CC BY
65
УДК 621.431.75
ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ ЖИДКОСТИ В ЩЕЛЕВОМ ЗАЗОРЕ МЕЖДУ ЭКСЦЕНТРИЧЕСКИМИ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ И КОНИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТЯМИ
© 2012 М. В. Бондарева1, Е. Н. Коржов2
конструкторское бюро химической автоматики, г. Воронеж 2Воронежский государственный университет
Выполнен компьютерный эксперимент для потока вязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного перепада давления в кольцевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями, между осями которых имеется эксцентриситет. На основе полученных результатов установлены некоторые закономерности и особенности турбулентного течения, а также получена инженерная формула для вычисления коэффициента гидравлического сопротивления.
Кольцевой конфузор, эксцентриситет, турбулентное течение.
Одним из важнейших агрегатов ЖРД является турбонасосный агрегат (ТНА). Его работоспособность и надёжность в значительной степени зависят от совершенства уплотнительных устройств. Достоинство уплотнений с полуподвижными кольцами (рис. 1) заключается в том, что они, благодаря возможности кольца самоустанавливать-
ся, по сравнению с другими типами уплотнений обладают повышенной "живучестью" в случае возникновения аномалий в работе агрегата: увеличения прогиба ротора из-за его разбалансировки или воздействия на него повышенных гидродинамических нагрузок, изнашивания подшипников, коробления оси корпусов.
Полуподвнжное
кольцо
Рис.1. Общая схема ТНА и расположение уплотнительного устройства
Для определения влияния уплотнений с плавающими кольцами на динамику ротора и совместную работу с ротором вблизи его критической скорости необходимо исследовать течение жидкости в щелевом зазоре между цилиндрической и конической поверхностями. Внутренняя поверхность в таких каналах может быть расположена не концентрично с внешней, поэтому помимо изучения
течений в соосных каналах большой практический интерес представляют течения в эксцентрических каналах. Исследование напорных турбулентных течений между соосными цилиндром и конусом с малым углом раствора выполнено в [1].
В данной работе изучается развитое турбулентное течение вязкой несжимаемой жидкости под действием постоянного пере-
пада давления в коротком щелевом канале, образованном цилиндрической и конической поверхностями, между осями которых имеет место некоторый эксцентриситет.
Подобного рода сложная гидродинамическая система представляет собой кольцевой конфузор переменного поперечного сечения с эксцентриситетом (рис.2) и ранее в механике жидкости и газа ни экспериментально, ни теоретически не исследовалась.
Т t-\— 2
1
ф(х,у,г,г) = — ^ф(х,у,г,т)(1-
С учётом выражений (1),(2) уравнения, описывающие поведение стационарного, изотермического турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости без учёта массовых сил могут быть представлены следующей системой уравнений, называемой стандартной к-г моделью турбулентности [2, 3]:
V - V = 0, (3)
рУ ■ (уу) = V • Р, (4)
ру-Ук- = У •
((
р\-Уа = V •
^ Л
&
м +
VV )
Л Л Уа
Л
Ук
+ 0- ре, (5)
\Л
м±
а
к У
{СхО-С2ре).Л 6)
' = (//, 1’, VI-)-
вектор ско-
Рис.2 Геометрическая модель области течения
Для количественного описания развитого турбулентного движения используется приём, предложенный Рейнольдсом. Фиксируя во времени скорости и давление потока в данной точке пространства, можно положить:
у = у + у', р = р + р', (1)
где у - действительная (актуальная) мгновенная скорость потока в данной точке, у -осреднённая во времени скорость, у' - отклонение действительной скорости от осред-ненной, её называют пульсационной скоростью или пульсацией. Условимся обозначать чёрточкой, поставленной над величиной, её среднее значение, определённое как обычное интегральное среднее
где р - плотность; у: рости.
