Исследование переходных процессов‌ частотно-регулируемого синхронного электропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. Т. 59, № 6 (2016), с. 507-518 Епе^ейка. Ргос. QS Higher Educ. Inst. ада Power Eng. Assoc. V. 59, No 6 (2016), рр. 507-518 507

DOI: 10.21122/1029-7448-2016-59-6-507-518 УДК 621.31.83.52

Исследование переходных процессов частотно-регулируемого синхронного электропривода

Б. И. Фираго1), С. В. Александровский4

^Белорусский национальный технический университет (Минск, Республика Беларусь)

© Белорусский национальный технический университет, 2016 Belarusian National Technical University, 2016

Реферат. С целью улучшения энергетических показателей и упрощения системы частотного регулирования скорости расширяется область применения синхронных частотно-регулируемых электроприводов с независимым заданием частоты. Используются синхронные двигатели с электромагнитным возбуждением и возбуждением от постоянных магнитов в различных промышленных установках, включая грузоподъемные машины и механизмы. По сравнению с асинхронными частотно--регулируемыми электроприводами синхронные имеют меньшие потери мощности, жесткие механические характеристики без обратной связи по скорости, самый простой закон частотного управления - пропорциональный, который, однако, обеспечивает максимальный электромагнитный момент двигателя неизменным при всех частотах благодаря постоянному магнитному потоку. В статье рассмотрено аналитическое исследование переходных процессов синхронного электропривода с учетом влияния демпферной обмотки при линейном изменении частоты питающего напряжения в переходном процессе. В результате анализа получены формулы, позволяющие рассчитывать угловую скорость ротора и электромагнитный момент двигателя при пуске, торможении, набросе и сбросе нагрузки, оценивая качество переходного процесса и отслеживая максимальную величину электромагнитного момента, который не должен превышать допустимой величины. Подтверждение правильности разработанной методики расчета переходных процессов синхронного электропривода получено сопоставлением расчетов по формулам с результатами имитационного моделирования электропривода на основе синхронного двигателя типа СД3 13-34-6 мощностью 500 кВт и напряжением 6 кВ.

Ключевые слова: синхронный двигатель, частотное управление, демпферная обмотка, переходные процессы

Для цитирования: Фираго, Б. И. Исследование переходных процессов частотно-регулируемого синхронного электропривода / Б. И. Фираго, С. В. Александровский // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2016. Т. 59, N° 6. С. 507-518

The Study of Transient Processes of the Frequency-Regulated Synchronous Electric Drive

B. I. Firago1), S. V. Aleksandrovsky1)

1)Belarusian National Technical University (Minsk, Republic of Belarus)

Abstract. In order to improve the power indices and to simplify the system of frequency speed control the scope of application of synchronous variable-frequency electric drives with independent

Адрес для переписки Address for correspondence

Фираго Бронислав Иосифович Firago Bronislav I. Белорусский национальный технический университет Belarusian National Technical University

просп. Независимости, 65/11, 65/11 Nezavisimosty Ave.,

220013, г. Минск, Республика Беларусь 220013, Minsk, Republic of Belarus

Тел.: +375 17 293-95-61 Tel.: +375 17 293-95-61

eаpu@bntu.bu eаpu@bntu.bu

frequency setting is being expanded. The synchronous motors with electromagnetic excitation and permanent magnet excitation in various industrial settings, including load-lifting machines and mechanisms, are used. As compared with the asynchronous frequency-regulated electric drives the synchronous ones have lower power loss, harder mechanical characteristic without feedback for speed and the simplest law of frequency control, i. e., a proportional one that, however, provides the maximum electromagnetic torque of the motor constant at all frequencies, due to the constant magnetic flux. The article concerns an analytical study of transient processes of synchronous electric drive with consideration of the influence of damping winding when the motor supply voltage frequency varies linearly during the transient time. As a result of the analysis the formulas have been obtained that make it possible to calculate the angular velocity of the rotor and the electromagnetic torque of the motor at start-up, braking, and impingement and discharge of loads, evaluating the quality of the transition process and tracking the maximum value of the electromagnetic torque, that must not exceed the permissible value. Validation of the developed technique of calculation of transient processes of synchronous electric drive has been obtained by comparison of calculations according to the formulas with the simulation results of the electric drive on the basis of the synchronous motor of the SD3 13-34-6 type (power of 500 kW and voltage of 6 kV).

