Исследование траекторий космического аппарата, стартующего с поверхности Луны и возвращающегося в атмосферу Земли Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

__

№ 3

УДК 629.78.015: 531.55: 523.3

ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАЕКТОРИЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА, СТАРТУЮЩЕГО С ПОВЕРХНОСТИ ЛУНЫ И ВОЗВРАЩАЮЩЕГОСЯ В АТМОСФЕРУ ЗЕМЛИ

В. В. Демешкина, В. А. Ильин

Исследование траекторий космического аппарата, стартующего с поверхности Луны и возвращающегося в атмосферу Земли, ведется с ' помощью приближенного метода, при котором пренебрегают размерами I сферы действия Луны по сравнению с расстоянием Земля—Луна при расчете геоцентрического участка, заменяют истинное движение Луны движением по круговой кеилеровой орбите, не учитывают изменение вектора орбитальной скорости Луны за время селеносферического движения аппарата и протяженность активного участка при старте с поверхности Луны.

Кратко рассмотрена схема расчета характеристик геоцентрического и селеносферического движения аппарата. Установлены свойства инвариантности параметров траектории по отношению к замене безапогейного геоцентрического перелета Луна—Земля апогейным и наоборот и к отображению траектории относительно плоскости лунной орбиты. Приведены результаты расчетов потребных скоростей в конце активного участка и областей на поверхности Луны, из которых возможен выход на заданную траекторию полета к Земле. Приведены оценки географических широт точек посадки при подлете со стороны Северного полюса для траекторий с однократным погружением в атмосферу.

§ 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ОСНОВНЫЕ ПРЕДПОЛОЖЕНИЯ.

СХЕМА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую задачу. Космический аппарат (фиг. 1), находящийся в заданной точке на поверхности Луны (точка О), стартует и совершает пассивный перелет к сфере действия Луны (точка 1). Выйдя из сферы действия Луны, аппарат совершает пассивный перелет к Земле так, что перигей орбиты возврата (условный перигей) расположен в плотных слоях атмосферы Земли на заданном расстоянии от поверхности Земли (точка 2).

Траектория перелета Луна — Земля должна удовлетворять ряду ограничений, основными из которых являются: заданное наклонение плоскости перелета к плоскости экватора г, заданная широта условного перигея <ри; заданная энергетика разгонных ступеней аппарата — скорость Усо в конце активного участка при старте с поверхности Луны, ограничение сверху продолжительности перелета Луна—Земля ¿02; осуществление временной стыковки, т. е. выбор такого момента старта с поверхности Луны и такой продолжительности перелета Луна—Земля, при которых возврат к Земле осуществлялся бы в момент времени, удобный для посадки аппарата в заданной точке поверхности Земли.

Поставленная задача представляет собой весьма сложную двухточечную краевую задачу, численное решение которой по методике сфер действия [1], [2] или более точными методами связано с преодолением значительных трудностей, обусловленных в основном необходимостью знать некоторое решение задачи, достаточно близкое к искомому. Для приближенного решения задачи предположим:

— воздействие Луны на аппарат ограничивается пределами ее сферы действия;

Фиг. 1

—■ при расчете геоцентрического участка траектории можно все геоцентрические и селеносферические параметры на сфере действия Луны заменять соответствующими параметрами, вычисленными в центре напритягивающей Луны;

— Луна движется по круговой кеплеровой орбите; вектор орбитальной скорости Луны ]/л за время движения аппарата в седеносфе-ре считается неизменным;

— протяженностью активного участка при старте аппарата с поверхности Луны можно пренебречь.

Сравнивая приведенную постановку задачи с постановкой задачи в работе [3], замечаем, что рассматриваемая задача может быть решена по изложенной в [3] схеме и с использованием полученных там результатов:

— независимо от селеноцентрического движения по методике [4], [5] определяются ориентация в пространстве плоскости геоцентрического перелета Луна—Земля и параметры этого перелета из условия касательного возврата в атмосферу Земли, в результате чего находится вектор селеносферической скорости аппарата Ус 1 в точке выхода на селеносфере;

— определяется по методике работы [3] селеносферическая гипербола аппарата, проходящая через заданную точку на поверхности Луны и обеспечивающая на селеносфере аппарату скорость Уа.

