Исследование характера зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 551.513

ИССЛЕДОВАНИЕ ХАРАКТЕРА ЗАВИСИМОСТИ АГЕОСТРОФИЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СКОРОСТИ ВЕТРА ОТ ВРЕМЕНИ

© 2014 г. А.А. Зеф, А.А. Лукинов, Р.Г. Закинян, Ю.Л. Смерек

Зеф Анастасия Александровна - специалист по учебно-методической работе, Северо-Кавказский федеральный университет ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, е-mail: an.zeff@gmail. com.

Лукинов Алексей Александрович - ассистент, кафедра теоретической физики, Институт математики и естественные наук, Северо-Кавказского федерального университета, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, e-mail: ein-stein05@rambler. ru.

Закинян Роберт Гургенович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической физики, Институт математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, е-mail: zakinyan@mail.ru.

Смерек Юлия Леонтьевна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теоретической физики, Институт математики и естественных наук Северо-Кавказского федерального университета, ул. Пушкина, 1, г. Ставрополь, 355009, е-mail: smerek@mail.ru.

Zef Anastasia Aleksandrovna - Specialist of Educational and Methodical Work, North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, Russia, e-mail: an. zeff@gmail. com.

Lukinov Aleksey Aleksandrovich - Assistant, Theoretical Physics Department, Institute of Mathematics and Natural Sciences of the North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, Russia, e-mail: ein-stein05@rambler.ru.

Zakinyan Robert Gurgenovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Theoretical Physics Department, Institute of Mathematics and Natural Sciences of the North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, Russia, e-mail: zakinyan@mail.ru.

Smerek Yuliya Leontievna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Theoretical Physics Department, Institute of Mathematics and Natural Sciences of the North Caucasian Federal University, Pushkin St., 1, Stavropol, 355009, Russia, e-mail: smerek@mail.ru.

Исследуется характер зависимости агеострофической составляющей ветра от времени. Получено уравнение для агеострофической компоненты скорости как функции времени, представляющее собой неоднородное дифференциальное уравнение, а также найдено решение этого уравнения. Анализ полученного решения показал, что зависимость агеострофической составляющей скорости ветра от времени носит гармонический характер. Показано, что значения компонент однородной и неоднородной частей уравнения совершают гармонические колебания в противоположных фазах.

Ключевые слова: атмосфера, уравнение движения, скорость ветра, геострофический ветер, агеострофическая составляющая, расчет зависимости.

In article nature of dependence of an ageostrophic component of a wind from time is investigated. The equation for ageostrophic components of velocity of a wind as time functions, the representing non-uniform differential equation is received, and also the solution of this equation is found. The analysis of the received solution showed that dependence of an ageostrophic component of velocity of a wind on time has a harmonicity. It is shown that values of components of the homogeneous and non-uniform parts of equation, make harmonic oscillations in counter phases.

Keywords: atmosphere, equation of motion, wind speed, geostrophic wind, ageostrophic component, payment depending.

Оценка состояния атмосферы и ее динамики развития остается важной и актуальной задачей физики атмосферы. Сложности, возникающие в результате исследований состояния атмосферы, в том числе влияющие на формирование прогнозов атмосферных явлений, связаны с тем, что на процессы в атмосфере Земли оказывают влияние множество факторов.

Как показывают наблюдения, фактическая скорость ветра и скорость, вычисленная по геострофическим соотношениям, различаются. Эти различия

часто достигают значений порядка 10 %. Хотя различия сами по себе невелики, они играют существенную роль в эволюции барических образований, развитии вертикальных движений в свободной атмосфере. За счет изменения кривизны изобар в циклонах могут формироваться области нисходящих потоков, а в антициклонах - восходящих. Такую разность между действительным и геострофическим ветром называют агеострофическим отклонением. Такое отклонение возникает тогда, когда движение происходит с ускорением.

Всюду, где движение воздуха ускоряется, возникает поток массы поперек изобар, в сторону убывания атмосферного давления, а при замедлении движения воздушной частицы поток отклоняется вправо в сторону более высокого давления [1].

Вопросу о характере влияния агеострофической составляющей скорости на движение воздушного потока посвящено довольно много исследований.

Целью настоящей работы является определение характера зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени.

Для решения поставленной задачи проведем исследование динамики сухого воздуха, описываемое уравнением движения идеальной жидкости [2]:

+ (у,у)у = -— Ур + g0 + 2[ую0] + юо^ •

дг рг

Атмосферное давление воздушной частицы с учетом возмущения изобарической поверхности можно представить в виде р = р + + р', здесь р' - отклонение изобарической поверхности от равновесного значения, вызванное возмущением.

