Исследование иррациональных систем путем расширения логико- математического аппарата Текст научной статьи по специальности «Философия, этика, религиоведение»

ПОЛЕМИКА

УДК 164.03 DOI: 10.22412/1993-7768-11-1-9

ИССЛЕДОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ ПУТЕМ РАСШИРЕНИЯ ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА

Кортунов Вадим Вадимович, доктор философских наук, профессор, зав. кафедрой философии и социально-гуманитарных знаний, kortunov@live.com, ФГБОУ ВО «Российский государственный университет туризма и сервиса», Москва, Российская Федерация

Каждый преподаватель, которому довелось читать гуманитарные дисциплины студентам и слушателям негуманитарного направления подготовки, наверняка сталкивался со сложностями понимания и усвоения материала. Студенты, «заточенные» под формулы, числа и графики, зачастую тяжело воспринимают абстрактные категории, которыми, в частности, изобилует философия. Мы предлагаем широко использовать в обучении логико-математический язык для описания метафизических систем, категорий и умозаключений. В качестве примера подобного использования логико-математического языка в статье мы остановимся на некоторых, как нам представляется, особенно сложных для понимания студентом философских идеях, являющихся не вполне рациональными для современной науки. Под иррациональными системами мы понимаем такие системы, в которых присутствуют сущностные элементы, принципиально не поддающиеся строго рациональному осмыслению или даже описанию. К таковым относится большинство известных систем, например, религия, искусство, человек, вселенная. Классическая формальная логика давно состоялась и уже на протяжении многих столетий находится в положении законченной науки. Параллельно с ней развиваются различные системы неклассической логики, которые пытаются либо дополнить ее, либо описать неизученные формы нашего мышления. Нам представляется, что возможно использовать комбинированный логико-математический язык, который бы мог, как минимум, описать так называемые «ненаучные», иррациональные системы реальности. Ведь именно иррациональные системы составляют 95% жизненного опыта. Такие системы, как человек, вселенная, душа, сознание, искусство, религия, образ, бесконечность, являются полностью или частично иррациональными и не поддающимися научному описанию. Искусство, религия и философия пытаются описать эти системы, но сам способ их описания является также иррациональным. Мы склонны предполагать, что возможно использование некоего рационального языка, который взял бы на себя смелость если не изучить данные системы, то, по крайней мере, их адекватно описать.

Ключевые слова: логика, иррациональность

Благодарности. Хочется выразить особую благодарность Сергею Александровичу Лаврен-ченко, кандидату физико-математических наук кафедры математических и естественнонаучных дисциплин Российского государственного университета туризма и сервиса, без которого эта работа и вовсе бы не состоялась. В результате обширной переписки работа была переосмыслена, и большинство рекомендаций Сергея Александровича было реализовано в данной работе.

Также выражаю благодарность Елене Владимировне Брызгалиной, заведующей кафедрой философии образования философского факультета Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова, познакомившей меня со многими специалистами в области логики и математики, с которыми дорабатывался представленный в статье материал.

Мне была интересна полемика с профессором Алексом Бротом (Humboldt-Universität

zu Berlin) и профессором Генри Штомбергом (University of Alabama). Многие идеи, высказанные ими, надеюсь, я смогу реализовать в своей дальнейшей научной работе.

Хочется выразить признательность и редактору журнала Journal of Symbolic Logic, господину Алессандро Берардуччи, предложившему сделать перевод и опубликовать статью в его журнале.

Новизна. В статье впервые произведена попытка дать формальное логико-математическое описание иррациональных тезисов, расширен логико-математический аппарат, произведен дальнейший синтез логического и математического языков для описания неочевидных философских высказываний. Впервые в логико-математический язык вводятся авторская интерпретация кругов Эйлера и теория пределов.

В дальнейшем изложении мы будем использовать не вполне научные формулы (здесь представлено скорее формальное выражение некоторых философских умозаключений) и не вполне логически очевидные выводы. Более того, мы предпочитаем произвольно смешивать формулы логики пролегоменов и логики высказываний с элементами математических формул. Тем не менее, для преподавателя и учёного, предъявляющего повышенные требования к формальнологическому изложению материала, этот текст, безусловно, будет интересен.

Для начала мы сформулировали несколько отрывочных, фрагментальных утверждений иррационального порядка и попытались дать им описание с точки зрения логико-математического языка.

Вот эти утверждения:

а) Самоидентификация субъекта в качестве дуально антиномичного (духовно-тварного) существа фиксирует его природу, но не сущность.

