CC BY
80
УДК 621.81:539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ПЛАСТИНЕ, ОСЛАБЛЕННОЙ КОНЦЕНТРАТОРОМ НАПРЯЖЕНИЙ
П.В. ДОРОДОВ, кандидат технических наук, зав. кафедрой
И.Г. ПОСПЕЛОВА, кандидат технических наук, доцент
Ижевская ГСХА
E-mail: pvd80@mail.ru
Резюме. Статья посвящена исследованию напряжений возле горизонтального выреза в конструктивных элементах сельскохозяйственных машин. Несмотря на простой вид сопротивления всей детали, в зонах с нарушенной геометрией возникает сложное напряженное состояние с высоким коэффициентом концентрации напряжений, что приводит к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, то есть к потере работоспособности всей детали. Решение представлено на примере плоской прямоугольной пластины с горизонтальным вырезом посередине, на продольные кромки которой действует сжимающая нагрузка. Получены аналитические выражения для определения напряжений в виде бесконечных тригонометрических рядов. Проведена их статическая проверка. Показана эпюра главных напряжений в сотом приближении, построенная при помощи пакета программ Maple, для модели пластины размерами 50x44x6 с вырезом длиной 5 мм и высотой 1 мм. Совмещение линий действия максимальных главных напряжений и трещин, образующихся при разрушении модели пластины из алебастра, показало, что математическая модель адекватно описывает состояние в области зон с высокой концентрацией напряжений и может применяться при проектировании ответственных узлов и деталей сельскохозяйственных машин и механизмов, отвечающих требованиям динамической и статической прочности. Так, для исследуемого образца предлагается увеличить его толщину по линиям действия наибольших сдвиговых деформаций в 1,92 раза.
Ключевые слова: горизонтальный вырез, развитие трещин, прочность, напряжение, ряд Фурье, концентратор напряжений.
Часто рабочие органы и детали сельскохозяйственных машин имеют ослабляющие их технологические вырезы [1, 2]. Под действием внешних нагрузок возле краев таких вырезов возникает значительная концентрация напряжений, приводящая к возникновению трещин или больших остаточных деформаций, что недопустимо.
Разработка теоретических методов исследования - актуальная задача механики деформируемых тел, так как аналитическое решение позволяет давать рекомендации при проектировании новых деталей [3].
Цель наших исследований - разработка теоретического метода исследования напряженного состояния возле концентраторов напряжений.
Условия, материалы и методы. Примером плоской задачи может служить прямоугольная пластина с горизонтальным вырезом, нагруженная внешней нагрузкой q (рис. 1, а). Так как задача симметрична, поэтому представим решение только для нижней половины пластины, совместив координатные ее оси с центром тяжести (рис. 1, б).
Нормальные напряжения а0, а0 на линии сопряже-
х У
ния, разделяющей пластину на две половины, определяются по следующим зависимостям [4]:
Рис. 1. Расчетная схема прямоугольной пластины с горизонтальным вырезом: : ц - внешняя распределенная нагрузка; 4с - высота пластины; 21 - ширина пластины; 2а - длина горизонтального выреза; а°, а° - нормальные напряжения на линии сопряжения, разделяющей пластину на две половины:
о! 00=*
<(*)=О,
/ + а 1
l-a
1_i
a
T^a
l + a 1
l-a V l-a
(1)
где
2h
\2
h + jh2 + 8ah
2h - высота выреза:
т^, - касательное напряжение на линии сопряжения, которое из условий симметрии отсутствует.
Для определения напряжений в плоскости ху функцию напряжений представим в виде тригонометрического ряда, предложенного Рибьером [5].
' = Щу)СosM
Представим их и нагрузку q в виде сумм:
где Х=пт/1; п - любое целое число; fn(у) - функция только координаты у.
В этом случае напряжения определяются:
= -£ V[Clnch(Xy)+ C2nsh(Xy)+ С1Пу-ch(Xy)+
П=1
С4„у- cos (Хх),
= ¿ [С1лА.2сЛ(Яу)+ Q„A.2sft(\y)+ Q„X,(2sft(*.y)+\y- cft(\y))+
Ct„X (2ch (Ху)+ Xysh (Я,у)) cos (А,*), = Х IC^sh (Ху)+ C2^ch (Ху)+ С,J, (ch (Ху)+ Xz ■ sh (Xy))+
J7=l
C,„X (sh (A, y)+Xy■ ch(k y)) sin (X *). где С (/=1, 2, 3, 4; n=1, 2,..., да) - постоянные.
(2)
Экспериментальную проверку методики проводили на образце прямоугольной пластины, изготовленной из строительного гипса, с горизонтальным вырезом и установленной между опорными плитами лабораторной машины МР-0,5-1 для испытания на сжатие. Размеры образца: 21=50 мм, 4с=44 мм, толщина 6 мм. Длина выреза 2а=5 мм, высота - 2h=1 мм.
Расчеты и построения осуществляли в среде программы Maple в сотом приближении тригонометрических рядов.
