Исследование динамических систем с перемножением переменныхна основе кронекеровских матричных структур Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

УДК 62.50

Л. В. Кожевникова, А. В. Ушаков

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПЕРЕМНОЖЕНИЕМ ПЕРЕМЕННЫХ НА ОСНОВЕ КРОНЕКЕРОВСКИХ МАТРИЧНЫХ СТРУКТУР

Рассматривается задача исследования процессов в динамических системах с перемножением переменных. Для указанных целей используются возможности кронекеровских векторных и матричных структур. Задача решается применительно к системам с амплитудной модуляцией.

Ключевые слова: динамическая система, перемножение переменных, кронеке-ровские матричные структуры.

Введение. Постановка задачи исследования динамических систем с перемножением переменных, на первый взгляд, может показаться экзотической, однако класс таких систем достаточно широк. В первую очередь, это системы, работающие на переменном токе, или, иначе, системы с амплитудно-фазовой модуляцией [1—3].

Системы управления и следящие системы с модуляцией составляют заметную часть практики автоматического управления. Модуляторами в таких системах являются: сельсины, поворотные трансформаторы, индуктивные датчики, полудисковые модуляторы лучистой энергии и т.д. [1—3]. Однако теоретические исследования процессов в системах с модуляцией в последнее время заметно сократились, причем это произошло на фоне интенсификации внедрения в теорию и практику исследования динамических систем метода пространства состояния [4].

Свойства векторных и матричных кронекеровских структур. Для понимания сформулированной выше проблемы приведем определения векторных и матричных кронекеров-ских структур, а также описание тех их свойств, которые непосредственно связаны с построением векторно-матричных модельных представлений процессов с модуляцией.

Определение 1. Кронекеровским произведением векторов (КПВ) х и у, хеЯ", у еЯт, называется вектор х0у, составленный из отдельных произведений \х(у.; г = 1,";

. = 1, т} их элементов, так что становится справедливым представление

х0у = со1{%у.; г = 1,"; ] = 1,т}, х0 у е Я"т, при этом КПВ некоммутативны, и х0у Ф у 0 х.

Определение 2. Если размерности векторов хи у одинаковы, то на их кронекеров-ском произведении х0у может быть построено согласованное сужение этого произведения (х0у)х, задаваемого представлением (х0у) = со1{хгуг; г = 1,"}.

Согласованное сужение кронекеровского векторного произведения х®у может быть осуществлено с помощью оператора сужения с матрицей £ вида

£ = ё1ав{[01х(._1); 1 ! 01х(и_.)]; г=1,п},

так что становится справедливой запись

( х ® у) 5 = £ ( х ® у).

Рассмотрим свойства кронекеровского произведения векторов.

Свойство 1. Дифференцирование кронекеровской структуры в виде КПВ осуществляется по правилам дифференцирования сложной функции, представленной в мультикативной форме:

й А

—(х(г) ® у (г))=х (г) ® у (г)+х(г) ® у (г). йг

Определение 3. Кронекеровским произведением матриц (КПМ) Ае Ягхт, Бе Ярхд называется матрица А®Б размерности прхтд, определяемая соотношением

А®Б = col{row(АуБ; 3 = 1, т); г = 1, п} .

Кронекеровское произведение произвольных прямоугольных матриц не обладает коммутативностью, так что А®Б ^ Б® А.

Задача конструирования матричной модели динамических процессов с модуляцией в своей основе использует квадратные матрицы, коими являются матрицы состояния системы, конечномерного источника внешнего воздействия и конечномерного источника модулирующего сигнала, поэтому далее рассматривается только класс квадратных матриц.

Определение 4. Кронекеровской суммой матриц (КСМ) АеЯпхпи БеЯтхт называется матрица АФБ , размерности птхпт , определяемая соотношением

А0 Б=А® 1Б + 1А ® Б,

где ¡а , ¡б — единичные матрицы, согласованные по размерности соответственно с матрицами А и В.

Для КСМ А и В, а в общем случае произвольного числа матриц, существует альтернативное название — преобразование Сильвестра Б1(А, Б), что записывается в форме

А А

АФ Б = А® ¡Б + ¡А ® Б=Б1{А, Б}.

Для трех квадратных матриц А, Б, Б кронекеровская сумма или их преобразование Сильвестра определяется как

Б1{А, Б, Б} = АФ Б Ф Б = А® ¡Б ® ¡Б + ¡А ® Б ® ¡Б + ¡А ® ¡Б ® Б.