в) Реальность есть всецелое бытие и лишь всецелое бытие реально.

у) Иррациональное восприятие реальности обусловлено преодолением границы между понятийным и образным мышлением, а также между формами движения и развития бытия, с одной стороны, и формами движения и развития мышления — с другой.

5) Иррациональная восточная логика способна отражать духовные законы и иррациональные системы.

е) Система иррационального типа обладает не меньшей степенью интерсубъективности и верификации, чем система рационального типа.

Экзистенциальная картина мира, преодолевая противоположность между субъектом и объектом, замыкает человека в жестких рамках его существования.

П) Онтологическая система предполагает существование универсального субъекта (сверхсубъекта).

Итак.

а) Самоидентификация субъекта в качестве дуально антиномичного (духовно-тварного) существа фиксирует его природу, но не сущность.

В противоположность нашему утверждению, в современной науке (в особенности западноевропейской) утвердилось определение сущности человека именно в качестве «духовно-тварной» («рационально-биологической», «идеально-материальной» и т. д.) Столь распространенное определение сущности человека вытекает из убеждения, что человек (х)1 обладает двумя признаками — духовностью (8) и материальностью (М). х^8лМ, или х^(М(х)л8(х)). Отсюда устанавливается эквивалентность между определяемой и определяющей частями выражения (т.е. импликация мыслится как двойная импликация) — Х^8лМ , или х^(М(х)л8(х). Читаем: х существует тогда и только тогда, когда обладает признаками 8 и М. И это верно, особенно если мы иллюстрируем это положение х на кругах Эйлера.

Вместе с тем очевидно, что данное определение является избыточным, поскольку вхождение переменной х во множество М фиксирует лишь факт материальной (тварной) природы х, не проясняя его сути. Это выражение можно также представить импликацией х^(8^М) (Если существует человек, то он духовен, а если он духовен, то и материален. Действительно, сложно представить себе духовное существо, не обладающее материальным выражением). Но импли-

1 Мы обозначаем человека переменной (х), поскольку в мире несколько миллиардов людей. Но мы вправе обозначить человека и постоянной (Х), имея в виду «феномен человека», «феномен человечества». Думаем, что для наших рассуждений это не существенно.

кация х^(М^8) будет ложной (Поскольку не всегда материальное, физическое существо духовно).

Т. е. x^(SDМ)л-, x^(S^M)).

Отношение 8 и М в случае с человеком можно представить как подмножество 8, входящее во множество М или функцию, где х=/(8), а 8=/(М).

Проверим формулу x^(S^'М)л— x^(S^M)) табличным исчислением:

М S x x^(S^M)a- x^(S^M)

И И И Л

И И Л Л

И Л И И

И Л Л Л

Л И И Л

Л И Л Л

Л Л И Л

Л Л Л Л

Как видно из исчисления, при истинном значении М, 8 и х формула в целом становится ложной, что противоречит х^(Мл8). Более того, как видно из третьей строки исчисления, формула принимает значение истины, когда 8 принимается за ложь (что является очевидным абсурдом). Таким образом, мы приходим к выводу, что все попытки определить человека через его духовно-материальную природу имеют глубинные логические противоречия.

Для иллюстрации мы можем подвергнуть исчислению выражение «Человек есть материально-духовное существо. При этом духовность всегда реализуется в материи, а материя в духовности — нет» — х~(Мл8))л((8^М)л-(М^8)).

М S x x~(mas))a((s^m)a-(m^s))

И И И Л

И И Л Л

И Л И Л

И Л Л И

Л И И Л

Л И Л Л

Л Л И Л

Л Л Л Л

Исчисление показывает, что формула приобретает значение истины лишь в одном случае, когда мы факт существования человека принимаем за ложь.

Ещё один аргумент в пользу удаления признака М как избыточного устанавливается по методу единственного сходства. Мы можем определить человека не только в качестве духовно-материального существа, но и в качестве духовно-биологического существа, а также в качестве духовно-физического или духовно-химического существа. По закону тождества, из х-^ (М(х)л8(х)) получаем (М(х)л8(х))^х. Таким образом, формулы (М^х)л8(х))^х, (М2(х)л8(х))^х, (М3(х)л8(х))^х будут так же истинны, как и (М(х)л8(х))^х. По методу единственного сходства определяем избыточность признаков М, М1, М2,... Мп и постоянство признака 8.