Keywords: synchronous motor, frequency control, damping winding, transients

For citation: Firago B. I., Aleksandrovsky S. V. (2016) The Study of Transient Processes of the Frequency-Regulated Synchronous Electric Drive. Energetika. Proc. CIS Higher Educ. Inst. and Power Egn. Assoc. 59 (6), 507-518 (in Russian)

Введение

В настоящее время электромеханические процессы частотно-регулируемого асинхронного электропривода достаточно хорошо изучены и отражены в технической литературе [1, 2]. В значительно меньшей степени это сделано для частотного регулирования синхронных двигателей (СД). В то же время наблюдается расширение области применения синхронных двигателей с постоянными магнитами (СДПМ) как для вентильных двигателей постоянного (БДПТ) и переменного (СДПМ) тока с зависимым частотным управлением (или, по-другому, с частотным регулированием с самосинхронизацией) [2-7], так и для частотного регулирования с независимым заданием частоты [8-10]. Поэтому представляет интерес рассмотреть переходные процессы синхронного электропривода при независимом задании частоты изменения питающего напряжения и наличии демпферной (пусковой) обмотки на роторе синхронного двигателя. Для возможности аналитического исследования переходных процессов синхронного электропривода линеаризована угловая характеристика СД и принят постоянным статический момент нагрузки. Из разнообразия законов плавного изменения частоты напряжения, а следовательно, угловой синхронной скорости СД в переходном процессе остановимся на линейном, который наиболее распространен на практике.

В статье представлен аналитический метод расчета переходных процессов синхронного электропривода с учетом влияния демпферной обмотки, расположенной на роторе. Сопоставление результатов аналитического расчета с результатами моделирования конкретного электропривода показывает правильность разработанной методики.

Структурная схема и математическая модель линеаризованного синхронного электропривода

При частотном управлении трехфазным СД при постоянном магнитном потоке максимальный синхронный момент можно записать в виде

м = Ъих (а) £1(а) ®о(а) Хы (а)

где

а = — = = (2)

н Ю1 Ш„

*/1ном 1ном Оном

а - относительная частота изменения питающего напряжения; /1, юь ю0 - текущие значения частоты, угловой частоты и синхронной угловой скорости ротора; /1ном, ®1ном, ®0ном - номинальные значения указанных выше величин; и1, Е1 - соответственно действующие значения фазного напряжения и ЭДС взаимоиндукции; - индуктивное сопротивление по продольной оси машины.

Если учесть, что ЭДС взаимоиндукции Е1, синхронная угловая скорость ю0 и индуктивное сопротивление Х1с1 по продольной оси линейно зависят от относительной частоты а:

Е1 = Е1нома; (3)

®0 = ®0 нома; (4)

= Xи НоИа, (5)

то, как следует из (1), максимальный синхронный момент СД будет сохраняться на номинальном уровне, равном

3и Е

л г _ 1 ном 1ном /¿Ч

син,т _ у ' V /

®0ном 1d ,ном

если фазное напряжение статора и1 изменять пропорционально относительной частоте а, т. е.

и = Ц нома. (7)

В (3)-(7) величины с индексом «ном» определены при номинальной частоте статора, т. е. при а = 1.

При линеаризации угловой характеристики СД синхронный электромагнитный момент пропорционален углу рассогласования 9 в положении осей вращающегося магнитного поля статора и магнитного поля ротора

Мсин = Мном 9 = 69, (8)

9

ном

где Ь - магнитная жесткость СД, обусловленная упругой связью ротора

М

с вращающимся магнитным полем, Ь = —.

9 ном

Магнитная жесткость СД аналогична упругой жесткости с в механической передаче при упругой угловой деформации Дф, которая создает упругий момент

Му = сДф.

Заметим, что магнитная и механическая жесткости имеют одинаковую размерность: Н-м/рад.

Угол рассогласования в положении магнитных осей статора и ротора, который еще называется углом нагрузки, определяется интегралом

0 = | (ю0 -ra)dt,

где ю0, ю - текущие значения угловой скорости магнитного поля и ротора СД.

