CC BY
40
2008
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Аэромеханика и прочность, поддержание летной годности ВС
№ 130
УДК 629.7.01.015:532.5
ИССЛЕДОВАНИЕ УДАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТЬЮ
А.Н. ГОСТЕВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Ципенко В.Г.
В работе исследуются гидродинамические нагрузки, возникающие на раннем этапе проникания в сжимаемую жидкость затупленного твердого тела, поверхностью которого является эллипсоид вращения, в зависимости от начальной скорости проникания, массы проникающего тела, с учетом изменяемости скорости движения тела.
Решение задачи проникания основано на методе, предложенном в [3], который позволяет определить в произвольный момент начальной стадии проникания гидродинамическое давление на смоченной поверхности проникающего в сжимаемую жидкость эллипсоида вращения. С помощью данного метода решение линеаризованной смешанной краевой задачи сводится к решению бесконечной системы интегральных уравнений Вольтерра второго рода.
Пусть эллипсоид вращения проникает в покоящуюся, невесомую баротропную идеальную сжимаемую жидкость перпендикулярно поверхности жидкости со скоростью Уо(1;)<<С, где С -скорость звука в жидкости, Уо(0) = Уо — начальная скорость проникания.
Рис. 1. Схема погружения тела в сжимаемую жидкость
Нижнее полупространство, занимаемое жидкостью, отнесем к цилиндрической системе координат г02: ось Ог направим по поверхности жидкости, ось 02 - вертикально вниз. Картина проникания в произвольном осевом сечении одинакова, поэтому можно ограничиться рассмотрением движения в плоскости г02. В этой плоскости контур проникающего тела будет описываться уравнением эллипса:
2 2
г (2 + Ь - 2Ь)
2 + 1_2
а Ь
где
Уо ( т) с1т
глубина проникания;
а,Ь - полуоси эллипса.
г
Свяжем этот контур с полярными координатами в, Г(в), где в - полярный угол, откладываемый от положительного направления оси 0ъ; Дв) - полярный радиус; О' - полюс, взятый на расстоянии Я от лобовой точки проникающего тела: Г(0)=Я, где Я - характерный линейный размер тела: угол в* определяет границу смоченной поверхности тела.
Задача решается в линейной постановке, допустимой лишь при малых по сравнению с Я глубинах проникания ъЬ. Тогда в пределах смоченной поверхности тела углы 9 будут малы.
В силу затупленности контура проникающего тела и малого изменения его кривизны в пределах смоченной поверхности тела, а также малости углов 9, будем иметь приближенные соотношения:
г = г(в)-8т(в) « Я- 9с18 (9) ^(в)»1»- (2)
в г
Введем безразмерные переменные, в которых длина отнесена к Я, время - к Я/С, давление — к р С2, скорость — к С, где р - плотность жидкости.
Тогда движение сжимаемой жидкости будет описываться в безразмерном виде с учетом соотношений (2) модифицированным волновым уравнением:
й1 й й1 й1 Л
—-ю+егя (в)—ю+—-ю-------------7 = 0 , „ ч
ёв2 йв сЬ2 сЬ2 (3)
где ю - волновой потенциал, определяющий скорость деформирования поверхности жидкости V
(1, 9) и гидродинамическое давление р(1 9) в виде:
V (1,0) = — ю йх
2=0
Р(*,в) = - С Ю (5)
2=0
Линеаризованные граничные условия в силу вышесделанных ограничений снесены на невозмущенную поверхность жидкости ъ = 0: в пределах смоченной поверхности тела скорость деформирования поверхности жидкости и скорость проникания равны:
— ю = V0(t ),0<0*, (6)
йх 2=0
а на свободной поверхности жидкости гидродинамическое давление постоянно и для простоты считаем его равным нулю:
С ю = 0, 0>0*. (7)
2=0
Возмущения, вызванные в жидкости проникающим телом, на бесконечности затухают:
ю^-0 (ъ^-0). (8)
Так как до начала проникания жидкость находилась в состоянии покоя, то будем иметь нулевые начальные условия:
й
ю =—ю = 0 . (9)
Л (9)
t=0
Закон движения тела в жидкости определяем из второго закона Ньютона
)=-рт, к„(0)=V , (10)
где ц=ш/рЯ3 - безразмерная масса тела; т - масса тела; Б(1;) - гидродинамическая сила сопротивления прониканию, определяемая с учетом соотношений (2) как интеграл от давления, распределенного по смоченной поверхности тела:
^ о .
