Исследование конусной оптимальности в многокритериальной динамической задаче Текст научной статьи по специальности «Математика»

современные, более скоростные АЦП можно дополнительно повысить точность. Анализ нашей аппаратуры показал, что основным источником ошибок являются шумы на входе платы сбора информации Е-440.

В результате выполненной работы по совершенствованию аппаратных средств были разработаны и изготовлены схемы системы управления ионозондом (управляемые через шину PCI). В новой системе управления использованы современные цифровые синусосинтезирующие микросхемы, обеспечивающие скорость и надежность работы. Основная часть управляющей схемы, в т. ч. и PCI-порты, размещена в микросхеме СБИС ПЛ путем конфигурации последней с помощью САПР. Кроме повышения надежности это дает возможность смены схемы блока управления без проведения каких-либо работ по перепайке элементов.

Система, позволяет реализовать не только обычное зондирование, но и методику повышения точности определения действующей высоты методом наибольшего правдоподобия в спектральной области. На тестовом сигнале достигнута точность 197 м, которая не является предельной, если применять более быстродействующие АЦП. Предлагаемый вариант определения временных задержек с повышенной точностью на основе метода наибольшего правдоподобия может быть использован на любой аппаратуре, измеряющей временные задержки.

Система управления ионозондом «Циклон» тестировалась на протяжении двух месяцев. Все спроектированные блоки и схемы показали свою работоспособность. Система работает в круглосуточном автоматическом режиме в течении 8 месяцев. Ежеминутно снимаются высотно-частотные характеристики ионосферы или ионограммы, пример одной из которых приведен на рис. 6.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Akchurin, A.D. Improved precision of virtual height measurements with coherent radio pulse sounding based on the maximum likelihood method [Текст]/ A.D. Akchurin, V.V. Bochkarev, E.Yu. Ryabchenko [et al.]//Advance in Space Research.-2009 (doi:10.1016/j. asr.2008.07.020)

2. Акчурин, А.Д. Повышение высотного раз-

решения импульсного ионозонда при зондировании когерентными импульсными сигналами [Текст]/ А.Д. Акчурин, В.В. Бочкарев//Ученые записки КГУ -2008.-Т. 150.-Кн.3.-С.5-12.

3. Техническое описание микросхемы А09851 [Электронный ресурс] http://www.analog.com/static/ imported-files/data_sheets/АD9851.pdf)

УДК 519.8

В.А. Матвеев

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНУСНОЙ ОПТИМАЛЬНОСТИ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ

В сложных технических, производственных, социально-экономических и других системах крайне важным является выработка алгоритма последовательного или позиционного принятия решений. Любые методы, которые помогают человеку лучше понять, как меняются его предпочтения и доступные ресурсы в процессе функционирования системы, являются полезными, а иногда - и просто неоценимыми. Но в большинстве задач управления представлены «мгновен-

ные, статические» конфликтные проблемы [1, с. 81-140]. В них не учитывается изменение объекта управления с течением времени. Это относится и к многокритериальным задачам. Однако в большинстве реальных задач с течением времени изменяется и сама управляемая система и предпочтения ЛПР (лица, принимающего решение), ибо «все течет, все движется и ничего не остается неизменным» [2, с. 214-219]. Процессы, в которых учитываются изменения, связанные с возрастани-

ем времени, называют «динамическими».

Пусть задана линейно-квадратичная, динамическая т - критериальная задача:

г = ( 2 , и, V())1Ш >. (1)

Аналогичная задача рассматривалась в [3, с. 215-232]. Здесь М = {1, ..., т} множество критериев ЛПР. В задаче Г динамика управляемой динамической системы X описывается системой п линейных дифференциальных уравнений и начальными условиями:

х = А(г) х + В(г)и, (2)

х(0 = х0. (3)

Элементы квадратной матрицы А (г), порядка п, предполагаются непрерывными функциями на отрезке времени [?0, В], т. е. А(г) е СШп [г0, &]. Матрица В (г) е Спхк[г0,В]. Здесь 0 < t0 <В -фиксированные моменты начала и окончания процесса. Текущее состояние системы X, в каждый момент времени ге [г0, В], характеризуется фазовым вектором х = (х ..., хп)еЯ". Этот вектор зависит от времени, т. е. х(г) = (х1(г), ..., х()) и представляет всю информацию, которой располагает ЛПР в момент ге [г0, В]. Задана начальная позиция (г0, х0)е [0, В] х Я".

