Исследование систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости методом функции А. М. Ляпунова Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИССЛЕДОВАНИЕ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

С ПОВЫШЕННЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ РОБАСТНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ ФУНКЦИИ А.М. ЛЯПУНОВА

© Бейсенби М.А.*, Абдрахманова Л.Г.

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Республика Казахстан, г. Астана

В предложенной статье излагается метод построения SISO системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости. Предложен новый подход к построению систем управления для объектов с неопределенными параметрами в форме двухпараметрических структурно-устойчивых отображений из теорий катастроф. Предложенный метод исследования робастной устойчивости систем управления базируется на методе функций А.М. Ляпунова.

Ключевые слова: система управления, неопределенность параметров, робастная устойчивость, структурно-устойчивые отображения, область устойчивости.

Актуальность построения систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости на сегодняшний день обусловлена современными потребностями науки и техники. В практических задачах [1], связанных с конструированием и моделированием процессов управления в технике, экономике, биологии и других сферах в условиях существенной параметрической неопределенности повышение потенциала робастной устойчивости является одним из ключевых факторов. Этот фактор гарантирует системе управления состояние устойчивости при попадании в хаотическое движение и гарантирует применимость моделей и надежность работы спроектированных систем управления. В общей постановке исследование робаст-ной устойчивости состоит в указании ограничений на изменение параметров системы управления [2, 3], при которых сохраняется устойчивость. Эти ограничения определяются областью устойчивости по неопределенным параметрам системы.

В связи с этим возникла необходимость в разработке моделей и методов построения системы управления с неограниченно расширяемой областью устойчивости при наличии внешних и внутренних возмущений, названные системами управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости.

Настоящая статья посвящена актуальным проблемам построения роба-стной устойчивой системы управления динамическими объектами, с неоп-

* Заведующий кафедрой «Системный анализ и управление», доктор технических наук, профессор.

ределенными параметрами, с подходом к построению системы управления в классе двухпараметрических структурно-устойчивых отображений [2,4], позволяющих предельно увеличить потенциал робастной устойчивости и показатели качества системы управления[5-7].

Концепция построения системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости динамических объектов базируется на результатах теории катастроф [8, 9], где получены основные структурно устойчивые отображения. Они ограничены и непосредственно определяются числом управляющих параметров.

Пусть система управления описывается уравнением состояния:

х = Ах + Ъы, у = сх, х е Я", у е Я,

(1)

закон управления задан в форме двухпараметрических структурно-устойчивых отображений [2, 4]:

и =~х - Кх1 + ^л,' = и->".

(2)

Систему (1) с учетом (2) можем записать в развернутом виде:

~ X2,

Xз,

Ах ихп „4 -= — х, Ж 1 + к[х2 + (к — ап) х — х^ + к2 х2 +

+ (к 2 — ап— 1) х2 — .. — х4 + к х2 + (к — а) х . п п п V п 1 / п

У = х1.

Находим установившиеся состояния системы:

хъ = Х2э = ••• = хщ = 0

X 2 = 23

- к..

2

—, х. = 0, / Ф /, I = 1,..., п,

у /$ ; ^ у у у у

х,4 = , ^ = 0, ; Ф /, ; = 1,...,п.

(3)

(4)

(5)

(6)

Для исследования робастной устойчивости установившихся состояний (5) и (6) используем основные положения прямого метода Ляпунова [10, 11].

а

п-/+1

Если функцию Ляпунова У(х) задаем в виде вектор-функции У(У\(х), У2(х), ..., У„(х)), а из геометрической интерпретаций выберем антиградиент

( д¥. (х) Л от компонентов функций Ляпунова I--'-, ■ = 1,...,п равный по велиК дх )

( йх \

чине компонентам вектора скорости I — I т.е.:

йх. дУ(х) дУ (х) дУ (х) --'- = —'— + —+... + —, ' = 1,...,п.

йХ дхх дх2 дХп

Тогда полные производные по времени от компонентов вектор-функции Ляпунова для устойчивости стационарного состояния (4) будут равны:

йу (х) 2

йу (х)

= - х.

йУп-1(х) _ „2

= — х„

йУп (х)

йХ

— [ х 1 + к^ х! + (к^ ап) х х 2 + к ^ х 2 +

+ (к 2 —ап—1) х2— >...> — хП + Кх1 + (кп—а1) хп ]2. Из этого следует, что полная производная по времени от компонентов вектор-функции Ляпунова всегда будет знако-отрицательной функцией.

