функция цифровой системы управления; g [(п + у)Т] -
*
соответствующая ей импульсная переходная функция; Ос (2, у) - передаточная функция дискретного кольца управления по С; gc [(п + у)Т] - соответствующая
*
ей импульсная переходная функция; Р (2, у)Т - передаточная функция дискретного кольца управления по Ь; р [(п + у)Т ] - соответствующая ей импульсная переходная функция; 0 < у < 1 - параметр запаздывания.
Рис. 3. Структурная схема регулирования емкости С и индуктивности Ь
Величина (О на выходе непрерывной (желаемой) системы определяется
уравнением
г
ун (г) = | Кг -х) х(х)й х. (6)
о
Величина уд (г) на выходе соответствующей дискретной системы с учетом ошибок квантования значений С и Ь по уровню определяется уравнением
п п п
Уд (г) = д(г-тТ)х[тТ-0]+ I дс(г-тТ)кс [тТ-0]+ I р(г-тТ)кь[тТ-0].
т=0 т=0 т=0
(7)
Ошибка, вызванная дискретностью и погрешностью исполнения органов настройки,
е(г) = уд (г) - ун (г) (8)
является случайной функцией времени, статистические характеристики которой -корреляционная функция и дисперсия - будут определены ниже.
Определение корреляционной функции погрешности системы
В нашем случае входное воздействие Хсь (г) имеет равное нулю математическое ожидание, так как отклонения от расчетных величин С и Ь могут быть как в большую, так и в меньшую стороны. Корреляционная функция ошибки е(г) на основании ее определения и равенства (8) равна
К (г, ¿1) = м {е(г )е(г1)} = Кд (г, ¿1) - кт (г, ¿1) - Кдн (г, /1) + К (г, /1). (9)
В выражении (9) первый член определяет корреляционную функцию выходной
переменной дискретной системы, а последний - корреляционную функцию выходной переменной желаемой непрерывной системы; второй и третий члены -взаимные корреляционные функции выходных переменных указанных систем. Задачу далее будем решать в следующей последовательности: найдем выражения указанных корреляционных функций с помощью уравнений (6) и (7), осуществляя далее переход к двумерным изображениям и, наконец, найдем соответствующие этим изображениям оригиналы.
Корреляционная функция выходной переменной дискретной системы
Кд [(п + у)Т, (п +у)Т]= М {у, [(п + у)Т] .уд [(п1 + у)Т]} =
п п
= II Ч [(п + у- т)Т ] д [(п1 +у-т^Т ] Кх [тТ - 0, т{Т - 0] +
т=0 щ=0
п Щ
+ II Чс [(п + у—т)Т] Чс [(п1 + у— т1)Т]Кс [тТ - 0,т{Т - 0] +
т=0 т\=0 п п
+ II Р [(п + у-т)Т]р [(п1 + у-т1)Т]Кь [тТ - 0,т{Т - 0]. (10)
т =0 т1=0
В выражении (10) опущены взаимные корреляционные функции случайных процессов х[пТ], кс [пТ] и к [пТ] на основании известных статистических
свойств ошибок, вызванных эффектом квантования по уровню [2].
Двумерное изображение корреляционной функции (10)
z2g |*д [(n + g)T, (ni + g)T]} = фД (z, 2Ъ у) = z 1z11 [g*(z, g)G* (Zi, у)Ф*х (z, 1; zb1) +
+ О с (г, УОс(гъ У)Фс (^,1; ^,1) + Р (z, у)Фі (г,1; гь1)]. (11)
Найдем теперь взаимную корреляционную функцию
Кнд [(п + у)Т, («1 + у)Т] = М {Ун [(И + У)Т] уд [(«1 + у)Т]} =
(п+у)Т п1
= | А [(и + у)Т— т] X д [(«1 + у—^1)Т]Кх [т,т{Т - 0] dт. (12)
0 ^1=0
Преобразуем выражение (12) путем изменения переменной интегрирования X = (т + 5)Т. Найдем изображение правой части полученного равенства. Затем в полученном изображении произведем замену переменных суммирования п и «1 на і = п — т — 1, г! = «1 — т1, а также заменим обозначение переменной интегрирования 5 на у . В результате получим