Р = -р 1+ Мп> V + 2 Е , (7)
где Р - тензор полных напряжений турбулентного потока; р - давление; / - единичный тензор; Е ~ тензор скоростей деформаций, вычисленный через осреднённые
компоненты вектора скорости V ; - эф-
фективный коэффициент турбулентной вязкости, который представляется следующим образом:
/V = V + & > (8)
где [Л- коэффициент «молекулярной вязкости» турбулизованной среды; р( - коэффициент турбулентной вязкости или «молярная» вязкость турбулентного потока,
представляемый в соответствии с формулой Прандтля-Колмогорова в виде [4, 5]
(9)
(2)
за промежуток времени Т, называемый периодом осреднения.
Для записи уравнений, описывающих рассматриваемое течение, используется цилиндрическая система координат (г, в, г).
С:1 - вектор плотности массовых сил; к - кинетическая энергия турбулентных пульсаций единицы массы движущейся среды; Е - скорость диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций.
С = 2^Е-(уу), (10)
С, =1.44, С2 = 1.92, С„=0.09,
ок=1.0, ое =1.3 - численные значения параметров к — е модели, которые вычисляются на основе сопос-
тавления расчётов с результатами эксперимента, то есть эмпирически.
Для решения система уравнений (3) -(17) должна быть дополнена граничными условиями:
• На входе в канал задаётся однородное распределение скорости, величина кинетической энергии турбулентных пульсаций и скорость её диссипации: г = 0,0 <6 < 2п,
(12)
ecos (в + (р) + д/^12 - \е sin(# + <р)]2 < г < г2, p(r,6,l) = p0,
2п r2-ltga _ , ^
р| | >]и2 +v2 +w2drdd = Q''
^ ссо\4 п (р) | /j2 U'sini '^ ср!Г
где Q - массовый расход. Интегральное соотношение (13) не обеспечивает выполнения условия единственности решения и требует дополнительных предположений или гипотез.
• На поверхности конуса S2 :r = r2-ztga и цилиндрической поверхности
S3 :r = ecos(e + <р) + л\г^ -(esin(# + ^>))2 , где
q> е [о, 2я] - угол, е е [о,r* -rj - эксцентриситет определяют смещение оси цилиндра относительно оси симметрии, компоненты
вектора скорости обращаются в ноль в силу условия прилипания.
“IS =0;гІ5 =0^І5 =0’к
U\S =0;V5 =0’WL =0’к
I Ол I Ол Юл
=(H=£v
=(И
(14)
ecos (в +(p)+^jrJ2 -(e sin (в + (p))1 < r < r2, u(r, в, z) = 0, v(i\ в, z) = 0, w(r, в, z) = w0, k(r,e,z) = k0,s(r,e,z) = £0, где значения величин к0 и s0 определяются по заданной интенсивности турбулентности / и длине пути перемешивания 1п Прандтля в соответствии с выражениями [6]
3 of
К=1 К7)2, £0=с;^—.
п
• На выходе из канала задаются распределение давления, соответствующее постоянной величине, равной давлению в окружающей среде, а также условие сохранения массы входящей и выходящей из канала жидкости. На поверхности S 1з задаваемой условиями
z = 1,0 <6 < 2п,
Уравнения (5) и (6) справедливы при /и{ » !Л . Вблизи стенки данное выражение не выполняется, поэтому вблизи стенок задаётся логарифмический закон распределения скорости [7, 8]:
W
V =
Ду
* v*An * ryAiy2 где у = , v = С :,к/2
(15)
(16)
4 V ' м у+ - скорость вблизи стенки, V* - скорость трения, и’ м. - касательная скорость к стенке
на расстоянии ^ Ал от неё, Ал - высота
первого элемента сетки от твёрдой поверхности, аг =0.41 - постоянная Кармана,
у * - безразмерное расстояние от стенки, ги - сдвиговые напряжения на стенке. Скорость диссипации кинетической энергии турбулентных пульсаций вблизи стенки определяется по формуле
є =
* 3/ 3/ v'Cfk*
(17)
у УК
где у* = шах(у*,11.0б).
