CC BY
22
УДК 519.872
Вестник СибГАУ Том 17, № 2. С. 328-334
ИССЛЕДОВАНИЕ RQ-СИСТЕМЫ М(2) | B(x)(2) |1 С Д-НАСТОЙЧИВЫМ ВЫТЕСНЕНИЕМ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ ЗАЯВОК
А. А. Назаров, Я. Е. Измайлова*
Национальный исследовательский Томский государственный университет Российская Федерация, 634050, г. Томск, просп. Ленина, 36 E-mail: evgenevna.92@mail.ru
Рассматривается космическая сеть связи, управляемая протоколом случайного множественного доступа. Построена математическая модель двух фирм, конкурирующих за право обладания сетевым ресурсом. Каждая фирма пытается продвинуть свои сообщения в широковещательный канал связи, вытесняя сообщения альтернативной фирмы. Данная модель может использоваться для передачи срочных сообщений, задавая приоритет той или иной фирме. Математической моделью конкурирующих фирм является RQ-система с двумя входящими простейшими потоками, произвольным распределением времени обслуживания и вытеснением альтернативных заявок, т. е. если в момент прихода заявка первого типа обнаруживает прибор занятым заявкой первого типа, то она уходит в ИПВ1 (источник повторных вызовов для заявок первого типа), где осуществляет случайную задержку, распределенную по экспоненциальному закону с параметром а1. После случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если же в момент прихода заявка первого типа обнаруживает прибор занятым заявкой второго типа, то пришедшая заявка с вероятностью r1 вытесняет заявку второго типа, которая уходит в ИПВ2 (источник повторных вызовов для заявок второго типа), а сама встает на обслуживание, иначе с вероятностью 1 - r1 уходит в ИПВ1, где осуществляет случайную задержку. Для заявок второго типа ситуация будет аналогичная. Исследование системы проводится методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки заявок в ИПВ. При использовании данного метода составлена система дифференциальных уравнений Колмогорова для распределения вероятностей числа заявок в источниках повторных вызовов и состояний прибора, выполнен переход к системе дифференциальных уравнений для частичных характеристических функций.
Применяя предлагаемый метод для данной RQ-системы, получены среднее значение числа заявок в первом и втором источниках повторных вызовов и распределение вероятностей состояний прибора. Рассмотрен пример численной реализации для функции распределения времени обслуживания, представляющей взвешенную сумму гамма- и экспоненциального распределений. Установлено, что для некоторых значений параметров распределения времени обслуживания и интенсивности входящего потока стационарный режим в системе не существует, а для некоторых других значений параметров распределения времени обслуживания стационарный режим существует при любых сколь угодно больших значениях интенсивностей Х1 и Х2 входящего потока. Результаты могут быть использованы для установления количества сообщений, которые ожидают повторного обращения, а также для установления значений параметров, при которых система работает оптимально.
Ключевые слова: RQ-система, альтернативная заявка, r-настойчивое вытеснение, асимптотический анализ, большая задержка.
Sibirskii Gosudarstvennyi Aerokosmicheskii Universitet imeni Akademika M. F. Reshetneva. Vestnik Vol. 17, No. 2, P. 328-334
RESEARCH OF THE RETRIAL QUEUEING SYSTEM M(2) | B(x)(2) |1 WITH Д-PERSISTENT EXCLUSION OF ALTERNATIVE CUSTOMERS
A. A. Nazarov, Y. E. Izmaylova*
National Research Tomsk State University 36, Lenin Av., Tomsk, 634050, Russian Federation E-mail: evgenevna.92@mail.ru
In this paper, we consider cosmic communication network operating under transmission protocols like CSMA (Carrier Sense Multiple Access). We have mathematical model of two companies competing for the right ofpossession of the network resource. Each company tries to promote its message on a broadcast communication channel, excluding messages of an alternative company. This model may be usedfor transmission of urgent messages by setting the priority
of a particular company. A mathematical model of competing companies is the RQ-system with two arrival processes are described by the stationary Poisson process, the service time has the distribution function Bj(x) and B2(x), respectively, and exclusion of alternative customers. If at the time of arrival, customer of the first type finds the server busy with a customer of the first type, then it goes to the orbit 1 (in the orbit for customer of the first type), where it performs a random delay with duration determined by exponential distribution with intensity a1. From the orbit 1, after the random delay, the customer is trying to occupy the server again. If at the time of arrival, customer of the first type finds the server busy with a customer of the second type, then an arrived customer with probability r1 replaces the customer, which was in service, and occupies the server, and with probability 1 - r1 it goes to the orbit 1. The same goes for the second type customer. We research retrial queueing system using the method of asymptotic analysis under condition of long delay in the orbits. For use this method we write system of differential Kolmogorov's equations for the probability distribution of the number customers in the orbits and the server state, we have completed the transition to the system of differential equations for partial characteristic function. Using the method of asymptotic analysis we obtain the stationary probability distribution of server states and values of asymptotic means of the number of customers in the orbits. In particular, we analyze the weighted sum of gamma distribution and exponential distribution. It is found that for some values of function distribution parameters of service time and arrival process intensity, there is not any stationary regime. And there is such a stationary regime for some other values of distribution parameters of service time with any, no matter how great intensity values of X1 and X2 of arrival process.