*
фнд (^ г1) =
¥ ¥ ¥ ¥
1
= Т X X X X | * [(' +1 - У)Т] д ЦТ] К [(“ + У)Т, ш{Т - 0] г"^“^г-^“)¿у = т=0 '=0 “1 =0 ¿1 =0 о
1 ¥ ¥ ¥ ¥
= Тг-1 |Х Ь [(/ +1 -у)Т ] г-1 X ё [1Т ] г-'1 X X Кх [(“ + У)Т, “Т - 0] г "“г-4 ¿у =
0 '=0 ¿1=0 т=0 “1=0
1
1 1 * г * *
= г г-О (г{)Т\ Н (г,1 -у)Фх(г,у;гх,1)^у. (13)
0
По аналогии с (12) и (13) получим выражения для взаимной корреляционной функции
1
* 1 1 * Г * *
фдн(z,zO = z-1zf1G (z)TjH (z1,1 -у)фх(z,1;z1,g)dg. (14)
0
и корреляционной функции выходной переменной непрерывной системы
11
* 1 1 О Г Г * * *
Фн(г,гО = г_1г-1Т2ЦН (г,1 -у)Н (гх,1 -у)Ф*(г,у;г!,у)^у. (15)
00
На основании выражений (9), (11), (13), (14), (15) после определения двумерных изображений корреляционных функций воздействия х[пТ] и ошибок квантования £дс [пТ] и £дь [пТ] окончательно находим изображение корреляционной функции ошибки (8)
* If**** **
фе(z,Zi) =--|g (z)G (zj) Fx(z) + FxCzj) + Kx(0) + Gc(z)Gc(z1)Kc +
ZZi -1 1 L -1
* * 1 (• +P (z)P (z{)KL }- Tj
0
1
H (z,1 -g)Fx(z,g) G*( ) + H (zi,1 -g)F*(zi,g) G*(z)
d g-
* * * * ________________________* * ”1
[Н (г,1 -у^^Л -у)О (^) + Н (^,1 -у)^(г,1 -у)О (г)] йу+
о
+ Г2| | Н*(z,1 - у)Н*(21,1 - У) [** (г) + К* (^) - Кх (0)] йуйу 1. (16)
00
Таким образом, мы выразили двумерное изображение корреляционной функции Фе (г, г{) через передаточные функции О (г), 0**(г), Р (г), Н (г, у),
*
изображение корреляционной функции входного воздействия ¥х (г, у) и погрешности разрядов к<с и к^ .
Определение дисперсии погрешности системы
Дисперсия ошибки £(/) на основании ее определения и равенства (2) равна
Ве [(п = у)Т] = М{е2 [(п + у)Т]} = Вд [(п + у)Т] - 2Внд [(п + у)Т] + Д, [(и + у)Т].
(17)
Первый член выражения (17) определяет дисперсию выходной переменной дискретной системы, а последний - дисперсию выходной переменной непрерывной (желаемой) системы; второй член (17) представляет собой удвоенный корреляционный момент выходных переменных указанных систем.
Найдем вначале выражения составляющих дисперсии ошибки (17), затем определим их изображения и, наконец, осуществим переход к соответствующим им оригиналам. Так как Вд [(и + у)Т]= Кд [(и + у)Т, (п +у)Т], то дисперсия выходной переменной дискретной системы определяется выражением (10) при И1 = п. На основании того, что
Р* (г) = Кдс (0) = кс; ^ (г) = К^ (0) = ^ , (18)
получаем изображение
2у{Вд [(п + у)Т]} = Вд*(г, у) = —-- [| О*(ю, у)О*(гю 1, у)Р*(гю 1)ю 1йю+
щ(г -1) 1 11
+ кс2 п [6 О*с (ю, у)О*с (гю-1,у)ю-1йю+ К^ б Р* (ю,у)Р* (гю-1,у)ю-1йю,
2Ш(г-1) ^ 2] -1,) ^
1 2 1 3
(19)
где Г1, Г2, и Г3 - контуры радиуса еаТ, еа2 и еазТ (а > С1, ^2 > с2, аз > С3), С1, С2, С3 - показатели роста соответственно функций ё [(п + у)Т], ёс [(п + у)Т] и р[(п + у)Т].
i
Для более четкого отличия выражений для дискретной и непрерывной систем введем обозначения
п*. ч 6д( Z, g)
G (z, g) = д
*
R*( z)
**
; GC(z, g) = %^; P*( z, g) = %^; F>) = L&-
Rc ( z)
Rp ( z)
M (z)
(20)
В нашем случае функции О (г, у), Ос(г, у) и Р (г, у) имеют простые полюсы. Обозначим полюсы функции О(г,у) через рг (г = 1,2,...,кд), полюсы ** функции Ос (г,у) через рс (с = 1,2,...,кс), а полюсы функции Р (г, у) через Р] (] = ^..^кр).