Граница смоченной поверхности тела задается точкой пересечения контура тела (1.1) с невозмущенной поверхностью жидкости ъ = 0. Тогда угол 9*, определяющий границу смоченной поверхности тела, вычисляется по формуле:
где величины а, Ь, ъЬ отнесены к К
Решая при найденных в каждый момент времени по формуле (12) значениях 9* нестационарную смешанную краевую задачу (3), (6) - (9) совместно с дифференциальным уравнением (10) относительно волнового потенциала ю, получаем по формулам (4), (5), (11) скорость деформирования поверхности жидкости У(1:,9), гидродинамическое давление р(1 9) и гидродинамическую силу Б (1).
В данной постановке краевая задача не учитывает влияния подъема свободной поверхности жидкости вблизи проникающего тела на искомые гидродинамические нагрузки. Но если увеличение смоченной поверхности тела, вызванное этим подъемом, мало, что справедливо на раннем этапе проникания, то такое ограничение оправдано. Следует отметить, что на отрезке времени от начала проникания до выхода акустических возмущений, вызванных в жидкости проникающим телом, на свободную поверхность, последняя остается невозмущенной, т. е. подъем поверхности жидкости отсутствует, и решение задачи в данной постановке будет полностью правомочным.
Разлагая в ряды Фурье по полиномам Лежандра [1] скорость У(1:,9) и давление р(1,9):
используя интегральные преобразования Лапласа по X [4] и учитывая соотношения (4) - (9), задачу (3), (6)-(12) на основании разработанного в [3] метода сводим к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра второго рода относительно коэффициентов Уп (X):
(11)
(12)
(* = аг^
1 -
¥
(13)
п = 0
(14)
п = 0
т = о
где с учетом [1] имеем:
а
■пип
1 -
2- п + 1
Л
(Рп(х)) ёх
(т = п)
(16)
2
+ й (2 2 -
2 - (т - п) - (т + п + 1)
V
Рт(Ь)--Рп(Ь) - Рп(Ь) -Рт(Ь) ах ах
Ж!)
2
Ж!)
(1 - Ь)
(т ф п), т = 0,1..., п = 0,1. (п=0)
9
(п=1,2..)
(17)
2 - (Р(Ь)п-1- Р(Ь)п+1)
И = сов(#*) /т ^ - г) = ^/ т(т +1) - -[д/ т(т +1 -(^ - г)],
где 11(!) - функция Бесселя первого рода первого порядка.
Определяя из системы (15) коэффициенты Vn(t), вычисляем коэффициенты рп(!) по полученной в ходе решения задачи формуле:
рп(!) = %!(!)
(18)
Тогда значения гидродинамического давления рп(!,9) получаем по формуле (14). Используя выражения (11), (14), получаем гидродинамическую силу в виде:
ад = 2-я-
(Р0(!))- (1 - Ь) + ^ Рп(!)
Р(Ь)п-1 - Р(Ь)п+ 1
2-п + 1
п = 1
(19)
тогда дифференциальное уравнение (10) принимает вид:
т--Ж!) = -2-я &
(р0!))- (1 - Ь) + ^ Рп(!)
Р(Ь)п-1- Р(Ь)п+1 2-п +1
п = 1
V 0) = V)
(20)
откуда получаем в каждый момент времени новое значение скорости проникания V (!).
Перегрузка, испытываемая телом при проникании, определяется формулой п(!) = Р(!)/ц.
При численном решении конкретных задач система уравнений (15), а также правая часть дифференциального уравнения (20) подвергались усечению (редукции). Все интегралы при решении задачи заменялись конечными суммами по формуле прямоугольников. Рассматриваемый отрезок времени проникания Т разбивался на равные части Д! и в полученных узлах разбиения временного интервала вычислялись все искомые величины. Порядок усечения N выбирался из соображений практической сходимости решения. Этим же был обусловлен выбор шага по вре-
1
Г
2
Ь
«/
0
оо
оо
мени. Счет на ЭВМ проводился при N=50, Д1 =0,02. Для улучшения сходимости рядов Фурье применялись а множители Гибса [5]:
оп =
(21)
П Р
№ 1
Везде в вычислениях использовались безразмерные единицы, введенные ранее.
