CC BY
55
УДК 532.542:532.135
Н. Н. Арефьев
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ ЖИДКОСТИ В ПЛОСКОЙ БЕСКОНЕЧНОЙ ЩЕЛИ С ГИДРОСМАЗКОЙ ОДНОЙ СТЕНКИ
Введение
При создании гидравлических машин для перекачивания вязкопластичных жидкостей (сапропели [1], парафинистые нефти [2], донный ил и др. - их реологические свойства описываются уравнением Шведова - Бингама) используются конструкции, описанные в [2-4], в которых между стенками каналов (некоторые из них имеют форму плоской щели) и транспортируемой жидкостью формируют слой смазывающей жидкости. Известны решения задач течения ньютоновских жидкостей в плоской бесконечной щели [5, 6]. Для вязкопластичных жидкостей также исследовано течение в плоской щели [7-9], но без гидросмазки. Исследуем течение вязкопластичной жидкости в плоской щели с гидросмазкой одной стенки.
Общие положения
Рассмотрим случай, когда в щели шириной 2Н течет вязкопластичная транспортируемая жидкость со следующими реологическими параметрами Г|1 - пластическая вязкость, р01 - предельное напряжение сдвига, а вдоль одной из стенок щели - более текучая смазывающая жидкость с параметрами ^2, р02. Предполагаем, что жидкости друг с другом не перемешиваются и компоненты их скоростей Уу и Уг равны нулю. При этом предположении из уравнения неразрывности для несжимаемой жидкости [5] получим
дУх
дх
= 0, (1)
откуда следует, что скорости течения вдоль оси х не изменяются. Тогда из системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях в декартовой системе координат [5] можно записать:
дР дРху дР
+_^у + ^ = 0. (2)
дх ду дz
С учетом (1) и (2) составляющие тензора скоростей деформации в декартовой системе координат [5] имеют следующие значения:
г. одУ^ п дУу дУХ дУХ „ дУХ дУг „
Охх=^=0; ^ =-ду+-дх=-дХ; =-^+-дг=0;
дх дх ду ду дг дх
^ ^ (3)
дУу дУ дУу дУ
= 2-^ = 0; ^ + —^ = 0; О,, = 2^ = 0.
уу ду уг ду дг ’ 22 дг
Согласно (3), интенсивность скоростей деформаций (его инвариант) в соответствии с [5, 10] имеет вид
-^(О2 + В1 + О2) + В2 + В2 + В2
2 хх ' уу гг/ ' ху 1 уг ' ^гх
1/2 дУх
ду
(4)
Следуя (3) и (4), составляющие определяющего уравнения (реологические уравнения) вязкопластичной жидкости [5, 10] в декартовой системе координат можно записать в виде:
Рхх = -р + (у+л)Ах = -р; РХу = (р-+ъ)0ху = Ро
= Ро8І§п ; Рхг = (Р0 + ^°хг = 0; РУУ =-Р + (~° + Л)°УУ =-Р; (5)
Руг = +л)°У? = 0; Pzz = -Р+(ро+л)ъг1 = -р,
где Р = - 3(РХХ + РУУ + Р22 ) •
С учетом (4) и (5) уравнение (2) перепишем в виде
Эр эр
—^_ + _^ = 0. (6)
Эх Эу У ’
Так как в (6) первый член уравнения зависит только от х, а второй - только от у, то оба должны быть постоянными. Интегрирование (6) по у дает
Р =—У , (7)
РхУ‘ ЭхУ’
где 1 = 1, 2 для транспортируемой и смазывающей жидкостей соответственно. Приравнивая правые части (7) и второго уравнения системы (5), получим
Из (8) и (1) имеем
Эр • ЭУ ■ дУхі , ч
~=г У■ = Ро£іт^ + Лі Vі • (8)
Эх Эу Эу
V = — ~рУі^У -Р^dysignЭу^ . (9)
Лі dx Лі Эу
На практике обычно в качестве смазывающей жидкости используется ньютоновская жидкость - как более текучая. Поэтому можем принять, что р02 = 0, ^2 ® т2 - коэффициент динамической вязкости смазывающей жидкости. Уравнение (9) для ньютоновской смазывающей жидкости имеет вид
^УХ2 =— ~Р У2 ¿У. (10)
т2 ах
Исследование течения жидкостей
Можно выделить несколько вариантов течения жидкостей.