При наличии демпферной обмотки на роторе СД в переходном процессе возникает асинхронный момент Мас, пропорциональный отклонению угловой скорости ротора ю от угловой скорости магнитного поля ю0:

Mac = в(<0 -Ю),

где Р - модуль жесткости линеаризованной механической характеристики, создаваемой демпферной (пусковой) обмоткой СД, в = ~~М^~; Mk, sk -

Ю0ном Sk

критический момент и критическое скольжение указанной линеаризованной механической характеристики.

Поскольку в рассматриваемом частотном управлении СД магнитный поток остается неизменным, то модуль жесткости в линеаризованной механической характеристики будет постоянным при всех частотах.

В переходном процессе суммарный момент синхронного двигателя будет состоять из суммы

M = Мсин + Mac = -f(< -ю)dt + в(<0 -ю). (9)

Добавляем к (9) уравнение движения электропривода

M - M с = J—, (10)

с dt

где J - момент инерции электропривода, который принимается постоянным; Мс - статический момент, также принимаемый неизменным. Запишем (9) и (10) в операторной форме:

m (p) = fp +к( p)-<(p)]; (11)

I p)

рю( p) = J-[M (p) - M c (p)]. (12)

Выражениям (11), (12) соответствует структурная схема на рис. 1.

Рис. 1. Структурная схема линеаризованного синхронного электропривода Fig. 1. Structural diagram of linearized synchronous electric drive

Исследуем переходный процесс синхронного электропривода при линейном изменении частоты f питающего напряжения, а следовательно, и линейном изменении угловой скорости магнитного поля

Ю0 =S0t + Ю0 нач ,

где s0 - задаваемое угловое ускорение магнитного поля; ю0нач - начальная угловая скорость магнитного поля.

Математическую модель рассматриваемого синхронного электропривода при принятых допущениях можно представить системой уравнений:

Ю0 = S0t + Ю0нач ;

M = ß(a0 -ю) + b j(ю0 -a)dt;

Tda

M - M = J-.

(13)

Аналитическое исследование переходных процессов частотно-регулируемого синхронного электропривода

На основании математической модели (13) можно получить дифференциальное уравнение для угловой скорости ю ротора синхронного двигателя

^ d 2ю da

Tmx-~T + т—- + ю = а + S0t,

(14)

J

ß.

где a = s0т + ю0нач = const; TM = —; т = —; ТМ, т - постоянные времени.

Р b

Преобразуя (14) с учетом (13), находим дифференциальное уравнение для электромагнитного момента синхронного двигателя

tmt

d 2M

dM

+M = M +M

дин,0'

(15)

где Мдин,0 - задаваемый динамический момент в переходном процессе,

Mдин,0 = JS0 .

Для дифференциальных уравнений (14) и (15) имеем одно характеристическое выражение

Гм тр2 + тр + 1 = 0 (16)

с корнями

*/т(т - 4)

Р1,2 -,

2т

где ^ _ —— - коэффициент затухания; т _ - отношение постоянных

2Тм Тм

времени.

При т < 4 получаем комплексно сопряженные корни

Р1,2 =-С± ^

где Ц, - резонансная частота колебаний,

« _ 7т(4 - т) _ 2т '

-С2;

1 ФМ

- собственная частота электромеханических колебаний синхронного электропривода.

Для дифференциального уравнения (14) можно записать общее решение в виде

ш_Шонач + (Ле7^ + Ье-]ар), (17)

где А, В - постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий:

_ 0) _Юнач;

ё ю

Мнач - Мс

нач *

í_0 1

Используем эти начальные условия для (17) и найдем постоянные интегрирования А и В, которые после подстановки в (17) и необходимых преобразований позволяют получить окончательное выражение для угловой скорости синхронного двигателя в переходном процессе

1

Ю=Ю0нач +S0t + e

<t

д» coS(ot)+5l"E™

-sin(Qpt)

, (18)

где Дюнач = ю0нач - юнач-

Для дифференциального уравнения (15) начальные условия будут следующими:

M (г _ 0) _ Mнач;

dM

dt

= Ь[т(в0 -Внач) -ДЮнач].

(19)

t =0

Используя (19) совместно с (14) для нахождения решения уравнения (15), после преобразований получаем выражение для электромагнитного момента синхронного двигателя в переходном процессе

M = м с + MдИН,0 + e^

(МНач - Мс - Мдин,0 )0os(Qpt)

С(Мнач - Мс - Мдин,0 ) +P(S0 -Внач ) + b Дю

-sin(Qt)

(20)

Далее исследуем пуск электропривода при наличии статического момента Мс > 0. Пусть ю0нач = 0, тогда

ю0 =В0t.