В (2)-(3) представлено изменение вектора состояния х = (х1, ..., хп) е Я" под воздействием управления и = и(г, х). Дифференциальное уравнение (2) предъявляет определенные требования к «функциональной природе» управлений. Управляющее воздействие отождествляется с вектор-функцией и(г, х) = Q(t)x где элементы к х п матрицы Q(t) предполагаются непрерывными для ге [г0, В]. Множество его стратегий:

(4)

В управляемой системе X используется управление по принципу обратной связи, т. е. управление, зависящее от ситуации (г, х) е [г0, В] х Я". В то же время применяется наиболее простой вид таких стратегий - линейных по фазовому вектору и непрерывных по времени. «Математические» и «инженерные» причины такого выбора управлений подробно представлены в литературе [2, с. 247-252; 3, с.10].

Управляемый процесс реализуется следующим образом. Вначале ЛПР выбирает и использует позиционное управление и = Q(t)xе и. Согласно (4), выбор управления сводится к

выбору конкретной функциональной матрицы Q(t)е Скхп[г0, В]. При таком выборе (2) превращается в систему линейных однородных дифференциальных уравнений. При заданном начальном условии (3) такая система имеет [4, с. 21-24] единственное, непрерывно дифференцируемое решение х*(г), продолжимое на весь интервал [г0, В]. Затем, с помощью найденного решения х*(0 е С[г0, В] выявляется реализация управления и* = Q(t)x*(t).

На наборах (х*(0, и (г, х(г))) определены т критериев, заданные квадратичными функционалами:

7(. (и, г0,х0) = хт (д)С, +

т (5)

+ ге М.

Здесь С., D 1еМ - постоянные квадратные симметричные матрицы порядка п и к соответственно; Т здесь и далее означает транспонирование. Слагаемое ^ иТ(г, х(г)^ и(г, х(г))Л называется интегральным, а хТ(В)С х(В) - терминальным слагаемым критерия V(и, г0, х0), е

На содержательном уровне, цель ЛПР - выбор такого управления и(г, х) е и, при котором все критерии V (и (г, х), (г0, х0), 1е М, принимают возможно большие значения. Учитывая (2)-(5), задача (1) называется линейно-квадратичной, динамической т-критериальной задачей.

Многокритериальная задача (1) - задача с неполной информацией по сравнению со стандартной задачей математического программирования. Неопределенность связана с векторным критерием, т. е. с отсутствием единого целевого функционала. Неопределенность можно сокращать или даже снимать, используя дополнительную информацию.

Обычно решением многокритериальной задачи (1) считают оптимальное по Парето решение, как это показано в [5, с. 29]. Такие решения входят в класс оптимальных по конусу решений. Среди последних решений можно проводить процедуру уточнения, как это определено в [6, с. 172-175]. Такая процедура позволяет существенно сократить множество претендентов на наилучшее (оптимальное) управление или даже выделить единственное уточненное по конусу управление.

Один из возможных подходов связан с использованием экспертных оценок. От экспертов следует получать информацию об относительной важности критериев. Каждому критерию

М = {1, ..., т} эксперт ставит в соответствие неотрицательное число - весовой коэффициент, указывающий важность критерия относительно других критериев. Таким образом, эксперт формирует вектор весовых коэффициентов для всех т критериев. Пусть сформировано т таких векторов, составленных из весовых коэффициентов. Они составляют квадратную матрицу А, у которой г-я строка определяется г-м экспертом. Матрица А является матрицей отношений экспертов к критериям в задаче (1). Такая матрица задает (полиэдральный) конус доминирования, аналогично [6, с. 170], в критериальном пространстве Ят.

