CC BY
71
УДК 514.75
М. А. Чешкова
Инверсия гиперповерхности вращения в
ГРП
евклидовом пространстве Е
В евклидовом пространстве Еп рассматри-ваются две гладкие гиперповерхности вращения М, М и диффеоморфизм / : М -» М. Исследуется случай, когда / - инверсия.
Пусть М, М - две гладкие гиперповерхнос-ти в евклидовом пространстве Еп, / : М —>• М -диффеоморфизм, ¥ (М) - Я - алгебра дифференцируемых на М функций, Т]{М) - ¥ - модуль дифференцируемых на М тензорных полей типа (<Ь«), д - дифференцирование в Еп.
Формулы Гаусса-Вейнгартена поверхности А/ имеют вид [1, с. 23]
Положим
г = и + <рп = и + 'Р'П, ир € ТрМ, 0Р С Т]{Р)М, <р,ф € Р(М),
Н - орт нормали к гиперповерхности М. Так как / инверсия, то [2]
где^> Y Є Тц (М), V _ связность Леви-Чивита
метрики,'
- вторая фундаментальная форма поверхности М. ^ ^ оператор Вейнгартена, и - орт
нормали, <,> - скалярное произведение в Еп. Выполняется уравнение Кодацци [2, с. 23]
Поместим начало координат в центр инвер -
сии. Обозначим через г радиус-вектор точки р G
М. чевез г - вадиус-вектов точки /(в) G М. Тог-■ . с
г = lr,l = —,с = const, р =< г, г > .В виде ip
Откуда
Xp=<X,r>tXl = -^<X,r>, (3)
Пустъ 6*(<*/*. = Ь(Х,У)_
вторая фун
даментальная форма гиперповерхности М; V связность Леви-Чивита метрики д. Имеет место| [3] равенство \
dx{(Yl)r + lY)-(VxYl)r-
KY = i{X,Y)n.
(б)"
l(VxY) = b(X,Y)n.
Используя уравнения Гаусса-Вейнгартена (1), получим
(7)гдей*М? vl = XYl -VxYl гессиан функци
Дифференциал отображения / определится из равенства df(X) = df(dxr) = д*:?,Х € ТМ. Имеем
Отображение / индуцирует на М метрику
I в связности ^■
Так как f - конформное отображение, то [4 с.
18]
VXY = VxY + {Xln\l\)Y + (Yln\l\)X-g(X,Y)V,
і'':,’ ! [g
Откуда
b(X,Y)n = lb{X,Y)n +
(9
Определим HessX,Y^' Используя (1),(3), им
20 XYl = -X\^ < Yfr >);
Инверсия гиперповерхности вращения в евклидовом пространстве
Используем (8)
Умножим (9) скалярно на г и используем (10). Имеем
Лемма. Если цхр ф 0 , то линии кривизны гиперповерхности М переходят в линии кривизны гиперповерхности М.
Доказательство. Из формулы (2) имеем
ЦХ,У) = ЬШ(#Х,<!/¥) =
<А<1!Х,<1}\’ >=< (І/[(І/~1А(1/Х,4/У >=
т~1МХ, У) = 13д(4Г1МХ, У).
Используя (11), получим ір(1/~] А<і/Х = ^{аХ - 1<рАХ).
Если А7 - главное направление оператора А, то есть-'^' =: кіХі, то
то есть dfXi - главное направление оператора Вейнгартена А гиперповерхности М.
А так как-то получим
Определено распределение1^^ • АХр
к(Р)хр},хр € Трм,р € м, (к - к* ф о;.
Теорема. Если <'№ ^ ^ ^то гипер
поверхность вращения в Еп(п > 3) при инверсии переходит в (п — 2)-каналовую гиперповерхность, у которой
А'Г = (Х^)(к-к'),Х є Д.
(14)
Доказательство. Из уравнений Кодацци (2) для гиперповерхности А/ следует, что Хк — с!к{Х) =
0,Х € Д ■ Так как линии кривизны гиперповерхности М переходят в линии кривизны гиперповерхности М, то из уравнений Кодацци для гиперповерхности А/ имеем: Л'к— _
то М - (п — 2)-каналовая гиперповерхность.
(п - 2)-каналовая гиперповерхность М есть гиперповерхность вращения тогда и только тогда, когда [б] .Хк — 0, X 6 Д- уак как
П.
к — к' = МА ф1
то получаем формулу (14).
Следствие 1. Если** ± °'к+ * * О'то следующие утверждения эквивалентны:
1) гиперповерхность вращения М в Еп(п > 3) при инверсии переходит в гиперповерхность вращения М;
г ,*& = 0,А-еД.
Доказательство. Утпеп-ж-ттение г.петтует из формулы (14) и равенства'^ ^ = 0, -X € Д.
Следствие 2. Если
и гипер-
поверхность вращения V ^ при инвер
сии переходит в гиперповерхность вращения М, то
х- = о,х Є Д.
Доказательство. Имеем
(кр + <р)Хр,Х Є д.
Хк = -Х(^-)к - Х^-г- = 0. <рГ ірір
(13)
Если гиперповерхность М имеет главную кривизну кі ф 0 кратности р > 1, то она является [5] огибающей (/-параметрического (р = п— 1 — у семейства гиперсфер, т.е. р-каналовая. Тогда кі имеет тоже кратность р. Если при этом к, ф О, то А/ - р-каналовая. Гиперповерхность вращения есть ров прямая линия. Пусть,_к\ = ... = кп~2 =т-
к, кп—і — к , к і — ... — к —•) ~ к, кп—і —* к .
Следствие 3. Если <г г ' ~ ’ Р
следующие утверждения эквивалентны:
1) гиперповерхность вращения М в Еп(п > 3) при инверсии переходит в гиперповерхность вра-щения М;
2) центр инверсии находится на оси. Доказательство. Дифференцируя равенст-
коГ = и + 1рп ВДОДЬ Л € Д^олучим.^ +
Ь(Х,11) — Х<р-\-к\ р — 0 "Используя следствие 2, получим
А так как ^ ^ ^ ^ ^’то получим
Хр^ О, А € Д,т е центр инверсии находится на оси вращения гиперповерхности А/. Обратно, если центр инверсии находится на оси вращения гиперповерхности М, то зададим гиперповерхность
А/ в виде г ~ ь 1е(1' 1
,r n-2) + g(vn-')a,
функции <pj,p,tp постоянны вдоль (п—2)-мерной ■■ const, i= 1..rt—2)_в этом
X £ Д, т.е. ^.главное
случае
направление,
: главной кривизне к*
Литература
1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифферен -циальной геометрии. Т. 2. М. 1981.
2. Чешкова М.А. К геометрии центральной проекции ^поверхности в евклидовом про -странстве Еп+т // Известия вузов. 1998. №6.
3. Чешкова М.А. К геометрии п-поверхностей в
евклидовом пространстве е2п+1 //
Дифференциальная геометрия многообразий фигур. Калининград, 1997. Вып. 28.
4. Chen B.Y. Geometry of submanifolds and its! applications. Tokyo. 1981.
5. Ведерников В.И. Гиперповерхности про -странства Евклида, огибающие т -параметрическое семейство гиперсфер // Волж. матем. сб. 1966. Вып. 4.
6. Чешкова М.А. О каналовой гиперповерхности в евклидовом пространстве Еп // Известия АГУ. Барнаул, 1998. Вып. 1(6).
