CC BY
40
висновки
Проведений анал1з частотних похибок апроксима-цшних полшом1в для процесу в1дновлення дискретного сигналу за його в1дл1ками показав:
1) вщтворення сигналу за його дискретними в1дл1-ками без фазних похибок забезпечуе лише апрокси-мащя полшомом першого порядку за неявною схемою (трапещями);
2) у раз1 можливосп вибору перевагу сл1д надавати лише неявним обчислювальним схемам побудови апро-ксимацшного полшома, як1 забезпечують значно мен-ший р1вень ампл1тудних 1 фазних частотних похибок;
3) порядок апроксимацшного полшома для забез-печення достатньо точного (ампл1тудна похибка не б1льше 5 %, фазна - не перевищуе 2°) в1дтворення сигналу може бути обмежений другим-трет1м порядком. Застосування апроксимацш вищих порядк1в невиправ-дане через:
- незначне зростання точност1 в нижнш частит ро-бочого д1апазону (до 1/20 частоти квантування);
- р1зке зростання похибок у верхнш частиш ро-бочого д1апазону (1/20...1/2 частоти квантування), що може спричинити незадов1льну роботу замкнених цифрових систем автоматичного регулювання.
ПЕРЕЛ1К ПОСИЛАНЬ
1. Ажури Э. Импульсные системы автоматического регулирования. - М.: Физматгиз, 1963. - 456 с.
2. Ту Ю. Цифровые и импульсные системы автоматического управления. - М.: Машиностроение, 1964. -703 с.
3. Изерман Р. Цифровые системы управления: Пер. с англ. - М.: Мир, 1984. - 541 с.
4. Куо Б. Теория и проектирование цифровых систем управления. - М.: Машиностроение, 198б. - 448 с.
5. Олссон Г., Пиани Аж. Цифровые системы автоматизации и управления. - СПб.: Невский Диалект, 2001. -557 с.
6. Sanz R, Arzen K.-E. Trends in Software and Control // IEEE Control Systems Magazine. - 2003, June. - Pp. 12-15.
7. Мороз В. Застосування ¡нтегралу згортки для синтезу цифрових систем // Вюник Хмельницького нацюнально-го ушверситету. Т. 2. Техшчш науки. - 2007. - № 2. -С. 75-78.
8. Гришина Т. Ф. Определение передаточной функции линейной системы по кривой переходного процесса // Изв. вузов. Электромеханика. - 1969. - № 7. -С. 762-768.
9. Фильц Р. В. Математические основы теории электромеханических преобразователей. - К.: Наукова думка, 1979. - 208 с.
10. A. Alleyne, S. Brennan, B. Rasmussen, R. Zhang, Y. Zhang. Controls and Experiments: Lessons Learned // IEEE Control Systems Magazine. - 2003. - October. - Pp. 20-34.
Надшшла 20.03.2008
С использованием частотных характеристик проведено исследование рационального порядка аппроксимаци-онного полинома для восстановления сигнала за его отсчетами.
The rational polynomial approximation order of sampling signal reconstruction was analyzed using Bode plots.
YAK 519.876.5
А. Г. Овский, В. А. Толок
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СИСТЕМЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ MAPLE ДЛЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА ЗАКОНА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ МАТРИЦ ПРЯМОГО И ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЙ, СОСТАВЛЕННЫХ ВЛАСОВЫМ В. З.
Авторы анализируют полученное В. 3. Власовым [1 ] общее операторное решение трехмерных уравнений теории упругости, проверяют его основные свойства в системе программирования Maple. В разработанной программе доказывается закон ортогональности матриц прямого и обратного преобразований, составленных из полученных операторов. В работе используется упрощающая символическая запись в виде трансцендентных операционных формул, которая позволяет применять ЭВМ для построения математических моделей задач теории упругости.
© Овский А. Г., Толок В. А., 2008
ВВЕДЕНИЕ
В настоящее время, в связи с появлением новых конструктивных материалов, возникает необходимость в росте прочности машин и конструкций с параллельным снижением их себестоимости и расходов на их обслуживание. В связи с этим, остро встает вопрос о разработке новых математических методов для расчета напряженно-деформируемого состояния различных тел и конструкций [2].