В качестве оптимального решения динамической многокритериальной задачи (1) будем рассматривать уточненное по последовательности конусов (по последовательности матриц) управление, представленное по аналогии с определением 2 для «статической задачи» в [6, с. 172]. Последовательность конусов, реализующая процесс уточнения решения, задается степенями матрицы А . По аналогичной схеме уточняется решение и по последовательности для различных конусов. Здесь важно существование предельного конуса. Условия существования уточненного по последовательности конусов оптимального решения в многокритериальной задаче в «статическом» случае установлено в [6, с. 172].

Сформулируем достаточные условия существования уточненного по последовательности конусов оптимального управления в многокритериальной, динамической задаче (1). Для этого рассмотрим вспомогательную динамическую задачу

Га =( Е, и, ра(«Л,*о) ), (6)

которая отличается от многокритериальной задачи (1) только скалярным критерием

ра(м,г0,х0) = 1™1а!/,(и,г0,х0) =

+ £Г=1 $ / (г, х(0 )Л = (7)

= хТ (^)С(а)л(1&) + ^ и (*, х(0)£>(а)к(*, х(0)<Й,

где О (и, ?0, х0), г е М, из (5); вектор а=(а1, ..., ат) е Ят; С = С(а) = Ё^аС,; D = D(а) = Е™=1 а,Dl .

Утверждение 1. Пусть матрица А е Я отно-

* ^ А тУт

шений экспертов к критериям в задаче (1) является неотрицательной, невырожденной, неразложимой, стохастической. Вектор ат = (а1, а2, ..., ат), Ё аг = 1, аг > 0, есть левый собственный вектор,

относящийся к максимальному собственному значению, и этот вектор а е Я^ (1, 2) определяет скалярный критерий (7) в динамической задаче (6). Тогда оптимальное управление в задаче (6) является уточненным по последовательности конусов решением многокритериальной задачи (1).

Рассмотрим матрицу А е Ятхт отношений экспертов к критериям в задаче (1). Не уменьшая общности, считаем ее стохастической. Для такой матрицы на основании утверждения 5 из [6, с. 173] существует предельная матрица и все ее

т

строки равны ат = (о, а . .,., ат), Ёаг = 1, аг > 0.

г=1

По аналогии с определением 2 из [6, с. 172], уточненным по последовательности конусов решением, определенным матрицей А е Ятхт, является управление и* = Q*(t)x*(t) такое, что

тахиеи ра(и,г0,х0) = тахиес/ Ем а,/(,) (м,Г0,х0) = = ПШХмеС/ (!£, ЩХТ (Ъ)С,х(Ъ) + Со » С. х(г)Щи(1, х(О)Л)= = тахиеи (ХТ (£)С(а)х(£) +

+ и\г, х(г))£)(а)и(?, х(0)Л)=

(8)

= х*т(д)С(ос)хЧ^) + +1® и*т(Г, х*(0)£>(а)и*(^, х* (Г))Л= =Еы а,/(0 (и\10,х0)= ра(иу0,х0).

Приведенные равенства есть определение максимума функционала ра(и, (0, х0) на допустимых управлениях и = Q(t)x(t) в задаче (6), что и доказывает утверждение.

При изучении многокритериальной позиционной линейно-квадратичной динамической задачи (1) будем рассматривать квадратичные формы и соответствующие матрицы. В частности, выделим знакоопределенные квадратичные формы (матрицы) [7, с. 276]. Матрица С(а) называется положительно (отрицательно, неотрицательно, неположительно) определённой, если Ух е Я" верно неравенство хтС(а)х > 0 (хаС(а)х < 0, хтС(а)х > 0, хтС(а)х < 0) и это будет обозначаться С(а) > 0 (С(а) < 0, С(а) > 0, С(а) < 0).