Результаты и обсуждение. Напряжения на линии сопряжения и на нижней кромке разложим в ряды Фурье:
< = А + ЁА, cos(Хх), о» = е0 + XВ„ cos(Хх),
Л=1 П=1
<7 = D0+XD„COS(A,X),
где
1'г
А, = )Ja' (x)dx = q; An = J¡c°y (x)cos(Xx)dx (XI,Xa},
a ' 0 '
So = yk(x)dx = T> B"= lk(^cos(Xx)dx = fe (XI,Xa);
где интегралы /
w
l-a
1+3 'i_(V2 /_a
cos(A,x)dx,
'W
l-a
l + a
/-a
cos (A.x)dx,
представляют собой функции Бесселя, D0 = q, D
= 0
переписать
Окончательно ряды для напряжений а0у, а°х, можно
гг° q
У=1
«» q
l + 2^ln(XI,Xa)cos(Xx)
. П=1 ,
а + l'„ (Д Xa)cos (Хх)
= yl /2'
<7 = Qi + Q2,
где
<,=А, = <7. <2 = ¿^cos(A,X),
л=1 .
<=B0=qj,
аа22=±Вп cos (Хх),
Q, = D0 = g,
Dncos(Xx)=0.
Для определения постоянных Спп составим граничные условия на нижней и верхней кромках пластины (см. рис. 1 б):
= -о
у2'
= Я2 = 0.
Т*у + =0-
лу I у=±с
Откуда
_An sh(Xc)+Xc ch(Xc) " X2' sh(2Xc)+2Xc Д, ch(Xc)+Xcsh(Xc) , . 2П"Г' sh(2Xc)-2Xc
ch (А,с)
С
3n A. s/?(2^c)-2^.c
sh(Xc)
= А/з„М,
= АЛ„ (^.с),
С — 4П Я, s/?(2A.c)+2A,c
где
, \ 1 S/J(A,c)+A,C-C/J(A,C) ' М- ^ sh(2Xc)+2Xc '
. 1 ch(kc)+Xcsh(X.c) hn JJ sh(2Xc)-2Xc •
f íXcV-i
зД' > X sh(2Xc)-2Xc'
A, s/7 (2A,c)+ 2Яс
При определении Сп на кромках пластины не учитывалось влияние напряжений ах, поэтому составим новые граничные условия:
а*2\у=+с = -°Х2>1
Ох2и=0, } т I =0.
*у\у=±с
Получим новые постоянные: __Достижения науки и техники АПК, №8-2013
В^ sh(Xc)+Xcch(Xc) ln~X2' sh(2Xc)+2Xc B^ ch(Xc)+Xc-sh(Xc) sh (2Ä,c)- 2Xc c. =_Bin_ ch (Xc)
X sh(2Xc)-2Xc sh (Xc)
= Bnf4n(^c).
X sh(2Xc)+2Xc
Окончательно выражения (2) при сжатии пластины примут вид:
оу=а°у1+ау2 = - q + ^X2[Clnch(Xy)+C2nsh(Xy)+
V п=1
+ С3„у • ch (X у)+С4пу • sfi (X у)] cos (Хх)
Gx = Gxl+Gx2 =-
- (Q7-1 (Xy)+ c;nx2sh (xyy
' /7=1
(3)
1+
+ C¡nX (2sh (Xy)+ Xy • ch (Xy))+ C*AnX (2 ch (Xy)+ + Xy■ sh (Xy))] cos(Xx)),
Txy = ±[ClnX2sh(Xy)+ C2nX2ch(Xy)+ С,пХ(сЬ(Ху)
/7=1
+ Xy- sh(Xy))+ C4nX(sh(Xy)+ Xy- ch(Xy))sin(Xx). (нагрузка q входит в постоянные Cn через An) Так как в формуле (3) стоят другие постоянные, необходимо проверить условие равновесия, которое без учета объемных сил имеет вид [5]: Эо„ Эт„
= 0,
Эх Эу Эт
= 0.
(4)
Эх Эу
С учетом того, что проверка обоих выражений в (4) свидетельствует об их тождественном выполнении:
+ 11п (X, с)Х2$Ь(Ху)+ (X, с)Х (Ху)+ Ху- сЛ(Ху))+ + (X, с)Х (2 М(Ху)+ Ху ■ 5/?(Ху))}8т (Хх).
Рис. 2. Образец прямоугольной пластины с горизонтальным вырезом.
Рис. 3. Эпюра главных напряжений а2 в долях от ц (а) и ее линии максимумов (б).
Сумма в фигурных скобках при любом п остается конечной величиной, поэтому достаточно проанализировать выражение
/7=1 I Л=1 V V '
= 0.
Таким образом, условия равновесия (4) выполняются.
Главные и максимальные касательные напряжения определяем по известным формулам [6]:
О +G
О -О
+ х1
Известно [7], что наибольшие разрушения (трещины или пластичные зоны) накапливаются в направлении одного из главных напряжений. При сжатии это будут а2. По этим линиям развиваются трещины в хрупком материале при статических испытаниях и усталостные трещины в пластичном материале при циклическом нагружении.