В рассматриваемой работе показана возможность реализации символики Власова В. З. в системе программирования Maple [3]. Проверены свойства линейных дифференциальных операторов, которые получаются в результате работы созданной авторами программы. С помощью этих операторов строится общее решение трехмерных дифференциальных уравнений теории упругости. В своей работе [1] В. З. Власов предполагал ортогональность матриц прямого и обратного преобразований исходя из физических характеристик изотропного упругого тела. Цель данной работы, с помощью аналитических преобразований, которые реализуются в системе MAPLE, доказать это предположение. Удовлетворение линейных дифференциальных операторов этому закону служит оценкой правильности получаемого в программе общего решения трехмерных дифференциальных уравнений теории упругости.
ПОСТАНОВКА И РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
Рассмотрим общую задачу о равновесии твердого изотропного упругого тела, испытывающего малые деформации. Эта задача описывается в трехмерной прямоугольной Декартовой системе координат х, у, г известными дифференциальными уравнениями:
SU = dz - ^^+X, dx
SV = Sz W + Y, dy
SW _ дг ■ + 1 -"Vdx dV) + 1 -2 ( 1 - 2v) Z, -v)
dZ = z dX dY c dx y
SY = дг 2 1+vd2U 1 -vdxdy íd^. Vdx2 +1 2- d2 y] v dy 2 2 v dZ 1 - vdy
SX = дг 2 1 + v d 2 V 1 -vdxdy íd^U Vdy2 + 2 1- d2u] v dx 2 ) v dZ 1 - vdx
(1)
- b,
-a,
1 - 2 V
СТУ 1 -2v
= = dU + dV
xy yx dy dx '
[< 1 - V)! + v(f + f-)}
[< 1 - "f * v(f + W •
(2)
Используем математический аппарат Власова [1], принимаем за искомые основные функции: и, V, Ш и напряжения X, У, 2.
Решение системы (1) будем искать в виде бигармо-нических уравнений:
U = U0(x, y)cos(yz) + U (x, y)sin(уг) + + U2z cos (уг) + U3z sin (уг),
V = V0(x, y) cos (уг) + V1 (x, y) sin (уг) + + V2Z cos (уг) + V3г sin (уг),
W = Wo (x, y) cos (yz) + W1 (x, y) sin (yz) + + W2Z cos (yг) + W3Z sin (yz),
X = Xo( x, y) cos (y z) + X1( x, y) sin (y z) + + X2z cos (yz) + X3г sin (yz),
Y = Yo(x, y) cos (yг) + Y^x, y) sin (yz) + + Y2z cos (yг) + Y3z sin (yг),
Z = Zo(x, y) cos (yz) + Z1(x, y) sin (yz) + + Z2z cos (yz) + Z3z sin (yг),
(3)
где Uo(x, y), Vo(x, y), Wo(x, y), Xo(x. y), Yo(у), Zo(x, y) - функции, задаваемые на плоскости г = 0 (начальные);
Y = l-^ + - дифференциальный оператор от I dx dy функций;
Y г = z
оператор;
d2 , д2
+
dx2 5y'
2 2 - произведение переменной z на
3 3 5 5
sin (yz ) = y г - Y3z_ + Y5f-••• - бесконечный операционный ряд, разложение тригонометрической функции sin в ряд Маклорена;
2 2 4 4
cos (yz) = 1 - ьг- + - • • • - бесконечный операционный ряд, разложение тригонометрической функции cos в ряд Маклорена.
Вводим упрощающую символику, операторы дифференцирования dp- и д- заменяем на а и р. Далее ис-xy
пользуя результаты работы [4] получаем решение системы (1) в MAPLE:
где V - коэффициент Пуассона тела; и = Оы, V = О и, Ш = От - пропорциональные величины для перемещений ы = ы(х, у, г), и = и(х, у, г), т =
= w(x, y, г); X = Txz, Y = туг, Z = ст
обозначения
напряжений.