Отметим, что, как и КПМ, кронекеровская сумма матриц некоммутативна.

Кронекеровские матричные структуры, введенные выше, обладают следующими свойствами.

Свойство 2. Алгебраические спектры собственных значений кронекеровского произведения А ® Б квадратных матриц Ае Япхп и Бе Ятхт и их кронекеровской суммы АФ Б как матричных функций от матриц обладают следующим свойством: элементы первого алгебраического спектра образованы попарными произведениями собственных значений кронекеров-ски перемножаемых матриц:

<<{ А® Б} = {цк ^(ц!_ А® Б) = 0; цк = Х А XБ.; г = 1, п; ] = 1, т; к = 1, тп} , (1)

1 3

элементы второго алгебраического спектра образованы попарными суммами собственных значений кронекеровски суммируемых матриц:

< АФ Б} = {V/ :ёе< VI _ АФ Б) = 0; vl = Х А +Х Б ; г = ; ] = 1^т; I = 1, тп} . (2)

Исследование динамических систем с перемножением переменных 17

В выражениях (1) и (2) X^ и Xв — собственные значения матриц А и В соответственно.

Следует заметить, что алгебраические спектры собственных значений кронекеровских произведений А 0 В и В 0 А в соответствии с выражением (1) совпадают, аналогичным свойством в силу соотношения (2) обладают и спектры кронекеровских сумм А Ф В и В Ф А.

Свойство 3. Определитель КПМ матриц А е Япхп и В е Ятхт удовлетворяет соотношению

ёе!(А 0В) = (ёе! А)т (ёе! В)" .

Свойство 4. След КСМ матриц Ае Япхп и Ве Ятхт удовлетворяет соотношению

1х(АФВ) = т ХгА+п 1хВ .

Свойство 5. Ранг КПМ матриц АеЯпхп и ВеЯпхт удовлетворяет условию

га^(А0В) = гап^ rangB .

Для решения поставленной задачи полезно напомнить [5] основные свойства кронекеровских произведений произвольных матриц, что необходимо при преобразованиях матричных композиций, содержащих в своем составе эти произведения.

Свойство 6.

(Р00)(Ж0¥) = РЖ0дг . (3)

Свойство 7.

(Р+д) 0 Я = Р 0 Я+д 0 Я ; (4)

р 0 (д+я )=Р 0 д+Р 0 я , (5)

Р 0 (д 0 Я) = (Р000я . (6)

В выражениях (3)—(6) матрицы Р, д Я, Ж, V имеют произвольные размерности, не противоречащие правилам перемножения и сложения матриц.

Свойство 8.

Р =(Р 01д)( ¡р 0д); (7)

(Р 0Ш(Р2 0О2)-(Рл 00к )=(Р1Р2 ■■■ Рк) 0(0102 ); (8)

(Р 0 д)-1 = Р-10д_1, (9)

10 (Р1Р2 - Рк) = (Р 0 Р1)(¡Р2 0 Р2) - (¡рк 0 Рк). (10)

В выражениях (7)—(10) ¡(*) — единичная матрица, по размерности согласованная с матрицей (*).

Свойство 9. Оператор сужения с матрицей £ кронекеровского произведения векторов РХ, д2 удовлетворяет соотношению

Я(Рх0^) = Я(Р00(х02) .

Основной результат. Воспользуемся приведенными свойствами векторных и матричных кронекеровских структур для построения динамической модели процессов в линейной многомерной непрерывной системе с амплитудной модуляцией. При построении модели процессов будем полагать, что источник внешнего воздействия (ИВВ) является конечномерным и может быть представлен автономной системой; будем полагать, что и модулирующий сигнал также является конечномерным, поэтому источник модулирующего сигнала (ИМС) тоже может быть представлен автономной системой. Таким образом, полное исходное описание задачи приобретает следующий вид:

х(г) = ^х(0+х(0); у(0 = Сх(0; (11)

2($) = Г2(1); 2(0); =Ш(0; (12)

2м(0 = Гм2м(0; 2М(0); ^() = ИМ2М«). (13)

В модели (11) многомерной непрерывной системы х — вектор состояния; v — вектор внешнего воздействия; y — вектор выхода; хе Rn; v, y е Rm; F, G, C — матрицы состояния,

входа и выхода соответственно, F е Rnxn; CT, G е Rmxm.