При синтезе траекторий Луна—Земля учитываются все сформулированные выше ограничения за исключением требования временной стыковки. Отметим, что, как и в [5], вопрос о временной стыковке здесь не рассматривается, поскольку, во-первых, для ее учета требуется более точный расчет траекторий и, во-вторых, такая стыковка практически не влияет на характеристики траекторий перелета Луна—Земля.

Учитывая однотипный характер поставленной задачи и задачи синтеза траекторий облета Луны [4], а также первых трех предположений, можно на основании приведенных в [4], [5] результатов сравнительных расчетов траекторий облета Луны по приближенной методике и методике сфер действия (радиус сферы действия Луны гсф конечен) утверждать, что в рассматриваемой задаче параметры приближенного решения должны хорошо согласовываться с параметрами соответствующего решения, полученного по методике сфер действия. Что касается последнего предположения, то на основании многочисленных расчетов активных участков траекторий ракет можно утверждать, что неучет их протяженности не приводит к сколь-нибудь заметной ошибке.

§ 2. ГЕОЦЕНТРИЧЕСКИЙ И СЕЛЕНОСФЕРИЧЕСКИЙ УЧАСТКИ ТРАЕКТОРИИ

Для определения ориентации плоскости перелета Луна—Земля и положения радиуса-вектора аппарата в этой плоскости задаются наклонения плоскости орбиты Луны к плоскости экватора гл, аргумент широты Луны ил, /, угловая дальность перелета Луна—

Фиг. 2

Земля Дтг)12 и направление движения аппарата при подлете к Земле по отношению к полушариям Земли. В результате находятся аргументы широты аппарата и, и и2 в точках 1 и 2; угол а, между плоскостью орбиты Луны и плоскостью перелета Луна—Земля а,>0, если кратчайший поворот от трансверсальной компоненты

вектора геоцентрической скорости аппарата У11 в точке 1 к Ул

виден в направлении от Земли к Луне происходящим против часовой стрелки, а также ср*. Направление движения аппарата по отношению к полушариям Земли характеризуется параметром sgncos их: при sgncos Hj = -f-1 перелет Луна—Земля происходит через северное полушарие, а при sgncos и, = — 1 —через южное полушарие. При расчете динамических параметров траектория перелета Луна-Земля рассматривается как дуга конического сечения в определенной выше плоскости с перигейным радиусом-вектором гя, проходящая через радиус-вектор Луны гл(г,,, гл) = Д^12. Задавая значения гк, гл и Дт)12, определяем все параметры этого перелета. Результаты расчетов параметров геоцентрического участка перелета Луна—Земля приведены в [5].

Введем прямоугольную правую систему селеноцентрических координат л;с ус zc (фиг. 2): ось + хс является продолжением вектора гл, ось+^с совпадает с вектором Vn. Введем также сферическую селеноцентрическую систему координат гс, Хс, срс (гс — селеноцентрическое радиальное расстояние, долгота +\. отсчитывается в плоскости хсус от линии Земля—Луна против часовой стрелки, если смотреть с оси 4- zc; широта + срс—от плоскости хсус в сторону zc>0). В том случае, когда ХС) tpc определяют положение точки на поверхности Луны, обозначаем их через Хд, <рл.

Положение аппарата на поверхности Луны (точка О) задается вектором гс о = { — Rjj eos срл eos).л, — R cosípjj sin >чл, Rn sin «рл}, где Rn — средний радиус Луны.