U = ¿uuUo + ¿UVV0" V = LVUV0 + LVVV0 +
Z LZUU0 + LZVV0 +
+ T 7 ■■■ + LUZZ 0,
••• + LVZZ0, ■■ + LZZZ0,
(4)
г
где
-ии
'Уи ■
ши
--хи
'Уи
^ги
иУ
УУ
ШУ
хУ
_ 1 (- 2 + 2у) со8 (уг ) + 1 г 8Ш ( у г )а _ 2 - 1 + V 2 (- 1 + V ) у ,
_ 1 ар г 8 ш ( уг ) _ 2 у(- 1 + V) ,
_ 1 г со8 ( уг ) а + 1 (- 1 + 2 V) а8ш (уг ) _ 2 - 1 + V 2 (- 1 + V )у ,
2 2 2 2 _ а г со8 (уг) (- а + в V - в )8Ш ( уг )
- 1 + V - (- 1 + V )у ,
_ гсо8 ( уг ) ав + ав 8 ш( уг ) V _ - 1 + V ( - 1 + V ) у ,
_ у 8 ш (уг ) га
_ - -1+V ,
1 ав г 8 ш ( уг )
2 у(- 1 + V) ,
_ 1 (- 2 + 2у) со8 ( у г) + 1 в 2 г 8ш (уг) _ 2 - 1 + у 2 ( - 1 + у ) у ,
,_ 1 г со8 ( у г ) в + 1 (- 1 + 2у) в 8ш (уг) ' 2 - 1 + у 2 ( - 1 + у ) у ,
_ гсо8(уг ) ав + ав 8ш(уг ) у
УУ
- 1 + V
(- 1 + у)у '
- уа2 -
( - 1 + у)у
- 1 + V
в2г со8 ( уг ) (- а 2 + уа2 - в2) 8Ш ( уг)
гУ
-иш •
^хш ■
" УШ ■
у 8ш (уг ) гв " - - 1 + у ,
_ 1 г со8 ( уг ) а 1 (- 1 + 2у) а8ш (уг) _ 2 - 1 + у - 2 (- 1 + у )у ,
_ 1 г со8 ( уг ) в 1 (- 1 + 2 у) а8ш ( уг ) _ 2 - 1 + у - 2 (- 1 + у )у ,
22
_ 1 (- 2 + 2 у ) со8 (у г) + 1 (- гв - г а ) 8ш (у г) :_ 2 - 1 + у 2 (- 1 + у ) у ,
_ у 8Ш (уг ) га _- -1+у ,
_ -у8ш ( уг )гв _ - 1 + у ,
2 2 2 2 (г а + гв ) со8 ( уг ) (- в - а ) 8Ш ( уг)
- - 1 + V - ( - 1 + V )у ,
1 а г со8 ( уг ) + 1 (4 уа2 + 4р 2у - 4р 2 - 3 а ) 8Ш ( уг)
4 (- 1 + у)у2 4
(- 1 + у)У3
: _ 1 ав8ш ( уг) 1 ав г со8 (уг)
У :_ 4у3(- 1 + V) - 4 у2(- 1 + V) ,
шх ■
хх
Ух
гх
_ 1 а г 81п (у г) _ 4 у(- 1 + у) ,
2
1 (- 2 + 2у) со8 (у г ) + 1 г 81п ( уг )а
2 - 1 + у 2 (- 1 + у ) у ,
1 ав г 81п ( уг )
2 у( - 1 + у ) ,
1 г со8 ( уг ) а 1 (- 1 + 2у ) а81п (уг )
2 - 1 + у - 2 (- 1 + у )у ,
иУ
1 а в 81п ( уг ) 1 ав г со8 (уг)
4 (- 1 + у)
4 У2 (- 1 + у)
9 9 9 9 9
1 р 2 г со8 ( у г) + 1 (4 р 2 V + 4 уа2 - 4 а2 - 3 р 2 ) 8Ш ( уг) 2 4
шу
хУ
4 (- 1 + у)У : _ 1 в г 81п ( уг ) : 4 у(- 1 + у) ,
_ 1 ав г 81п ( уг ) _ 2 у(- 1 + у) ,
(-1 + у)У°
УУ
гУ
_ 1 (- 2 + 2у) со8 (у г) 2 - 1 + у
иг
Уг
шг ■
хг
Уг
гг
1 в г 81п (уг)
2 ( - 1 + у ) у ,
: _ 1 г со8 (уг ) в - 1 (- 1 + 2 у) в 81п (уг) : 2 - 1 + у 2 (- 1 + у ) у ,
_ 1 а г 81п (уг) : _ 4 у(- 1 + у) ,
: _ 1 в г 81п ( у г ) : _ 4 у(- 1 + у) , _ 1 г со8 ( у г ) + 1 (4 у - 3)81п (уг) _ 4 - 1 + V 4 ( - 1 + у) у , _ 1 г со8 ( у г ) а + 1 (- 1 + 2у) а81п (уг)
1 + V
(- 1 + у)у
_ 1 г со8 (уг ) в + 1 (- 1 + 2у) в 81п (у г ) 2 - 1 + у 2 ( - 1 + у ) у ,
22
1 (- 2 + 2у) со8 (у г ) + 1 (- гв - га ) 81п (уг)
-1 +у
(- 1 + у)у
(5)
Операторы Ьии, ¿иу, ^гг называются линейными дифференциальными операторами, которые относятся к начальным функциям ио(х, у), Уо(х, у), ш0( х' У), х0( х' У), Уо( х' У), г0( х' У).
