CC BY
106
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
ДРТ 16176 УДК 372.851
Здоровенно Марина Юрьевна,
кандидат физико-математических наук, доцент кафедры фундаментальной информатики и прикладной математики ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров zdorovenko.s@mail.ru
Зеленина Наталья Алексеевна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров sezel@mail.ru
Крутихина Марина Викторовна,
кандидат педагогических наук, доцент кафедры фундаментальной и компьютерной математики ФГБОУ ВО «Вятский государственный университет», г. Киров krumarvik@mail.ru
Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике
Аннотация. Статья посвящена вопросам обучения школьников различным способам решения задач с параметрами при подготовке к итоговой аттестации. Ключевые слова: задачи с параметрами, различные способы решения задач с параметрами, Единый государственный экзамен по математике, обучение математике. Раздел: (01) педагогика; история педагогики и образования; теория и методика обучения и воспитания (по предметным областям).
Модель Единого государственного экзамена по математике во всех модификациях последнего десятилетия традиционно содержит задачу с параметром. Эта тенденция не является новой для итоговой аттестации выпускников. Престижные вузы всегда включали задачи с параметрами в экзаменационный вариант в качестве диагностических, с помощью которых можно проверить знание основных разделов школьной программы, уровень логического мышления, первоначальные навыки исследовательской деятельности, умение обосновывать свои действия, аргументировать полученные выводы и в конечном итоге оформить получившееся решение в виде математически правильного, логически ясного и полного текста.
В настоящее время задача с параметром входит в контрольно-измерительные материалы ЕГЭ под номером 18 и оценивается максимальным числом первичных баллов.
Анализ результатов Единого госэкзамена показывает, что, как и в прежние годы, эта задача представляет для выпускников большие трудности. Так, в 2015 г. в Российской Федерации максимальный балл за ее решение получили 0,5% участников экзамена (в Кировской области - 0,27%), 0 баллов - 96,26% (в Кировской области -98,05%) [1], в 2016 г. ситуация существенно не изменилась. Это говорит о том, что подавляющее большинство учеников не приступали к решению, хотя предложенные задания были вполне посильны даже для учащихся, имеющих представления лишь об основных способах решения таких задач. Вероятно, значительную роль здесь играют и психологические факторы.
Практика показывает, что решению задач с параметрами на уроках математики уделяется мало внимания. Причиной этого является, прежде всего, отсутствие си-
ISSN 2304-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
ББГ»! 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный >курнал
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
стемы заданий данной тематики в школьных учебниках. Чаще всего задачи с параметрами рассматриваются в старших классах в рамках элективных курсов. Основная, на наш взгляд, трудность при этом заключается в том, что ученики должны усвоить методы решения данного вида задач, что требует определенного времени, осознания этих методов и овладения ими. С этой точки зрения задачи с параметрами целесообразнее начать рассматривать в 8-9-х классах, постепенно применяя разные методы на различных классах задач.
Традиционно для решения задач с параметрами используются аналитические и/или графические методы. Наиболее часто применяется при аналитическом способе рассуждений сведение задачи к решению уравнений, неравенств, их систем или совокупностей. Хорошие результаты в отдельных случаях дает нахождение необходимых условий, применение свойств функций. Графические решения, как правило, выполняются в декартовой системе координат либо системе «переменная-параметр».
Важно обучать учащихся различным методам решения задачи, а не отдавать предпочтение какому-то одному из них. Большое внимание следует уделять накоплению у учащихся опыта самостоятельного поиска решений, чтобы на экзамене каждый был готов к выбору наиболее целесообразного и эффективного пути рассуждения.
Рассмотрим возможные способы решения некоторых задач с параметрами, чей уровень сложности соответствует требованиям, предъявлявшимся к такого рода заданиям на Едином государственном экзамене по математике в последние годы.
Задача 1. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система Гу2 + ху - 4х - 9у + 20 = 0, уравнений { у = ах + 1, имеет единственное решение.