На селеносфере | гс | = гСф задан свободно перемещающийся по ней вектор Ус1=Ух—Ул, где Vj —вектор геоцентрической скорости аппарата в точке 1. В проекциях на оси л:с, ус, zc Vcí имеет компоненты

Здесь всегда Уи^>0, а радиальная составляющая геоцентрической скорости У1г<0 для геоцентрического маршрута А, не содержащего апогея (Ду)12< 180°); Уіг^>0 для геоцентрического маршрута С, содержащего апогей (Д^і2^>180°); 1/1г = 0 для геоцентрического хомановского перелета (Дт)12 = 180°). -

Задача расчета селеносферического движения сводится к построению селеносферической гиперболы, проходящей через вектор —>

гс0 и обеспечивающей аппарату на селеносфере достижение век-—►

тора Ус !■ Введем орт

нормальный к плоскости гиперболы. Со стороны орта г„ поворот

от гс0 к КС1 на кратчайший угол р виден происходящим против часовой стрелки:

^1 = {Ущ V\t eos °ч — У л', У\ t sin <*i).

О)

(2>

К 0> Ve і] І

(3>

В [3] показано, что если считать Ус г направленным по асимп-

тоте гиперболы, то с точностью до малых — , где се-

Гсф

леноцентрическое расстояние до перицентра гиперболы, имеем: фокальный параметр гиперболы

^=^[/4-^81п^+1-со8р+-1/

(4)

эксцентриситет гиперболы

Здесь ас = —2—'—о-------заданная действительная полуось ги-

1 _

К Л ^сф

перболы; Кп — гравитационная постоянная Луны. Ориентация гиперболы задается ортом (2) и направленным в перицентр ортом

^01 ’

СОЭ 7]с 0 -|--------— СОЭ Р —— + сое Р сое Т]с0

ес

■'С

31п2р ’ 8Ш3Р '

Здесь -г)с0 — истинная аномалия точки старта на поверхности Луны в плоскости гиперболы. Угол ¡5 изменяется в пределах

0<Р<РО, где ,

С08р =--------. (6)

1 + -^-ас

При р = р точка старта с поверхности Луны является перицентром гиперболы, при [3=0 имеем вертикальный подъем в селе-носфере.

Применительно к перелетам Луна—Земля со стартом с поверхности Луны установим свойства инвариантности характеристик селеносферического движения, аналогичные свойствам траекторий облета Луны [5] и старта с орбиты ИСЛ [3].

При замене безапогейного маршрута А на апогейный С или

наоборот в УС1 [см. (1)] меняет знак 1-я компонента У1г. Изменим

координаты точки старта гс0 так, чтобы относительно новых точек

старта и вектора Ус1 движение по гиперболе оставалось неизменным. Для этого достаточно неизменности соэр. Но тогда из (3)

следует, что у гс0 должна изменять знак 1-я компонента. Векторы

¿гс и 1п заменяются на и(—Н+)» ¿ЛН-------)'■ здесь и в дальнейшем

знаком „ + “ обозначены неизменные элементы векторов, а знаком

■—►

„—“ элементы, меняющие знак. Таким образом, у векторов гс0 и

долготы ^л, заменяются на тс—Хл, я—Хлс, у вектора ¿„долгота Хлс заменяется на 2п—Хлс, а широта ср„с—на — <рпс.

При отображении геоцентрической траектории относительно плоскости орбиты Луны, что эквивалентно изменению sgncostt1,

yVei [см. (1)], меняет знак 3-я компонента Vi^sinoij. Аналогично можно показать, что движение аппарата в плоскости гиперболы

останется неизменным, если заменить гс 0 на гс0 (+-)------), 4 на

М+Н—) и in на i„{--------Ь), т. е. у векторов гс0 и iK <рл и со* заме-

няются на —9л, —?пс, а у вектора in Хлс заменяется на rc-f-Xnc.