The results may be used for identify the number of messages that expect repeated requests and for the initial values of the parameters whereby the system operates optimally.
Keywords: retrial queueing system, alternative customer, r-persistent exclusion, asymptotic analysis, long delay.
Введение. Применение классических моделей теории массового обслуживания для повышения надежности прогнозирования и обработки информации телекоммуникационных, вычислительных и экономических систем не всегда дает адекватные результаты. Поэтому для анализа и исследования таких систем используют более адекватные модели с повторной очередью (Retrial Queueing System). Между повторами заявки (клиенты) находятся в источнике повторных вызовов (ИПВ). Обзор работ по этой тематике приведен в работах [1-3]. Также модели с повторными вызовами широко применяются для проектирования и оптимизации информационно-коммуникационных систем различного уровня, цифровых сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа, в call-центрах, для оптимизации работы транспортных систем и во многих других областях.
В данной работе рассматривается RQ-система с двумя входящими потоками и приоритетом заявок. Такая система массового обслуживания служит моделью протокола случайного множественного доступа космической сети связи с двумя потоками конкурирующих сообщений. В работах [4-11] рассматриваются системы с повторными вызовами, в которых 2 типа входящих заявок, которым назначаются приоритеты. Для рассматриваемых систем найдены основные вероятностно-временные характеристики. S. R. Chakravarthy, A. Dudin [12] рассматривают систему, в которой 2 типа входящих потоков (заявки 1 и 2 типов) и при этом назначается приоритет заявкам 1 типа, которые в дальнейшем образуют очередь, а заявки 2 типа уходят в ИПВ. Заявки также приходят пачками. Для данной модели найдено совместное распределение числа заявок в очереди и в ИПВ. В вышеуказанных работах приоритет рассматривается в том смысле, что какому-то одному типу заявок разрешается обслуживание в порядке приоритета, в то время как другим приходится находиться в ИПВ, ожидая обслуживания всех приоритетных заявок. Системам с приоритетами заявок, в классическом
понимании, посвящено немало работ. Основные результаты могут быть найдены в [13-17].
В предлагаемой работе изучена система, в которой можно назначать приоритеты через вероятности.
Постановка задачи. Рассмотрим ИО-систему с двумя входящими простейшими потоками (рис. 1), произвольным временем обслуживания и вытеснением альтернативных заявок.
На вход ИО-системы поступают два простейших потока заявок с параметрами и X2 соответственно. Если прибор свободен, то пришедшая заявка занимает прибор для обслуживания в течение случайного времени с функциями распределения В1 (х) и В2 (х),
соответственно.
Если в момент прихода заявка первого типа обнаруживает прибор занятым заявкой первого типа, то она уходит в ИПВ 1 (источник повторных вызовов для заявок первого типа), где осуществляет случайную задержку, распределенную по экспоненциальному закону с параметром ст1. После случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата. Если же в момент прихода заявка первого типа обнаруживает прибор занятым заявкой второго типа, то пришедшая заявка с вероятностью г1 вытесняет заявку второго типа, которая уходит в ИПВ2, а сама встает на обслуживание, иначе с вероятностью 1 - г1 уходит в ИПВ1, где осуществляет случайную задержку.