I х > 2
Решение:
(у2 + ху - 4х - 9у + 20 = 0,
у = ах + 1, (1.1)
х > 2
Преобразуем первое уравнение системы (1.1):
у2 + ху - 4х - 5у - 4у + 20 = 0; у(у - 4) + х(у - 4) - 5(у - 4) = 0;
(у-4)(у + х-5) = 0. Тогда система (1.1) примет вид:
Г(У - 4) (у + х - 5) = 0,
у = ах + 1, (1.2)
х > 2
Решим задачу графическим методом в системе (ж, у).
!у - 4 = 0 или у + х - 5 = 0,
у = ах + 1, , далее
х > 2
Су = 4 или у = 5 - х,
у = ах + 1, (1.3)
х > 2
В системе координат (х,у) будем рассматривать те части прямых у = 4 и
у = 5 - х, которые лежат в полуплоскости х > 2 (см. рис. 1).
Уравнение у = ах + 1 задает на плоскости прямую, проходящую через точку Л(0; 1) с угловым коэффициентом, равным а, принимающим всевозможные значения. Удобно представлять себе не семейство прямых, а «движущуюся» прямую, которая «вращается» вокруг точки Л(0; 1). Мысленно вращая прямую у = ах + 1, определим такие ее положения, когда она имеет ровно одну общую точку с частями прямых у = 4
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
и у = 5 - х. На рис. 1 выделены области, в которых должна лежать прямая у = ах + 1, чтобы выполнялось данное условие. Найдем значения а, которые соответствуют положениям прямой, ограничивающей данные области.
У х=2 V
Я / у=4
У и / / л / '' /»ГС
/
1 \ 1 ч ч с / ¡■JF Ш
/ / д \
11 J ч ч ч V SV= -X 1
- П
Рис. 1
I. Прямая у = ах + 1 проходит через точку 5(2; 4), следовательно, 4 = а • 2 + 1, от-
сюда а = -.
II. Прямая у = ах + 1 проходит через точку С(2; 3), следовательно, 3 = а • 2 + 1, отсюда а = 1.
III. Прямая у = ах + 1 параллельна оси ОХ, следовательно, а = 0.
IV. Прямая у = ах + 1 параллельна прямой у = 5 - х, значит а = -1.
з
Таким образом, условию задачи удовлетворяют а е (-1;0] и [1; -).
3
Ответ: а е (-1;0] и [1;
Решим задачу графическим методом в системе «переменная-параметр (ж, а)». Подставим у = ах + 1 в первое уравнение системы (1.2), получим
^ах — 3)(ах + х — 4) = 0, х > 2.
Заметим, что каждому значению х соответствует ровно одно значение у, равное ах + 1, при каждом фиксированном значении параметра а, то есть исходная система имеет столько же решений, сколько и система (1.4). Найдем все значения а, при которых система (1.4) имеет единственное решение.
(х > 2
Из системы (1.4) получаем { '
(-ах — 3 = 0 или ах + х — 4 = 0
Поскольку х>2, то х^0 и
(х > 2,
34
|а = — или а =--1.
х х
(1.4)
(1.5)
ниеггг
issN 2304-i20x Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-
научно-методический ceptru/2016/16176htm. электронный журнал
Построим в системе координат (х, а) множество всех точек, координаты которых удовлетворяют системе (1.5). Для этого в полуплоскости х > 2 построим гиперболы
3 4
а = - и а = — 1 (рис. 2).
X X
Найдем точку пересечения гипербол, решив систему { * , откуда - = —,
(а = 1 * * то есть х = 1, что не удовлетворяет условию х > 2. Это значит, что в полуплоскости х > 2 гиперболы не пересекаются.
Заметим, что при х = 2 значение а = - равно -, значение а = 4 - 1 равно 1, то
^ „ 3 4-х
есть при х > 2 - > —.