Множество из 36 операторов ¿ии, ¿иУ, •, ¿гг определяет матрицу прямого линейного дифференциального преобразования, предложенную Власовым В. З.:
¿ии ¿иУ ¿иш ¿их ¿иу ¿иг ¿Уи ¿уу ¿уш ¿ух ¿уу ¿Уг
¿ши¿шу¿шш¿шх¿шу¿шг ¿хи ¿ху ¿хш ¿хх ¿ху ¿хг ¿уи ¿уу ¿уш ¿ух ¿уу ¿уг ¿ги ¿гу ¿гш ¿гх ¿гу ¿гг
ио у0 шо хо
у
(6)
Умножив матрицу (6) на вектор
формулы (4).
V го ■>
получим
Ь
УУ
их
Если в формулах (4) считать U, V, W, X, Y, Z заданными, a Uq, Vq, Wq, Xq, Yq, Zq искомыми, будем иметь обратное преобразование. В этом случае задача сводится к интегрированию системы из шести совместных дифференциальных уравнений в частных производных. Это сложная задача, но ее можно решить иначе, если выходить из физического содержания проблемы.
Принимая плоскость г = const за начальную, функции U, V, W, X, Y, Z за заданные, а функции Uq, Vq, Wq, Xq, Yq, Zq - за искомые и предоставляя координате г отрицательное значение и исходя из формул операторов (одни из них изменяют знак при подстановке, а другие нет), учитывая физический смысл задачи, получим:
LUUu + LUVV + LUWW - LUXX - lUYy + LUZZ'
V0 = LvuU + LVVV - LVWW - LVXX - LVYY + LVZZ ,
Wo Xn
LWUU - L V + L + LWVX + LW7VY - LU77Z
JWV
WW
WXX
WY '
WZZ
-LXUU - LXVV + LXWW + LXXX + LXYY - LXZZ , -LV„U - LvvV + Lyn/W + LVYX + LVVY- LV7Z,
Z = L7TJU + L„V - ^„W - L7YX - L7VY +
(7)
Эти формулы позволяют определить матрицу обратного линейного дифференциального преобразования, предложенную Власовым В. 3. [1]. Вид матрицы обратного линейного дифференциального преобразования аналогичен виду матрицы (7) за исключением знаков перед операторами Ьии, Luv, •••, Lzz:
LUU LUV -LUW -L UX -luy LUZ
LVU LVV -LVW -L VX -lvy LVZ
-LWU -LWV LWW LWX lwy -LWZ
-LXU -LXV LXW LXX lxy -LXZ
-lyu -lyv lyw lyx lyy -L YZ
LZU LZV -LZW -LZX -lzy LZZ
. (8)
В книге Власова [1] на странице 369 авторами была исправлена опечатка: оператор Ьху брался со знаком «-», в то время как нужно его брать со знаком «+». Благодаря доказательству закона ортогональности и соответствующему выводу программы, она была исправлена. Подставляя функции (70, У0, Х0, Уо, 2§, которые определяются формулами (7) в правые части равенств прямого преобразования (4) получим тождественные уравнения. Этот свойство выполняется и наоборот: для функций и, У, Ш, X, У, 2. Чтобы убедиться в этом, необходимо формулы (4) подставить в (7). Отсюда вытекает, что преобразования (4) и (7) ортогональные. Убедиться в правильности обратного
линейного дифференциального преобразования можно с помощью умножения двух матриц (6) и (8). В результате получим матрицу с единичной главной диагональю. Определители матриц прямого и обратного преобразований равны 1.