Если в момент прихода заявка второго типа обнаруживает прибор занятым заявкой первого типа, то пришедшая заявка с вероятностью г2 вытесняет заявку первого типа, которая уходит в ИПВ1, а сама встает на обслуживание, иначе с вероятностью 1 - г2 уходит в ИПВ2 (источник повторных вызовов для заявок второго типа), где осуществляет случайную задержку, распределенную по экспоненциальному закону с параметром ст2. После случайной задержки заявка вновь обращается к прибору с повторной попыткой его захвата.
ИПВ1
ИПВ2
Рис. 1. RQ-система M(2) | B(x)(2) | 1
Таким образом, происходит r-настойчивое вытеснение (r-persistent exclusion) альтернативных заявок. При обращении заявок из ИПВ1 и ИПВ2 r-настойчивое вытеснение происходит аналогичным образом.
Обозначим i1(t) - число заявок в ИПВ1, i2(t) -число заявок в ИПВ2, k(t) определяет состояние прибора следующим образом:
0, если прибор свободен, k(t) = \ 1, есди прибор занят заявкой первого типа, 2, если прибор занят заявкой второго типа.
Ставится задача нахождения среднего числа заявок в ИПВ1, ИПВ2 и распределения вероятностей состояний прибора.
Система уравнений Колмогорова. Так как процесс {k(t),i1(t),i2(t)} не является марковским, то рассмотрим процесс с переменным числом компонент.
Если k(t) = 0 , то рассматриваем процесс {k(t),
11 (t), i2 (t)}. Если k(t) = n , n = 1, 2, то рассматриваем процесс [k(t), i1(t), i2(t), z(t)}, где z(t) - остаточное время от момента t до момента окончания обслуживания.
Обозначим P {k(t) = 0, i1 (t) = i1, i2 (t) = i2} = P0 (i1, i2, t) вероятность того, что прибор в момент времени t находится в состоянии 0 , в ИПВ1 находится i1 заявок,
в ИПВ2 находится i2 заявок; P{k(t) = n, i1(t) = i1,
12 (t) = i2, z(t) < zj = Pn (i1, i2, z, t), n = 1, 2, вероятность того, что прибор в момент времени t находится в состоянии n , в ИПВ1 находится \ заявок, в ИПВ2 находится i2 заявок, остаточное время обслуживания меньше z.
Для распределения вероятностей |P0 (i1, i2, t), P1(i1, i2, z, t), P2(i1, i2, z, t)}, применяя формулу полной вероятности, запишем равенства:
Р0(г1, ¿2, г + Аг) = Р0 (¿1, ¿2 )(1 - ^Аг )(1 - Х2 Аг) х х(1 - г1ст1 Аг)(1 - ¿2ст2 Аг) + Р( г1, ¿2, Аг, г) + +Р2(г1, ¿2, Аг, г) + о(Аг),