X X
—В- 'а х=2
.......| 1_______ а=1,5
1 1 I Г------- d=J
" ■ | j=3/x
z=0 " 1
2 ■ 1 " 1 \=4/х-1 х 1L
1_______ а=-1
..... 1-------
Рис. 2
Мысленно перемещая прямую а = const вдоль оси 0а «снизу вверх», фиксируем такие ее положения, при которых эта прямая имеет ровно одну общую точку с частями гипербол (на рис. 2 соответствующие этим положениям значения параметра a на оси 0а выделены цветом).
Таким образом, исходная система имеет единственное решение при а е (-1; 0] и
3
[1; 2).
Ответ: ае(-1;0]и [1;
Решим задачу аналитическим методом.
(у — 4 = 0 или у + х — 5 = 0,
Из системы (1.2) получим
у = ах + 1, х > 2
(A) или
, далее
у = 4 , ¡4 = ах + 1, х > 2
У = 4,
Рассматривая систему (А), получим {ах = 3,
х > 2.
у = 5 — х, 15 - х = ах + 1, х > 2
(B)
issn 2304-120X Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-
научно-методический ceptru/2016/16176htm. электронный журнал
ниепт
При а = 0 система решений не имеет. При а Ф 0 получим {х = 3,
а
гу = 4, х = -,
а
<Х > 2.
3
Последняя система имеет решение, причем единственное, если - > 2, то есть
3
при а е (0; -).
!у = 5 — х, (а + 1)х = 4, х > 2.
!у = 5 — х, х = х > 2.
4
Полученная система имеет решение, причем единственное, если — > 2, то есть при а е (—1; 1).
Система (1.2) имеет единственное решение в следующих случаях:
- (А) имеет единственное решение, (В) решений не имеет;
- (В) имеет единственное решение, (А) решений не имеет;
- (А) и (В) имеют единственное решение, но эти решения совпадают.
Найдем значения а, при которых решения систем (А) и (В) совпадают:
4 _ з.
а+1д=а; Г а = 3 5__^ = 4. ^ { гп л \ ^ нет таких а.
5 а+1 = 4; 1а е (0; 1)
а е (0; 1)
Отметим полученные выше результаты на оси а (рис. 3).
Нет решений Одно решение Нет решений
-с^-^
Г) I а
2
Нет решений Одно решение Нет решений
-а^-^
-1 1 а
Рис. 3
Таким образом, по рис. 3 определяем, что единственное решение система (1.2)
3
имеет при а е (—1; 0] и [1; -).
3
Ответ: а е (—1; 0] и [1;
Заметим, что при работе с учениками в качестве дополнения к рис. 3 может быть построена еще одна числовая прямая, на которой показаны все возможные варианты количества решений исходной системы в зависимости от значений параметра а. При записи ответа следует обратить особое внимание на включение (исключение) концов промежутков.
ниегп
issN 2304-i20x Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
научно-методический электронный журнал
Целесообразно также рассмотреть задачу, в которой прямая, содержащая в своем уравнении параметр, не вращается, а перемещается параллельно некоторой прямой, то есть от параметра зависит не угловой коэффициент, а свободный член в уравнении прямой.
Задача 2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система
!(у2-ху-7у+4х+12)~^х+4 _
/7=у = ' имеет единственное решение.
а = х + у
Решение:
ЧУ2 - ху - 7у + 4х + 12) • Vx + 4
=0, (21)
а = х + у.
Преобразуем первое уравнение системы (2.1):
(y2-*y-7y + 4* + 12)-VIT4 = 0;
= 0;
77-у
(у2 - ху - 4у - 3у + 4х + 12) • Vx + 4
= 0.
77-у
(у - 4)(у - х - 3) ■ УхТ4
77—у
Тогда система (2.1) примет вид
Чу-4)(у-х-3)Ух + 4
77—^ =(2.2)
а = х + у.
