Исследование регулярных и релаксационных колебаний осцилляторов Рэлея и Ван-дер-Поля Текст научной статьи по специальности «Математика»

Общая и прикладная механика Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 203-205

УДК 534.1

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕГУЛЯРНЫХ И РЕЛАКСАЦИОННЫХ КОЛЕБАНИЙ ОСЦИЛЛЯТОРОВ РЭЛЕЯ И ВАН-ДЕР-ПОЛЯ

© 2011 г. С.А. Кумакшев

Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва

kumak@ipmnet.ru

Поступила в редакцию 16.05.2011

Построены и исследованы периодические движения существенно нелинейных автоколебательных систем, описываемых уравнениями Рэлея и Ван-дер-Поля. На основе метода Ляпунова - Пуанкаре с помощью разработанного алгоритма ускоренной сходимости и процедуры продолжения по параметру вычислены период и начальная величина скорости системы, определяющие автоколебания осцилляторов для малых и умеренно больших значений коэффициентов обратной связи. С гарантированной относительной и абсолютной погрешностями также построены траектории и предельные циклы. Установлены качественные особенности автоколебаний, вызванные увеличением коэффициентов самовозбуждения; дано сопоставление осцилляторов. Приведено сравнение результатов численного исследования периодических решений уравнения Рэлея с известными решениями для квазилинейной постановки.

Ключевые слова: автоколебания, осциллятор Ван-дер-Поля, коэффициент самовозбуждения.

Рассматривается задача высокоточного построения предельных циклов и траекторий для уравнений Рэлея при умеренно больших значениях параметра задачи [1-7]:

2 *

X-в(1-X )X + X = 0, 0<8<8 , ...

8*10, х(0) = х (2Т), X (0) = Х(2Т).

Полупериод Т неизвестен и подлежит определению совместно с другими характеристиками автоколебаний. Построение единственного устойчивого периодического решения проводится на основе метода Ляпунова — Пуанкаре [4]. Проводится замена аргумента t на Т с целью явного выделения зависимости от неизвестной Т. В силу центральной симметрии, достаточно ограничиться рассмотрением задачи на полупе-риоде Ат = 0, где 0 > 0 — любое фиксированное число; удобно положить 0 = 1. В результате имеет место краевая задача

X-8Т (1 - Т-2;^2);^ + T2x=0, X = x(т, 8), x(0,8) = 0, ,г(0,8) = Ь, x(1,8) = 0, (2)

X(1,8) = -Ь, Т = Т(8), Ь = Ь(8), 0<т<1. Здесь и далее точками сверху обозначены производные по аргументу Т.

Изложим весьма кратко процедуру численно-аналитического решения задачи (2). Представим уравнение в стандартной форме Коши введением переменной скорости у = X. Кроме того, введем функции чувствительности (р, w), (д, г) — производные решения (X, у) по параметрам Т, Ь; получим соотношения (зависимость

неизвестных функций и параметров от £ для сокращения записи не указывается):

X = у, у = -Т 2 X + 8Т (1 - Т-2 у 2) у;

x(0) = x(1) = 0, у (0) = Ь, у (1) = -Ь,

р = д, д = -Т2р + 8Т(1 - 3Т-2у2)д,

р = дx / дЬ; р(0) = 0, д(0) = 1, (3)

W = г, г = -Т2w - 2Tx +

+ 8Т (1 - 3Т - 2 у 2) г + 8(1 + Т - 2 у 2) у,

w = дx / дТ, г = ду / дТ; w(0) = г(0) = 0.

Краевая задача для X, у формально не зависит от неизвестных р, д, w, г. После определения x(т), у(т), Т эти функции находятся интегрированием двух независимых линейных задач Коши второго порядка, см. (3).

Однако введенные функции чувствительности (р, w), (д, г), т.е. их значения при t = 1, позволяют уточнять недостающие значения параметров Т, Ь в итерационной процедуре ускоренной сходимости типа Ньютона на основе некоторых оценок Т0(£), Ь0(£). При достаточно малом £ > 0 можно взять значения, отвечающие нулевому приближению в методе возмущений: Т)(0) = п, Ь(0) = 2л/л/э, а(0) = 2/%/3. Последовательным увеличением параметра £ в сочетании с экстраполяцией величин Т(£), Ь(£), а(£) посредством быстросходящегося метода ускоренной сходимости [8] на основе высокоточного интегрирования задач Коши (3) могут быть построены периодические функции x(t, £), X(t, £)

и искомые величины Т( є), Ь(є), а (є) с требуемой относительной и абсолютной точностью для умеренно больших значений є: 0 < є < є0 -- 10...102.

Остальные характеристики колебаний определяются интегрированием задачи Коши.