На основании утверждения 1 получим условия существования уточненного по последовательности конусов управления в многокритериальной динамической задаче. Эти условия можно сформулировать с помощью подходящей модификации метода динамического программирования [3, с. 215-231].

Рассмотрим матрицу А е Ятхт отношений экспертов к критериям в задаче (1). Ее можно считать стохастической. Для такой матрицы на

1=1

основании утверждения 5 из [6, с. 173] существует предельная матрица и все ее строки равны аТ =

т

(<хр а2, ..., ат), Еа. = 1, а. > 0. С помощью набора чисел а определяются матрицы С(а), D(а) из (8).

Утверждение 2. Рассматривается линейно-квадратичная, динамическая т - критериальная задача (1). Пусть для матрицы А е Ятхт отношений экспертов к критериям в задаче (1) левый собственный вектор таков, что соответствующие матрицы:

С = С(а) = < 0,

(9)

Тогда в задаче (1) при любом выборе начальной позиции (г х0) е [г0, В) х Я" существует уточненная по последовательности конусов с матрицей А оптимальная стратегия и е и из (4), и эта стратегия имеет вид

и* = и (г, х) = -^(а) ■ вТ(г) ■ 0(г) ■ х, (10)

где 0(г), 0 < г < В - решение матричного уравнения типа Риккати

dW dI 9V n . —— = Bl — + Du = 0, ou ox

e+AT(t)-e + Q-A(t)-

- 0 • B(t) ■ D~l (a) BT (t) Q = 0„

..... (11) 0(А) = -2С(а).

При выполнении условий (9) решение 0(0, 0 < г < В системы (11) существует единственно и продолжимо на интервал [г0, В].

Доказательство. Согласно утверждению 1 нахождение уточненного по последовательности конусов управления сводится к построению оптимальной (максимизирующей) стратегии в задачи динамического программирования (6):

тах^и р„ (и, , х0)=р„ (и*,г0. х0 ).

Решение последней задачи будем искать согласно рецептам динамического программирования Беллмана [3, с. 215-228; 8, с. 366-369]. Введем скалярную функцию:

пТ

ЭУ

W(t,x,u,V) =-+

dt

dV_ дх

(12)

x[A(i) ■ х + B(t) • и] + • Dia) ■ и.

Здесь V = V(t, x) - некоторая неизвестная скалярная функция. Оптимальное (максимизирующее) управление в задаче динамического управления (6) найдем из условия:

тахне£/ W(u, t0, х0) = W(u, t0, х0 ).

Для нахождения оптимального управления используем достаточные условия максимума, т. е.

d2W du2

= D < 0.

(13)

(14)

и* = -D-1 • ВТ ■ —.

Неравенство (14) означает, что матрица D отрицательно определена, и это свойство выполнено в силу (9). Из (13) следует, что

(15)

дх

Как принято для линейно-квадратичных задач, будем считать, что функция V = У(г, х) имеет вид:

V =У(!,х)=-хт &Ю-х. (16)

Здесь неизвестной величиной является симметрическая матрица 0 = 0(г), элементы которой есть функции от ге [г0, В].

Тогда из (15), (16) следует (10):

и* = и (г, х) = -^(а) ■ вТ(г) ■ 0(г) ■ х.

Подставляя и из (15) и Vиз (16) в равенства

1 т

Щ(г, х, и*, V) = 0, V (В, х) = - хт • С (а) • х, где

функция Щ(г, х, и*, V) задана в (12), получаем, что матрица 0(г) е Скхк [0, В] удовлетворяет (11). По условию выполнены неравенства (9). В этом случае матричное уравнение типа Риккати и начальное условие (11) определяют [9, с. 207] единственное решение, продолжимое на интервал [г0, В].

