Использование космической тросовой системы для решения задачи доставки груза на орбиту Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОСМИЧЕСКОЙ ТРОСОВОЙ СИСТЕМЫ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДОСТАВКИ ГРУЗА НА ОРБИТУ

© 2013 А.С. Ледков, М.К. Жаринов

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)

Поступила в редакцию 04.06.2013

В данной статье рассматривается операция вывода космического аппарата (КА) с помощью ради-ально-ориентированной космической тросовой системы (КТС), переводимой во вращение. Получена математическая модель, описывающая ее движение для случая круговой орбиты. Построены диаграмма начальных скоростей стыковки и диаграмма разрыва троса позволяющие осуществить выбор условий стыковки обеспечивающих выведение КА на более высокую орбиту.

Ключевые слова: космическая тросовая система, диаграмма движения стыковочного модуля, диаграмма разрыва троса.

ВВЕДЕНИЕ

Для доставки груза с поверхности Земли на орбиту традиционно используют ракетоносители. В последние десятилетия активно ведутся работы по созданию альтернативных схем доставки с использованием космических тросовых систем. Их главным достоинством является снижение стоимости операции вывода за счёт отказа от использования последней ступени ракетоносителя. В научной литературе обсуждается несколько методов перевода груза на более высокую орбиту, используя КТС [1]. Самым амбициозным и труднореализуемым проектом является космический лифт, представляющий собой расположенную в экваториальной плоскости космическую тросовую систему, соединяющую поверхность Земли с находящейся за геостационарной орбитой космической станцией. Центробежная сила обеспечивает устойчивость этой конструкции. Груз доставляется на орбиту на движущемся вдоль троса подъемнике [2]. Более реальной является концепция космического эскалатора -постоянно находящейся на орбите радиально ориентированной КТС. Спутник выводится на низкую орбиту, где пристыковывается к нижнему концу эскалатора и перетягивается с помощью специального подъемного механизма по тросу наверх. Там он отстыковывается и продолжает свой полет на более высокой орбите[1]. Другим обсуждаемым в научной литературе способом является использование вращающихся вокруг центра масс КТС. Груз выводится на низкую ор-

Ледков Александр Сергеевич, кандидат технических наук, доцент, докторант кафедры теоретической механики. E-mail: ledkov@inbox.ru

Жаринов Михей Константинович, бакалавр, студент. E-mail: zharinovmk@gmail.com

биту, где стыкуется с нижним концом КТС. Трос обеспечивает передачу энергии и количества движения от находящегося на орбиту спутника выводимому грузу. После того как груз, совершая вращение в рамках КТС, попадает в высшую точку, происходит расстыковка [3].

В данной статье предлагается рассмотреть комбинированный способ выведения груза на орбиту с помощью переводимой во вращение ра-диально-ориентированной КТС. До момента стыковки космическая тросовая система находится в радиальном положении. С помощью ракетоносителя на орбиту выводится космический аппарат, который пристыковывается к нижнему концу КТС. После этого КТС выводится из устойчивого радиального положения и переводится во вращение. В наивысшей точке происходит отделение КА. Перевод во вращение может осуществляться за счет реактивных, электродинамических и инерциальных сил, а также за счет управления длиной троса. Достоинством этого способа является простота стыковки, поскольку не нужно синхронизировать вращение КТС и орбитального движения КА, а также отсутствие движущегося по тросу подъемника.

В данной работе рассматривается движение КТС с момента стыковки КА до момента его отделения. Перевод во вращение осуществляется за счет разности скоростей стыковочного модуля и выводимого космического аппарата. Стыковка происходит мгновенно и может рассматриваться, как абсолютно неупругий удар.

Целью работы является исследование возможности доставки груза на орбиту с помощью переводимой во вращение радиально-ориенти-рованной космической тросовой системы; разработка математической модели, описывающую динамику КТС после стыковки с выводимым на

орбиту КА; определение условий стыковки, обеспечивающих безопасный вывод груза на более высокую орбиту.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Рассмотрим тросовую систему, которая состоит из несущего спутника массой М с центром масс в точке С, невесомого упругого троса длиной I и стыковочного модуля с прикрепленным к нему грузом массой т . Спутник движется на орбите радиусом г (рис. 1). Предполагаем, что на систему действует только гравитационная сила. Несущий спутник и груз представляются в виде материальных точек. Рассматривается плоское движение системы. Введем жестко связанную с Землей инерциальную систему координат Оху.

Составим уравнения Лагранжа 2-ого рода. В качестве обобщенных координат выберем параметры г, I, ф и 0, где 0 - угол истинной аномалии, ф - угол между осью Оу и тросом.