Следует обратить внимание учеников, что выражение
у2 - ху - 7у + 4х + 12 может быть разложено на множители не только с помощью группировки и вынесения общего множителя за скобки, но и как квадратный трехчлен относительно переменной у. Для этого следует представить выражение в виде у2 - (х + 7)у + (4х + 12), найти дискриминант (£ = (х - 1)2), записать выражения для корней (у1 = 4; у2 = х + 3) и применить соответствующую теорему у2 - (х + 7)у + (4х + 12) = (у - 4)(у - х - 3).
Решим задачу графическим методом в системе (ж, у).
Из системы (2.2) получаем
(у = 4 или у = х + 3, или х = -4,
^у = а - х.
В системе координат (х,у) будем рассматривать те части прямых у = 4, у = х +
3,х = -4, которые лежат в области, определяемой условиями {Ху~< у' (см. рис. 4).
Прямая у = х + 3 пересекает прямую х = -4 в точке Л (-4; -1), прямую у = 4 в точке 5(1; 4) а прямую у = 7 - в точке С(4; 7).
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
—0-
У с у=7
}
y=jyy у=4
-Б Л 5 \ \ 1 0 \ Члп 15 *
\ \п
_ I
Рис. 4
ISSN 2304-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Преобразуем второе уравнение системы (2.2) к виду у = —х + а. Это уравнение задает на плоскости совокупность прямых, параллельных прямой у = — х и проходящих через точки (0;а) и (а;0). Удобно представлять себе не совокупность прямых, а прямую, которая «движется» в системе координат параллельно прямой у = —х. При этом параметр а принимает все значения из промежутка +от). Мысленно двигая прямую у = —х + а, определим такие ее положения, когда она имеет ровно одну общую точку с названными выше частями прямых.
На рис. 4 показаны области (выделены цветом) и положения прямой у = —х + а (I, II, III), при которых выполняется данное условие.
Найдем соответствующие указанным положениям прямой значения параметра а.
I. Прямая у = —х + а проходит через точку А(—4; —1), следовательно, —1 = 4 + а, отсюда а = —5.
II. Прямая у = —х + а проходит через точку 5(1;4), следовательно, 4 = —1 + а, отсюда а = 5.
III. Прямая у = —х + а проходит через точку С(4; 7), следовательно, 7 = —4 + а, отсюда а = 11.
Таким образом, условию задачи удовлетворяет каждая прямая, лежащая ниже прямой I или совпадающая с ней, то есть а е —5]; прямая II, следовательно, а = 5, а также каждая прямая, лежащая выше прямой III или совпадающая с ней, то есть а е [11; +от).
Ответ: а е (—от; —5] и {5} и [11; +от).
Решим задачу в системе «переменная-параметр (х,а)».
При каждом фиксированном значении параметра а из последнего уравнения системы (2.3) каждому значению х соответствует ровно одно значение у. Поэтому система (2.3), как и исходная система, имеет столько решений, сколько решений имеет система
а — х = 4 или а — х = х + 3 или х = —4,
х > —4, (2.4)
а — х < 7,
полученная из системы (2.3) подстановкой у = а — х.
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
Отсюда получим
1а = х + 4 или а = 2х + 3 или х — -4, х > -4, а — х < 7.
(2.5)
В системе координат (х, а) построим множество всех точек, удовлетворяющих
системе (2.5). Для этого сначала построим область, задаваемую соотношениями
(х > -4, -,- ~ л
| _ . Точка А является точкой пересечения прямых х = -4 и а = 7 + х, поэтому
< 7 I х
( X =
ее координаты определяются из условия |
х — —4,
„ откуда А(—4; 3).
х + 7'
Затем построим части прямых а = х + 4, а = 2х + 3 и х = -4, принадлежащие названной области (рис. 5).
Рис. 5
Заметим, что BD У АЕ, так как эти прямые имеют одинаковые угловые коэффициенты.
{х = —4
_ ' и В(—4;0). а — х + 4
{х — —4
' и С (—4; —5). я — 2х + 3
{а — х + 4
' и D(1; 5). d — 2х + 3 (а — х + 7
Точка Е принадлежит прямым АЕ и СЕ, откуда { _ ' и Е(4; 11).