Р1 (¿1, ¿2, г -Аг, г + Аг) = Р0 (¿1, ¿2, г )Х1АгБ1 (г ) + +Ро (¿1 +1,12, г)(?! + 1)ст1АгВ1 (г) + + [Р1 (¿1, ¿2, г, г) - Р1 (¿1, ¿2, Аг, г)] х Х(1 - Х1Аг)(1 - X 2 Аг )(1 - ¿2 Ст 2 Аг) + +Р2 (г1 +1, ¿2 -1,да, г)(г1 + 1)ст1АгВ1 (г)г1 + +Р2 (¿1, ¿2 -1,да, г)Х1АгВ1 (г)г1 + +Р1 (¿1 -1, ¿2, г, г)Х1Аг + Р1 (¿1, ¿2 -1, г, г)X2Аг(1 - г2) + +1\ ^, ¿2, г, г )г2^2 Аг (1 - Г2) + о(Аг X Р2 (¿1, ¿2, г - Аг, г + Аг) = Р0 (¿1, ¿2, г)Х2 АгВ2 (г) + +Р0 (¿1, ¿2 +1, г )(*2 +1)^2 ¿В (г) + + ^(¿1, ¿2, г, г) - Р,^, ¿2, Аг, г )](1 -^Аг) х х(1 - Х2 Аг )(1 - 11<з1Аг) + Р1 (¿1 -1, ¿2 +1, да, г) х х(/2 + 1)ст2 АгБ2( г)г2 + Р1(11 -1, ¿2, да, г )Х2 АгБ2( г )г2 + +Р2(11,¿2 -1,г,г)Х2Аг + Р2(¿1 -1,¿2,г,г)Х1Аг(1 -г1) +
+Р2 (¿1, ¿2, г, г )/1ст1Аг (1 - г1) + о(Аг). Откуда прямая система дифференциальных уравнений Колмогорова имеет вид
- 2 + ¿1^1 + ¿2 СТ2)P0(i1, ¿2, г) + + аР(Л,/2Д0 | gp2(¿1, ¿2, 0 г) = ¿2 , г)
5г 5г 5г
^В (г) Р0 (¿1, ¿2, г) + (¿1+1)аВ (г ) Р0 (¿1 +1, ¿2, г) -+ ^2 + ¿2а2 )Р1 01, ¿2 , г, г) + +(¿1 +1)ст^В (г)Р2 (¿1 +1, ¿2 -1, да, г) +
+Х1Г1В1 (г)Р2 (¿1, ¿2 -1, да, г) + А,1 Р (¿1 -1, ¿2, г, г) + +(1 - г2 )^2Р1 (¿1, ¿2 " 1, ^ г) + (1 " Г2 )¿2Р (¿1, ¿2 , г, г) + _ Рк,¿2,0,г) ^РТ(¿1,¿2,г,г) | дР^,¿2,г,г)
dz
dz
dt
^2В2 (2)(¿1, ¿2, t) + (¿2 + 1)^2B2 (Z)Po (¿1, ¿2 + 1, t) --(^1 2 + ¿1СТ1)P2(¿1, ¿2, z, t) + +(¿2 + 1)°2rB2 (z)P (¿1 - 1, ¿2 + 1, <», t) + +Х2Г2B2(z)(^¿1 - 1 ¿2 , t) + ^2P , ¿2 - 1, z, t) + +(1 - r1 )P2 (¿1 " 1 ¿2 , z, t) + (1" r1)¿1CT1P2(¿1, ¿2 , z, t) + = PhJlAll .^PL^^l^lt)
5z dz dt
Пусть в системе (1)
lim Po(¿1, ¿2 , t) = ^оО^ ¿2 ),
t
lim Pn ^ ¿2 , z, t) = Pn (¿1, ¿2 ), n = 1,2•
t ^да
Тогда систему запишем в стационарном режиме следующим образом:
+ ^2 + ¿1^1 + ¿2)P0 ^ , ¿2 ) + , Ph, ¿2,0) | ^(¿1, ¿2,0) = 0
5z 5z
(z)P0 (¿1, ¿2 ) + (¿1 + 1)^1^1 (z)P0 (¿1 + 1, ¿2 ) -+ ^2 + ¿2 )p (¿1, ¿2 , z) + +(¿1 +1) ^iB (z)p, (¿1 + 1, ¿2 -1, <») +
+M B1 (z)P2 (¿1, ¿2 - 1, + P (¿1 - 1, ¿2 , z) + +(1 - r2 )^2P1 (¿1, ¿2 " 1 z) + (1 " r2 )¿2P1 (¿1, ¿2 , z) +
= 5p[(/Ll/2I0) g^! (г~1, ¿2, z) (2)
dz dz
^2B2 (z)P0 <.¿1, ¿2 ) + «¿2 + 1)ü2B2 (z)P0 (¿1, ¿2 + 1) -+^2 + ¿1a1)P2(¿L, ¿2 , z) + +(¿2 + 1)^2Г2B2 (z)P1 (¿1 - 1, ¿2 + 1, ®) + +^2r2B2 (z)P1 (¿1 " 1, ¿2, + ^2P2 (¿1, ¿2 "1 z) + +(1 - r1) ^1P2 (¿1 - 1 ¿2 , z) + (1 " r1) ¿1CT1P2 (¿1, ¿2 , z) + = ¿2,0) ^P2 (^¿1, ¿2 , z) 5z dz
Уравнения для частичных характеристических функций. В силу системы (2) запишем систему уравнений для частичных характеристических функций следующего вида:
#0(1*1, «2) = PQ(i1, ¿2),
¿1 =0 ¿2 =0
#п («1, «2, z) = X Z е>2'2 P0 (¿1, ¿2, z), n = 0, 1, 2,
1 =0 ¿'2 =0
где j = V-1 - мнимая единица. Обозначим
#п («1,«2, = #п («1, «2 ), п = 1, 2, d#n (Ul, «2,0) d#n (и^ «2 , z)
5z
5z
n = 1, 2.
