Исследование упругопластического изгиба с учетом изменения поперечного сечения балки Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 624.07+539.3

А. Х. Валиуллин

ИССЛЕДОВАНИЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ИЗГИБА С УЧЕТОМ ИЗМЕНЕНИЯ ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ БАЛКИ

Ключевые слова: упругопластический изгиб, диаграмма растяжения, линейно упрочняющееся тело, изменение поперечного сечения, потенциальная энергия деформации, работа внешних сил, дополнительная работа.

Рассмотрено влияние изменения поперечных размеров балки при упругопластическом изгибе на ее несущую способность и жесткость. Показано значительное снижение этих характеристик вследствие изменения поперечных размеров: по несущей способности около 20 процентов, по жесткости более чем в 1.5 раза.

Key words: Elasto-plastic-bending, stretching chart, material with linear hardening, change of cross section, the potential energy of

deformation, work of externa lforces, the additional work.

Influence of change of the cross size in considered at an Elasto-plastic bend of a beam on its bearing ability and rigidity. Considerable decrease in these characteristics in shown: on durability about 20%, on rigidity it is more than by 1.5 times.

При исследовании малых, в том числе и упругопластических, деформаций обычно не принимают во внимание изменение размеров поперечного сечения, так как они очень малы и практически не влияют на результат. Примеры таких расчетов приведены в [1], [2].

В настоящей работе предпринята попытка расчета напряженно-деформированного состояния при чистом изгибе с учетом изменения размеров поперечного сечения. Защемленная одним концом консольная балка нагружена на свободном конце сосредоточенным моментом М. Поперечное сечение балки - прямоугольник Ь х Л , материал - сталь 20, диаграмма растяжения (рис 1) состоит их двух линейных участков: упругого, при: 0 < є < є , и

участка упрочнения, при єТ < є < єв , где є - относительная продольная деформация, индексы соответствуют пределам текучести и прочности. Характеристики материала: Е = 200 ГПа - модуль упругости, стТ = 300 МПа и ств = 600 МПа - истинные пределы текучести и прочности, Е = (в - сТ)/єв = 1562,5 МПа - модуль упрочнения.

При расчете в упругой зоне поперечное сечение считается неизменным, изгибающий момент определяется как в работе [1], а в начале пластической зоны по упрощенной формуле т = 1,5 + Е *етах , полученной с учетом малости отношений гТ / ев и гт / етах • В этой формуле Е = Е / стТ - безраз-

Мх

мерный модуль упрочнения, а т =

aWx

- без-

Рис. 1 - Схема нагружения и диаграмма растяжения

размерный изгибающий момент, 1/Ух = ЬЛ /6 - момент сопротивления сечения.

Найдем выражение изгибающего момента в общем случае упругопластической деформации с учетом изменения размеров поперечного сечения. При этом, в связи с отсутствием диаграммы пластического сжатия, будем предполагать, что она центрально симметрична (относительно начала координат) диаграмме растяжения. Кроме того, учтем, что пластическое деформирование происходит без изменения объема, коэффициент Пуассона ц = 0,5 . Ясно также, что в растянутой части балки поперечные размеры уменьшаются, а в сжатой - в том же отношении увеличиваются.

Как известно, изгибающий момент можно представить интегралом

Л/2

Мх = | сусА = 2 | сЬ*у*с(У*.

А 0

Здесь С = Ст (і + Е є), звездочкой отмечены изменяющиеся размеры:

Ь = Ь(і - цє),

Су” = Су (і - цє),

* у у = ІсЦі -цє).

С учетом линейного изменения деформации по высоте - в соответствии с гипотезой плоских сечений -

2е„

є=

Л

-у,

здесь етах - деформация наиболее удаленного от нейтральной оси волокна, - эти выражения приводятся к виду:

Ь = Ь| 1 -=. у |,

Су = Су| 1 —у |,

у * = у * |1 -є^ у..