При этом вхождение х во множество 8, напротив, определяет сущность х.

Иными словами, исключая предикат М (или свойство М), мы получаем неизбыточное определение х: Х^8, или х^(8(х)), где х^(8(х)) и (8(х))^х. Читаем: х существует тогда и только тогда, когда обладает признаком 8.

Таким образом, мы устанавливаем различие между природным определением человека (как явления) х^(М(х)л8(х)) и сущностным х^(8(х)).

в) Реальность есть всецелое бытие, и лишь всецелое бытие — реально.

Это означает, что реальность (А) мыслится нами исключительно в качестве предельного универсума (логического класса с бесконечным объемом — ю), и содержанием этого предельного универсума может быть только реальность. Ничто другое реальностью быть не может, равно как никаким иным содержанием не может обладать предельный универсум. Мы имеем тавтологию (тождество) А^ю, где, по закону тождества, А^ю, и ю^А. При этом любой иной произвольный элемент у понимается как подкласс А или ю с ненулевым объемом (у>0).

Нетрудно заметить, что бесконечные множества А и ю являются множествами иррациональными, поскольку могут быть выражены через противоречие (ул—у). То есть, если у — элемент А, то —у — все остальные элементы А, не являющиеся у:

При этом из схемы видно, что ни один произвольный у (у1, у2, у3... уп) не может быть тождественен А и ю. Следовательно, реальность есть всецелое бытие и лишь всецелое бытие — реально.

у) Иррациональное восприятие реальности обусловлено преодолением границы между понятийным и образным мышлением, а также между формами движения и развития бытия, с одной стороны, и формами движения и развития мышления, с другой.

Для простоты попробуем выразить некоторые наши логические положения на сухом языке формально-логических построений.

Если мы обозначим человека переменной х, нам остается ввести три константы — Я (рациональность), - Я (иррациональность) и 8 (духовность). Заметим, что последняя константа западноевропейской философией серьёзно не рассматривается.

Таким образом, получаем формулу человека с точки зрения западноевропейской философии:

УхЯ(х)

Иллюстрируя отношение рациональности к иррациональности при помощи кругов Эйлера, получаем,

Psyhe

Spiritus

имея в виду, что множества R и -.R имеют общий континуум в психике, но не имеют его в духовности2.

Наша точка зрения состоит в том, что Vx(R(x)a-R(x)), что является (формально) ложной (иррациональной) формулой. Однако если мы откажемся от контрадикторного и даже контрарного противопоставления рациональности и иррациональности и обозначим иррациональность переменной E (что вполне соответствует нашим определениям этих понятий), то получим непротиворечивую формулу типа Vx(R(x)aE(x)),

Spiritus

понимая при этом вхождение Я и Е во множество 8.

Таким образом, получаем новые формулы

Ух(Я(х)^Е(х))Ух(8(х)^—х(Я(х)л—Е(х))^ (Я(х)л—Е(х))^—х

Прибавление. У въедливого читателя может возникнуть закономерный вопрос: почему мы определяем человека через х(Я(х)лЕ(х)) или х(8(х))? Не достаточно ли одного признака? Ведь способность к аналитической деятельности, равно как и способность к творческой (художественно-образной) активности, — исключительные свойства именно человека?

Во-первых, можно говорить о многих исключительных признаках человека, не отражающих его сущность. При этом с формальной точки зрения определения получатся вполне логически обоснованными. Человек — единственное млекопитающее, умеющее говорить. Человек — единственное млекопитающее, додумавшееся готовить себе яичницу. Человек — единственное млекопитающее, имеющее рудимент аппендикса. Короче, «двуногое без перьев».

«Множества Я и —Я имеют общий континуум в психике, но не имеют его в духовности» — как мы уже говорили, современная западноевропейская философия не старается рассматривать духовность человека вообще, отождествляя духовность с рациональностью. Психоаналитики же признают существование иррациональных идей в человеческой психике, характеризуя их крайне отрицательно как деструктивные, бесполезные, бесконтрольные и даже опасные стихии.

Во-вторых, зададимся вопросом, может ли человек обладать лишь признаком Я, чтобы называться человеком? Итак, человек способен к рациональной деятельности, но не способен к творческой активности. Вероятно, он все-таки человек. По крайней мере, таких людей на планете подавляющее большинство. Другой пример. Человек способен к творческой активности, но не способен к рациональной деятельности (например, сумасшедший художник, даун, олигофрен). Он — человек? Возможно, да. Но как в первом, так и во втором случае мы имеем дело с неполноценностью, целостной незавершенностью, минимальными условиями человеческой идентичности.