*
Для получения формулы, определяющей Вд (г, у), вычислим контурные интегралы в выражении (20). Учтем характер расположения полюсов подынтеграль-
*
ных функций в (19). Контур Г охватывает лишь полюсы функции О (г, у), контур Г2 охватывает лишь полюсы функции Ос* (г, у), а контур Г3 - полюсы функ-
*
ции Р (г, у).
На основании теоремы о вычетах из выражения (19) с учетом обозначений
(20) находим
* z, g)=7-Г Ш
. K _1 * * _1
z M Pi бд( Pi, g^( zP, , g)
-__, • * * _1
i=1 p, )Rд(zP, )
2L*( zp, 1)
*( p 1) - Kx (0) M ( zpi )
+K ^ pc xQc(pc, g)Qc(zp(-1, g) +K vp pj Qp (pj, g)Q (zpj , g) c C=1 R&C( Pc )RC(zPc-1) Rp( Pj )R*p(zp-v)
Ж Ж Ж Ж I
+KcGc(0,g)Gc(~,g) + кLP (0,g)P (¥,g)j
(21)
где R„( p,) =
R*(fi»
w=Pi, RRC(pc) = ^С(ю) ю= pc , RP(pj) = RP(w)
ю= pj ■
При выводе формулы (21) учтено, что Рх(ж>) = Кх (0). Так как
Внд [(п + у)Т] = Кнд [(п + у)Т, (п + у) Т], то корреляционный момент выходных переменных дискретной и непрерывной систем определяется выражением (12) при п1 = п. Учитывая, кроме того, что входное воздействие стационарно, из выражения (12)находим
п—1 п 1
Внд [(п + у)Т] = Т ^ ^ |к [(п - т + у-5)Т] д [(п - т +у)Т] Кх [(т - т1 + 5)Т] й5 +
т=0 т-[=0 0
+T j h [(g-ô)T ] ^ g [(n - Ш1 +g)T ] Kx [(n - m1 + 5)T ] d 8.
0 Ш1=0
(22)
+
Производя в (22) замену переменных суммирования аналогично (12) и (13) и находя г-преобразования отдельных членов правой части полученного выражения, будем иметь
4д (г) = Т 1Ч \\Ь 0*(ю)[ Н * (гю-1,1 - 8)Я* (гю-1,8)^ 8ё ю+
2щ(г-1) 0
1
+ ^ |Н* (ю, 8)0* (гю-1)^* (гю-1,8)ю-1^8ё ю} , (23)
г4 о
где Г4 - контур радиуса еа/4Г, 04 > С4 (С4 - показатель роста функции й(/)).
Формула (23) определяет изображение зависимости от времени корреляционного момента выходных переменных дискретной и непрерывной систем. Оно может быть найдено путем определения контурных интегралов с помощью вычетов, подобно тому, как это было сделано выше для выражения (21). Обозначим
н (•*)=От); Ех (•*)=М(т);
^н (5) М (5)
* *
Н *( г, у) = -^ф^; ^(г, у) = (24)
^н(г) М (г)
—
В нашем случае функция Н (г, у) имеет лишь простые полюсы, которые
обозначим через дг (г = 1,2,...,кн). Результаты осреднения некоторой функции
______ 1
ф(г, 8) по переменной 8 на интервале [0, 1] обозначим ф(г, 8) = = | ф(г, 8)ё8.
о
С учетом введенных обозначений из формулы (23) находим
тН , Л T I ^ Q*(Pi )QH(zP- 1,1 - d)L (zP- 1 ’d)
Drn (z) = —7 -------------*-*-------1—*-------1— +
z -1|^ R.(p, )RH(zp~ )M (zp-1)
^ Qд (гдг 1)бн(?г, 8) £*( гдг 18) , — — — |
+£ - ^ ^^ ^ Чг 1 1 + о (¥)Н (0,8)^х(¥,8) I. (25)
£ ЗД,- )ЛД(гд- )М (гд-1)
Рассмотрим, наконец, зависимость от времени дисперсии выходной переменной непрерывной системы. Здесь могут быть два варианта решения. Первый -
—
определить г-изображение Бн (г, у) дисперсии непрерывной системы Бн (г) и далее перейти к оригиналам, второй - найти изображение по Лапласу Бн (5) дисперсии и после определения оригинала положить г = (п + у)Т. Второй вариант более прост, ему мы и будем следовать. Возможность его использования обусловлена тем, что для дискретного процесса, полученного путем выборки из соответствующего непрерывного, моменты равны моментам исходного непрерывного процесса. Это нетрудно видеть, если сравнить эти моменты, полученные как средние, по множеству реализаций [3].