В модели (12) источника внешнего воздействия z и g — векторы состояния и выхода ИВВ соответственно; z е R1; g е Rm; Г, H — матрицы состояния и выхода; TeRlxl; H е Rmxl.

В модели (13) источника модулирующего сигнала z^ gu — векторы состояния и выхода ИМС соответственно; zм еRk; gм е Rm; Гм, Нм — матрицы состояния и выхода ИМС;

т- ^nkxk. тт _ nmxk

ГмеЛ: ; НмеR .

Процесс формирования модулированного внешнего воздействия v(t) представим в виде

v(t) = col{gj(t)gM>(t); j = 1^}. (14)

Нетрудно видеть, что процесс модуляции внешнего воздействия в форме (14) допускает представление его в виде кронекеровского произведения векторов с последующим сужением, т.е.

v(t) = S(g(t) ® gм (t)). (15)

Учитывая правила формирования векторов g (t) и gм (t) (см. формулы (12) и (13)), выражение (15) в силу свойств кронекеровских произведений матриц можно записать в виде

v(t) = S (g (t) ® gм (t))=S (Hz(t) ® Нм zм (t)) = S (H ® Hм)(z(t) ® zм (t)). (16)

Выражение (16) представляет модулированный сигнал v(t) как функцию состояния системы с вектором состояния z(t) ® zм (t).

Сформируем систему, описывающую процесс по данному вектору состояния, опираясь на модели (12) и (13), а также на свойства матричных кронекеровских структур. В результате получим следующую цепочку равенств:

d А

— (z(t) ® zм (t)) = z(t) ® zм (t)+z(t) ® ^^м (t) = dt

= rz(t) ® zм (t)+z (t) ®Гм zм (t) = (Г® Iгм + /г®Гм )( z(t) ® zм (t)) =

= (ГШГм )(z (t) ® Zм (t)), z (0) ® Zм (0). (17)

Для дальнейших исследований продолжим процесс построения автономной модели динамических систем с модуляцией, для чего введем в рассмотрение составной вектор состояния

х = col {х, z ®zм } (18)

и сформулируем утверждение.

Утверждение. Процессы в непрерывной системе (11) с модулированным внешним воздействием (14), компоненты которого задаются с помощью моделей (12) и (13), могут быть представлены автономной системой:

х(t) = Fx(t); х(0) = col{х(0), z(0)®Zм (0)}; (19)

x(t) = CХх(t), y(t) = CyX(t), (20)

где матричные компоненты (19), (20) вычисляются согласно соотношениям

F \ GS (P ® Hм )"

F =

0 ; гфг

м

(21)

Сх = [ 1х ' 0]; Cy = [C ; 0]. (22)

Исследование динамических систем с перемножением переменных 19

Доказательство. Доказательство утверждения строится на покомпонентном формировании производной по времени от вектора (18) с использованием исходной модели (11) многомерной системы, представления (16) процесса формирования внешнего модулированного сигнала, а также соотношения (17). ■

Представление соотношений (19)—(21) позволяет для кронекеровской матричной модели динамических процессов с модуляцией записать решение в явном виде:

х(?) = ехр{Й}х(0), х(?) = Сх(?), у(?) = Сх(?).

Заключение. Очевидно, что модель вида (19)—(22) является универсальной, поскольку позволяет исследовать процессы как с модуляцией входного воздействия, так и без нее. В последнем случае в выражении (14) достаточно положить j (^) = 1, ] = 1, п. Это означает, что

источник модулирующего сигнала (12) вырождается в скалярный интегратор с единичным начальным состоянием, нулевой матрицей состояния Гм и единичной матрицей выхода Им .

список литературы

1. Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического управления. СПб.: Профессия, 2003.

2. Куракин К. И., Куракин Л. К. Анализ систем автоматического регулирования на несущей переменного тока. М.: Машиностроение, 1978.

3. Сабинин Ю. А. Позиционные и следящие электромеханические системы: Учеб. пособие. СПб.: Энергоатомиздат, 2001.

4. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем: Пер. с англ. М.: Наука, 1970.

5. Ланкастер П. Теория матриц: Пер. с англ. М.: Наука, 1978.

Лариса Владиславовна Кожевникова —

Анатолий Владимирович Ушаков

Рекомендована кафедрой систем управления и информатики

Сведения об авторах

Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; инженер-программист.

д-р. техн. наук, профессор; Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики, кафедра систем управления и информатики; E-mail: ushakov-AVG@yandex.ru

Поступила в редакцию 04.10.07 г.