При M < Mc угловая скорость ю = 0 и электромагнитный момент двигателя изменяются по закону

M _ Рв0V + ¿80 _ ^^т + 2^. Из этого выражения при М = Мс находим время задержки движения

2 2Mc

t = -т + . т2 + - c

bsr,

Следовательно, при наличии статического момента время разгона электропривода разбивается на три этапа. Первый этап пуска электропривода определяется соотношениями: 0 < t < и; ю = 0; M < Mc

М = bsn11 т + —I.

Временные границы второго этапа находятся в пределах

< X < Хо ,

где Х0 - время линейного изменения угловой скорости ю0 магнитного поля при заданной величине углового ускорения в0 и конечном значении угло-

" Ю0 кон

вой скорости юокон магнитного поля, Х0 =-.

80

На втором этапе удобнее перенести начало отсчета времени на начало движения ротора, тогда новое время будет определяться выражением

X' = X - Хз,

при этом X' = Х0 — Хз, а временной интервал: 0 < X' < X '0.

Для второго этапа имеем начальные условия: Мнач = Мс; юнач = 0; внач = 0;

Аюнач = ю0нач(хГ) - ю = ю0нач(х) = 80Хз.

С учетом этих начальных условий из (18) получаем уравнение для угловой скорости ротора на втором этапе разгона

ю(/') = s0(? +1') - e

<f

sJ cos(QDi ')-

a D

Для электромагнитного момента двигателя на втором этапе разгона находим следующее уравнение:

М (X') = М с + МдИН,о —

- e

<f

Mднн,0 Oos(aDX') + "

С^дннп -bs0 (т+Хз ) .

a

sm(at')

В конце второго этапа разгона электропривода определяем значения:

• времени X' = х'0 = х0 - хз;

• угловой скорости ротора

<(¿0) = ю

0 кон

- e

S0tз cos(ad'0 )

S0(1 + Z )„;

a

sin(Qpt0)

(21)

■ электромагнитного момента

M (t0) = Mc + MдИН,0

- e

Мдин,0 cos(apt0 ) +-0-sln(QDt0)

(22)

Как следует из (21) и (22), в конце второго этапа разгона электропривода еще не наступает установившийся режим работы. Поэтому будет третий этап разгона, когда угловая скорость магнитного поля достигает своего конечного значения

<»(,(¿0) = Ю0кон = const,

но начальные условия для этого переходного процесса не нулевые.

В связи с тем что в конце второго и начале третьего этапа разгона заданное угловое ускорение магнитного поля s0 скачком изменяется от конечного до нулевого значения, формулы (18) и (20) уже нельзя использовать для дальнейшего анализа переходного процесса на третьем этапе разгона. В [2] приводится уравнение (10.210) для угловой скорости синхронного электродвигателя при ю0 = const и ненулевых начальных условиях, которым мы и воспользуемся. В этом уравнении обозначено

ЛЮ0 = ®0 - ®нач,

что для начальных условий третьего этапа соответствует выражению

Л®0 = ®Окон - юОУ-Принимая во внимание обозначение времени на третьем этапе как

t" = t - t0, 0 < t'' < (6*8)TM,

записываем уравнение угловой скорости синхронного двигателя на этом этапе разгона

®(t') = ® 0 кон -

Л„оcos(4t■)-П"(в-) + i>'o s,n(Qpf)

(23)

где 0нач, 0с - соответственно начальный и статический углы нагрузки синхронного двигателя для третьего этапа разгона.

С учетом того, что в конце второго этапа разгона можно принять

« 0 , так как ¿0 > 6ТМ, начальный угол нагрузки можно определить как

0 = — Мс + Мдин,0

нач Ь Ь ■

Тогда

0 _ 0 — Мдин,0

Ь

По указанной выше причине электромагнитный момент синхронного двигателя на третьем этапе разгона будет рассчитываться исходя из уравнения движения

М (Г) — М с + 3 . (24)

с Ж"

Взяв производную по времени от (23) и подставив в (24), после преобразований получаем уравнение для электромагнитного момента синхронного двигателя на третьем этапе разгона электропривода

M (t") = Mc + e<f

ЬЛю0 -ZM дин0

(MдИН,0 +РЛШ0 )cos(Qpt")--^^ sin(Qpt")

i2p

Торможение синхронного электропривода рассмотрим при линейном снижении частоты питающего напряжения с установившегося состояния, принимая во внимание начальные условия Аюнач = ®онач - ®нач = 0, так как

®нач = ®0нач; Мач = Мс, и соотношения Во < 0; Млин о = 3Во < 0.