§ 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТОВ ТРАЕКТОРИЙ ПОВЕРХНОСТЬ ЛУНЫ-АТМОСФЕРА ЗЕМЛИ

Расчет проводился для следующих исходных данных: гл=гл сР= =384394,8 км, г'л=28° (1969—1972 гг.), г* = 6421 км, i = 90°, средний радиус Земли 6371 км, гравитационная постоянная Земли К©=398580 кмг/сек2, /?л = 1738 км, Кл=4889 км31сек2, гсф=66000 км. Основными варьируемыми параметрами являлись ил, Дтг112, Р и Хл. Учтены следующие особенности движения аппарата в рассматриваемой постановке (см. [3], [5] и § 2):

1) четность всех величин по ил относительно значения ил=180°;

2) „правило пересчета“ [5] и инвариантность характеристик селеносферического движения аппарата, в соответствии с которыми при изменении sgncos«! (для i < тг — гл) ил заменяется на ил + 180°, ctj, и срл меняют знаки, параметры гиперболы в ее плоскости не меняются;

3) симметрия селеносферических характеристик по Дт112 относительно значения Дт)12=180о, в соответствии с которой при переходе от маршрута А к маршруту С и наоборот Хл заменяется на 180°—Xл, а <рл и все параметры гиперболы в ее плоскости остаются неизменными.

Величина скорости в конце активного участка Vcf> не зависит

от расположения точки старта на поверхности Луны. Поскольку

из (1) следует очень слабая зависимость Ус1, Vc0 и параметров селеносферического движения от гл, ил и i (фиг. 3). Таким образом, параметры селеносферического движения определяются в основном величиной Aï]12 и координатами точки старта Хл, <рл. Практически важно, что Vco в отличие от Vcl слабо зависит также и от Дт)12. В результате, располагая небольшим запасом в импульсе скорости 300—400 м/сек по сравнению с minminKC0~ ^ 2510 м/сек, можно, изменяя ориентацию 1/с0, реализовать старт к Земле из различных точек поверхности Луны по существенно различным траекториям Луна—Земля.

В случае вертикального подъема в селеносфере векторы гс0 и 1/с1 коллинеарны, откуда с учетом получаем:

tg ^л верт , тах tg I срл I вер-г ~ ,

Sgn <Рл верт = sgncos «1-

Из этого следует, что траектории Луна — Земля с вертикальным подъемом в селеносфере могут быть реализованы из весьма узкой области на поверхности Луны при 0<Хл<и, | ?л | 10°,5.

Чтобы оценить максимальные размеры области на поверхности

Луны, из которой возможен выход на заданную траекторию перелета Луна —Земля, рассмотрим траектории с касательным к поверхности Луна стартом при предельных значениях ß = ß. Из приведенных на фиг. 4 зависимостей ß == ß (¿л , «л, i, Д^Ьа). посчитанных по (6), видно, что с ростом Vcl ß уменьшается.

При Vcl^oo$^^; шах ß (¿л = 28°, ¿ = 90°) ä 142°.

^ {иЛ'л,1'4

Геометрическое место точек старта при ß = ß представляет

пересечение плоскости с нормальным вектором Vcl со сферой радиуса Rn ; результаты расчета граничных кривых приведены на фиг. 5 (изменение ^л при переходе от маршрута А к С учтено разметкой оси). Из геометрических соображений ясно, что

9л шах = — 9л верт + (тс — ß), фл min — фл верт (к — ß),

^Л тах ~ ^Л верт — ß, min ~ ^Л верт + ß •

Из точек лунной поверхности, попадающих внутрь овалов фиг. 5, старт к Земле при заданных ¿л, ил, i, и sgncosa,

■Vca 1 l„ = 28° > ¿--90°

*/сен] = 0, 360°(180°\ | |

/ Ч5°,3150(225°. 135")

90° 270"(270° 90°)

/

\ !35?225°(315°, 45°)

ß = 0, 360°(180°) 180° (360? 0)

\Ч5°315° (225°135°)

90° 270° (270“ 90 °)

/ 135?225°(315,°45°)^

180° (360,° 0)

Обозначения без скобок Оля 5дп cos и, = -/ Обозначения б скобках Оля 5дп cos и, = *1

160е

170°

180°

190°ауп

Фиг. 3

л

10О1

160°

Lj,-28°, l =90°

—. >>

! N

! / 180°(360°, 0)

90°270° (270° 90 °)

ил =0,350°(180°)