Найдём потенциальную энергию системы. Она складывается из потенциальной энергии несущего спутника, стыковочного модуля и энергии упругой деформации троса:

П = -

/М

/т

1

г ф"2 + 2г1 собО)+12 2

+-с(1 - 1оУ, (1)

где 10 - длина недеформированного троса; с -жесткость троса; / - гравитационный параметр;

у =--0+ ф

2

Если трос не натянут (I < 10 ) то несущий спутник и стыковочный модуль представляет собой систему из двух свободно движущихся точек. Это явление можно учесть, если рассматривать коэффициент жесткости троса как кусочно-заданную функцию:

с = <

ЕЯ у у - , если /0 < /,

(2)

0

, если10 > I,

где Е - модуль Юнга, Я - площадь поперечного сечения троса.

Найдем кинетическую энергию системы. Она состоит из кинетической энергии несущего спутника и стыковочного модуля.

Т = 2 м (г2 + г О) + 2 т (2 гЮфсоъ(у) +

+г202 + /2ф2 + 2г1 соб(^) - (3)

-2г018т(/) + г2 + 2/гф$,'т(у) + / 2).

Лагранжиан запишется в виде:

Ь = Т - П. (4)

Перепишем (4) учитывая уравнения (1) и (3):

Ь = 2г/0ф соб (-0 + <) + г О +1 2ф2 + +2г/ соб (-0 + ф<- 2 г 01 БШ (-0 + ф) +

омм„

+

ОтМ_

п

г2 - 2г1 БШ(ф + — -0) + V

2 с(1 - /о)2.

Составим систему уравнений Лагранжа 2-ого рода описывающих движение КТС с упругим невесомым и тонким тросом:

(М + т)(г - г02) + т(/ - /ф2)со$(у) + +т (2/ ф + ¡ф) 8т(/) = /М

Рис. 1. Космическая тросовая система

г г2 + 2 г/ соб(^) + /2 /т (г + /соб(/))

3 '

2\2

(г2 + 2г/ СОБ(^) + /2) (¡ф2 - / )тг 8т(/) + (2/ ф + /ф)тг соб(^) + +2(М + т )г0г + (М + т )г 20 = итг/ б1П(2)

_ 3"'

(г2 + 2 г/ соб(х) + /2)2 т/((г - г02)$,'т(у) + (20г + дг)соъ(у) + /ф +

+2/ ф) =--3-'

(г2 + 2г/ СОБ(^) + /2)2

-т(0г + 20г)8т(/) + т(г - г02)со$(у) +

■■ 2 /т (г СОБ(^) + /)

+т(/ -/ф ) = --

(г2 + 2 г/ соб(^) + /2)

3

2)2

- с (/ - /о).

/

0

Полученная система является частным случаем системы приведенной в [4]

Рассмотрим частный случай, когда спутник движется по круговой орбите ( r = const), тогда уравнения (5) существенно упрощаются. Угол Q

изменяется по закону Q = ot, где со = -\j/rи движение КТС описывается уравнениями:

- mro 2l sin(ot - ф) + ш1(1ф + 2l ф) =

/mrl sin(ot - ф)

(r2 - 2rl cos(ot -ф) +12)2 m(ra>2 cos(ot - ф) +1 - 1ф2) = /m (r cos(ot - ф) -1)

(6)

+c(l - u

(r2 - 2rlcos(ot - ф) +12)2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ

До момента стыковки КТС совершает стационарное движение. Считая скорости постоянными из (6) получим уравнение, позволяющее определить длину троса I*, соответствующую стационарному движению

mxa2(r -l*) -

/umx

(r -1*)2

■ + c(l* -10) = 0, (7)

где ш1 - масса стыковочного модуля. Будем считать, что стыковка происходит мгновенно и представляет собой абсолютно неупругий удар. Скорости КА и стыковочного модуля до и после стыковки связаны соотношением

¥0(т -т) + тха(т -1) = ш¥КА , (8)

где V - скорость выводимого КА (рис. 2а).

После стыковки (рис. 2б) КТС имеет следующие начальные условия

% = 0 , Фо = /1*, 10 = I*, 4 = VI. (9)

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПЕРАЦИИ ВЫВОДА ГРУЗА

Исследуем влияние на начальной скорости КА на возможность вывода КА на более высокую орбиту. Рассмотрим КТС, состоящую из несущего спутника массой М = 6000 кг, стыковочного модуля вместе с выводимым КА общей массой ш = 700 кг и троса изготовленного из материала Буиееша длиной 10 = 31000 м, модулем Юнга Е = 172ГПа , пределом прочности на разрыв и = 3ГПа и диаметром d = 1мм [5]. Вся система двигается по круговой орбите радиусом г = 6550 -103м . Из уравнения (7) вычислим длину троса в момент стыковки, если масса стыковочного модуля ш1 =150кг, получаем I* = 31004.57м.