дУп (х) 4 , ,.„2

дх1

— хJ + к1 х J + (k^ а ) х1,

дуп(х) = —х2 + к 2 х2 + (к2—аиЧ) х,...,

дх2

— дУп(х) = —х2 + кпх2 + (К—аО хп.

дхп

Функцию Ляпунова в скалярной форме получим в виде:

У (х) = 1 х15 —1 к1х13 —1(к1 —ап )х12 + 1 х2 —1 к2 х2 —1(к2 — ап—1 —1) х22 + +>...> +1 х5 —1 кп х1 —1(кп —а1 —1)х1 = 1 х15 —1 к1 х13 —1(к1 —ап )х12 + (7)

+ 1 х5 —1 к 2 х23 —1(к2 — ап—1 —1)х22 +>...>+1 х5 —1 кп х1 —1(кп—а1 —1)х«2.

Положительная или отрицательная определенность функции У(х) из (7) не очевидна, поэтому воспользуемся леммой Морса [8, 9] из теории катастроф.

Функцию Ляпунова (7) в окрестности стационарного состояния (4) можно представить в виде квадратичной формы:

У(х) = -(к - ап )х2 - (к2 - апЛ -1)х22 - (£, - ап2 -1)хз2 -,•••, ~(кп - а -1}хи2 (8)

Отсюда, условия робастной устойчивости стационарного состояния (5) определяются системой неравенств:

к1 - ап < 0

к2 - ап-1 - 1 < 0 к3 - ап-2 - 1 < 0 :

кп - а1 -1 < 0

к1 < ап к2 < ап-1 +1 к3 < ап-2 + 1

(9)

кп < а1 + 1

Получаем условия устойчивости стационарных состояний (5) и (6) на основе метода функций Ляпунова:

ап < к1 ап-1 < к2 -

а„ < к „ - •

1

221 1

п п

221

(10)

к1 - ап > 0

к2 - а , —— > 0

2 п 1 20

к3 - ап-2 > 0 :

кп - а.--> 0

п 1 20

ап < к1

ам-1 < к2

п 1 2 20

а 2 < к3

п 2 3 20

а1 < к--

1 п 20

(11)

Стационарные состояния (5) и (6) одновременно существовать не могут. Только одно из них существует на момент времени, и оно будет всегда устойчивым. При потере этого состояния появляется новое стационарное состояние, и оно будет устойчивым. За счет этого можно построить систему управления, которая будет устойчивой при установившихся состояниях (10) и (11).

Фактически, результаты по построению систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости, полученные в данной работе, позволяют обеспечивать динамическую безопасность и работоспособность управляемых систем в технике и технологии на этапе их конструирования и эксплуатации.

Обоснован подход к построению систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости для линейных объектов с неопределенными параметрами, с выбором закона управления в классе двухпараметри-ческих структурно -устойчивых отображений. Показано, что система имеет асимптотически устойчивые стационарные состояния, и в отрицательной, и в положительной области изменения неопределенных параметров объекта управления. При переходе неопределенных параметров через ноль происходит бифуркация, и появляются новые устойчивые ветви. При этом нулевое стационарное состояние теряет устойчивость. Эти стационарные состояния одновременно не существуют, таким образом, появляется возможность построить систему устойчивую при любом изменении неопределенных параметров.

Список литературы:

1. Петелин Д.П., Козлов А.Б. Автоматизация технологических процессов в текстильной промышленности. - М.: Легкая индустрия, 1980. - 320 с.

2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. -М.: Наука, 2002. - 303 с.

3. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. - М.: Наука, 1967. -225 с.

4. Gregoire Nicolis, Ilya Prigogine Exploring Complexity an Introduction. -New York, 1989.

5. Бейсенби М.А. Методы повышения потенциала робастной устойчивости систем управления. - Астана, 2011. - 352 с.

6. Siljak D.D. Parameter space methods for robust control design: a guided tour // IEEE Tr. On Autom. Control. - 1989. - V 34, № 7. - P. 674-688.

7. Бейсенби М.А., Кульниязова К.С. Исследование робастной устойчивости линейных систем управления // Вестник ЕНУ имени Л.Н. Гумилева: Научный журнал Евразийского национального университета им. Л.Н. Гумилева. - Астана, 2010. - № 2 (75). - С. 113-119.

8. Постон Г., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. - М.: Мир, 1980.

9. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. Т. 1. - М.: Мир, 1981.

10. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. - М.: Наука, 1966. -540 с.

11. Воронов А.А., Матросов В.М. Метод векторных функций Ляпунова в теории устойчивости. - М.: Наука, 1987.