у

Входящие в эти формулы дроби л оставляем в прежнем виде, а интегрирование выполняем в старых пределах: от 0 до Л/2, поэтому формулу изгибающего момента можно переписать так:

Л/2 | _

= 2 | сТЬ11 + 2Е * у | х

Мх =

1 - єтах

у I И -

у |уСу.

л ; ^ 2Л

После некоторых преобразований получим: т = 1,5 + (е -1.25)єтах -

- (0,9375Е* - 0,375)х + (1)

+ (Е* - 0,0375)зЛах - 0,03125Е *єЛах .

Далее задача решается численно, по алгоритму, описанному в работе [2]. Решение сводится к определению значения єтах из уравнения (1) при

заданном значении безразмерного момента т; уравнение решается методом Ньютона, после чего находится кривизна изогнутой оси балки:

2є

тах к —-------,

Л

а затем определяются координаты точек изогнутой оси балки.

Результаты расчета по программе «Ві^> на языке «Рог1гап-90» представлены графиком на рис. 2.

Рис. 2 - Изогнутая ось балки при различных при / = 20 в зависимости от т: • - конец кривой

Каждая кривая - это изогнутая ось балки с относительной длиной I = I / Л = 20 при определенном значении безразмерного изгибающего момента.

Вычисления показывают, что учет изменяемости сечения сильно изменяет результат. Так, если без учета изменяемости сечения угол поворота свободного концевого сечения при т = 1, 1,5, 1,75, 2,00, 2,1 составляет 0,05954, 0,2400, 1,9200, 3,8400, 4,6080, то при учете изменяемости сечения

- значительно больше: 0,05954, 0,2400, 2,7343, 6,0368, 7,6067. Несущая способность балки тоже оказывается существенно меньше. Если предельным считать состояние, когда деформация наиболее растянутого волокна достигает значения етах = ев = 0,192, а напряжение - предела прочности, то идеальный расчет (неизменяемое сечение) показывает, что это происходит при т = 2,5, а реальный расчет приводит к результату т = 2,11, то есть меньше на 18%.

По результатам расчетов построены также графики зависимости т -&тах, где &тах - угол

поворота свободного концевого сечения балки, они приведены на рис. 3. Каждый график относится к определенному значению относительной длины:

I = 10,20,40 . Графики по форме напоминают

диаграмму растяжения, заложенную в основу расчета. Каждый график приближенно можно изобразить ломаной, состоящей из двух линейных

участков, описываемых уравнениями:

- I = 10; I участок т = 12,5Этах , II участок т = 1,48 + 0,16283тах;

- I = 20; I участок т = 6,25Этах , II участок т = 1,48 + 0,0814&тах;

- I = 40; I участок т = 3,1259тах, II участок т = 1,48 + 0,0407&тах.

Рис. 3 - Зависимости угла поворота от изгибающего момента

Видно, что второй участок каждого графика является прямой, отсекающей на оси ординат один и тот же отрезок в точке (0, 1,48).

Рассмотрим, как изменяется поперечное сечение балки. На рис. 4 показано измененное сечение, пусть верхняя часть балки при изгибе растягивается, а нижняя сжимается (в действительности наоборот). Предполагается, что в сжатой зоне изме-

2

є

тах

нения формы и размеров сечения прямо противоположны тем, что в растянутой. Ширина сечения из-

меняется линейно от значения bm* |n = bl 1 -

2

вверху до значения bm* |n = bl 1 +

єп

2

внизу, вы-

сота растянутой и сжатой части сечения становится равной, соответственно, 2 ^1 - Smax ^ и

h ( е — I 1 + max

21 4

состоянии (при emax = 0,192) верхняя часть сечения уменьшается на 9%, на столько же увеличивается сжимаемая нижняя часть.

. Расчет показывает, что в предельном

•2 =

О

х

Рис. 4 - Сечение до и после деформирования

Определим потенциальную энергию деформации. Найдем ее как работу внутренних сил. Приложенная к элементарной площадке Ь dy элементарная сила стЬ с1у на пути edz совершает работу: dU = стеЬСу *dz.