Чтобы проверить достоверность получаемых результатов, была решена тестовая задача проникания в сжимаемую жидкость тупого конуса с постоянной скоростью проникания. Полученные результаты достаточно близки к аналитическим решениям в работах [2,3,6].
На рис. 2-5 приведены результаты решения задачи проникания для двух эллипсоидов вращения, контуры которых определяются уравнением эллипса (1) с полуосями: в первом случае а=>/2; Ь=2; во втором а= 1/^2; Ь=1/2. В каждом из указанных случаев в качестве характерного линейного размера взят радиус кривизны контура эллипсоида в лобовой точке. Как для первого, так и для второго эллипсоида радиусы кривизны их контуров лобовой точке равны единице.
Сплошная кривая на рисунках соответствует первому эллипсоиду, пунктирная - второму.
На рис. 2 показана зависимость от времени гидродинамического давления р(1;,9) в лобовой точке при проникании вышеуказанных эллипсоидов для У0=0.1 и различных значений ц. Так как графики зависимости давления от времени для обоих эллипсоидов практически сливаются, то они обозначены сплошными линиями. Из рис. 2 видно, что лишь в начальный момент времени 1=0 значение давления определяется согласно гипотезе о плоской волне, а в дальнейшем оно убывает, причем тем быстрее, чем меньше масса проникающего тела.
Р
2
Рис. 2. Зависимость от времени гидродинамического давления
На рис. 3 показана временная зависимость гидродинамической силы Б(1;) при проникании этих двух эллипсоидов для У0=0,1 и различных значениях массы ц. Можно отметить, что чем меньше масса тела, тем меньше гидродинамическая сила, и тем раньше она достигает своего максимума.
Рис. 3. Зависимость гидродинамической силы от времени
На рис. 4 показана зависимость от времени перегрузки п(1), которую испытывает тело при проникании для У0=0,1 и различных значениях массы ц. Из рис.4 можно сделать вывод, что чем меньше масса тела, тем перегрузка больше и тем быстрее она достигает своего максимального значения.
п(1)
Рис. 4. Зависимость от времени перегрузки
Из рис. 3, 4 видно, что при одинаковых массах у первого эллипсоида гидродинамическая сила и перегрузка больше, чем у второго. Это объясняется большей «затупленностью» первого эллипсоида в пределах смоченной поверхности.
На рис. 5 показана зависимость от времени скорости проникания У0(1) двух эллипсоидов при различных значениях массы ц и различных начальных скоростях проникания Уо. Из рисунка видно, что чем ниже начальная скорость проникания и чем больше масса тела, тем медленнее убывает скорость проникания. Графики скорости проникания Уо(1) при начальных скоростях У0 =0,05 и У0 =0,1 для двух эллипсоидов практически сливаются, поэтому они в указанных случаях обозначены только сплошными линиями.
Рис. 5. Зависимость от времени скорости проникания
ЛИТЕРАТУРА
1. Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. - М.: Наука, 1966.
2. Григолюк Э.И., Горшков А.Г. Взаимодействие упругих конструкций с жидкостью. - Л.: Судостроение,
1976.
3. Кубенко В. Д. Проникание упругих оболочек в сжимаемую жидкость. - Киев: Наукова Думка, 1981.
4. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1965.
5. Ланцош К. Практические методы прикладного анализа. - М.: Физматгиз, 1961.
6. Сагомонян А. Я. Проникание. - М.: МАИ, 1974.
RESEARCH OF SHOCK INTERACTION ELEPTIKAL ENVIRONMENTS
WITH AN IDEAL LIQUID
Gostev A. N.
In work the hydrodynamical loadings arising at an early stage of penetration in the compressed liquid of the blunted firm body which surface is ellipsoid rotations, depending on initial speed penetration, weights of a getting body, in view of changeability of speed of movement of a body are investigated.
Сведения об авторе
Гостев Антон Николаевич, 1983 г.р., окончил МАИ (2001), аспирант АКПЛА МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - конструкция и прочность летательных аппаратов.