Операторы преобразования (4) являются взаимными (в этом можно убедиться, проанализировав результаты работы программы), т. е.:
LVU LXY'
luv = lyx и т. д.
(9)
Поэтому матрицы преобразований имеют симметричную структуру с диагоналями симметрии, которые проходят через правый верхний угол и левый нижний угол каждой из матриц [1].
Взаимность операторов Lvu и Luv и симметричных с ними операторов Lxy и Lyx преобразований (4) и (7) обуславливается изотропностью упругого тела относительно оси г. Мы получаем таким образом для операторов прямого и обратного преобразований следующие выражения:
LYU = LXV' LZU = LXW' LWU = LXZ' LVU = LXY' LUU = LXX' LUV = LYX' LUW = LZX' LUZ = LWX' LUY = LVX.
(10)
РЕЗУЛЬТАТЫ
Результатом работы программы являются: построенные и аналитически выведенные дифференциальные операторы Власова в виде трансцендентных операционных формул (5). А также полностью аналитически проверенное свойство ортогональности матриц прямого и обратного преобразований. Результат проверки ортогональности для начальной функции напряжения Хо показан ниже, рис. 1. По подобной схеме производятся проверки для остальных функций. Выражения вывода программы представлены в машинно-аналитической форме. К сожалению, система не производит полное приведение подобных членов, поэтому форма представления результатов усложнена.
Программа автоматически выполняет также перемножение матриц прямого и обратного преобразований и вычисляет определители каждой из матриц. Результаты этих операций в статье не приведены, в статье показана основная схема, по которой происходит аналитическое упрощение для каждой из функций.
Результаты на рис. 1 требуют дополнительного анализа, так как мы имеем дело с операторно-символичес-ким способом записи. Однако согласно с методом начальных функций Власова В. 3. [1] в формулах (4) и (5) при разложении в ряд Маклорена операционных функций выполняется умножение оператора на соответствующую начальную функцию, а потом производится
Y
0
«Проверка свойства ортогональности»
ff
X0 : =
2v
^ (( 3
.(- 1 + V)Vа2 + ß2 (- 1 + v)Vа2 + ß2
2 v
.(- 1 + v)Vа2 + ß2 (- 1 + v)Vа2 + ß2
zß2
2 л/а 2 + ß 2 _ 2 Уа 2 + ß 2 (- 1 + v)2 (- 1 + v)2
\ \
1(л/а2 + ß2г) cos («/а2 ' + ß z)w0 +
(ff
22 а ß
4 (- 1 + v)2 4(а2 + ß2)(- 1 + v)2 4 (- 1 + v)V2 + ß2)
z2 +
2v
(- 1 + v)2 (- 1 + v)2 (- 1 + v)2
з(л/а2 + ß2 z)2 +
ff
2 2 (3/2) 2 2 2 (3/2) 2
,(а2 + ß2)( 4- 1 + v)2 (а2 + ß2)( J( - 1 + v)2
2 2 (3/2) 2 2 2 (3/2) 2
.(а2 + ß2)( J( - 1 + v)2 (а2 + ß2)( J( - 1 + v)2
zß2
.(- 1 + v)Vа2 + ß2 (- 1 + v)Vа2 + ß2
л л
2
z а
1(л/а2 + ß2z) cos (л/а2 + ß2z) -
ff
22 а ß
4( - 1 + v)2 4 (а2 + ß2)(- 1 + v)2 4( - 1 + v)V2 + ß2)
2 ß 4 v
22 3 а ß v
22 7 ß 2а2
2
а v
2 2 2
(- 1 + v)2^2 + ß2 )2 (а2 + ß2)2( - 1 + v)2 4 (- 1 + v)2 (а2 + ß2)2 (- 1 + v)2^2 + ß2)
2 2„2 v а ß
3а
2222 2222 2222 (- 1 + v)2^2 + ß2) (- 1 + v)2^2 + ß2) 4(- 1 + v)2^2 + ß2) ,