х(Я(х)лЕ(х)) или х(8(х)) отражает максимальные условия человеческой идентичности, его полноценность и целостную завершенность.

3) Иррациональная восточная логика способна отражать духовные законы и иррациональные системы.

Для иллюстрации восточной логики нам необходимо ввести в символический язык новый квантор — квантор относительности («в некотором смысле») — обозначим его символом О. И предикат неопределенности (8 суть неопределимо, 8 суть невыразимо), обозначив его символом «?».

Таким образом, кроме высказываний аристотелевской логики хР(х) и х—Р(х) или, что одно и то же, 8^Р и 8^—Р, получаем ещё три возможные формулы высказываний: О х(Р(х)л—(Р(х)), О х?(х),

О х(Р(х)л—(Р(х)л?(х)).

При этом аристотелевские выражения также получают свою специфику под влиянием квантора относительности О: О хР(х), О х—Р(х).

Обращаем внимание на то, что формула О х(Р(х)л—(Р(х)л?(х)) являясь иррациональной с точки зрения формальной классической логики, выражает до сих пор невыразимые в формальной логике объекты и образы. Если под х понимать вселенную (предельный универсум), то О х(Р(х)л—(Р(х)л?(х)) следует прочесть так: Вселенная бесконечна (х(Р(х)л—(Р(х)), и ничего определенного мы о ней сказать не можем (?(х)).

Если понимать под х образ нашего сознания, опять-таки получаем: Образ в нашем сознании в определенном смысле есть (Ох(Р(х)), но, с другой стороны, его там невозможно обнаружить (О—Р(х)), и уж тем более он невыразим (х?(х)).

Вспомним тютчевское: «Мысль изреченная есть ложь».

е) Система иррационального типа обладает не меньшей степенью интерсубъективности и верификации, чем система рационального типа.

Этот вывод означает то, что рациональные и иррациональные системы существуют в одной точки координат, в одной плоскости, а именно, во множестве феноменологического (РИ) мира, мира, где субъективное и объективное предстают перед нами в виде явления (0+8 или Ол8).

Если мы возьмем науку в качестве образца рациональности, а искусство в качестве образца иррациональности, то на кругах Эйлера легко поймем, что их противоположность является мнимой. Существует лишь декларативное позиционирование науки в качестве объективной конструкции, а искусства — в качестве субъективной. На деле же и то, и другое существует в едином объектно-субъектном пространстве с одним лишь различием: наука (Я) стремится к объективации, а искусство (— Р) к субъективации.

lim (Rph / Ph^O

nRph)^R

lim (Rph / Ph^S

nRph)^R

Подведем промежуточные итоги. Противопоставление рациональности (как научно доказательной функции мира явлений) и иррациональности (как принципиально научно недоказательной функции мира явлений) носит лишь декларативный характер, поскольку обе эти функции принадлежат единому множеству феноменологической реальности. Более того, эти функции не просто не являются контрадикторными, но, напротив, создают прочную конъюнкцию, варьируясь лишь в плане доминирования одной из них. Таким образом, соотношение рационального и иррационального можно выразить в качестве единого множества с различными индексами — РИК и РИ- к.

С) Экзистенциальная картина мира, преодолевая противоположность между субъектом и объектом, замыкает человека в жестких рамках его существования.

O

S

Экзистенциальная картина мира, с нашей точки зрения, предполагает вхождение множества субъектов (81, 82, 83... 8п) в некую область объективной реальности (01, 02, 03... Оп), в результате чего эта область становится индивидуальным миром для каждого из этого множества субъектов (РИ1, РИ2, РИ3... РИп). Вместо кантов-ской картины

мы получаем картинку вида о

где 8пСО и 8п=/(0).

ц) Онтологическая система предполагает существование универсального субъекта (сверхсубъекта).

Болезненный вопрос не только для философов, но и для физиков. Первое, что приходит на ум, это решение методом логики иррациональных систем парадокса Эйнштейна-Подольского-Ро-зина (ЭПР). Однако воздержимся. Мы рискуем вступить в неравную борьбу с корифеями квантовой механики. Причем не только неравную, но и неквалифицированную как с одной стороны, так и с другой. Поэтому будем действовать в рамках метафизического поля.