Для проекций горизонтальной скорости движе-

v = vg + v

где

ния воздуха запишем: и = и^ + и

иё ^ - проекции геострофической скорости; и',

у' - проекции агеострофического отклонения скорости ветра.

Подставляя эти выражения в уравнения движения, получим

а и 1 др'

аt рi дх

ау 1 др' ,

— =--— - 2®0ги •

аt Pi ду

Продифференцируем первое уравнение по времени

а2 и

1 d dp' „ dv

„ =-----Ъ 2юп_-.

d 12 Pi d t dx' 0z d t

С учетом второго уравнения, получим

dV _ dt2 =

+ 2(0 z

-iL A

pi dx' dt

- ~ ih - 2(ozu '

p г дУ

dp

вид -;— = u dt

dV d t2

i д

1p'

до'

i ug-+ vg

pí dx | 6 dx ddy

\

<> i dp ' , 2 ,

- 2(0z--Z- - 4(0u .

pí дУ

(1)

Для изобарической поверхности имеет место

условие

др' др' п ug^г+у^ = о •

6 дх g ду Тогда уравнение (1) принимает вид

d2u'

dt

i dp' л 2 ,

2 = -2(0z--Z- - 4(°u .

2 pí дУ

(2)

Уравнение (2) - неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка, которое можно представить в виде

d2u'

dt

„ 2 i i dp ' + 4raou =-2aoz--—.

pí дУ

(3)

Найдем решение уравнения (3). Для этого сначала найдем решение однородного дифференциального уравнения второго порядка

d2u '

dt

2

9

+ 4ra°u = 0.

(4)

Уравнение (4) представляет собой дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решением такого уравнения является выражение вида

= Acos2(Bqzt + Bsin2(BQzt,

(5)

где A и B - коэффициенты, требующие определения.

Решение неоднородного уравнения (3), соответственно, определяется в виде

u = A(t) cos 2ю 0zt + B(t) sin 2ю 0zt, где A = A(t) и B = B(t) функции времени t. Найдем функции A и B . Для этого продифференцируем дважды по времени уравнение (5):

du' dA „ , . „

— =— cos2fflozt_ 2fflozAsin2raozt + dt dt

dВ

+--sin2ro0zt + 2(0zBcos2ro0zt.

dt

(б)

Ввиду произвольности выбора коэффициентов сумма первого и третьего слагаемых равна нулю, т.е.

Производная отклонения р по времени имеет

др' др'

+ у6 •

дх ду

Таким образом, выражение для второй производной по времени проекции агеострофической составляющей скорости ветра имеет вид

dA dB .

— cos 2ra0zt Ъ--sin 2ю0zt = 0.

dt dt Тогда (6) примет вид

dU

dt

(7)

= 2rao z (B cos 2(ozt - Asin2rao zt ).

Продифференцировав второй раз по времени, получим выражение вида

d2u

dВ

= 2(oz 1 — cos2(vt - 2B(V sin2(vt -

dt

J0 z'

dt2

-—sin2ro0zí-2Aro0z cos2(0zt |. dt

0z s

J0z'

(8)

Подставляя (8) в (3), получим следующее выражение:

2ro0z ^ dj~ cos 2ra0zt- 2Bro0z sin2ro0zt - d- sin2ro0zt -- 2Aa0z cos 2ю 0zt) + 4ю Qz (— cos2ro 0zt +

+ В sin 2Юо zt) = -2®o z — ~p~ •

Pi dy

Проведя преобразования, получим выражение вида

d- . „ , dB 1 dp'

—sin2®ozt--cos2®ozt =--— •

dt dt Pi dy

Решим систему уравнений (7) и (9):

d- „ dB .

—cos2®ozt +--sm2oozt = 0,

dt dt

d- dB 1 dp'

—sm2ro0zt--cos2ra0zt =--—.

dt dt pi dy

(9)

(10)

A =

cos 2ю o zt sin vt

0 zf

- sin2®ozt -cos2®ozt

A =

A2 =

0 sin2ro0zt

Pi dy

- cos2®o zt

= 0 -

1 dp' _ 1 dp'

Pi dy Pi dy

cos 2ro0zt 0

. 1 dp'

sin ®0 zt--j—

Pi dy

1 dp'

=---Г1 cos2®0zt >

Pi dy

cos 2ra ozt sin 2ю 0zx - sin2ro ozt cos 2ra oz x =

= - sin2ro0z (/ -x).