Используя систему уравнений (6) проведем серию численных расчетов с начальными условиями (9), изменяя начальные скорости ГФ£ [-310,310], V, е [-300,300]. По результатам составим диаграмму (рис. 3), на которой отметим точки, соответствующие успешному выводу. Под успешным выводом будем понимать ситуацию, когда в процессе движения КТС ее фазовая траектория попадает в область, определяемую условиями

Рис. 2. Стыковка выводимого груза с модулем

3 '

уе [п-5, п + 5], / > /0-А/. (10)

где 5 и А/ - параметры, определяющие требуемую область пространства (Рис. 2в) и в момент расстыковки скорость выводимого груза больше или равна круговой

Vka

GMz

(11)

Приведенная на рис. 3 диаграмма построена для 8 = 3° и А/ = 100м .

Белым цветом показаны начальные условия стыковки, при которых условия вывода (10) и (11) не выполняются. Серым точкам соответствуют случаи, когда КТС после стыковки переходит во вращение, что позволяет выводить какой-либо груз на более высокую орбиту. Правая часть диаграммы соответствует начальным условиям, при которых направления угловых скоростей обращения по орбите и закрутки совпадают. В этом случае в наивысшей точке скорости складываются и происходит разгон груза. В левой части наоборот -происходит торможение.

При стыковке с большими скоростями сила натяжения может превысить критическое значение, что приведет к обрыву троса. На рис. 4 показана диаграмма разрыва троса. Области закрашенной белым цветом соответствуют начальные

условия, при которых сила натяжения троса во время операции вывода не превышает критического значения Ткр = сЯ . Черными точками показана зона соответствующая разрыву троса.

Таким образом, начальные условия одновременно соответствующие черным (рис. 3) и белым точкам (рис. 4) на соответствующих диаграммах являются точками успешного вывода космического аппарата на более высокую орбиту.

В качестве примера приведем график у (Г) для некоторых точек (рис. 5).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В статье рассмотрена операция вывода с помощью переводимой во вращение радиально-ори-ентированной КТС. Получена математическая модель, описывающая движение КТС. Построена диаграмма начальных скоростей стыковки, которая позволяет судить о возможности вывода КА на более высокую орбиту. А также диаграмма разрыва троса. Полученные диаграммы позволяют осуществить выбор условий стыковки обеспечивающие выведение КА на более высокую орбиту.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №12-01-31114 мол_а).

Рис. 3. Диаграмма движения стыковочного модуля

Рис. 4. Диаграмма разрыва троса

r

Рис. 5. Графики y(t ) в двух точках

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белецкий В.В., Левин Е.М. Динамика космических тросовых систем. М.: Наука, 1990. 336 с.

2. Edwards B.C. Design and deployment of a space elevator // Acta Astronautica. 2000. №2. З. 785-799, doi: 10.1016/S0094-5765(00)00111-9.

3. Hoyt R.P., Slostad, J.T., Frank, S.S. A Modular Momentum-Exchange / Electrodynamic-Reboost

Tether SystemArchitecture," AIAA Paper 2003-5214, 39th Joint Propulsion Conference, Huntsville, AL, July 2003.

4. Асланов В.С. Влияние упругости орбитальной тросовой системы на колебания спутника // Прикладная математика и механика. 2010. Т.74. №4. С. 582-593.

5. Aslanov V, Ledkov A. Dynamics of the Tethered Satellite Systems. UK, Cambridge: Woodhead Publishing Limited. 356 p.

THE USE OF SPACE TETHER SYSTEM TO SOLVE THE PROBLEM OF CARGO DELIVERY TO ORBIT

© 2013 A.S. Ledkov, M.K. Zharinov

Samara State Aerospace University named after Academician S.P. Korolyov (National Research University)

The operation of spacecraft's delivery into an orbit by means of a radially oriented space tether system that transfers into rotation is considered. For the case of circular orbit a mathematical model is developed. Diagrams of initial docking velocities and tether rupture are drawn. They allow to choose docking conditions that guarantee lifting of the spacecraft into a higher orbit.

Key words: space tether system, plot of the docking module, diagram cable breaking.

Alexander Ledkov, Ph.D., Associate Professor, Post-Doctoral Student at the Theoretical Mechanics Department. E-mail: ledkov@inbox.ru Mihey Zharinov, Bachelor, Student. E-mail: zharinovmk@gmail.com