На рис. 1 сплошными кривыми представлены полупериод колебаний Т и указанное значение скорости Ь как функции коэффициента самовозбуждения є, 0 < є < 10. Изложенный алгоритм позволяет проводить точные расчеты

2 3

для существенно больших є0 - 10 ...10 .

1

а)

-10 т 0

Рис. 2

є = 10

3 є = 1 5 10

0 —1 1 т

б)

качестве «естественного» аргумента взят параметр т = ґ/Т, 0 < т < 2, связанный с «собственным» периодом колебаний. При є < 1 предельные циклы «близки» к эллипсу с полуосями (Ь/Т, Ь), Ь = 2л/л/3. С увеличением є (є > 5) во втором и четвертом квадрантах наблюдаются резкие (типа угловых точек) повороты касательных к кривым (большая локальная кривизна), связанные с практически релейным изменением переменной у(т) (см. рис. 2б).

0 5 8

Рис. 1

Графики функций х(т), у(т) на интервале, равном полному периоду 0 < т < 2 (0 < ^ = 2Т в исходном времени), для характерных значений 8 изображены на рис. 2. Как отмечалось, эти функции удовлетворяют условию х(т - 1) = -х(т), у(т 1) = -у (т); поэтому можно ограничиться интервалом 0 < т < 1, т.е. 0 < ^ < Т. При 8 < 1 колебания х(т) «близки» к гармоническим, см. кривую для 8 = 1 на рис. 2а. Для 8 > 1 наблюдаются значительные резкие отклонения, особенно функция скорости у(т), см. рис. 2б, значительно отличается от косинусоиды. Начиная с 8 = 3, наблюдается релаксационный (по переменной у (т)) характер колебаний, который при 8 > 5 становится резко выраженным, см. рис. 2б.

Отмеченные свойства автоколебаний довольно наглядно проявляются на графиках рис. 3, изображающих предельные циклы на фазовой плоскости (х,у) для разных значений є. В

Решение уравнения Ван-дер-Поля получается дифференцированием по t уравнения (1) и переобозначениями \/3Х ^ x, л/Зх ^ x. Таким образом, предельный цикл (x(t), x(t)) - траектория на фазовой плоскости - для уравнения Ван-дер-Поля эквивалентен кривой >/3(x(t), x(t)) в задаче (1). Это приводит к дополнительной существенной неустойчивости расчетов при больших 8, в частности 8 - 10 (начиная с 8 - 5. Алгоритм вычислений для решения этого уравнения аналогичен вышеизложенному для осциллятора Рэлея.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 11-01-00472,11-01-00247, 09-01-00582) и по программе государственной поддержки научных школ НШ-64817.2010.1.

Список литературы

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

2. Блакьер О. Анализ нелинейных систем. М.: Мир, 1969. 400 с.

3. Мищенко Е.Ф., Розов Н.Х. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксационные колебания. М.: Наука, 1975. 247 с.

4. Малкин И.Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

5. Дородницын А.А. Асимптотическое решение уравнения Ван-дер-Поля // ПММ. 1947. Т. 11. Вып. 3. С. 313 -328.

6. Cartwright M.L. Van der Pol's equation for relaxation oscillations // Contribut. to Theory Nonlinear Oscillations. Ann. Math. Studies. 1952. N. 29. P. 3-18.

x

0

0

7. Krogdahl W.S. Numerical solutions of the Van Эффективное численно-аналитическое решение изо-

der Pol equation // Z. Angew. Math. Phys. 1960. V. 2, N 1. париметрических вариационных задач механики

P. 59-63. методом ускоренной сходимости // ПММ. 2002. Т. 66.

8. Акуленко Л.Д., Кумакшев С.А., Нестеров С.В. Вып. 5. C. 723-741.

INVESTIGATION OF REGULAR AND RELAXATION OSCILLATIONS IN THE RAYLEIGH

AND VAN DER POL OSCILLATORS

S.A. Kumakshev

Periodic motions of the essentially nonlinear self-oscillation systems governed by Rayleigh's and Van-der-Pol's equations are constructed and studied. On the basis of the Lyapunov - Poincare method combined with an accelerated convergence numerical method and continuation with respect to a parameter, the period and the initial velocity that correspond to selfsustained oscillations are calculated for small and moderately large values of the feedback gains. The phase trajectories and the limit cycles are constructed with a guaranteed accuracy. Qualitative features of the self-sustained oscillations that appear as the self-excitation coefficients increase are discovered. A comparison of the behavior of both oscillators is given. The results of the numerical analysis of periodic solutions of Rayleigh's equation are compared with the already available solutions in the quasi-linear approximation.

Keywords: nonlinear systems, self-sustained oscillations, Van-der-Pol oscillator, self-excitation coefficient.