Обозначения 6es с но бок Оля 5дл cos и, = -1 3 скобка* Оля Sffn cos и, = + /

170°

ISO°

190° iyn

Фиг. 4

невозможен. С ростом Vc0 область возможных точек старта с поверхности Луны уменьшается и стягивается к вектору Vcl. При Усо-<3250 м/сек всегда возможен старт к Земле для любого <рл при 43°<ХЛ<137°, для любого Хл при <рл>73с, ?л < — 65 в случае sgncosM1 = —1; ч>л>65°; ?л < — 73° в случае sgncosM^l. Таким образом, использование траекторий с наклонным подъемом в селеносфере существенно расширяет область на лунной поверхности, откуда возможен выход на заданную траекторию полета к Земле.

¿л-28° > ¿=90°' /}=&

При подлете аппарата к Земле со стороны Северного полюса и реализации траектории посадки аппарата с однократным погружением в атмосферу могут представить интерес значения географических широт точек посадки «р® . Угловая дальность от точки условного перигея до точки посадки аппарата, которая при ¿=90° равна разности географических широт точки посадки и условного перигея Дер, зависит от величины максимальной перегрузки аппарата гаЕ. В случае баллистических траекторий спуска при значениях 20 зависимость Д? = Д<р (ras) можно получить с помощью данных, приведенных в [6]. При значениях tiz 10, но таких, что еще можно полагать sin 6вх~6вх> где 6ВХ — угол входа в атмосферу, из соотношений Дср^2 0вх [6]

и «s = 3406BX [7] получим Ду^г ^ ■ \рад\. Используя зависимости

мл, i, sgneos их = 1, Дт)12) из [5] и A<p(nz), можно получить зависимость широты точки посадки срф от Кс0 и Па при заданных ¿л , ил , i. Пример такой зависимости приведен на фиг. 6.

Переход от траекторий поверхность Луны — атмосфера Земли к траекториям орбита ИСЗ — поверхность Луны соответствует обраще-

—► —► ■ нию движения по траектории. При этом Vc 1 заменяется на — VcU а Р — на я — р, cos р меняет знак. При неизменном векторе точки посадки г с о 4 остается неизменным, in меняет знак, параметры гиперболы

и расположение точек посадки на поверхности Луны остаются неизменными. Хотя траектории орбита ИСЗ — поверхность Луны принципиально отличаются от траекторий поверхность Луны — атмосфера Земли, векторы геоцентрических скоростей на сфере действия в обоих случаях, как показывают расчеты, не очень сильно отличаются друг от друга [5]. Поэтому приведенные выше результаты могут быть использованы для качественного анализа свойств селеносферического движения перелетов орбита ИСЗ — поверхность Луны.

* *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров В. А. О траекториях возврата от Луны к Земле. «Космические исследования», т. 5, вып. 4, 1967.

2. Егоров В. А. О влиянии разброса начальных данных на траектории возврата от Луны к Земле. «Космические исследования», т. 7, вып. 1, 1969.

3. Ильин В. А., Истомин Н. А. Приближенный синтез оптимальных траекторий Земля—Луна—Земля с выходом на орбиту искусственного спутника Луны. Ученые записки ЦАГИ, т. 1, № 1, 1970.

4. Ильин В. А. Синтез траекторий близкого облета Луны с возвращением в атмосферу Земли. Журнал вычислит, матем. и матем. физики, т. 7, № 2, 1967.

5. Ильин В. А., Д е м е ш к и и а В. В., Истомин Н. А. Исследование траекторий близкого облета Луны с возвращением в атмосферу Земли. «Космические исследования», т. 8, № 1, 1970.

6. Chapman D. R. Ап analysis of the corridor and guidance requirements for supercircular entry into planetary atmospheres, NASA TR, 1959, NR-55.

7. Allen A. Т., Eggers A. T. A study of the motion and aerodynamic heating of ballistic missiles entering the earth’s atmosphere at high supersonic speeds. NASA Rep., 1958, № 1381.

Рукопись поступила 1/VII 1969 г.