1. Градиент давления а'р/ах мал. Течет только смазывающая жидкость, ее движение характеризуется ламинарным режимом (рис. 1). Такое течение возможно при условии, что напряжение в транспортируемой жидкости меньше р01, и вся она ведет себя как квазитвердое тело, находящееся в соприкосновении с верхней стенкой щели и омываемое со стороны нижней стенки смазывающей жидкостью. Это возможно, если Рху1 £ р01 при У1 = (И + И^/2. С учетом (7) получим условие такого течения:
Рої
>
dp И + Н1
dx 2
(11)
Рис. 1. Схема течения смазывающей жидкости: 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела жидкостей; 4 - Ух2 = /(у2)
При условии (11) смазывающая жидкость течет как бы между двумя плоскостями: твердой стенкой и поверхностью квазитвердого тела транспортируемой жидкости. Поток симметричен относительно его средней плоскости. Скорость смазывающей жидкости можно определить, интегрируя (10):
х 2
+ с
(12)
Постоянную интегрирования С2 найдем из условия прилипания смазывающей жидкости к стенке щели: Ух2 = 0 при у2 = (И-А1)/2. Путем подстановки этих значений в (12) определяется С2, откуда получим
Ух 2 =
1р^ (И - И)
йх
4 У2
8т 2
(13)
Выражение (13) совпадает с исследованиями [6].
Удельный расход смазывающей жидкости можно определить по выражению
И - И,
2
Q1 = 2 \ Ух 2 йу .
(14)
После подстановки (13) в (14) и интегрирования получим
ГЛР I И — И ^3
Ql =
1р | (И - И1) 1х) 12т 2
2. При увеличении градиента давления, когда условие (11) не выполняется, т. е. напряжение в транспортируемой жидкости на верхней стенке щели больше Р01, она начинает течь: Рху1 > Р01 при у1 = У01 (рис. 2). Если на границе раздела смазывающей и транспортируемой жидкостей напряжение сдвига не превышает р01 , то стержневой режим течения транспортируемой жидкости граничит с поверхностью смазывающей: Рху2 £ р01 при у2 =-(И - И1 -у02).
2
0
Рис. 2. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда на границе их раздела Рху £ р01 и у02 < И - И1: 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела
жидкогай; 4 - Ух2 = /(у2); 5 - У0; 6 - Ух1 = /(у); 7 - ух2 = у0
Условие такого течения запишется в виде
dp
dx
(h + hx) > рої > \h-hi -У02І
dp
dx
(15)
где у01 - расстояние от верхней стенки щели до середины квазитвердого стержня транспортируемой жидкости; у02 - расстояние от нижней стенки щели до плоскости нулевых напряжений смазывающей жидкости.
Исследуем течение при условии у02 < И - И1. Значение И0 (половина ширины квазитвердого стержня транспортируемой жидкости) определяется из условия Рху1 = р01 при у1 = И0 по (7):
h0
_ Рої
|dp / dx|
Для транспортируемой жидкости скорость течения Ух\ можно определить, интегрируя (9) в системе координат Охух'.
1 dp y1 р01 . dVx1 „
Vxi _~T"~v-^T+ C1-
hi dx 2 hi оуї
(16)
Постоянная интегрирования С1 определяется по (16) из условия Ух1 = У0 при у1 = И0 , откуда, с учетом того, что для дУх1 / Эу1 < 0 имеем sign(ЭУx1 / Эу1) = -1, получим:
2 2
Vxi _ Vo -L(-±)2^ + Щуї -ho). h1 dx 2 h1
(17)
Учитывая условие прилипания транспортируемой жидкости к верхней стенке щели (Ух1 = 0 при у\ = у01), из (9) определим
Vo _
f dP 1 Уо1 - ho2 Р01
dx
2h1
h1
(У01 - h0)
(18)
где J01 = h + hj - h0.
Скорость течения смазывающей жидкости определяется по (12), а постоянная интегрирования находится из условия, что Vx2 = V02 при у2 = 0, откуда
у|
Ух2 У°2 2|0,2 I йх
йр
(19)
где У02 - максимальная скорость на плоскости нулевых напряжений смазывающей жидкости.
Учитывая условие прилипания смазывающей жидкости к нижней стенке щели (Ух2 = 0 при у2 = у02) и течение на границе с транспортируемой жидкостью со скоростью У0 (Ух2 = У0 при у2 = —(И - И\ - у02)), из (19) соответственно найдем:
2
у02
У02 = ^1-
2т2 V йх
(И - И - у02 ) ( йр
2т2 V йх
После подстановки (20) в (21) и преобразования получим
у02 =‘
И - И,
т2У0
2
(И - И1)(- йр) йх
Определим удельный расход транспортируемой жидкости:
у 01
а=2И0У0 + \ Ух1йу1.