Запишем систему для частичных характеристических функций:
5Я0(м1; м2)
+j «2) , «2,0) , «2,0) = 0 5«2 5z 5z
+ ^2 )#1 («1, «2 , z) + j°2r2
d#1 («1, «2, z)
d«
- B1( z )
d#0 («1, «2) 5«1
+(1 - r2) X 2ej«2 #1( «1, «2, z) + (3)
+X1B1 (z ) #0 («1, «2 ) + j«1 #1(«1, «2, z ) + Vj«2 B1 (z)#2 («1, «2) - jr1<31B1 (z )ej(«2 2 x
d#2 («1, «2) d#1 («1, «2, 0) 5#1 («1, «2, z) x = ,
d«1 dz dz
+ ^2 )H2 («1, z) + jCT1r1
d#2 («1, «2, z) 5«1
- ^ ^2( Ш°(М1' ^ + (1 - 1)*^ Н 2(Щ, «2, Z ) + du2
+\2в2 (z)Н0 (и1, и2) + ^2Н2 (и1' и2 ' Z) +
+Г2X2Б2 (ZУ1 Н («1, «2 ) - ]Т2Ъ2В2 (ZУ (и'-и2) X ^ dH1 (и1, и2) dH2 (и1, и2, 0) dH2 (и1, и2, z) du2 dz dz
Аналитически данную систему решить затруднительна Будем решать ее методом асимптотического анализа [18] в условии большой задержки (сг^-0), полагая, что ст1 = сту1, ст2 = сту2 .
Асимптотическое решение системы (3). В системе (3) сделаем замены:
; = ит =™т, т = 1, 2;
Н0(u1, и2) = Рп (Wl, ^2 , e),
н„ (щ,и2,Z) = Гп(м>1, м>2, Z,е), п = 1, 2.
Система (3) перепишется следующим образом:
-(^1 2)^0(^1, Н2, а) + Л1 ^^^^ +
dw1
+7У2
dw2
5F;( W1, W2,0, £)
dz
+ ^2 )F1 (w1, w2, z, e) + Л 2r2
5z
= 0,
5^1(^1, W2, z, e)
dw-.
2)H0(u1, «2) + jaV
- j y1B1( z)e-j£w1 SF0(w1, W2,£) + 5w1
+(1 - r jew2 F1 (W1, W2, z, e) + X1B1 (z) F0 (W1, W2, e) +
jEW1 F1( w1, w2, z, e) + r1X1B1 (z)eJ£W2 F2 (w1, w2, e) -
-jr1y1B1 (z)e^(w2-w) gF2(w1, w2,= 5w1
8F1 (W1, W2,0, e) 8F1 (W1, W2, z, e)
5«1
dz
dz
-(^1 + (м1 , е) + УУЛ
- у у 2 1м2
и^, е)
дм1 е) ,
5^2
+(1 - Г1 '^е1^ F2(Wl, и^, е) + ^2 В2(г) (^ ^ е) + +Х2е-,1М2 F2 (м1, е) + г2Х2 В2 (ъ)е]1Ж1 F1 (м1, м2, е) -1м1-м2) Щ(^ w2, £) _
Р2 (х1, х2 ) = ^2
1 - В* (г (Я-1 +У1хр)
г1 + У1 х)В* (г1 + У1 х1))'
1 - В1* (г2 (^2 +У 2х2))
г2 2 + У 2х2 )В1 (г2 2 + У 2 х2 ))
1 - В*(Г1(Я,1 +У1Х1))
-1>2 У 2 В2(г)е
= ^ М1, ^2,0, е) а^ ^1, у>2,г, е) дг дг
Обозначим хт , т = 1,2 - асимптотическое среднее значение числа заявок в т-м источнике повторных вызовов, Як, к = 0, 1, 2, - распределение вероятностей состояний прибора. Ниже будет показано, что преобразования Лапласа-Стилтьесса от функций рас-
Г1(^1 +У1 х1) В2(г1(^1 +У1 х1))
*0( x1, х2) + К1( x1, х2) + К2( x1, х2) = 1.