Не вдаваясь в сложные философские рассуждения, лишь констатируем, что этот вопрос неоднократно поднимался в древних культурах и нашел свое наиболее полное освещение в философии Дж. Беркли и отчасти Им. Канта. Вкратце он сформулирован следующим образом:

мы знаем что-либо об объекте (О), когда его воспринимаема

существование объекта подтверждается нашим восприятием его (8)^

наше невосприятие объекта не подтверждает существование объекта ^

устойчивое (постоянное) существование объекта гарантирует только постоянно воспринима-

ющий субъект (8ё) (универсальный субъект или сверхсубъект).

Выразим эту мысль в логико-математических символах. Для этого нам следует формализиро-вать текст в виде пропозициональных переменных.

Мы воспринимаем объект — q

Объект существует — р

Сверхсубъектное восприятие объекта — г

Пропозиция первая — q^p.

Следовательно, —р^—q

Читаем: из выражения «Если мы воспринимаем объект, то он существует», следует, что «Если объект не существует, то мы его не воспринимаем и если объект существует, то не факт, что мы его воспринимаем» — выражения в пределах классической логики и здравого смысла».

Пропозиция вторая: —q^(pv—р) или —q^0р.

Читаем: из выражения «Наше не восприятие объекта не подтверждает существование объекта» следует, что «Объект либо существует, либо нет, следовательно, существует некоторая возможность его существования».

Пропозиция третья: г^р.

Читаем: устойчивое (постоянное) существование объекта гарантирует только постоянно воспринимающий субъект (8а) (универсальный субъект или сверхсубъект).

Строим итоговую формулу: —q^(pv—р)лг^р.

Проверяем по таблице истинности.

р q г —q^(pv—р)лг^р

И И И И

И И Л И

И Л И И

И Л Л И

Л И И Л

Л И Л И

Л Л И Л

Л Л Л И

В первой строке видно, что при истинности пропозициональных переменных формула в целом имеет значение истины.

Прибавление 1. Вся система взаимоотношений 8 и О является онтологически нестабильной вне сверхсубъекта. 8 нестабильно, поскольку представляет собой переменную из миллиардов потенциальных 8; О нестабильно, поскольку с точки зрения 8 лишено содержания; РИ нестабильно, поскольку все время меняет свой объем в зависимости от вхождения 8 в 0.

Воспринимая 8, О и РИ в качестве функций 8а, добиваемся онтологической устойчивости системы - 8=/(8а), 0=/(8а) и РИ=/(8а).

Прибавление 2. Продолжая тему сверхсубъекта, предложим читателю проанализировать весьма распространенное утверждение последовательного материалиста: «Материя не нуждается в сознании, поскольку обладает своими собственными законами». Если материя (М) обладает собственными законами (Ц), независимыми от сознания (8), то мы имеем простую формулу М^(Цд—8) ), которая, безусловно, пройдет проверку на истинность. Однако вспомним, что категория закона есть свойство именно сознания, причем только сознания3. Иными словами, закон возможен тогда и только тогда, когда он есть результат деятельности сознания (двойная импликация) — Добавляя в известное нам М^Цд—8 только что полученное получаем абсурдное утверждение М^(Цл—8))л(8^Ц). Абсурдность становится очевидной при проверке данной формулы по таблице истинности.

L M S M^(La-S))A(S^L)

И И И Л

И И Л Л

И Л И И

И Л Л Л

Л И И Л

Л И Л Л

Л Л И Л

Л Л Л И

3 В литературе можно встретить множество определений категории закона. Но везде читается субъект закона (законотворчества), и это явно не материя: физический закон — эмпирически установленная и выраженная в строгой словесной и/или математической формулировке устойчивая связь между повторяющимися явлениями, процессами и состояниями тел и других материальных объектов в окружающем мире; научный закон — фактологически доказанное утверждение (в рамках теории, концепции, гипотезы), объясняющее объективные факты; либо некое явление, обладающее общностью и повторяемостью, зафиксированное и описанное.

Данное выражение можно было бы также опровергнуть лишь на том основании, что материя, взятая все сознания как чистый объект, представляет собой не что иное, как Вещь-в-себе, которая в свою очередь, по определению, не может иметь никаких качеств, тем более такого специфического качества, как «обладание признаком закона».

Прибавление 3.

В этой же связи мы можем рассматривать любые противоположности и противоречия в качестве функций одного непостоянного множества. К примеру, рассматривая атеиста х(—8а(х)) и верующего х(8а(х)), мы можем предположить, что их противоположность декларативна, поскольку не предполагает сущностного различия в некоей динамической области 8.