Введём в рассмотрение характерные величины для зависимых и независимых переменных следующим образом:
■ Г2 — Гх - масштаб для радиальной координаты; / - длина канала, являющаяся масштабом для осевой координаты;
■ м>0 - средняя скорость течения вдоль
оси канала, определяемая через заданную величину массового расхода и площадь зазора между поверхностями, образующими этот
канал, на входе в него: м?0 = гЦ-—-т;
рп{г2 -г2)
■ (т0 - величина гидродинамического
напора в канале, используемая в качестве характерной величины для давления;
■ к0 - кинетическая энергия турбулентных пульсаций на входе в канал;
■ £0 - скорость диссипации кинетиче-
ской энергии турбулентных пульсаций на гдеС/*и К*определяются из уравнения нераз-входе в канал. рывности (3):
Приведём уравнения (3) - (6) и гранич-
ные условия (12), (13), (14) к безразмерному виду с помощью безразмерных переменных.
= ™0{г2-г1)
у* = М’0(г2 -г,)
Г — Г
Л =—І-
2 = —,и = —і I и
Т = Л,
V
Ж =—,Р=-
рц>
~’К=Т’Е = ~
о о ео
(18)
1 д[(Я + а)и~\ і дУ дЖ
(19)
I I
После подстановки (18) в уравнения (3)-(6) и граничные условия (12), (13), (14) получается краевая задача следующего вида:
Я + а
ттди У дії т„ди V2 и--+-----+ Ж------=
дЯ Я+а дв д2 Я + а
+Щ52Ж+Щ+Ц^+кр 8 діу д2 дЯ )
тт дУ V дУ дУ иУ и--+------+ Ж-+
дЯ
Я + а дв 82
= 0,
1 дР 2И дР ди - +-----------------------------+
N дР
§2 дЯ 8 дЯ дЯ 8(Я+а)дв(дЯ (Я+а)у дв
дУ
У+
ди
(Я+ау
(д2и ( ,ди д2и 2 д2и тт дУ
—^+(Я+а)------+—тт-8 —тт-и-2—
дЯ 8К дв2 д2 86 .
V
1
дЯ Я + а дв
дР N дР ( дУ + ■
д2 Я + а 82 (Я + а) дв 8 дЯ у дЯ Я + а
У
I ди
2И дР
дУ и + -
Я + а дв ) 8 (Я + а) дв \ Я + а дв Я + а ) 8 д2 \Я + а дв
+ — (— + КР 8 \ Яе
д2У
1 дУ
д2У
N дР ( 1 дЖ с2дУ
-+8 -----
д2
2
дЯ Я + а дЯ
(Я + а)
дв'
+ 8'
д2У
д22
У
ди
тт дЖ У дЖ ттг дУ и------------+------------------------+Ж---------------
дЯ Я + а дв д2
дР | N дР ( 2 дЦ | дЖ
~д2+~8~дЯ\ ~д2+~дЯ ) ' 8(Я + а) дв д2
(Я + а) (Я + а) дв
N
дР ( с2 дУ 8
1 дЖ \ дР дЖ 1 ( 2
+ —— +21^8—— + ~\ — + NF Я + а дв д2 д2 8 \ Яе
тт дК У дК дК и-----------+-----------------------+ Ж
Ґ д2Ж дЯ2
1 дЖ Я + а дЯ
1 д2Ж о2д2ЖЛ -+ 8
(Я + а)
дв'
с2~
дЯ Я + а дв
52 (Я + а)дЯ
(Я + а) 2 дК 1 д
[8ЯЕ ' а, ; дЯ ' 8 (Я + а)2 дв
ЯЕ
} дК ~ д н V
) дв эг _ V
2
-+---------
о\
I ( , дії I дЖ
+ — <5-------------+-------------
2I 52 8 дЯ
тт дЕ г дЕ _
и—+----------+ ж
8ЯЕ
2
о\
^ дК
+ 2 НЕ
)дг\
ди
дЯ
1
+ —
1 ди
У
дУ
2 I Я + а дв Я+а дЯ
1
дУ V
Я + а дв Я + а
1
+ — 2
. дУ 8------+
дЖ
дг 8(Я + а) дв
дЖ
~д2
Е
Н
дЕ
дЯ Я + а дв д2 8 (Я + а) дЯ
(Я + а) (2 ЕЯЛ дЕ 1 д
дЯ ' 8 (Я + а)2 дв
Яе
дЕ д (
+ дв Н д2 V
ЫР8
<5Яе
<Т
дЕ
I .ди 1 дЖ
+ — <5--------+---------
2I д2 8 дЯ
1
где а =
—,р = сц —
І-77 Е
(.Я + ау К2
д2
дУ
+ 2С1С/иНК і (
дУ
дЯ
1
1
+ и +-
дв ) 2
ди
дУ
------У + —
дв дЯ
дЖ
д2 (Я + а)8 дв
У
дЖ
д2
С2Е2