sin (л/а2 ' + ß z) xx0 +
ff
3
ß а
3
а ß
4( - 1 + v)2 4 (- 1 + v)V2 + ß2) 4 (а2 + ß2)( - 1 + v)2
z2cos (/а2 + ß2 z) +
ff
2 2 (3/2) 2 2 2 (3/2) 2
.(а2 + ß2)( J( - 1 + v)2 (а2 + ß2)( J( - 1 + v)2
zßа
+
+
2
+
+
+
4
+
+
Рисунок 1 - Проверка свойств ортогональности для начальных функций
2 2 (3/2) 2 2 2 (3/2) 2
,(а2 + р2)( )(- 1 + v)2 (а2 + р2)( )(- 1 + v)2
гр3
л л л
Л - 1 + v) V а2 + р2 (- 1 + v) V а2 + р2
гр
1(л/а2 + р2г) cos (л/а2 + р2г) -
((
Ра
3
Р а
3
а р
4( - 1 + v)2 4 (- 1 + v)2(o2 + р2) 4(а2 + р2)(- 1 + v)2
2
г-
ар v
3
а р
(- 1 + v)2 (а2 + р2) 4 (а2 + р2 )2( - 1 + v)2
а3 Рv
32 р v а
3
р а
2222 2222 2222 (- 1 + v)2(а2 + р2) (- 1 + v)2(o2 + р2) 4(- 1 + v)2(а2 + р2) ,
1(л/а2 + р2 г)
УУ0"
((
23 га
4 (- 1 + v)Vа2 + р2
ар
22 г р
2 1 2 , „2 г л/ а + р
3
р ау
23 v а р
4 (- 1 + v)2(O2 + р2) (- 1 + V)2(O2 + р2)
4 (- 1 + v)Vа2 + р2 4 (- 1 + v)
-2" sin (</а2 + р2 г) cos (Уа2 + р2 г) + I-р
а2 + р2) Ч - 1 + v)
2 2 2 2 2 2 2 2 4( - 1 + v)2(а2 + р2) (- 1 + v)2 (а2 + р2)
3а р2
(- 1 + v)2(o2 + р2) 4 (а2 + р2)( - 1 + v)2
3а
3
а v
3а
(- 1 + v)2 4( - 1 + v)2 (- 1 + v) 2(а2 + р2) 4 (- 1 + v)2(o2 + р2)
1(Уа2 + р2 г)2") гг0
«После упрощений»
I 2 2 2 I 2 2 ■
Uo : = | sin (л/а + р г) + cos (л/а + р г)
u0
F : = | sin (л/а2 + р2г) + cos (л/а2 + р2г) ) v0
Wo : = | sin (л/а2 + р2г) + cos (л/а2 + р2г) \w 0
22
Jc
22
X0 : = | sin (л/а2 + р2г) + cos (л/а2 + р2г)
do
Yn : = | sin
I 2 2 2 1 2 2 ■
+ р г) + cos (л/а + р г)
УУ0
Z0 : = | sin (Уа2 + р2г) + cos ^а2 + р2г) ) гг0
«В итоге»
U0 : = u0 F0 : = v0 W0 : = w0 X0 : = «0 Y0 : = yy0 Z0 : = гг0
+
+
+
2
Продолжение рисунка 1
Res : = (sin(gam г)2 + cos(gam г)2] mO(x, y) Прямое преобразование Фурье по переменной г:
/2 sin : = 1 mo(- fourier(в' 21 gam г), г, sig) - fourier(e^2/gam г), г, sig) + 4п Dirac(sig)
/2 cos : = 1MO(fourier(e1* 21gam г), г, sig) + fourier(e'2/gam г), г, sig) + 4п Dirac(sig Сумма преобразований
Res : = 1 mO(- fourier(e( 21gam г), г, sig) -fourier(e(21gam г), г, sig) + 4п Dirac(sig)] +
+ 1uO(fourier(e( 21 gam г), г, sig) + fourier(e(2Igam г), г, sig) + 4п Dirac(sig)
Обратное преобразование Фурье по г
Res : = 2mO п Dirac(sig)
= mO
Рисунок 2 - Доказательство закона ортогональности
«После упрощений»
U : =
sin I л/а2 + ß2г] + cos (л/а2 + ß2г| | U
V : = I sin
>in (л/а2 + ß2г] + cos (л/а2 + ß2г] | V
W : = I sin
sin (л/а2 + ß2г]2 + cos (л/а2 + ß2г]2 | W
X : = I sin
;in (л/а2 + ß2г] + cos (л/а2 + ß2г] | X
Y : = I sin
;in (VOW г] + cos (л/а2 + ß2 г] 1 Y
;in (л/а2 + ß2г) + cos (л/а2 + ß2г)
Z : = I sin
«В итоге»
U : = U V : = VW : = W X := X Y : = Y Z : = Z
Рисунок 3 - Проверка свойств ортогональности для функций, получаемых через начальные функции
замена на дифференциалы. В силу этого, с помощью преобразования Фурье для любого г в созданной программе доказываются равенства из рис. 1. Все это выполняет программа, результаты доказательства для и0 на рис. 2.