При торможении угловая скорость магнитного поля уменьшается по линейному закону га0 = га0нач - , а начальное угловое ускорение

d ю

t=0

М нач - Мс = 0

J '

Используя эти данные в (18), находим выражение для угловой скорости двигателя

"р

Начальные условия переходного процесса при торможении электропривода с установившегося состояния, учтенные в (20), позволяют найти уравнение для электромагнитного момента двигателя

М = Мc - МдИН,0 + е

-St

Мдин,0 cos(Qpt) +-

ZMдин,0 -Р^0

sin(QDt)

Если Мс > |Мдин,0|, то при реактивном статическом моменте торможение электропривода заканчивается, когда скорость двигателя достигает нулевого значения.

Для иллюстрации теоретических исследований проведены расчеты по полученным формулам, результаты которых сопоставлены с результатами компьютерного моделирования электропривода с синхронным двигателем типа СД3 13-34-6 мощностью 500 кВт и напряжением 6000 В при коэффициенте инерции К = 4, относительном статическом моменте = 0,4 и времени линейного изменения угловой скорости магнитного поля ¿0 = 10 с (рис. 2), а также при набросе нагрузки от = 0,4 до = 1,0 (рис. 3).

b

А/, Н-м 8000,-

6000 4000 2000 0

-2000

-4000

t

Г

0

4

8 12 16 20 24 t, c

со, рад/с 120

100 80 60 40 20 0 -20

0

20 24 t, c

Рис. 2. Переходные процессы при разгоне и торможении синхронного двигателя типа СДЗ 13-34-6 при линейном изменении частоты питающего напряжения: а - электромагнитный момент; b - угловая скорость двигателя

Fig. 2. Transients during acceleration and braking of the synchronous motor of the SD3 13-34-6 type with a linear change of frequency of supplying voltage: a - electromagnetic torque; b - motor angular velocity

a

6000 M, Н-м 5000

105,0 ю, рад/с 104,5

104,0

1000

15,0 15,5

16,0

16,5 t, c 17,0

103,5

15,0 15,5

16,0

16,5 t, c 17,0

Рис. 3. Переходные процессы синхронного двигателя типа СДЗ 13-34-6 при набросе нагрузки от | = 0,4 до |c = 1,0: а - электромагнитный момент; b - угловая скорость двигателя; 1 - KJ = 4; 2 - KJ = 1,6

Fig. 3. Transients of the synchronous motor of the SD3 13 -34-6 type the type synchronous motor when impingement of loads from |c = 0.4 to |c = 1.0: а - electromagnetic torque; b - rotor angular velocity; 1 - factor of inertia KJ = 4; 2 - KJ = 1.6

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика аналитического расчета переходных процессов частотно-регулируемого синхронного электропривода при линейном изменении частоты напряжения и учете влияния демпферной обмотки.

2. Сопоставление результатов аналитического расчета с результатами имитационного моделирования электропривода с синхронным двигателем типа СД3 13-34-6 (мощность 500 кВт, напряжение 6 кВ) показало, что результаты совпадают.

b

а

ЛИТЕРАТУРА

1. Поздеев, А. Д. Электромагнитные и электромеханические процессы в частотно-регулируемых асинхронных электроприводах / А. Д. Поздеев. Чебоксары: Изд-во Чувашского ун-та, 1998. 172 с.

2. Фираго, Б. И. Регулируемые электроприводы переменного тока / Б. И. Фираго, Л. Б. Пав-лячик. Минск: Техноперспектива, 2006. 363 с.

3. Зиннер, Л. Я. Вентильные двигатели постоянного и переменного тока / Л. Я. Зиннер, А. И. Скороспешкин. М.: Энергоиздат, 1981. 136 с.

4. Овчинников, И. Е. Теория вентильных электрических двигателей / И. Е. Овчинников. Л.: Наука, 1985. 164 с.