Поясним. Допустим, что для каждого мыслящего человека свойственна рефлексия и критическое отношение к своему мировоззрению. Это означает, что любое убеждение подвергается той или иной степени сомнения. Таким образом, сомневающийся атеист и сомневающийся верующий оказываются в единой динамической области с той лишь разницей, что атеист стремится к убеждению, что бога нет, а верующий стремится к убеждению, что бог есть.

S

> Sd

lim (Sd/-Sd)^Sd

lim (Sd/-Sd)= S^-S,

Выводы.

Мы понимаем, что наша работа является фрагментарной, местами наивной и даже утопичной. Ее основания не очевидны, а выводы дискуссионны. Тем не менее, сам принцип расширения логико-математического языка для обоснования иррациональных систем нам представляется интересным и потенциально продуктивным.

I

S

d

STUDY OF IRRATIONAL SYSTEMS BY EXTENDING THE LOGICAL-MATHEMATICAL APPARATUS

Vadim V. Kortunov, PhD (Dr. Sc.) in Philosophy, Professor Russian State University of Tourism and Service, Moscow, Russian Federation. E-mail: kortunov@live.com

Abstract.

Every lecturer who had a chance to teach Humanities to students of non-humanitarian directions of training, probably had difficulties with understanding and learning the material. Students oriented towards formulas, numbers and graphs are often hard to perceive abstract entities, which are particularly numerous in philosophy. We offer to use widely logical-mathematical language in learning to describe metaphysical systems, categories, and reasoning. As an example of such use of the logical-mathematical language in the article, we will focus on several philosophical ideas which are not quite rational in modern science and which, we believe, are particularly difficult for a student to understand. Irrational systems are understood as systems in which there are essential elements that are fundamentally not amenable to a strictly rational understanding or even description. These include most of the known systems, for example, religion, art, man and universe. Classical formal logic was fulfilled long ago and has been taking the position of a finished science for many centuries. In parallel with it there is a development ofvarious systems of non-classical logic which attempt either to supply it, or to describe the unknown shape of our thinking. It seems to us that it is possible to use the combined logical-mathematical language, which could, at least, describe the so-called "unscientific", the irrational system of reality, because irrational systems just count 95% of experience. Systems such as man, the universe, the soul, consciousness, art, religion, image, infinity are totally or partially irrational and not amenable to scientific description. Art, religion and philosophy try to describe these systems, but the method they describe is also irrational. We tend to assume that it is possible to use a rational language, which would take the liberty of adequately describing these systems, at least, if not studying them.

Keywords: logic, irrationality

Thanks.

I would like to yxpress special thanks to Sergei Lavrenchenko, PhD (Cand.Sc.) in physical and mathematical Sciences of Department of mathematical and natural Sciences of the Russian state University of tourism and service», without him this work would not have happenedat all. As a result of extensive correspondence work has been rethought and most of the recommendations of Sergei Lavrenchenko were implemented in this work. Also thank Elena Bryzgalina, the head of the Department of philosophy of education in Philosophical faculty of Moscow state University, who had acquainted me with many experts in the field of logic and mathematics, who helped to develop and present the article.

I had an interesting debate with Professor Alex Broom (Humboldt-Universität zu Berlin) and Professor Henry Stamberger (University of Alabama). Many of the ideas expressed by them, I hope I will be able to implement in my further scientific work.

I want to express my gratitude to the editor of the journal of Symbolic Logic, Mr. Alessandro Berarducci, who

proposed to translate and publish an article in his magazine.

Novelty.

The paper is the first attempt to give a formal logical-mathematical description of irrational theses, extended logical-mathematical apparatus produced by the subsequent synthesis of logical and mathematical languages to describe a non-obvious philosophical statements. For the first time logical-mathematical language is included the author's interpretation of Euler diagram and the theory of limits.

Кортунов В. В. Исследование иррациональных систем путем расширения логико-математического аппарата // Сервис plus. Т. 11. 2017. № 1. С. 66-74. DOI:10.22412/1993-7768-11-1-9. Дата поступления: 24.10.2016.

Kortunov V.V., Study of irrational systems by extending the logical-mathematical apparatus. Servisplus, Vol. 11, no. 1, 2017, pp. 66-74 (In Russ). DOI: 10.22412/1993-7768-11-1-9. Received on 24 October 2016.