ГО
В*(г2(к 2 +у 2 ъ)) = ¡е~ +l2X2)zdBl(z), о
IX
В*^ +У1 х1)) = {е^1 zdB2(z) -
(6)
Як , к = 0, 1, 2, определяется значениями хт , т = 1, 2, поэтому будем применять обозначение Як (х1, х2), к = 0, 1, 2 .
Сформулируем следующее утверждение. Теорема. Предельное (при е ^ 0 , г ^ да) значение
{Fо(иi,мХ^^мХ^^^2)} решения {Fо(wl,м^e), ^1(^1, м2, г, е), F2(w1, м2, г, е)} системы уравнений (4) имеет вид
^ (м1, м2) = К0 (х1, х2 ) еХР х1 + 1м2х2 } , (м1, м2) = К1 (х1, х2 ) eXР {1м1 х1 + 1М2 х2 } ,
w1, м2) = К2 (х1, х2 ) ^ {Мх1 + 1м2 х2 } ,
где х1, х2 являются решением системы уравнений
"У1 х1 Р0 (х1, х2) + + Г2к2 + Г2У 2х2 )К1 (х1, х2) + + ("^УЛ + (1 - Г1 )Р2 (х1, х2) = 0
"У2х2(х1, х2) + ("Г2У2х2 + (1" ГгЖ )К1 (х1, х2 ) + 2 + ГЛ + Г1У1 х1)К2 (х1, х2 ) = 0,
а Як (х1, х2), к = 0, 1, 2, определяются равенствами 1 - В1* (г2 (^2 +У 2х2))
(5)
*0( X1, х2) = 1
г2(^2 +У 2 х2) В1 (г2(^2 +У 2 х2))
пределений В1(х) и В2(х) в точках г2(к2 +у2х2) и г1(к1 +у1 х1) соответственно.
Численная реализация. Были рассмотрены примеры численного решения системы (5) и численной реализации формул (6) для различных функций распределений В1 (х), В2 (х) и различных значений параметров , X2 и ст1, ст2 .
В частности, рассмотрены взвешенные суммы гамма- и экспоненциальных распределений
в; (х)=^а)+ (1 - * )(1), р1
В22 (х) = *2(1 + ^х)""2 + (1 - )(1 ^^ ,
Р2 М- 2
в которых заданы положительные параметры а1, а2 ,
р1, р2, ^1, М-2 И 0 < < 1,0 < < 1.
Рассмотрим пример со следующими значениями параметров:
а1 = 2,а2 = 4, р1 = 5,р2 = 3,
= 2, М-2 = ^ У1 = 2 , У2 = 3.
Значения вероятностей положим равными = 0,5, *2 = 0,7, г1 = 1, г2 = 0,5.
Таблица 1
Значения асимптотических средних числа заявок в источниках повторных вызовов
Я2
0,2 0,4 0,6 0,8
х1 х2 х1 х2 х1 х2 х1 х2
0,4 0,069 0,085 0,657 1,461 0,594 2,483
0,6 0,947 0,643 0,367 0,699 2,796 5,879
0,8 0,367 0,244 1,047 1,447
1,0 0,732 0,397 3,151 2,825
1,2 1,467 0,641
1,4 3,378 1,122
1,6
Таблица 2
Распределение вероятностей состояний прибора
Я2
0,2 0,4 0,6 0,8
RG R1 R2 R0 R1 R2 R0 R1 R2 RG R, r2
0,4 0,60 0,19 0,21 0,37 0,19 0,44 0,10 0,21 0,69
0,6 0,50 0,27 0,23 0,26 0,28 0,46 0,05 0,36 0,59
0,8 0,40 0,37 0,23 0,16 0,40 0,44
1,0 0,31 0,46 0,23 0,08 0,53 0,39
1,2 0,22 0,56 0,22
1,4 0,14 0,68 0,18
1,6
В табл. 1 приведены значения асимптотических средних при различных значениях интенсивностей входящих потоков, в табл. 2 - распределение вероятностей состояний прибора. Незаполненные ячейки таблицы показывают те значения интенсивностей входящего потока, при которых стационарного режима в рассматриваемой системе не существует. Представляет интерес решение проблемы нахождения условий существования стационарного режима в рассматриваемой RQ-системе.