к
После подстановки (17) в (23) и интегрирования имеем
\2
в1 = У0(у01 + И0)- (у” И0)2 (-~р!(у01 + 2И0)
6% V йх)
р01
2%
Удельный расход смазывающей жидкости можно найти по выражению
у 02 0
+
62 = | Ух2йу2 + | Ух2 йу2 .
0 -(И-И! -у02)
Подставляя (19) с учетом (20) в выражение (25) и интегрируя, получим
1
йр
62 = — -^ 1(И-И:)2(у02 -2т V йх)
и - и
3
).
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
3. С дальнейшим ростом градиента давления изменяется режим течения смазывающей жидкости. Рассмотрим случай, когда плоскость нулевых напряжений располагается за ее пределами: у02 > И -И1 (рис. 3).
Скорость течения смазывающей жидкости определяется по (19) с учетом (20):
Ух2 =
1
2М-2
" йх ^у02 - у2) .
(26)
При отсутствии проскальзывания на границе транспортируемой и смазывающей жидкостей (Ух2 = У0 приу2 = у02 - И + И],) из (26) найдему02, которое описывается выражением (22).
+
Рис. 3. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда на границе их раздела Рху £ р01 и у02 > И - И1: 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость;
3 - граница раздела жидкостей; 4 - Ух2 = /(у2); 5 - У0 ; 6 - Ух1 = /(у1); 7 - Ух2 = У0
Удельный расход транспортируемой жидкости определяется по (24), а смазывающей -по выражению
у 02
62 = | Ух 2 йу2 .
у02 - И + И1
После подстановки (26) в (27) и интегрирования имеем
(27)
1 ( йр V, 7 ч3 т_ И - И ^ (И - И!)3 + У,-—1
12т2 V йх
2
(28)
4. При дальнейшем увеличении градиента давления, когда условие (15) не выполняется, квазитвердое тело транспортируемой жидкости не соприкасается со смазывающей (рис. 4). Условие такого течения:
йр
йх
р01
■И + И1 + у02
Рис. 4. Схема течения смазывающей и транспортируемой жидкостей, когда на границе их раздела Рху > р01: 1 - транспортируемая жидкость; 2 - смазывающая жидкость; 3 - граница раздела жидкостей;
4 - Ух 2 = / (у2) ; 5 - У); 6 - Ух11 = / (ух) ; 7 - Ух12 = Ух 2 = У^ 8 - Ух12 = / (у1)
>
Скорость течения деформируемого потока транспортируемой жидкости Vx11 определяется по (17). Скорость Vx12 найдем по (16). Постоянная интегрирования С1 определяется по (16) с учетом граничных условий: Vd2 = V при Ji = — h , откуда для y0i — h — h < yi < —h0, с учетом, что sign0Vx1 / Эу1) = +1 при dVx1¡ Эу > 0 , получим
>2 — h2 Л h0
гц dx 2 h1
Vx 12 = V, —-(—ddr)J--hL — E01(y1 +h>). (29)
Так как скорость течения на границе со смазывающей жидкостью Vx12 = V1 при у1 = -(h + h1 - у01), из (29) найдем
V1 = v — (h + h1 -Ум)2 — ho í—±\ + + h1 — J01 — h0). (30)
2h1 l dx J Г1
Скорость течения смазывающей жидкости определяется по (26). Исходя из условия отсутствия проскальзывания смазывающей и транспортируемой жидкостей (Vx2 = V1 при у2 = у02 - h + h1) из (26) найдем V1:
V1 = Т~ Í — ^](2У02 — h + h1)(h — h1). (31)
2m2 l dx J
Напряжение сдвига смазывающей жидкости на границе с транспортируемой находится
из (7) при У2 = У02 - h + h:
Pxy 2 = (У02 — h + \) dp • (32)
Напряжение сдвига транспортируемой жидкости на границе раздела со смазывающей определяется по (7) при у1 = -(h + h1 - у01):
Pxy1 =—(h + h1 — У01)dx • (33)
Так как принято условие, что транспортируемая и смазывающая жидкости друг относительно друга не проскальзывают, то можно утверждать, что предельные напряжения сдвига
в плоскости контакта жидкостей равны по величине и противоположны по направлению,
т. е. Рху2 = -Рху1. Приравнивая (32) и (33) с учетом знака, найдем
У02 + У01 = 2h . (34)
Это означает, что оси О1х1 и О2х2 совпадают.
К такому же выводу придем в результате следующих вычислений. Запишем условие динамического равновесия жидкостей:
2hdp = Pw 1 + Pw 2, (35)
dx
где PW1 и PW 2 - напряжения сдвига соответственно на верхней и нижней стенках щели.