— 2х + 3
Мысленно перемещая прямую а — const вдоль оси Оа «снизу вверх», фиксируем такие ее положения, при которых эта прямая имеет ровно одну общую точку с частями прямых а — х + 4 , а — 2х + 3 и х — —4. На рис. 5 соответствующие этим положениям значения параметра a на оси Оа выделены цветом. Условию задачи удовлетворяют значения параметра а е (—го; —5] и {5} и [11; +го).
Ответ: а е (—го; —5] и {5} и [11; +го).
ISSN 2304-120X
ниепт
научно-методический электронный журнал
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
Решим задачу аналитическим методом.
Исходная система равносильна системе (2.3), из которой подстановкой у = а- х получим
( у = х + 3, У = 4, х> -4
х > -4, (А) или { у ' (В) или
Ух + 4 = а , / , '
чх + (х + 3) = а
Рассмотрим систему (А). Она имеет решение, если х = а
(х = а — 4
а > 0. Таким образом, система (А) имеет решение { _ ^ ' при а > 0, причем решение единственное.
а-3
X = —4,
У <7, (C).
{у — 4 = а
4 > —4, то есть при
Рассмотрим систему (В). Из ее соотношений <
х
У
2 а+3
2 '
а-3 ^ .
-> —4,
2
а+3
разом, система (В) имеет единственное решение
х = —4,
, х =
У
2 а-3
2 , а+3
2
<7
f _ а-3
= 2 ' а+3
2
а > —5, ^ а < 11
У = —Г'. Таким об-
при а Е [—5; 11).
Из системы (С) получим \у = а + 4, то есть система (С) имеет единственное ре-
,а + 4<7
шение
УУ
х = —4,
. , при а < 3. = а + 4 г
а
4=
а-3 2 '
Решения систем (А) и (В) совпадают, если
4=
£+3 ^ а = 5.
2 '
а Е [0; 11) а —4 = —4,
Решения систем (А) и (С) совпадают, если { 4 = а + 4, & а = 0.
а Е [0; 3)
а-3
~2~ = -4,
Решения систем (В) и (С) совпадают, если = а + 4, & а = -5.
аЕ [-5;3)
Отметим полученные результаты на оси а (см. рис. 6).
Учитывая найденные выше значения параметра, при которых решения систем совпадают, по рис. 6 определяем, что система имеет единственное решение при а е (-»;-5] и {5} и [11;+»).
Ответ: а Е (-»; -5] и {5} и [11; +»).
Отметим, что наша многолетняя практика преподавания показывает, что учащиеся гораздо охотнее и успешнее решают задачи с параметрами, используя графические методы, а не аналитические.
Интересным и полезным для учащихся будет рассмотрение задачи, в процессе решения которой применяются несколько способов.
V.
ISSN 2Э04-120Х
(А):
ниепт
научно-методический электронный журнал
Нет решений
Здоровенно М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
Одно решение
а
(B):
Нет решений
Одно решение
^ Нет решений
11
а
(С):
Одно решение
Нет решений
а
о
3
Рис. 6
Задача 3. При каких значениях параметра а система уравнений
\а(х4 + 1) =у + 1- \х\, х2 + у2 = 1 имеет единственное решение?
Решение. Заметим, что если пара чисел (х0; у0) решение системы, то пара (-х0; у0) также является ее решением. Отсюда условие х = 0, необходимое для существования единственности решения. Однако это условие не является достаточным, поскольку система может иметь несколько решений вида (0; у0) или вообще не иметь решений.
Пусть х = 0. Тогда
[а = у + 1,_ {а = 2,
(у = -1,.
[I а = 0.
Таким образом, искомыми значениями параметра могут быть а = 2 или а = 0. Проверим, сколько решений имеет исходная система при указанных значениях параметра.
(у + 1-\х\ = 0, (у = \х\ - 1,
При а = ° получаем { х2+у2 = 1 , откуда {х2+у2 = 1.