Утверждение 3. Рассматривается линейно-квадратичная, динамическая т-критериальная задача (8.1). Пусть

С < 0, D < 0, VI е М . (17)

1 ' 1 '

Отношение экспертов к критериям в задаче представлено произвольной стохастической неразложимой квадратной матрицей А е Ятхт . Тогда при любом выборе начальной позиции (г х0) е [0, В) х Я" существует уточненная по конусу с матрицей А оптимальная стратегия и*е и из (4), и эта стратегия имеет вид (10), где 0(г), 0 < г < В - решение матричного уравнения типа Риккати (11). В этом случае решение 0(г), 0 < г < В системы (11) существует единственно и продолжимо на интервал [г0, В].

Для любой стохастической неразложимой квадратной матрицы А е Ятхт, представляющей отношение экспертов к критериям задачи, предельная матрица однозначно определяется левым собственным вектором, относящимся к мак-

симальному собственному значению X* = 1 и этот вектор

ат=(а1,а2.....ат), <х,>0.

Тогда из того, что V/ е М матрицы С. < 0, и D¡ < 0, следует (9). Таким образом, выполнены условия утверждения 2, что и завершает доказательство утверждения.

Утверждение 4. Рассматривается линейно-квадратичная, динамическая да-критериальная задача (1). Пусть V/ е М собственные значения матрицы С. неположительные, а у матрицы D¡ они отрицательны. Отношение экспертов к критериям в задаче представлено произвольной стохастической неразложимой квадратной матрицей А е Ятхт . Тогда при любом выборе начальной позиции х0) е [0, В) х Я" существует уточненная по конусу с матрицей А оптимальная стратегия и* е и из (4), и эта стратегия имеет вид (10), где 0(0, 0 < t < В - решение матричного уравнения типа Риккати (11). В этом случае решение 0(0, 0 < t < В системы (11) существует единственно и продолжимо на интервал В].

Доказательство следует из того, что условие (17) равносильно существованию только неположительных собственных значений у матриц С , е М и только отрицательных собственных значений у матриц D¡,¡ е М.

Пример. Рассматривается линейно-квадратичная, динамическая двухкритериальная задача (1), именно, Г = ^ 1,, и, ). Здесь

динамика управляемой динамической системы X описывается системой двух линейных дифференциальных уравнений: (• \

х\

XI

+

х).

Вектор состояния системы х = (х х2)е Я2. Задан промежуток функционирования tе [0, 2]. Скалярное управление с полной обратной связью представлено в (4) и(^ х) = <2(0х = д]х1 + д2х2. Ограничения на управление отсутствуют. На реализованных траектории и управлении динамической системы (х*(0, и*(^ х(ф) определены два критерия, заданные квадратичными функционалами:

(-2 0 ^

У1(и,Г0,х0) = хт(2)Сх(2), С =

^ I) 5)

У2(м,^0,х0) =/о мТ(/,х(0)-1)-м(г,х(0)^, £> = -1.

Будем использовать обозначения

7, (и,0, х0) = -2х 1 (2) - ЪСх\ (2),

2 2

]2 (м,0, х0 ) = -1, и (г, х(г))Л.

На содержательном уровне цель ЛПР в этой задаче состоит в выборе такого управления и^, х) е и, при котором оба критерия примут возможно большие значения. Представленная задача является линейно-квадратичной, динамической двухкритериальной задачей.

В качестве решения задачи будем рассматривать уточненное по конусу решение. Это уточнение определяется на основе экспертных оценок. Пусть эксперты представили свои предпочтения стохастической матрицей:

(V У

а — /5 /5 4/ 1/

К/5 /5,

В этой матрице приведены мнения двух экспертов о критериях: первый эксперт оценивает важность критериев О(1) и О(2) как 3:2, а второй эксперт - как 4:1. Такая информация сокращает неопределенность относительно цели операции, но не снимает ее полностью. Наилучший компромисс мнений экспертов устанавливает левый собственный вектор матрицы А :

Иш Д, • Д,_Г. •••> • А = 1ш1 А" = Лд =

2/ 1/

/3 /3

Уъ X

Таким образом, компромиссное решение экспертов состоит в оценке важности критериев как 2:1.