Из (7) найдем:
dp „ dp
PW1 = ~У01, PW2 = ~У02 . (36)
dx dx
Подставляя (36) в (35), получим (34), т. е. оси О1х1 и О2х2 совпадают.
После подстановки в (30) выражения (18) для определения V0, а в уравнение (31) выражения (34) для определения у02, приравнивая их, после преобразований получим значение у01:
У01 =-
Ь 3Н - Н1
2
+ Н + Н
Ь / а + 2
(37)
где а = т 2
Н + Н1 ( - Ф1 - Р01 2^1 I йх) ^1 ,
Определим удельный расход транспортируемой жидкости:
У01 -Но
01 = 2НУ + | Ух1йу1 + | У* йу1 • (38)
Но -(Н+Н1- Уо1)
После подстановки в (38) значения Ух11 из (17) и Ух12 из (29) и интегрирования найдем:
01 = Уо(Н + Н1) -
- бр(- йР^)[(у01 - Н0) (у01 + 2Но) + (Н + Н1 - у01 - Н0) (Н + Н1 - у01 + 2Но)]-
- Р01 [(Н + Н1- У01- Но)(Н + Н1 - У01 + 3Но) - (У01- Но)2 ]
2Г11
Удельный расход смазывающей жидкости определяется по (28).
Заключение
При течении вязкопластичной жидкости в плоской бесконечной щели с гидросмазкой одной стенки можно выделить четыре режима течения в зависимости от градиента давления, ширины щели, толщины слоя смазки и предельного напряжения сдвига транспортируемой жидкости.
Если напряжение сдвига на поверхности раздела транспортируемой и смазывающей жидкостей не больше предельного напряжения сдвига транспортируемой жидкости, то весь ее объем движется как квазитвердое тело.
Если напряжение сдвига на поверхности раздела транспортируемой и смазывающей жидкостей превышает предельное напряжение сдвига транспортируемой жидкости, то часть ее объема течет со сдвигом слоев, а часть движется как квазитвердое тело.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Лопотко М. З., Евдокимов Г. А. Сапропели и продукты на их основе. - Минск: Наука и техника, 1986. - 191 с.
2. Корнилов В. Г., Галямов М. Н. Движение по трубопроводам высоковязких пластичных жидкостей с пристенным слоем из маловязкой жидкости // Транспорт и хранение нефти и нефтепродуктов. -М.: ВНИИОЭНГ, РНТС, 1972. - № 6. - С. 18-32.
3. А. с. СССР на изобретение № 1710468. Способ транспортирования вязких коллоидных растворов / Арефьев Н. Н.; опубл. в Б. И. № 5. - 1992.
4. Арефьев Н. Н. Свободное круговое течение вязкопластичной жидкости со слоем гидросмазки в зазоре между коаксиальными цилиндрами // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. - 2008. - № 1. - С. 88-97.
5. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1978. - 736 с.
6. Слезкин Н. А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. - М.: Гостехиздат, 1955. - 520 с.
7. Воларович М. П., Гуткин А. М. Течение пластично-вязкого тела между двумя параллельными плоскими стенками и в кольцевом пространстве между коаксиальными трубками // Журнал техн. физики. - 1946. - Т. 16, № 3. - М.; Л.: АН СССР. - С. 321-328.
8. Бостанджиян С. А., Столин А. И. Некоторые случаи течения вязкопластичной жидкости в плоском зазоре и между двумя коаксиальными цилиндрами // Изв. АН СССР. Механика. - 1965. - № 4. - С. 160-164.
9. Воларович М. П., Гуткин А. М. Условия течения двух соприкасающихся дисперсных масс, обладающих свойствами вязкопластичного тела // Коллоидный журнал. - 1948. - Т. 10, № 5. - С. 329-333.
10. Прагер В. Конечные пластические деформации // Реология. Теория и приложения / под ред. Ф. Эйриха. - М.: Изд-во иностр. лит., 1962. - С. 86-126.
Статья поступила в редакцию 22.01.2009
RESEARCH OF PRESSURING STREAM OF VISCOPLASTIC FLUID IN FLAT INFINITE SLIT WITH HYDROGREASE ON SINGLE WALL
N. N. Arefyev
The theoretical research of pressuring stream of viscoplastic fluid in flat infinite slit with hydrogrease on single wall is stated. The mathematical models of stream's speeds of transporting and greasing fluids have been developed. Mathematical expressions for calculating discharge and stress of shear for transporting and greasing fluids with different modes of streaming have been determined.
Key words: viscoplastic fluid, flat infinite slit, hydrogrease, transporting fluid, greasing fluid, stress of shear, stream's speed, mathematical model.