5. Мохсен, А. Перспективный электропривод мостовых кранов / А. Мохсен // Електроме-хашчш системи, методи моделювання та ошимiзацu: зб. наук. праць VI Всеукрашсько! наук.-техн. конф. молодих учених i спещалютав. - Кременчук, КДПУ, 2008. С. 57-61.

6. Бешта, О. С. Обгрунтування доцшьносп використання синхронних двигунгв з постшни-ми магштами з вбудованими магштами / О. С. Бешта, О. В. Балахонцев, С. Г. Фурса // Вюник Кременчуцького державного ушверситету iменi Михайла Остроградського. 2010. № 4 (63), Ч. 2. С. 73-75.

7. Толочко, О. I. Особенности векторного керування синхронными двигунами при вра-хувант втрат у стат / О. I. Толочко, В. В. Божко // Електромехатчт i енергозберегаючl системи. Тем. вип.: Проблеми автоматизованого електропривода. Теорiя й практика. 2012. № 3 (19). С. 45-47.

8. Брускин, Д. Э. Электрические машины / Д. Э. Брускин, А. Е. Зорохович, В. С. Хвостов. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высш. шк., 1987. Ч. 2. 355 с.

9. Осин, И. Л. Электрические машины: синхронные машины / И. Л. Осин, Ю. Г. Шакарян. М.: Высш. шк., 1990. 304 с.

10. Jakubec, M. Energooszczednosc i Kompatybilnosc w Napedach Elektrycznych / М. Jakubec. Katowice, 2005. 134 р.

Поступила 21.06.2016 Подписана в печать 22.08.2016 Опубликована онлайн 29.11.2016

REFERENCES

1. Pozdeev A. D. (1998) Electromagnetic and Electromechanical Processes in Frequency Controlled Asynchronous Electric Motor Drives. Cheboksary: Chuvash University Publ. 172 (in Russian).

2. Firago B. I., Pawlaczyk L. B. (2006) Regulated Alternative Current Electric Drives. Minsk, Technoperspectiva Publ. 363 (in Russian).

3. Zinner L. Ya., Skorospeshkin A. I. (1981) DC and AC Valve Motors. Moscow, Energoizdat Publ. 136 (in Russian).

4. Ovchinnikov I. E. (1985) Theory of Valve Electric Motors. Leningrad, Nauka. 164 (in Russian).

5. Mohsen A. (2008) Promising Electrical Drive for Bridge Cranes. Elektromekhanichni Sistemi, Metody Modeliuvannia ta Optimizatsii. Zbirnik Naukovikh Prats VI Vseukrainskoi Naukovo-Tekhnichnoi Konferentsii Molodikh Uchenikh i Spetsialistiv [Electromechanical Systems, Modeling and Optimization Methods. Conference Proceedings of the VI Science and Technical Conference of Beginners in Science and Industry]. Kremenchuk, KPSU, 57-61 (in Russian).

6. Beshta A. S., Balahontsev A. V., Fursa S. G. (2010) Ground of Expedience of the Use of Synchronous Engines with Permanent Magnets with Built-In Magnets. Visnik Kremenchutskogo Derzhavnogo Universitetu Imeni Mikhaila Ostrogradskogo [Transactions of Kremenchuk Mykhaylo Ostrogradskiy State University], (63) 4, part 2, 73-75 (in Ukrainian).

7. Tolochko O. I., Bozhko V. V. (2012) Features of Permanent Magnet Synchronous Motor Vector Control Taking into Account Core Losses. Elektromekhanichni i Energozberegaiuchi Sistemi. Tematichnii Vipusk "Problemi Avtomatizovanogo Elektroprivoda. Teoriia i Praktika" [Electromechanical and Energy Saving System. Thematic issue "Problems of Automated Electric Drive: Theory and Applications"], 19 (3), 45-47 (in Ukrainian).

8. Bruskin D. E., Zorochovich A. E., Hvostov V. S. (1987) Electric Machines. Part 2. Moscow, Vysshaya Shkola. 355 (in Russian).

9. Osin I. L., Shakarian Yu. G. (1990) Electric Machines: Synchronous Machines. Moscow, Vysshaya Shkola. 304 (in Russian).

10. Jakubec M. (2005) Energooszczednosc i Kompatybilnosc w Napedach Elektrycznych [Energy Saving and Compatibility in Electrical Drives]. Katowice, Komel. 134 (in Polish).

Recеived: 21 June 2016 Accepted: 22 August 2016 Published online: 29 November 2016