Быстрый и наглядный ответ на вопрос о количестве решений последней системы дает графический способ ее решения (см. рис. 7).
По рис. 7 видно, что при а = 0 исходная система имеет три решения, что не удовлетворяет условию задачи. Этот же результат может быть получен и аналитически, что предлагаем читателю сделать самостоятельно или воспользоваться [2].
_ _ (2(х4 + 1) = у+ 1- \х\, (2х4 + \х\=у-1,
При а = 2 получаем { , , , откуда \77 .
х2 + у2 = 1 К х2 + у2 = 1
Очевидно, что 2х4 + \х\ > 0 при любых х. Тогда из первого уравнения последней системы имеем у > 1. В то же время второе уравнение позволяет сделать вывод, что у < 1. Следовательно, у = 1, а значит, х = 0.
Таким образом, при а = 2 система имеет единственное решение.
Ответ: а = 2.
issn 2304-120X Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-
научно-методический ceptru/2016/16176.htm электронный журнал
ниегтг
Рис. 7
Авторы надеются, что материалы статьи будут полезны учителям математики и
учащимся, желающим научиться решать задачи с параметрами.
Ссылки на источники
1. Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Некоторые проблемы обучения математике в контексте результатов ЕГЭ-2015 // Актуальные вопросы методики обучения математике и информатике в условиях стандартизации образования: Материалы Всерос. науч.-практ. конф. преподавателей математики, информатики школ и вузов / под общ. ред. Н. В. Сидоровой. - Ульяновск: УлГПУ, 2016. - С. 55-64.
2. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. - М.: Илекса; Харьков: Гимназия, 1998. - 336 с.
Marina Zdorovenko,
Candidate of Physical-Mathematical Sciences, Associate Professor at the chair of Fundamental Informatics And Applied Mathematics, Vyatka State University, Kirov zdorovenko.s@mail.ru Natalya Zelenina,
Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor at the chair of Fundamental Informatics And Applied Mathematics, Vyatka State University, Kirov sezel@mail.ru Marina Krutikhina,
Candidate of Pedagogic Sciences, Associate Professor at the chair of Fundamental Informatics And Applied
Mathematics, Vyatka State University, Kirov
krumarvik@mail.ru
The use of different methods for solving problems with parameter on the Unified State Examination in mathematics
Abstract. The paper is devoted to teaching students different ways to solve problems with parameters for final examination.
Key words: tasks with parameters, different ways of solving problems with parameters, Unified state examination in mathematics, teaching mathematics. References
1. Zelenina, N. A. & Krutihina, M. V. (2016). "Nekotorye problemy obuchenija matematike v kontekste rezul'ta-tov EGJe-2015", in Sidorova, N. V. (ed.). Aktual'nye voprosy metodiki obuchenija matematike i informatike v uslovijah standartizacii obrazovanija: Materialy Vseros. nauch.-prakt. konf. prepodavatelej matematiki, in-formatiki shkol i vuzov, UlGPU, Ul'janovsk, pp. 55-64 (in Russian).
2. Gornshtejn, P. I., Polonskij, V. B. & Jakir, M. S. (1998). Zadachi s parametrami, Ileksa, Moscow; Gimnazija, Har'kov, 336 p. (in Russian).
ISSN 2Э04-120Х
ниепт
научно-методический электронный журнал
Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В. Использование различных методов решения задач с параметром на Едином государственном экзамене по математике // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2016. - № 8 (август). - 0,4 п. л. - URL: http://e-kon-cept.ru/2016/16176.htm.
Рекомендовано к публикации:
Горевым П. М., кандидатом педагогических наук, главным редактором журнала «Концепт»
Поступила в редакцию Received 15.08.16 Получена положительная рецензия Received a positive review 17.08.16
Принята к публикации Accepted for publication 17.08.16 Опубликована Published 22.08.16
www.e-koncept.ru
© Концепт, научно-методический электронный журнал, 2016 © Здоровенко М. Ю., Зеленина Н. А., Крутихина М. В., 2016
5779343120366