Таким образом, линии по которым будут накапливаться наибольшие разрушения можно построить по необходимым условиям экстремума функции а2, то есть
^ = 0, ^ = 0. Эх Эу
(5)
Линии, соответствующие о2 ->тт , можно легко исключить, если построить эпюру а2.
Часто необходимо знать величину главных напряжений на определенной глубине пластины, тогда условие (5) упрощается и сводится лишь к выражению
на рис. 3. Эпюра построена в серединной плоскости нижней половина пластины. Совмещение линий максимумов главных напряжений с трещинами, возникшими при сжатии пластины мы установили, что трещина появилась только у правого конца выреза. Очевидно, это связано с неравномерным распределением пор в структуре материала модели пластины, а также с тем, что машина МР-0,5-1 не позволяет идеально нагрузить модель по центру. Однако расстояние между правой линией максимумов главных напряжений и образовавшейся трещиной не превышает 1 мм (рис. 4).
Теоретический коэффициент концентрации напряжений в исследуемом образце составляет 3,7 [4]. Для того, чтобы он стал равен единице, необходимо увеличить толщину образца у краев выреза и по направлению линий максимумов главных напряжений в 1,92 раза.
Выводы. Таким образом, разработана методика расчета напряжений в зонах с их высокой концентрацией. Знание теоретических траекторий развития трещин (или наибольших пластических деформаций) в зонах с резким нарушением геометрии дает возможность при проектировании новых деталей повысить их прочность, например, путем увеличения толщины или податливости пластины.
Литература.
1. Максимов Л.М., Максимов П.Л., Максимов Л.Л. Полезные реализованные изобретения по устройствам для уборки корнеклубнеплодов: (техн. решения, расчет, конструкции): Монография. - Ижевск: Изд-во «КнигоГрад», 2009. - 136 с.
2. Максимов Л.М., Максимов П.Л., Потапов М.А., Струнов А.К. Комбайн из копателя КСТ-1,4 // Сельский механизатор. -2013.-№ 3. - С. 10-13.
3. Особов В.И. Механическая технология кормов. - М.: Колос, 2009. - 344 с.
4. Дородов П.В., Кулагин А.В. Исследование напряжений в окрестности плоского горизонтального выреза//Инженерный вестник Дона [Электронный ресурс].-2012. - №2. - Режим доступа: http://www.ivdon.ru/
5. Демидов С.П. Теория упругости: Учебник для вузов. - М.: Высш. школа, 1979. - 432 с.
6. Степин П.А. Сопротивление материалов. - СПб.: Лань, 2012. - 320 с.
7. Тихомиров В.М., Суровин П.Г. Развитие усталостных трещин смешанного типа в образцах из стали // Прикладная механика и техническая физика. - 2004. - Т.2. - №2. - С. 135-142.
THE STUDY OF STRESS CONDITION IN A PLATE DEPRESSED BY STRESS CONCENTRATOR P.V. Dorodov, I.G. Pospelova
Summary. The research of stresses near horizontal cutout in structural components of agricultural machinery is submitted in the article. Despite resistance of the component to look simple there is a combined stress with high stress concentration factor in areas with broken shape, it causes crack initiation or permanent deformation that means loss of functionality of the whole component. Solution is demonstrated with an example of flat square plate with horizontal cutout in the middle, while compressive load acts on tips of the plate. Formulas for assessment of stresses were obtained as infinite trigonometric series. Static test was done. There represented a distribution diagram of main stresses to a hundredth approximation constructed by the Maple software package for a model of 50x44x6 plate with 5 mm long and 1 mm deep cutout. Superposition of maximum main stresses lines and cracks formed during destruction of alabaster plate model has shown that mathematical model sufficiently describes stressed state in areas with high stress concentration and can be applied while designing of critical units and parts of agricultural machinery complying dynamic and static strength requirements. Thus, for the given model, it is offered to increase its thickness on the lines of action of maximum shear deformation 1,92 times. Keywords: horizontal cutout, propagation of cracking, strength, stress, Fourier series, stress concentrator.
Рис. 4. Совмещение трещин, полученных при сжатии образца с горизонтальным вырезом и линий максимумов главных напряжений.
Эо2
= 0
Эпюра главных напряжений а2 и ее линии максимумов для нижней половины полосы изображены
УДК 631.372.004.14
ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ГУСЕНИЧНОГО ТРАКТОРА ДВОЙНОГО НАЗНАЧЕНИЯ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ ЗАДАННОГО РЕСУРСА ХОДОВОГО АППАРАТА
Е.И. БЕРДОВ, кандидат технических наук, доцент В.А. АЛЯБЬЕВ, аспирант Челябинская ГАА E-mail: BerdovEugene@yandex.ru
Резюме. Применение в сельском хозяйстве гусеничных тракторов двойного назначения (ТДН) даёт возможность повысить эффективность и качество использования машины благодаря лучшим, в сравнении с колёсными аналогами, тягово-сцепным, топливо-экономическим и экологическим