кн
и введены сле-
дующие безразмерные параметры модели:
/ г2 V
N = -=-к2°
є0м>
{Г2~Гі)
.Н=^,Ее=-є01
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
Граничные условия в безразмерном виде запишутся следующим образом:
• На входе в канал 2 = 0, 0<в <2л,Еесо$>(6+ (р)-а +
(27)
+yja2 - (Ее sin (в + (р))
U(R,0,O)=V(X,e,O) = O,
W(R,0,0) = 1, K(R,0,0) =E(R,0,0) = 1.
• На выходе из канала задаётся распределение давления, соответствующее постоянной величине, равной давлению в окружающей среде, а также условие сохранения массы входящей и выходящей из канала
жидкости. На поверхности , задаваемой условиями
Z = 1, 0 < в < 2к, Ее cos {в + (р) - а +
+^сг -(/•;, sin (6? + г/?))
Р(Яв,1)=Р0,
tga
j j Js2u2 +52V2 +W2 X (28)
^ Ee cos(6+<p)-a+^a2-[Ee sin(6+<p))2
<(R+a)dRd6 -na
ri+0
\n )
* tgoc
На поверхности конуса Sn :R = 1—— Z
и цилиндрической поверхности S з
R = Ee cos(d + (p)-a + д/а2 -(/^ sin($ + <p))“ :
(29)
^*=^*=^*=0;Ч*=°;£5*=—
2 2 2 2 2 с*
М,* =¥1- =К- =°'Л- =°;4* =-г-
3 3 3 3 3 /г
о
Таким образом, рассматриваемая задача характеризуется набором из семи безразмерных параметров - шесть параметров, определяемых выражениями (26), и угол раствора конуса, равный 2 а .
Численное решение задачи (20)-(29) выполнялось с помощью конечно-объёмного пакета программ АЫБУБ СБХ для различных значений геометрических параметров модели и массовых расходов, когда в качестве рабочего тела использовалась вода.
Рис. 3. Вид сетки 10x900x50
Были проведены расчёты для оценки зависимости времени расчёта от вида сетки (рис.З) и порядка, до которого сходились невязки. Удалось установить, что увеличение числа разбиений по окружностям ортогонального сечения канала от 200 до 900 приводит к увеличению времени расчёта в 3-
4 раза, а увеличение порядка, до которого
5 7
сходились невязки от 1x10" до 1x10" , приводит к увеличению времени расчёта в 3 раза. При этом различие между полученными значениями перепада давления составляет величину порядка 0.03 %. Поэтому для получения основных результатов достаточно задать уровень сходимости невязок до 1 х 10"5 и сетку вида 10^50x200, где 10 - число разбиений вдоль радиуса со сгущением к твёрдым поверхностям, 50 - количество разбиений вдоль образующей цилиндрической и конической поверхностей, 200 - количество разбиений по окружностям ортогонального сечения.
Вопросы гидродинамической устойчивости течений между цилиндрическими или коническими поверхностями исследуются теоретически и экспериментально достаточно давно, однако до настоящего времени полная картина возникновения неустойчивостей потоков отсутствует [9]. В данной работе все расчёты проводились при числах Рейнольдса, изменявшихся в диапазоне от 1,2х104 до 3,0х105, что соответствует развитому турбулентному режиму течения.