Согласно утверждению 1, управление

м * (г) е aгgmax (% У(1) (м(?)Дх0) +

-н

)//(2) (1/(0,0,0))

является уточненным по последовательности конусов (по последовательности матриц А) оптимальным (максимальным) решением многокритериальной задачи. Именно уточненное управление является решением линейно-квадратичной динамической задачи (6) при условии а = 2/з, т. е.

'V

X, и, р2 (иДх0)

/з

р2 (и(0,0,Х0) = %/Н)(и(г)Ах0) + /з х -3

1/

+ уъ1(2\и{ Г)А*о).

Для линейно-квадратичной динамической двухкритериальной задачи выполнены условия

утверждений 2 и 3. Действительно, верно (9)

с<%) = узс1+узсл =

г-2 (И ,/0

- 2/

0 -3 /31 о о

-4/

О

V 0 -2,

<0,

о(У3) = У3о1+У3о2 = = уз.о+уз.(-1) = -уз<о.

Тогда в многокритериальной задаче при любом выборе начальной позиции (?0, х0) е [О, В) х Я" существует уточненная по конусу с матрицей А оптимальная стратегия и*е и из (4). Для ее нахождения составим матричное уравнение типа Риккати (11):

0+Ат (?)•© + ©• А(?)--&В0)О~\а)Вт (0-в = 0ЯО1, 0(А) = -2С(а).

Для уменьшения вычислительных трудностей при решении уравнения запишем его относительно неизвестной матрицы 0-1 = 0-1(?), при этом

•-1 •

используем тождество 0 = -0-1(?)^0 (?)^0-1(?). Аналогичное преобразование представлено в [8, с. 382]. В результате получаем задачу

© - в1 Ат - А©1 + = О

в-](Ъ) = -12С-1(а) или в координатной форме

о о л о

2x2'

г . . Л / \

«11 • «12 • «11 «12

,«21 «22, ,«21 «22 >

'0 1Л о о

«11 «12 ^«21 «22.

:](-кг(о А-

о о о о

«11(1») д12т Я 21^) «22 Ф)

0

После преобразований получаем начально-краевую задачу:

• . «11=2«12. «П(2) = %.

«12 =«22> «12(2) = 0, • .

«22 =_3' «22(2) = Х'

Ее решение

/ч 3 25 2 75 о11(0= -г +—I —13* + —, 11 4 8

3 2 25 13

«12 (2)= —* +—t--,

12 2 4 2

~ 25 «22=-3^ + — -

или в матричной форме

/

0-1 = 0-1(О= «11« «12«

,«21(0 «22 (0, '-?3 +6,25*2 -13?+ 9,375 -1,5/2 + 6,25? + 6,5 -1,5?2 + 6,25? + 6,5 - 3? + 6,25

Найдем обратную матрицу:

©=©(?) =

1

- 3? + 6,25

922« -?12« -921(0 ?11« у 1,5?2 -6,25?-6,5

1,5?2 - 6,25? - 6,5 - ?3 + 6,25?2 -13? + 9,375

где Д = 0,75?" - 6,25 ?3 + 19,5?2 - 28,125? + 16,34375. Оптимальное управление определяется по формуле (10):

и'= и*(?, X) = -О"1 (а) • в\г) • ©(?)•* = - (—г1 (о 1) X

3 А

- 3? + 6,25

1,5? -6,25?-6,5

1,5?2 - 6,25? - 6,5 - ?3 + 6,25?2 -13? + 9,375

_4,5?2-18,75?-19,5 -З?3-18,75?2-39?-28,125

— Хл ~Ь Хп

А 1 А 2

и Д = 0,75?" - 6,25 ?3 + 19,5 ?2 - 28,125? + 16,34375 .