В работе [4] показано, что зависимость от времени дисперсии выходной пе-
Для определения изображения функции В(ґ) воспользуемся теоремой преобразования Лапласа об изображении произведения оригиналов. Учитывая также теорему об изображении интеграла, из последнего уравнения находим отображение
Чтобы вычислить интеграл (26) с помощью теории вычетов, дополним линию интегрирования слева дугой окружности бесконечного радиуса, на которой значение подынтегральной функции бесконечно мало. Нетрудно показать, что получившийся контур охватывает лишь полюсы функции Н(р). Воспользовавшись первыми двумя обозначениями (24), из выражения (26) находим
где аг = (г = 1,2,...,кн) - полюсы функции Н(р), кратность которых равна единице.
Таким образом, найдены изображения составляющих дисперсии ошибки
(18). Теперь, пользуясь обратными преобразованиями, нетрудно найти саму дисперсию ошибки.
Характер изменения дисперсии погрешности системы в переходном режиме непосредственным образом определяет ее быстродействие. В реальных АУСА команды на измерение ошибки регулирования и включение разрядов вырабатываются и синхронизируются процессором, поэтому параметры запаздывания у и 8 равны нулю. В таком случае оригинал дисперсии погрешности определяется формулой
Графики изменения дисперсии погрешности при к = 0,3; к = 0,2; к = 0,1; к = 0,05 приведены на рис. 4.
Как видно из графиков на рис. 4, для настройки АУСА потребуется не более 4 - 5 циклов, а дисперсия погрешности системы в переходном режиме стремится к нулю, т.е. система является устойчивой «в большом».
может
D(t) = 2 j h(t) j h(t - x1 ) KX (Xj)d tjd X.
0 0
Dh (t)
1
a2+j¥
L {Dh (t)} = Дн (5)
PjS
j H ( p) H (s - p)Fx (s - p)dp
(26)
a2 - j¥
(27)
а для случая kc =kL = к формулой
Рис. 4. Графики изменения дисперсности погрешности:
1 - к = 0,3; 2 - к = 0,2; 3 - к = 0,1; 4 - к = 0,05
Список литературы
1. Жуков, В.М. Об использовании измерителей фазы и модуля коэффициента отражения для уменьшения времени настройки цифрового автоматического согласующего устройства / В.М. Жуков // Техника средств связи. Серия ТРС. - 1981. -№ 3. - С. 79-86.
2. Гусев, В.Г. Методы исследования точности цифровых автоматических систем / В.Г. Гусев. - М. : Наука, 1973. - 399 с.
3. Кузин, Л.Т. Расчет и проектирование дискретных систем управления / Л.Т. Кузин. - М. : Машгиз, 1962. - 364 с.
4. Скляревич, А.Н. Операторные методы в статистической динамике автоматических систем / А.Н. Скляревич. - М. : Наука, 1965. - 401 с.
Research into Stability of Two-Ring Digital Automatic Device for Aerial Matching in Transitive Mode
V.M. Zhukov
“Tambov Plant “Oktyabr”plc, Tambov
Key words and phrases: aerial matching devices; computational algorithm; digital automatic devices; phase and module measurers.
Abstract: Mathematical expressions for determination of correlation function and error dispersion for the digital automatic device of aerial matching in transitive mode are produced. Tuning of aerial matching devices is done by computational algorithm.
Untersuchung der Stabilität der zweiringdigitalautomatischen Anlage der Antennenkongruenz im transitiven Regime
Zusammenfassung: Es sind die matematischen Ausdrücke für die Bestimmung der Korrelationsfunktion und die Dispersion des Fehlers der digitalautomatischen Anlage der Antennenkongruenz im transitiven Regime erhalten. Die Abstimmung der Kongruenzanlage wird vom Algorithmus des Rechentyps verwirklicht.
Etude de la stabilité d’un dispositif automatique digital à deux bagues pour la séquence des antennes dans le régime transitoire
Résumé: Sont reçues les expressions mathématiques pour la définition de la fonction de corrélation et la dispersion de l’erreur d’un dispositif automatique digital à deux bagues pour la séquence des antennes dans le régime transitoire. L’ajustement de la séquence de la corrélation est réalisé par l’algorithme du type calculateur.