Так же будем считать, что величина

dp' dy

- по-

стоянная величина, т.е. изменение давления не зависит от времени. Тогда последнее выражение примет вид

1 др'\ ■ „ / и =---— ] Б1п2юо г (Г-т)ат =

Рг дУ 0

-1-cos2®0 z (f -,OÍ0 =

2®0zPi dy 0

1 dp 1 dp'

2®0zPi dy 2o0zPi dv - (1 - cos2®0zt)

cos2®0zt =

(11)

Решим эту систему методом Крамера. Определитель системы Д имеет вид

2 2 = - cos 2®ozt - sin 2®оzt =

= -(cos2 2ro0zí + sin2 2ro0zí)= -1 ф 0.

Поскольку определитель отличен от нуля, то система имеет нетривиальное решение. Вычислив определители:

2®0zPi dy

Поскольку согласно приведенным тригонометрическим выражениям

1 (l - cos 2ro0zt) = sin2 ro0zt,

то выражение (11) принимает вид 1

u = -

dp ' . 2 -sin ю02t.

находим корни уравнения:

йА 1 др' . „ йВ 1 др' -=--— Б1п2ЮогГ , -=---— СОБ 2ЮогК .

л рг ду а рг ду

Интегрируя последние выражения по времени в пределах от 0 до t, найдем выражения для коэффициентов А(г) и в(г):

1 К др' . „ , 1 ' др' А =-81п2Юогт"т , в =--СО8 2Юогт"т .

Рг 0 дУ Рг 0 дУ

Тогда решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка (5) примет вид

г 1 гдр' . _ ,

и = — соБ2юогГ Б1п2юогг«1-Рг о дУ

—— Б1п2юогГ.[-дР-соБ2юог 1йх = Рг о дУ

= — | др. (соБ 2ЮогГ БШ 2ю о г т - Б1п2ЮогГ СОБ 2ю ог

Рг о дУ

Выражение в скобках является приведенным тригонометрическим выражением для синуса разности

я,--------(12)

о0гРг дУ

Первый множитель представляет собой выражение для амплитуды колебания агеострофическо-го ветра относительно положения равновесия. Обо-

1 др'

значим данное выражение и =---— .

Ё 00гРг дУ

Тогда полное решение дифференциального уравнения (3) принимает вид

о

и' = и^БШ ЮогК + АоСОБЮогГ + ВоБ1п2ЮогК . (13)

Здесь А0 и В0 - коэффициенты, определяемые при условии отсутствия агеострофического возмущения.

Проведем оценку зависимости агеострофиче-ской составляющей ветра от времени.

Положим Ао = 5, Во = 3 - значения произвольных

коэффициентов. Величина ю0г = 7,292 10-5 Заа/п -угловая скорость вращения Земли. Значение величины Рг- примем равным значению плотности воздуха стандартной атмосферы на высоте 500 м: Рг = Р500 = 1,167 еа/1 . Возмущение давления будем считать равным 0,002 Па/м. Время К возьмем равным 10 с.

Подставляя все указанные величины, получим значение агеострофической составляющей скорости ветра в данный момент времени: и'(10) = 7,409 1/п .

На рис. 1 представлен график зависимости агео-строфической составляющей скорости ветра от времени (за промежуток времени 20 ч), построенный, согласно (13), и проведенных расчетов.

u, м/с 2fr

u(t) 10

if t, с

Рис. 1. График зависимости агеострофической составляющей скорости ветра от времени

Таким образом, зависимость агеострофической Как видно из рис. 2, значения компонент одно-

составляющей скорости ветра от времени носит родной и неоднородной части, построенные, со-

гармонический характер. гласно полученному решению уравнения (13), со-

На рис. 2 представлены зависимости слагаемых вершают гармонические противофазные колебания

однородной и неоднородной части уравнения (3). относительно начального значения.

u, м/с ЗОГ

Неоднородная часть уравнения Агеострофическая скорость ветра

- ИТ-

Однородная часть уравнения

Рис. 2. Изменение во времени однородной, неоднородной и результирующей (агеострофической)

составляющей скорости ветра

Литература

1. Salby M.L. Physics of the Atmosphere and Climate. 2 edition. Cambridge, 2012. 718 p.

2. Крупкин А.А. Исследование волновых движений в атмосфере : автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Нальчик, 2014.

Поступила в редакцию

4 сентября 2014 г.