Заключение. В данной работе была исследована RQ-система с двумя входящими простейшими потоками, произвольным распределением времени обслуживания и вытеснением альтернативных заявок методом асимптотического анализа в предельном условии большой задержки. Для нее получены уравнения для нахождения среднего числа заявок в первом и втором источниках повторных вызовов, стационарного распределения состояний прибора. В качестве примера времени обслуживания были рассмотрены взвешенные суммы гамма- и экспоненциальных распределений. Для конкретных значений параметров системы получены среднее число заявок в первом и втором источниках повторных вызовов и распределение вероятностей состояний прибора. Модифицирован метод асимптотического анализа для исследования RQ-систем с двумя входящими потоками и вытеснением заявок.
Результаты выполненных исследований позволяют принимать управленческие решения для оптимизации функционирования космических сетей связи с целью предоставления более высокого приоритета для передачи важной или срочной информации.
Считаем целесообразным исследовать RQ-системы с неэкспоненциальной задержкой заявок в ИПВ, что является принципиальным, так как в научной литературе по системам с повторной очередью такие модели не рассматриваются в силу того, что используемые там методы не позволяют выполнить такие исследования. Применение в данной работе модификации метода асимптотического анализа позволяет надеяться на положительный результат.
Благодарности. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-00292 мол_а.
Acknowledgments. The reported study was financially supported by RFBR according to the research project No. 16-31-00292 мoл_a.
Библиографические ссылки
1. Artalejo J. R. A Classified Bibliography of Research on Retrial Queues // Progress in 1990-1999. 1999. Vol. 7, iss. 2. P. 187-211.
2. Artalejo J. R. Accessible Bibliography on Retrial Queues // Mathematical and Computer Modeling. 1999. Vol. 30, iss. 1-2. P. 1-6.
3. Artalejo J. R. Accessible Bibliography on Retrial Queues // Progress in 2000-2009 Mathematical and Computer Modeling. 2010. Vol. 51. P. 1071-1081.
4. Han D. H., Lee Y. W. MMPP, M/G/1 retrial queue with two classes of customers // Comm. kor. Math. Soc. 1996. Vol. 11. P. 481-493.
5. Kárász P., Farkas G. Exact solution for a two-type customers retrial system // Computers & Mathematics with Applications. 2005. Vol. 49, iss. 1. P. 95-102.
6. Avrachenkov K., Nain Ph., Yechiali U. A retrial system with two input streams and two orbit queues // Queueing Systems. 2014. Vol. 77, iss. 1. P. 1-31.
7. Avrachenkov K., Dudin A., Klimenok V. Queueing Model MMAP/M 2/1 with Two Orbits // Lecture Notes in Comput. Sci. 2010. 6235. P. 107-118.
8. Kalyanaraman R., Srinivasan B. A Single server retrial queue with Two types of calls and Recurrent repeated calls // International Journal of Information and Management Sciences. 2003. Vol. 14. P. 46-62.
9. Choi B. D., Choi K. B. and Lee Y. W. M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls and finite capacity // Queueing Systems. 1995. Vol. 19. P. 215-229.
10. Kalyanaraman R., Srinivasan B. A Retrial Queueing System with two Types of Calls and Geometric Loss // Information and Management Sciences. 2004. Vol. 15. P. 75-88.
11. Lee. Y. W. The M/G/1 feedback retrial queue with two types of Customers // Bulletin of the Koerean Mathematical Society. 2005. Vol. 42. P. 875-887.
12. Chakravarthy S. R., Dudin A. Analysis of a retrial queuing model with MAP arrivals and two types of customers // Mathematical and Computer Modelling. 2003. Vol. 37, iss. 3-4. P. 343-363.
13. Falin G. I., Artalejo J. R., Martin M. On the single retrial queue with priority customers // Queueing Systems. 1993. 14(3-4). P. 439-455.
14. Choi B. D., Chang Y. Single Server Retrial Queues with Priority Calls // Mathematical and Computer Modeling. 1999. Vol. 30. No. 3-4. P. 7-32.
15. Ayyappan G., Muthu Ganapathi A. and Sekar G. Article :M/M/1 Retrial Queuing System with Loss and
Feedback under Pre-Emptive Priority Service // International Journal of Computer Applications. 2010. № 2(6). P. 27-34.
16. Bocharov P. P., Pavlova O. I., Puzikova D. A. M| G| 1 |r retrial queueing systems with priority of primary customers // Mathematical and computer Modelling. 1999. Vol. 30, iss. 3-4. P. 89-98.