Как видно на результат, существенно влияет знак, стоящий перед преобразованием Фурье каждой из операционных функций, а форма самого преобразования не учитывается, так как все преобразования взаимно упрощаются. Остается лишь преобразование Фурье для функции п^.
Аналогично для и (рис. 3).
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В результате проведенного анализа было проверено свойство ортогональности матриц прямого и обратного преобразований. Как следствия из этого, установлены свойства дифференциальных операторов, представи-мых в виде тригонометрических операционных функций. Эти функции разлагаются в символические бесконечные ряды Маклорена с производными высоких порядков.
Благодаря проверенным выше свойствам в задачах теории упругости можно производить операции с разлагаемыми операционными трансцендентными функциями, как с обычными функциями. На этой основе можно построить новую теорию операторно-симво-лического исчисления для задач теории упругости в двумерной и трехмерной постановке. Но основной смысл предложенного к рассмотрению доказательства состоит в следующем: после проверки ортогональности операторных формул (7) и (8) можно переходить к рассмотрению вариационного принципа минимума по-
тенцнальной энергии. Этот принцип, вместе с использованием формул для перемещений и напряжений за методом Власова позволит решать более широкий класс задач теории упругости на системе программирования Maple.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Власов В. 3., Леонтьев Н. Н. балки плиты и оболочки на упругом основании. - М.: ФИЗМАТГИЗ, 1960. - 491 с.
2. Горшков А. Г., Старовойтов Э. И., Талаковский Д. В. Теория упругости и пластичности. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - с.
3. Дьяконов В. П. Maple 9.5/10 в математике, физике и образовании. - М.: СОЛОН-Пресс, 2006. - 720 с.: ил.
4. Толок В. А., Шапар В. В. Операторно-символьные ряды Власова В. З. в решении задач теории упругости в системе Maple // Пдроакустичний журнал. - 2006. - № 3. -C. 66-74.
Надшшла 1.04.2008
Авторы анал1зують отримане Власовым В. 3. [1 ] загальне операторне рШення трьохвим1рних р1внянь те-орИ пружност1, перев1ряють його основт властивост1 в систем1 програмування Maple. У розробленш програм1 доводиться закон ортогональност1 матриць прямого i зво-ротного перетворень, складених з отриманих операторiв. У роботi використовуеться спрощуючий символiчний за-пис у виглядi трансцендентних операцшних формул, який дозволяе застосовувати ЕОМ для побудови матема-тичних моделей задач теорп пружностi.
Authors analyse got Vlasov V. Z. [1] general statement decision of freedimension equations of theory of resiliency, check up his basic properties in the system of programming of Maple. Law of ortogonal of matrices of direct and reverse transformations, made in obedience to work of Vlasov V. Z. is proved in the developed program. A simplifying symbolic record as transcendent operating formulas, which allows to apply COMPUTER for the construction of mathematical models of tasks of theory of resiliency, is in-process utillized.
УДК 539.3
Е. С. Решевская, С. Н. Гребенюк
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ КОНСТРУКЦИЙ НА ОСНОВЕ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИНТЕРПОЛИРУЮЩИМ ПОЛИНОМОМ
ЗРМИТА
ВВЕДЕНИЕ
Как известно, применение метода конечных элементов в механике деформируемого твердого тела позволяет решать самые разнообразные и сложные задачи теории упругости. Построение решения по данному
© Решевская Е. С., Гребенюк С. Н., 2008
Описана методика построения конечного элемента на основе интерполяционного полинома Эрмита, реализованная в подсистеме «КОЭРМА» программного комплекса «М1РЕЛА+», предназначенного для решения задач теории упругости методом конечных элементов. Для проверки достоверности результатов представлен тестовый пример в качестве нагружаемой плиты, закрепленной по контуру.