Таким образом, в данном примере найдено управление, доставляющее наилучшее компромиссное решение с позиций двух экспертов.

В статье рассмотрена линейно-квадратичная, динамическая многокритериальная задача. Наличие в ней т -критериев является выражением неопределенности в системе, именно неопределенности отношения предпочтения ЛПР. В классификации неопределенностей в задачах управления она выделена в [2, с. 24], как «неопре-

деленность, отражающая нечеткость знания игроками своих целей». Выявление единой целевой функции снимает эту неопределенность.

Процесс уточнения по последовательности конусов позволяет уменьшить неопределенность, а в пределе выявить единую целевую функцию. Такое уточнение существенно использует знания экспертов по рассматриваемой проблеме. Их мнения формализуются в форме матрицы отношений экспертов к критериям. Эта матрица и соответствующий ей многогранный конус позволяют

свести т-критериальную проблему к стандартной задаче динамического управления.

Для последней задачи разработаны эффективные методы решения. В частности, в данном случае управление осуществляется по принципу обратной связи, т. е. управляющее воздействие зависит от времени и сложившейся позиции. Для нахождения такого оптимального управления можно использовать метод динамического управления Беллмана. Этот алгоритм решения позволяет выявить явный вид оптимального управления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воробьёв, Н.Н. Современное состояние теории игр [Текст]/Н.Н. Воробьёв/Успехи матем. наук.-1970.-25. Вып. 2.-С. 81-140.

2. Жуковский, В.И. Риски и исходы в многокритериальных задачах управления [Текст]/В.И. Жуковский, М.Е. Салуквадзе.-Тбилиси: Интелекти, 2004.

3. Жуковский, В.И. Линейно-квадратичные дифференциальные игры [Текст]/В.И. Жуковский, А.А. Чикрий.-Киев: Наукова Думка, 1994.

4. Понтрягин, Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения [Текст]/Л.С. Понтрягин.-М.: Наука, 1974.

5. Ногин, В.Д. Принятие решений в многокри-

териальной среде: количественный подход [Текст]/ В.Д. Ногин.-М.: Физматлит, 2002.

6. Матвеев, В.А. Исследование оптимальности по конусу в многокритериальной задаче [Текст]/В.А. Мат-веев//Научно-технические ведомости СПбГПУ -2009. -№ 4.-С. 169-176.

7. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц [Текст]/ Ф.Р. Гантмахер.-М.: Наука, 1967.

8. Пантелеев, В.И. Теория управления в примерах и задачах [Текст]/В.И. Пантелеев, А.С. Бортаковский. -М.: Высш. шк., 2003.

9. Ли, Э.Б. Основы теории оптимального управления [Текст]/Э.Б. Ли, Л. Маркус. -М.: Наука, 1972.

УДК 004.942

А.Д. Тазетдинов

О НЕКОТОРЫХ ХАРАКТЕРИСТИКАХ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ПРОЦЕССА ПОНИМАНИЯ ИНФОРМАЦИИ

Формальное представление любого процесса, отражающее в математической форме важнейшие его свойства - законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям, и т. д. позволяет не только упростить задачи организации и управления этими процессами, но и существенно повысить качество такого управления [1].

Большой практический интерес для построения автоматизированных обучающих систем представляют математические модели процессов восприятия, понимания и забывания информации. В то же время разработка таких моделей сопряжена с целым рядом трудностей. Одна из которых

связана с тем, что естественный язык человека наряду с преимуществами в осуществлении коммуникативной функции обладает и недостатками. К числу таких недостатков относятся многозначность слов, сложность грамматических норм, громоздкость и необозримость его конструкций, ситуативность многих конструкций, контекстно-зависимое представление информации, небрежность употребления терминов и т. д.

В большинстве случаев подобные исследования сосредоточены в отдельных направлениях кибернетики и связаны с разработкой вероятностных способов скорости запоминания информации