17. Nazarov A. A. and Chernikova Y. E. The accuracy of Gaussian approximations of probabilities distribution of states of the retrial queueing system with priority new customers // Information Technologies and mathematical modeling : 13th Intern. Scientific Conf., ITMM named after A. F. Terpugov. 2014. P. 325-333.
18. Назаров А. А., Моисеева С. П. Методы асимптотического анализа в теории массового обслуживания. Томск : Изд-во НТЛ, 2006. 112 c.
References
1. Artalejo J. R. A Classified Bibliography of Research on Retrial Queues. Progress in 1990-1999, 1999, Vol. 7, Iss. 2, P. 187-211.
2. Artalejo J. R. Accessible Bibliography on Retrial Queues. Mathematical and Computer Modeling, 1999, Vol. 30, Iss. 1-2, P. 1-6.
3. Artalejo J. R. Accessible Bibliography on Retrial Queues. Progress in 2000-2009 Mathematical and Computer Modeling, 2010, Vol. 51, P. 1071-1081.
4. Han D. H., Lee Y. W. MMPP, M/G/1 retrial queue with two classes of customers. Comm. kor. Math. Soc., 1996, Vol. 11, P. 481-493.
5. Kárász P., Farkas G. Exact solution for a two-type customers retrial system. Computers & Mathematics with Applications, 2005, Vol. 49, Iss. 1, P. 95-102.
6. Avrachenkov K., Nain P., Yechiali U. A retrial system with two input streams and two orbit queues. Queueing Systems, Springer Verlag, 2014, Vol. 77, Iss. 1, P. 1-31.
7. Avrachenkov K., Dudin A., Klimenok V. Queueing Model MMAP/M 2/1 with Two Orbits. Lecture Notes in Comput. Sci., 6235, 2010, P. 107- 118.
8. Kalyanaraman R., Srinivasan B. A Single server retrial queue with Two types of calls and Recurrent repeated calls. International Journal of Information and Management Sciences, 2003, Vol. 14, P. 46-62.
9. Choi B. D., Choi K. B., Lee Y. W. M/G/1 retrial queueing systems with two types of calls and finite capacity. Queueing Systems, 1995, Vol. 19, P. 215-229.
10. Kalyanaraman R., Srinivasan B. A Retrial Queueing System with two Types of Calls and Geometric Loss. Information and Management Sciences, 2004, Vol. 15, P. 75-88.
11. Lee Y. W. The M/G/1 feedback retrial queue with two types of Customers. Bulletin of the Koerean Mathematical Society, 2005, Vol. 42, P. 875-887.
12. Chakravarthy S. R., Dudin A. Analysis of a retrial queuing model with MAP arrivals and two types of customers. Mathematical and Computer Modelling, 2003, Vol. 37, Iss. 3-4, P. 343-363.
13. Falin G. I., Artalejo J. R., Martin M. On the single retrial queue with priority customers. Queueing Systems, 1993, 14(3-4), P. 439-455.
14. Choi B. D., Chang Y. Single Server Retrial Queues with Priority Calls. Mathematical and Computer Modeling, 1999, Vol. 30, No. 3-4, P. 7-32.
15. Ayyappan G., Muthu Ganapathi A., Sekar G. Article :M/M/1 Retrial Queuing System with Loss and Feedback under Pre-Emptive Priority Service. International Journal of Computer Applications 2(6): 27-34, June 2010. Published By Foundation of Computer Science.
16. Bocharov P. P., Pavlova O. I., Puzikova D. A. [M| G| 1 |r retrial queueing systems with priority of primary customers]. Mathematical and computer Modelling. 1999, Vol. 30, Iss. 3-4, P. 89-98.
17. Nazarov, A. A. and Chernikova, Y. E. The accuracy of Gaussian approximations of probabilities distribution of states of the retrial queueing system with priority new customers. 13th International scientific conference, ITMM named after A. F. Terpugov "Information Technologies and mathematical modeling", 2014, P. 325-333.
18. Nazarov A. A., Moiseeva S. P. Metody asimpto-ticheskogo analiza v teorii massovogo obsluzhivaniya [The Asymptotical Analysis Method in Queueing Theory]. Tomsk, NTL Publ., 2006, 112 p. (in Russ.).
© Назаров А. А., Измайлова Я. E., 2016