На рис. 4 показано изменение скорости и статического давления в продольном сечении, плоскость которого проходит через максимальный и минимальный зазоры.
Velocity Radial Contour 1
- 0.60
- 0.27 -0.06
- -0.39
- -0.72
- -1.05 -1.39
I -1.72
I -2.05
[ -2.38
—L -2.71 [m sA-1]
Velocity Ci Contour 1
0.07 -0.38 -0.82 -1.27
- -1.72
-2.17
-2.62
-3.07
-3.52
3.97
-4.42
m SA-11
Velocity Axial Contour 1
162.02
- 152.71
143.40
- 134.08
- 124.77
15.46
106.15
96.83
87.52
78.21
68.90
m sA-1l
Pressure
contour 1
—г 6399270
- 5768300
- 5137330
- 4506360 3875390 3244421
\щ- 2613451
H 1982481
H 1351511
I 720541
LJ- 89571 [Pal
Рис. 4. Поле скоростей и давления на входе, в продольном сечении и вблизи поверхности цилиндра: а - полерадиальной компоненты скорости; б - полеугловой компоненты скорости; в -поле осевой компоненты скорости; г -поле статического давления; Ке=2,9*105, ц=0.9, ОС =1, Ее =0.433
Из рисунков видно, что максимальная скорость потока достигается на выходе в минимальном сечении и составляет 162 м/с, что на 12,5 % больше максимальной скорости на выходе в максимальном сечении. Радиальный компонент скорости уменьшается от цилиндрической поверхности, где он равен 2,49 м/с, к конической. На входе в расчётную область задаётся только скорость вдоль оси OZ, поэтому угловая скорость равна нулю. Из-за смещения внутреннего цилиндра на расстояние Ее угловой компонент скорости увеличивается при движении потока и на выходе из расчётной области достигает максимального значения 7,06 м/с. Радиальный и
угловой компоненты скорости малы по сравнению с осевым (радиальный компонент составляет 1,5 % от осевого, угловой - 4,5 %).
Наибольшее статическое давление 6,4 МПа достигается на входе в расчётную область, в том месте, где расстояние между цилиндром и конусом является наименьшим. На противоположной стороне, где расстояние между поверхностями наибольшее, статическое давление в 2,5 раза меньше и равно 2,56 МПа. Такая разница по давлению на входе обусловлена наличием эксцентриситета. Чем больше будет его величина, тем больше будет разница по давлению на входе между областью, в которой расстояние меж-
ду цилиндром и конусом является наименьшим, и областью, в которой расстояние между цилиндром и конусом является наибольшим.
На рис. 5 показана зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от отношения величины эксцентриситета к разности радиусов на входе. Из рисунков видно, что при увеличении эксцентриситета коэффициент гидравлического сопротивления монотонно возрастает для всех чисел Рейнольдса. Также стоит отметить, что при увеличении числа Рейнольдса коэффициент гидравлического сопротивления потока уменьшается. Увеличение эксцентриситета мало влияет на коэффициент гидравлического сопротивления для всех г|<0.99 при постоянном угле раствора конуса. При увеличении эксцентриситета коэффициент гидравлического сопротивления возрастает для всех а > 0, причём чем больше угол, тем больше влияние смещения оси цилиндра относительно оси конуса.
На основе полученных результатов предложена формула для расчёта коэффициента гидравлического сопротивления турбулентного потока жидкости в щелевом зазоре между эксцентрическими цилиндрической и конической поверхностями:
с = 0.079Ке°109 r|~i09tg06a • сГ137(1 -Е^т2. (30)
Разность между значениями коэффициента гидравлического сопротивления, полученного с помощью компьютерного эксперимента и вычисленного по формуле (30), не превышает 15 %. Для случая, когда эксцентриситет равен нулю, полученные на основе компьютерного моделирования значения коэффициента гидравлического сопротивления были сопоставлены с имеющимися экспериментальными данными, максимальная разница в результатах не превышает 30%. Причинами полученного расхождения может быть следующее: неточность экспериментальных данных; при компьютерном моделировании твёрдые поверхности рассматривались как идеально гладкие; использование к-г модели турбулентности при компьютерном моделировании.
Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от величины эксцентриситета
а
Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от величины эксцентриситета
г
б
Зависимость коэффициента гидравлического сопротивлении от
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
Ее
в
Рис. 5. Зависимость коэффициента гидравлического сопротивления от отношения величины эксцентриситета к разности радиусов на входе: а - ц=0.99, ОС =0.064; б - ОС =0.1, Ке=2.9х1$; в - ц=0.99, Ке=12000
Таким образом, с помощью предложенной математической модели проведены численные исследования с целью выявления некоторых особенностей и закономерностей турбулентного течения в кольцевом конфу-зоре, образованном цилиндрической и конической поверхностями, между осями которых имеет место некоторый эксцентриситет, и предложено выражение для вычисления коэффициента гидравлического сопротивления.
Библиографический список
1. Изучение основных закономерностей турбулентного течения жидкости в кольцевом конфузоре под действием перепада давления [Текст] / [И.В. Ерофеев и др.] // Ракетно-космическая техника и технология 2010. — Воронеж: ВГТУ, 2010. - С.38-44.
2. Лойцянский, Л.Г. Механика жидкости и газа [Текст] / Л.Г. Лойцянский. - М.: Дрофа, 2003. - 840 с.
3. Белов, И.А. Моделирование турбулентных течений [Текст] / И.А. Белов, С.А.
Исаев. - СПб.: БГТУ «Военмех», 2001. -108с.
4. White, F.M. Viscous Fluid Flow, Second Edition [Text] / F.Mio White - New York e.a: McGraw-Hill, 1991.-826 p.
5. Численное моделирование течений в турбомашинах [Текст] / [С.Г. Черный и др.] -Новосибирск: Наука, 2006. - 202 с.
6. Mohammadi, В. Analysis of the K-Epsi-lon Turbulence Model [Text] / B. Mohammadi, O.Pironneau - NewYork: MASSON, 1994. -198p.
7. Braga, E. J. Numerical simulation of turbulent flow in small-angle diffusers and contractions using a new wall treatment and a linear high Reynolds k s model [Text] / E.J. Braga, M.J.S. de Lemos // Numerical Heat Transfer Part A. - 2004. - № 45(9). - P. 911-933.
8. ANSYS CFX Version 14.0 Documentation, 2011.
9. Heaton, C.J. Linear instability of annual Poiseuille flow [Text] / C. J. Heaton // J.Fluid Mech. - 2008. - V.610. - №2. - P.391-406.
INVESTIGATION OF FLUID FLOW IN THE GAP BETWEEN ECCENTRIC CYLINDRICAL AND CONICAL SURFACES
© 2012 М. V. Bondareva1, E. N. Korzhov2
1 OSC KBKhA, Voronezh 2 Voronezh State University
Performed a computer experiment for the flow of an incompressible viscous fluid under a constant pressure drop in an annular channel formed by the cylindrical and conical surfaces between the axes of which there is eccentricity. Based on the results established certain regularities and characteristics of the turbulent flow, and obtained an engineering formula to calculate the coefficient of hydraulic resistance.
Annular confuser, eccentricity, turbulent flow.
Информация об авторах
Бондарева Мария Владимировна, инженер-конструктор ОАО КБХА. E-mail: dobrosotskava_masha@,mail.ru. Область научных интересов: жидкостные ракетные двигатели.
Коржов Евгений Николаевич, доцент факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета. E-mail: ken@amm.vsu.ru. Область научных интересов: жидкостные ракетные двигатели.
Bondareva Mariya Vladimirovna, design-engineer KBKhA. E-mail: dobro sot skava_ ma-sha@mail.ru. Area of research: liquid rocket engines.
Korzhov Evgeniy Nikolaevich, associate professor of faculty of applied mathematics, information technologies and mechanics, Voronezh State University. E-mail: ken@amm.vsu.ru. Area of research: liquid rocket engines.