Подставив в это выражение формулы напряжения и деформации, найдем сначала потенциальную энергию, накопленную в элементе длины балки dz:

Л/2 { 0

2е„

dU = 2 J baT |1 + Е 2є

h

yI x

h

yl 1-_ma>Ly I dydz =

h

ат є

Tb max 2

bhQdz,

где Q = 1 +

2Е *-1 2 Е*

-----------є +-----------є~

32 max 1 40 max ■

„3

Интегрируя по длине, найдем потенциальную энергию, накопленную во всей балке:

I 1 I

и = |Си = 2СТТ етах ЬЛ^| ^ =

0 2 0

11

= 2 СТТ 8тах ЬЛ^ = 2 СТТ етахШ-

Здесь ^ = Ьhl - объем балки. Имея в виду, что -М- = 6/, запишем формулу потенциальной

энергии в окончательном виде:

U = 3aTWxI^m

3Mx

т

Подсчитаем потенциальную энергию деформации нашей балки в предельном состоянии. Как уже было показано, в предельном состоянии максимальная деформация достигает предельного значения - єтах = єв = 0,192, а изгибающий момент - значения т = 2,11. Найдем значение функции деформации О:

П = 1 + 1562,5/300 -1 • 0,192- 2•5,2083 .0,1922 +

6

+ 5,2083 - 01923 = 1,1236.

32

40

Тогда потенциальная энергия деформации 3Mx -1,1236 • 0,192 • /

U = 3Mx

2,11

m

= 0,3067Mx/.

При относительной длине балки /= 10, 20, 40 потенциальная энергия составляет

U = 3,067Mx, 6,134Mx, 12,268Mx. Если принять

во внимание, что угол поворота концевого свободного сечения балки в предельном состоянии 3,8053, 7,6067 и 15,213 радиан, а произведение момента на угол поворота свободного конца балки в нашей задаче означает работу внешней силы (момента) на угловом перемещении, то работа постоянной внешней силы на перемещении равна W = 3,8053Mx, 7,6067Mx, 15,213Mx. Сравни-

вая значения потенциальной энергии деформации с работой внешней силы, убеждаемся в том, что отношение

U=

— = const.

W

Действительно,

U = 3,067Mx = 6,134 = 12,268

= 0,8064.

М 3,8057М 7,6067 15,213

Здесь обозначено: М - работа внешних сил на перемещениях их точек приложения при условии постоянства сил в процессе деформирования. Полученная закономерность подтверждается и графиками зависимости момента m от угла поворота &тах (рис. 3). На рисунке один график - для случая

I = 20 - выделен штриховкой. Вся заштрихованная площадь - площадь прямоугольника - представляет собой работу 1/У, площадь фигуры, заштрихованной вертикальными линиями, - потенциальную энергию

max

2

x

деформации и, а площадь фигуры, заштрихованной горизонтальными линиями, - дополнительную работу Э, известно, что

и + Э = М.

Сравнение соответствующих площадей графиков также приводит почти к тому же значению отношения 0,85. Поэтому можно считать, что при чистом упругопластическом изгибе потенциальная энергия деформации составляет 0,8, а дополнительная работа 0,2 от работы внешних сил, или Э = 0,25и.

В заключении сделаем одно важное замечание. Изменение поперечного сечения приводит к тому, что оно становится несимметричным относительно горизонтальной оси и нейтральная ось приходит в новое положение. В данной работе это не

учтено, а просто сделано предположение, что общий изгибающий момент равен удвоенному моменту относительно старой нейтральной оси от напряжений в растянутой части сечения. Поэтому при больших деформациях возможна существенная ошибка, и этот вопрос требует дополнительного изучения.

Литература

1. Валиуллин А.Х. Упругопластический изгиб балки из материала с линейным упрочнением / А.Х. Валиуллин //Вестник Казанского технологического университета, 2010, № 9, С 453 - 458.

2. Валиуллин А.Х. Чистый упругопластический изгиб балки / А.Х. Валиуллин //Вестник Казанского технологического университета, 2011, № 6, С 182 - 186.

© А. Х. Валиуллин - канд. техн. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КНИТУ, tmsm@kstu.ru.